薄板四边支承挠度计算公式
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
挠度计算公式-挠度公式表
简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 5ql^4/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).q 为均布线荷载标准值(kn/m).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式:Ymax = 6.33pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式:Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI).q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件进行反算，看能满足的上部荷载要求！。
薄板屈曲1
x y
Ez 1 2 Ez 1 2
xy yx
Ez 2 w 1 xy
（5）
为了计算板中内力，取出板的单元体如图 2a 所示。微元体侧面上的应力的合力矩 就是板中的弯矩 M x 、 M y 和扭矩 M xy （图 2b）。分别按下列各式求得 M x 、 M y 和 M xy ：
图 2a
图 2b
Mx
t/2
t / 2
x zdz y zdz
t/2
My
t/2
t / 2
M xy M yx
t / 2
xy zdz
以式（5）表示的应力分量代入上式，因 w w( x, y ) ，不随 z 变化，积分后可得
2w 2w M x D x 2 y 2 2w 2w M y D y 2 x 2 M xy M yx D(1 ) 2w xy
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 p x m 2 2 2 4 0 D a2 a4 a 2b 2 b
7
即
D 2 px 2 b
mb n 2 a a mb
2
（f）
临界载荷应是使板发生微弯的最小载荷，因而设微弯时沿 y 方向的半波数 n 1 ，于是
Q x Q y x y dxdy
（g）
将式（f）和式（g）相加，化简后得平衡条件 z 0 为
5
Q x Q y 2w 2w 2w N x 2 2 N xy Ny 2 0 x y xy x y
由图 4b 所示微元体，对 x 轴的力矩平衡条件 M x 0 ，得
2
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
薄板弯曲挠度计算公式
薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。
薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。
通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。
薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。
一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。
静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。
我们需要了解一些基本概念。
在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。
这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。
该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。
下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。
假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。
我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。
如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。
除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。
弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。
有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。
四边支承矩形薄板自振频率计算
ａ 四边 简支 ） ｂ 边简支， 边固支 ｃ相邻边 简支， ） 三 — ） 另相邻边 固支
在此基础上 ， 若假 定板 的挠 度不从 平 面位 置算起 ， 而从 平衡 位置算起 ， 对板 内平 行六面体进行微元 分析 ， 由平衡 条件 、 变形协
调条件和物理方程得板 的弯 曲平衡 方程式 ， 然后分 析板在 振动过
