空间两点间的距离公式

一、空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 中O 点称为坐标原点，数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系. z 竖轴 方法一：
即以右手握住 z 轴，当右 x 轴 手的四个手指从正向
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标. z (1)关于坐标平 M M’ 面xoz对称的点 M’(1,2,3)
3
o
1 2
y
x
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z M’ (2)关于z轴对称的点 M M’(－1,2,3)
3
o
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
x
五、小结
空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
（注意它与平面直角坐标系的区别）
空间两点间距离公式
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
思考题
在空间直角坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3) ,
C ( 2,3,4) ,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
2
2
M 2 M 3 M 3 M1 ,
原结论成立.
补充 例 2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
2 , 3 , 4 在 ________； b、
二、在 yoz 面上，求与三个已知点 A( 3 , 1 , 2 ) ， B ( 4 ,2 ,2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等距离的点 .
三、 求平行于向量 a 6i 7 j 6k 的单位向矢 量的分解式.
练习题答案
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 x 2 32 x 2 11,
2 2
PP2 x 1 1 x 2,
2 2 2
2
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
2( x 1) 2 51.
所以 MN min 51.
补充 例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2、点 p ( 3 , 2 ,1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________，关于 x 轴 的对称点是 _________，关于 y 轴的对称点是 _________，关于 z 轴的对称点是 _________；
B( 2,3,4) , D( 2,3,1) .
思考题解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
练习题
一、填空题 1、下列各点所在卦限分别是：
1 , - 2 , 3在 _________； a、 2 , 3 , 1在 _______; d、
2, 3 , 4 在 ________； c、
D1 A1 D C b A a B B1
C1
c
则长方体的对角线长
l a b c
2 2 2
2
二、空间两点间的距离
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
z
M（x，y，z）
z
o
O
x y
Cy
x
d OM x 2 y 2 z 2 .
二、空间两点间的距离
2
解得x 9或x 1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
例5 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。 解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN ( x 6) 2 (1 x 5) 2 (0 1) 2
P (0,0, z)
3
C ( x , o, z )
o
P(x, y, z)y
A( x , y ,0)
2
B(0, y , z )
x P1 ( x,0,0)
P (0, y,0)
试一试： 分别一黑板中给定的长方体长、宽、高并建立好的 空间直角坐标系上指出指定各点的坐标。
回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c
NM 2 z2 z1 ,
d
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
M1 M 2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
z
R
M1
d M1 M 2 ?
M2

Q
P
N
o
y
2
在直角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN 中，使用勾股定 理知
2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
Ⅲ
z
yoz面
Ⅳ
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限
回顾与复习
平面的点P
y
1 1 有序数对（x，y）
（x，y）
x
空间的点P
有序数组 ( x , y , z )
1 1
特殊点的表示: 原点 O (0,0,0) x轴上的点 P1 y轴上的点 P2 , z轴上的点 P3 , 坐标平面xoy上的点A, 坐标平面yoz上的点B, 坐标平面xoz上的点B, 非特殊点P(x,y,z) z
3
o
1 2
y
x
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z (3)关于原点对称的点 M M’(－1,2,－3)
3
o
1 2
y
x M’
思考P109练习 4 在空间直角坐标系中，给定点M（1，－2，3）， 求它分别关于坐标平面、坐标轴和原点的对称 点的坐标。 z 用前面的方法 把M点关于其 它坐标平面和 坐标轴对称的 点的坐标求出 来。 M
以 角度转向正向y 轴 2
定点 o 横轴 x

y 纵轴
时，大拇指的指向就是 z 轴的正向 .
空间直角坐标系
方法二：
使右手拇指、食指、中指三个手指两两垂直
1.拇指指向x轴 2.食指指向y轴 3.中指指向z轴
z
竖轴（中指）
定点 o 横轴（拇指）x

y
纵轴（食指）
空间直角坐标系
试一试： 分别一黑板中指定的长方体中底面的一个顶点为原点 建立适当的空间直角坐标系使得整个长方体都在直角 坐标系的正方向上。
一、 1 、Ⅳ , Ⅴ , Ⅷ , Ⅲ； 2 、 (-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1) ；
二、(0,1,-2).
6 7 6 三、 i j k . 11 11 11
d OM x 2 y 2 z 2 .
例4 给定空间直角坐标系， 在x轴上找一点P，
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意， P0 P 30,
即 ( x 4) 2 12 2 2 30 ,
所以x 4 25.