8.7 方向导数与梯度

March 2005
梯度是一个向量
它是函数 z = f(x, y) 在点 (x, y) 处取得最大方 向导数的方向 最大方向导数为：
z l
g ra d f

(
f x
) (
2
f y
)
2
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gradf l 0
z
l gradf l l
《学习手册》228页
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三元函数 u f ( x , y , z ) 在点 ( x , y , z )
沿方向 l { c o s , c o s , c o s }
称向量 {
f x y , f }
f
f
为函数 z = f(x, y)在点 (x, y) 处的梯度向量，简 称梯度 (gradient)，记作
f f f x f y
g ra d f {
x y
,
}
i
j
= f
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z f ( x, y) M 0 ( x0 , y0 ) l {cos , cos }
M ( x0 co s , y0 co s )
l M 0M
x cos

是等值面 Σ 在点 (x, y, z) 处的法向量。
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故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
,
f z
}
在任何点都垂直于函数的等值面，并且从 函数值较小的等值面指向函数值较大的等 值面。
cos
f y
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f l z l

z x
cos
z
z y
cos
{
z
x y
,
} {cos , cos }
小窍门：用梯度 gradf 点乘 l 的单位 向量就得到方向导 若 l 不是单位矢量，则 数，这是计算方向 导数最简便的方法。
l { 2 , 2 ,1}
求 u 在点 M 处的梯度和沿 l 的方向导数
g ra d u { u x , u y , u z
2
}
(1 , 2 , 1 )
{ 2 x y z , x , x } {3,1,1}
l 1 5 u g r a d u {3,1,1} { 2 , 2 ,1} l 3 3 l
沿方向 l 的倾斜程度（坡度）
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z f ( x, y)

f l
ta n
M
0
M
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l
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方向导数与偏导数
March 2005
在几何上 z f ( x , y ) 表示一个曲面
曲面被平面 z c 所截得
z f (x, y) , z c
所得曲线在xOy面上投影如图
y
f (x, y) c2
gradf
(x, y)
P
梯度为等值线上的法向量
f ( x, y) c
f ( x , y ) c1
0

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z l
是函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
对 的变化率
z l
ห้องสมุดไป่ตู้
是曲面 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x 0 , y 0 )
方向相同时，方向导数取到最大值：
f l
g ra d f c o s 0 g ra d f
因此向量 {
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f
x y
,
f
} 是使函数在一点的方向导
数达到最大值的方向
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是使函数在一点增加得最 向量 { , } 快的方向 x y
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例
f ( x , y , z ) ln ( x y
2
2
z )
2
求 f 在点M1(1, 1, 1)处沿 M1 指向 M2(2, 3, 3) 的 方向的方向导数。 解
l M 1 M 2 {1, 2 , 2}
若偏导数
则
f x f l
f x
f y
存在
其中 l {1, 0} i 其中 l { 0 ,1} j
则 f
y

f l
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方向导数是单向导数（因为 0 ）
M
0
l

M

y
y cos
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x
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z f ( x0 co s , y0 co s )
沿方向 l 的增量
z
f ( x0 , y0 )

：沿方向 l 的平均变化率
z 5 x 2y
2 2
M (
3 2
, 1,
3 4
)
在第III卦限
with(plots): qumian:=implicitplot3d(z=5-x^2-2*y^2,x=-2.5..2.5,y=-2..2,z=0..6,style=patchcontour,numpoints=2000): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-3..3,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..6,v=0..0.01,thickness=2): Revised Feb, display(qumian,x_axis,y_axis, z_axis,orientation=[23,66]);
的方向导数：
u l u x
u x
cos
u y u
u y
cos
u z
cos
{
z 0 g ra d f l
,
,
} {cos , cos , cos }
用梯度gradf 点乘 l 的单位 向量就得到方向导数。Revised Feb, 2006
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故梯度向量 g r a d f {
f
x y
,
f
}
在任何点都垂直于函数的等值线，并且从函 数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。
g ra d f
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等值线
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o
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x
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梯度的几何解释
三元函数 u = f(x, y, z) 的等值面：
:
f ( x, y, z) c
由切平面的讨论，知梯度
g ra d f { f x y , f , f z }
z y cos
利用偏导数计算方向导数的公式
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证明
z
f ( x cos , y cos )
f ( x, y)
f 由可 f . co s . co s o ( ) 微性 x
梯度的几何解释
函数 z f ( x , y ) 的等值线：
: f ( x, y ) c
方程两边微分：
df ( x , y ) d (c )
f x dx
f y dy 0
f f , dx, dy 0 Revised Feb, 2006 x y
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梯度的运算律
类似于导数的运算律。
《学习手册》229页,表8.7.1
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例
u x y xz
2
M (1, 2 , 1)

g ra d f
g ra d f c o s
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f l
0 l
g ra d f c o s

g ra d f
f f 当 0 即， l 与向量 { , } x y
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例
一座山形如 z 5 x 2 y 当然，世界上可能找不到这样的山。 3 3 登山者位于 M ( , 1, ) 处
2 2
2
4
试为登山者选择最陡的登山方向并求出坡度
解
最陡的方向是梯度方向
类似于一元函数的单侧导数
而偏导数是双向导数（因为 x 可正负 ） 因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导 数存在，也不能保证该点的偏导数存在。
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定理 46页
z l z x
读书
cos
y
x
y
z


f x
cos
f y
cos
o( )

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z


f x
cos
z
f y
cos
o( )

cos
z l
lim
0


f x
2x x y
2 2
fx
(1 ,1 ,1 )
z
2

2 3
fy fz
l f g ra d f l l
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2 2 2 1 10 { , , } {1, 2 , 2} 3 3 3 3 9 Revised Feb, 2006
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函数 z f ( x , y ) 在点 M ( x , y ) 0 0 0
沿方向 l { c o s , c o s }
的方向导数：
f l
lim f ( x0 co s , y0 co s ) f ( x0 , y0 )
g ra d z { z x , z y } { 2 x , 4 y } {3, 4}
最大的坡度为：
g ra d z
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3 4
2
2
5
估计他很 难爬上去
5
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1 2005 March
喂，我在 这儿啦！
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函数 z f ( x , y ) 的等值线： f ( x , y ) c
f f , dx, dy 0 x y
T
d x, d y
g ra d f
因为 T = {dx, dy}是等值线 f(x, y) = c 的切向量。 所以梯度 {fx , fy} 与等值线 垂直。
8.7 方向导数与梯度
Directional Derivatives and Gradient Vectors
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一、方向导数
Directional derivatives
讨论函数沿某个方向的变化率
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二、梯度
Gradient vectors
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f l
{
f
x y
,
f
} {cos , cos }
0 l
g ra d f l 0
0 g ra d f l c o s