时仍然不是很方 便 。由于最低 自振频 率对应 的振 型比较易 于假
３ 能量 法
能量法是 由 Ｄ Ｃ Ｌ Ｒｙ ｉ ． ．． ａｌｇ 出的一个 计算 薄板最低 自振 ｅｈ提
我们取 Ｗ＝（ ｃｓｔ ｓ ｔ ） （ ） 代 入 方 程 （ ） 除 因子 Ａ ｏｏ 十Ｂｉｏ ， ） ｔ ｎｔ ， １消
医院 、 实验 室等 建筑 ， 特殊 过大 的楼 盖振 动可能 会导致 部 分精 密 仪器设备无法正 常工作 。因此 ， 于大跨 度楼 盖设 计 ， 对 在满 足 强 度、 变形要求 的同时 ， 还应 充分 考虑 振动舒 适度 问题 。而楼 板 自
振频率是评价楼板舒适 度的重 要指标之一 。
程 中的动力平衡 ， 可得板 的 自由振动微分方程 … ：
Ｄｏ ＋ ＋ Ｄ三 ＋ ｗ Ｄ － ２
Ｏ ｘ
Ｌ ３
： ０
ａ‘ ｔ
（） １
ｄ 一对边简支。 ） 一对边 固支
暖 田 嗫
ｅ 三边 固支， ） 一边简支 ｆ四边回支 ）
ａ ｆ
ａ‘ ｘ广
图 １ 不 同边界条件的支承板
一
其中 ， Ｄ＝
ｌ
， 分 别 为板 的弹 性模 量 和泊 松 比， Ｅ， ｈ
ｌ— ，
般而言 ， 假定 合适 的位移 函数 ， 利用 边界条 件可 以求 解上
局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算
局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算作者：杨成永马文辉韩薛果程霖来源：《湖南大学学报·自然科学版》2020年第11期摘要：以矩形板的Navier解為基础，采用带补充项的傅里叶级数作为挠度函数，研究了局部均布荷载作用下四边支承矩形薄板的弯曲问题. 推导了确定待定系数的线性代数方程组，给出了简支边和固支边不同组合条件下的统一计算公式. 讨论了带补充项法级数解的收敛速度，并与叠加法级数解及有限元数值解分别进行了精度和计算量的对比. 结果表明，带补充项法的级数解达到收敛的级数项数约为40项. 带补充项法的级数解与叠加法级数解具有同样的求解精度. 有限元解随网格的细分，计算结果逐渐接近级数法解. 级数解法的计算量与有限元解法相比是微不足道的. 研究成果适于进行构筑物顶板受局部均布荷载作用的结构计算.关键词：矩形板;四边支承;局部均布荷载;级数解;求解精度中图分类号：U411 文献标志码：AInternal Force Calculation of Four Edges Supported RectangularPlates under Local Uniformly Distributed LoadYANG Chengyong，MA Wenhui†，HAN Xueguo，CHENG Lin（School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）Abstract：On the basis of Navier’s s olution to rectangular plates， the bending problem was studied for the four edges supported thin plates under local uniformly distributed load， where the double Fourier series with additional terms was adopted as the deflection function of the plates. Linear algebraic equations for solving the undetermined coefficients were derived. A unified solution was obtained to the rectangular plates with clamped and simply supported edges. The rate of convergence was discussed on the solution of the series method with additional terms. The proposed method was compared both with superposition series method on accuracy， and with finite element numerical method on computational cost. The results show that 40 terms should be employed for a convergence of the series. The method with additional terms shows the same accuracy of solution as superposition series method does. The solution by finite element method gradually approaches that by the series method as the mesh gets finer and finer. In comparison with finite element method， the computational time by the series method is negligible. This work is applicable for structural analysis of the top plates of underground buildings under truck wheel pressure.Key words：rectangular plate;four supported edges;locally uniformly distributed load;series solution;solution accuracy地铁、热力和燃气等地下工程中，地下构筑物的顶板多为四边支承的薄板，板上常承受局部均布荷载如汽车轮压作用. 为了确定像汽车轮压这类荷载在板内产生的最大挠度和内力，需要进行任意位置局部均布荷载作用下挠度和内力的计算.对四边支承的矩形薄板问题，可以从四边简支板的Navier解出发，采用叠加方法[1-2]或加补充项的方法[3-4]解决. 如：蔡长安等[5-6]以带附加补充项的Fourier级数作为挠度函数，求解了Winkler地基及Pasternak地基上自由边矩形板的弯曲问题. 许琪楼等[7-8]采用一种能满足自由角点条件的挠度表达式，解决了二邻边支承二邻边自由矩形板和二邻边及对角点支承矩形板的弯曲问题. 他们还采用叠加方法[9-10]，提出了四边支承矩形板及一边固定一角点或二角点支承的矩形板的统一求解方法. 岳建勇等[11-12]采用一种双三角级数形式的挠度函数，得到了三边固定一边自由及两对边固定两对边自由矩形板的精确解. 钟阳等[13]在辛几何空间中利用分离变量法推导出了四边固支弹性矩形薄板的精确解析表达式. 于天崇等[14]假定矩形板的抗弯刚度沿板的宽度方向按照一般幂函数形式变化，研究了四边简支一对边受弯作用下面内变刚度矩形板的弯曲问题. 肖闪闪等[15]采用载荷叠加法研究了集中载荷下四边固支正交各向异性矩形板的线性弯曲，并讨论了经典Kirchhoff薄板假设对于集中载荷的适用性.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C語言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷載q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2種结果是一致的.。
第12章薄板的小挠度弯曲问题
第12章薄板的⼩挠度弯曲问题第⼗⼆章薄板的⼩挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移和应变分量薄板⼴义⼒薄板⼩挠度弯曲问题基本⽅程薄板⾃由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简⽀薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应⼒⼴义位移和薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板⾃由边界⾓点边界条件挠度函数的分解⼀、内容介绍薄板是⼯程结构中的⼀种常⽤构件，它是由两个平⾏⾯和垂直于它们的柱⾯所围成的物体，⼏何特征是其⾼度远⼩于底⾯尺⼨，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性⼒学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要⾸先建⽴应⼒和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采⽤位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，⾸先将薄板的应⼒、应变和内⼒⽤挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建⽴挠度函数表达到平衡⽅程。
对于薄板问题，边界条件的处理和弹性⼒学平⾯等问题有所不同，典型形式有⼏何边界、混合边界和⾯⼒边界条件。
⼆、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应⼒、⼴义⼒和⼴义位移；3、薄板⼩挠度弯曲问题的基本⽅程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要⼏何特征是板的中⾯和厚度。
⾸先，根据⼏何尺⼨，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度⼩于厚度的五分之⼀，属于⼩挠度问题。
对于⼩挠度薄板，在横向载荷作⽤下，将主要产⽣弯曲变形。
根据薄板的外载荷和⼏何特征，外⼒为横向载荷，厚度远⼩于薄板的平⾯宽度，可以忽略⼀些次要因素，引⼊⼀些基本变形假设，抽象建⽴薄板弯曲的⼒学模型。
薄板的⼩挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫⾸先提出的，因此⼜称为基尔霍夫假设。
玻璃强度和挠度计算方法
玻璃强度和挠度计算方法一、前言目前国内涉及玻璃强度、挠度计算的标准有JGJ102-96《玻璃幕墙工程技术规范》、JGJ113-97《建筑玻璃应用技术规程》、上海市地方标准DBJ08-56-96《建筑幕墙工程技术规程(玻璃幕墙分册)》。
JGJ102-96、DBJ08-56-96(以下简称现行国标)对单片玻璃强度计算均有规定，根据有关试验资料在一定范围内强度计算偏于保守。
DBJ08-56-96对单片玻璃的挠度有规定，根据有关试验资料挠度实测值与计算值有相当大偏差。
我们希望通过试验数据对比研究，建立较完善的幕墙玻璃强度和挠度计算理论。
二、试验概况和研究内容(一)试验概况1．试验样品玻璃品种包括浮法、半钢化、钢化玻璃，支承条件以四边支撑为主。
试验样品约六十片，玻璃厚度以玻璃幕墙工程常用的6mm、8mm、10mm为主。
2．试验方法通过对四边支撑的玻璃板块在侧向均布荷载作用下的试验，研究其跨中挠度、最大应力的变化规律。
检验过程参照ASTM-E998进行，将玻璃板块安装在测试箱体上。
试验过程中采集的数据包括控制点的应变值和跨中挠度值。
(二)研究内容和方法1．通过以上较为典型的玻璃板块在侧向荷载作用下的的应力和挠度试验，研究单片玻璃在侧向荷载作用下的应力和挠度变化规律。
采取四边支承方式进行玻璃侧向荷载的试验，采集的数据主要包括控制点的应变和跨中挠度。
2．运用薄板弹性弯曲理论，通过有限元方法计算四边支承玻璃的最大应力和跨中挠度，并与试验数据进行对比，从而建立合理的玻璃应力和挠度计算方法，为玻璃结构性能的理论分析建立合适的计算模型。
3．由较合理的玻璃有限元计算模型，计算大量的不同厚度、长宽比的玻璃最大应力和跨中挠度，拟合玻璃应力和挠度公式。
通过以上试验和研究，建立单片玻璃较完整的计算方法，弥补现行幕墙玻璃规范中的不足之处、为使用中幕墙玻璃的评估提供理论依据。
三、试验结果分析(一) 单片玻璃强度和挠度研究1．试验实测数据与现行规范计算值的对比现行规范(JGJ102-96、DBJ08-56-96)采用小挠度理论来计算玻璃最大应力和跨中挠度。
挠度计算公式-挠度公式表
简支梁在各种荷载作用下跨中最大挠度计算公式均布荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 5ql^4/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).q 为均布线荷载标准值(kn/m).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨中一个集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式:Ymax = 8pl^3/(384EI)=1pl^3/(48EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨间等间距布置两个相等的集中荷载下的最大挠度在梁的跨中,其计算公式: Ymax = 6.81pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).跨间等间距布置三个相等的集中荷载下的最大挠度,其计算公式:Ymax = 6.33pl^3/(384EI).式中: Ymax 为梁跨中的最大挠度(mm).p 为各个集中荷载标准值之和(kn).E 为钢的弹性模量,对于工程用结构钢,E = 2100000 N/mm^2.I 为钢的截面惯矩,可在型钢表中查得(mm^4).悬臂梁受均布荷载或自由端受集中荷载作用时，自由端最大挠度分别为的,其计算公式:Ymax =1ql^4/(8EI). ;Ymax =1pl^3/(3EI).q 为均布线荷载标准值(kn/m). ;p 为各个集中荷载标准值之和(kn).你可以根据最大挠度控制1/400，荷载条件25kn/m以及一些其他荷载条件进行反算，看能满足的上部荷载要求！友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法汇总
§9-2 弹性曲面微分方程
按位移求解，基本未知量 w w( x, y) 。 1. 用w表示形变分量 将假定（1），即式（9-1）对z积分：
v w z f 1 ( x, y ) y
，
u
w z f 2 ( x, y ) x
f 2 ( x, y) 0 ，即 f1 ( x, y) 0 ， 应用假定（3），即式（9-3），有：
b代9将式b代入弹性曲面微分方程98得qbmbamamd??????4224241624c因为m是常数所以q也必须是常数可见薄板所受的荷载必须是均布荷载即也必须是常数可见薄板所受的荷载必须是均布荷载即qq0由c式求出m再代入式b得???????????????422422222032381bbaadbyaxqw再按照式910求内力由式d得到弯矩?????????????2222ywxwdmxd?????????????????????????????????2222422222424224013133232bbaxbyabayaxbbaaq????????????????????????????????????????????22224222224242240222213133232abayaxbbaxbybbaaqxwywdmyef对于o点及a点图96得到????????????????442222200032321bababaaqmyxx?????????4422200323babaaqmyaxxob图9得对于o点及b点图96得到????????????????442222200032321abababbqmyxyg?????????4422200323ababbqmbyxyh假定agt
2）扭矩由xy合成：
M xy 2d z xy dz
建筑挠度值计算公式
建筑挠度值计算公式
嘿，朋友们！你们知道建筑挠度值计算公式有多重要吗？这可是建筑领域里不能不知道的关键知识点啊！
建筑挠度值的计算公式呢，其实就是用来衡量建筑物在受力情况下产生变形程度的工具。
一般来说，挠度值可以通过简支梁在均布荷载作用下的最大挠度计算公式来计算，那就是：fmax=5ql^4/(384EI)。
这里的“fmax”就是最大挠度值啦，“q”代表均布荷载，“l”是梁的跨度，“E”表示材料的弹性模量，“I”则是截面惯性矩。
给你们举个例子吧，就好比有一座小桥，它每天要承受来来往往车辆的重量。
我们通过这个公式就能算出它在这种压力下会产生多大的变形，如果变形太大，那可就危险啦，说不定哪天就塌了呢！所以说，这个公式就像是给建筑物做了一次健康检查，能让我们及时发现问题。
再想想看，如果没有这个公式，那我们盖房子、建桥梁不就像闭着眼睛走路一样，完全不知道会走到哪里去嘛！我们怎么能保证建筑物的安全性和稳定性呢？就好像你要去一个陌生的地方，没有地图指引，那不是容易迷路或者遇到危险嘛。
而且啊，这个公式在实际工程中应用可广泛了。
从高楼大厦到小小的桥梁，都离不开它的帮忙。
每次工程师们在设计和建造的时候，都得拿着这个公式好好算一算，确保一切都在安全范围内。
所以啊，大家可千万别小瞧了这个建筑挠度值计算公式，它可是建筑领域里的大功臣呢！一定要好好掌握它，才能让我们的建筑更加安全、可靠呀！你们说是不是？。
第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
建筑结构构件挠度计算公式
建筑结构构件挠度计算公式引言。
建筑结构工程是一门综合性较强的学科，它主要研究建筑物的结构设计、施工和维护等方面的技术。
在建筑结构工程中，挠度是一个非常重要的参数，它直接关系到建筑物的安全性和稳定性。
因此，准确计算建筑结构构件的挠度是非常重要的。
本文将介绍建筑结构构件挠度的计算公式及相关内容。
一、挠度的定义。
挠度是指在外力作用下，构件在跨度方向上产生的变形。
在建筑结构工程中，挠度通常用来描述构件的柔度和变形程度，它是一个重要的性能指标。
挠度的大小直接影响到建筑物的使用性能和安全性能。
二、挠度计算公式。
在建筑结构工程中，常用的挠度计算公式有很多种，其中比较常见的是梁的挠度计算公式和板的挠度计算公式。
下面将分别介绍这两种挠度计算公式。
1. 梁的挠度计算公式。
对于梁的挠度计算，常用的挠度计算公式为：δ = (5wL^4)/(384EI)。
其中，δ为梁的挠度，w为梁的荷载，L为梁的跨度，E为梁的弹性模量，I为梁的惯性矩。
2. 板的挠度计算公式。
对于板的挠度计算，常用的挠度计算公式为：δ = (qL^4)/(8D)。
其中，δ为板的挠度，q为板的荷载，L为板的跨度，D为板的弹性模量。
以上是常用的梁和板的挠度计算公式，它们都是基于梁和板的理论模型进行推导得出的。
在实际工程中，可以根据具体情况选择合适的挠度计算公式进行计算。
三、挠度的影响因素。
在建筑结构工程中，挠度的大小受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1. 荷载。
荷载是影响建筑结构挠度的重要因素，不同的荷载会导致构件的不同变形情况。
在计算挠度时，需要考虑到各种荷载的作用。
2. 材料性能。
建筑结构所使用的材料的性能也会直接影响挠度的大小。
不同的材料具有不同的弹性模量和惯性矩，这些参数会直接影响到挠度的计算结果。
3. 结构形式。
建筑结构的形式也会对挠度产生影响，不同的结构形式会导致不同的挠度变形情况。
4. 施工质量。
施工质量是影响挠度的重要因素之一，如果施工质量不好，可能会导致构件的变形情况不符合设计要求。
薄板的小挠度弯曲问题及经典解法
w y
4my a2
x a
2 2
y2 b2
1
0
为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边。 将式（b）代入弹性曲面微分方程（9-8），得
D
24m a4
16m a2b2
24m
b4
q
（c）
因为m是常数，所以 q也必须是常数，可见薄板所受的荷载必须是均 布荷载，即q=q0，由（c）式求出m，再代入式（b），得
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x0 w ( x ) x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
（1）无外力作用时：
图9-4
(w) y0 0 (M y ) y0 0 （a）
(w) y0 0
(
2w y 2
2w) x 2
2w x 2
)
xy
Ez
1
( 2w ) xy
（9-4）
第七页，共46页。
（3）用w表示应力分量zx、zy
由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令fx=fy=0）：
zx x yx ，将（9-4）式代入，有：
z
x y
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2 w z 1 2 x3 xy 2 1 2 x
M yx
d
2
d
2
z yz dz
Ed 3
12(1 )
2w xy
M xy
（e）
FSy
d
2 d
2
yz dz
Ed
12(1
3
2
)
y
2w
均布载荷下四边固支矩形薄板的挠度
均布载荷下四边固支矩形薄板的挠度作者：***来源：《计算机辅助工程》2021年第04期摘要：为求解四边固支矩形薄板在均布载荷作用下的挠度表达式，以利维解为基础利用叠加法将复杂问题分解为多个简单问题，然后进行叠加，获得四边固支矩形薄板在均布载荷作用下的挠度表达式。
利用有限元模拟验证表达式的正确性，发现有限元结果与公式结果吻合较好。
关键词：叠加法; 均布荷载; 矩形薄板; 四边固支; 挠度; 有限元中图分类号： TU392; TB115.1文献标志码： BDeflection of rectangular thin plates fixed on four sidesunder uniform loadMA Renxiang（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）Abstract： In order to solve the deflection expression of quadrilateral fixed rectangular plate under uniform distributed load， based on levy solution， complex problems are decomposed into several simple ones by superposition method， by superposition， the deflection expression of the rectangular plate with four sides fixedly supported under uniform load is obtained. The finite element simulation is used to verify the correctness of the expression.Key words： superposition method; uniform load; rectangular thin plate; fixed on four sides; deflection; finite element收稿日期： 2021-11-25修回日期： 2021-11-11作者简介：马仁香（1996—），女，汉族，山东济南人，硕士研究生，研究方向为结构工程，E-mail：******************引言薄板作为一种常见的结构形式，广泛应用于建筑领域，对于薄板的研究多集中于理论。
材料力学挠度计算公式
材料力学挠度计算公式材料力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏规律的学科。
在工程实践中，我们经常需要计算材料的挠度，以便设计和分析结构的性能。
挠度是描述材料在外力作用下产生的弯曲变形程度的物理量，对于工程结构的稳定性和安全性具有重要意义。
在本文中，我们将介绍材料力学中常用的挠度计算公式，帮助读者更好地理解和应用这一知识。
在材料力学中，挠度的计算通常涉及到梁的弯曲理论。
对于简支梁和悬臂梁，其挠度计算公式可以分别表示为：简支梁的挠度计算公式为：\[ \delta = \frac{5qL^4}{384EI} \]其中，δ为梁的挠度，q为单位长度上的集中力或均布载荷，L为梁的长度，E 为弹性模量，I为截面惯性矩。
悬臂梁的挠度计算公式为：\[ \delta = \frac{FL^3}{3EI} \]其中，δ为梁的挠度，F为悬臂端点的集中力，L为梁的长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
除了简支梁和悬臂梁外，我们还需要了解其他类型梁的挠度计算公式。
例如，对于悬臂梁上的集中力作用点处的挠度计算公式为：\[ \delta = \frac{FL^2}{6EI} \]对于两端固支梁的挠度计算公式为：\[ \delta = \frac{FL^3}{48EI} \]这些挠度计算公式在工程实践中具有广泛的应用，能够帮助工程师和设计师准确地预测和分析结构的变形情况，从而指导工程设计和施工。
在实际工程中，我们还需要考虑材料的非线性和几何非线性对挠度的影响。
对于这种情况，我们需要采用有限元分析等更为复杂的方法来进行挠度的计算。
在这里，我们不再详细介绍这些方法，但需要强调的是，在实际工程中，我们需要根据具体情况选择合适的挠度计算方法，以确保计算结果的准确性和可靠性。
总之，材料力学中的挠度计算是工程实践中的重要内容，它直接关系到结构的稳定性和安全性。
通过了解和掌握挠度计算公式，我们能够更好地理解结构的变形规律，为工程设计和分析提供有力的支持。