高一数学必修四期末测试题及答案

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高一数学必修 4 综合试题一、选择题1．sin 390 ( ) A ．12B．12C．32D．322．以下区间中，使函数y sin x 为增函数的是( )A．[0, ] B．3[ , ]2 2C．[ , ]2 2D．[ , 2 ]的是( )3．以下函数中，最小正周期为2xA．y sin x B．y sin xcos x C．y tan D．y cos 4x2v v v v４．已知a ( x,3) , b (3,1) , 则x 等于( ) A ．－1 B．－9 C．9 D．1, 且a b５．已知sin cos 13 ，则sin2( )A．12B．12C．89D．89６．要获得2y sin(2 x )的图像,需要将函数y sin 2x 的图像()32 2个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位A．向左平移3 3 3 3r r r r r r r r，b 满足：| a | 3 ，|b| 2 ，| a b | 4 ，则|a b |7．已知a ( ) A ． 3 B． 5 C．3 D．10u u u v u u u v８．已知P1(2, 1), P2(0,5) 且点P在P1P2 的延长线上, | PP | 2| PP |, 则点P 的坐标为( )1 2A．(2, 7) B．4( ,3)3C．2( ,3)3D．(2,11)9．已知tan( ) 25,1tan( )4 4, 则t an( )4的值为( )A．16B．2213C．322D．131810．函数y sin( x ) 的部分图象如右图，则、可以取的一组值是（）A. ,2 4 B. ,3 6y5,4 4C. ,D.4 4第II 卷（非选择题, 共60 分）O 1 2 3x 二、填空题（本大题共 4 小题，把答案填在题中横线上）11．已知扇形的圆心角为120 ，半径为3，则扇形的面积是12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2) ，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为13．函数y sin x 的定义域是.14. 给出以下五个命题：①函数2sin(2 )y x 的一条对称轴是35x ；②函数y tan x的图象关于点(122,0)对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若sin(2 x1 ) sin(2 x2 ) ，则x1 x2 k ，此中k Z4 4以上四个命题中正确的有（填写正确命题前方的序号）1三、解答题（本大题共 6 小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(1)已知4cos a = - a sin a5(2)已知tan 3，计算4sin5 c os2cos3sin的值16）已知为第三象限角，3sin( )cos( ) tan( )2 2f ．tan( )sin( )（１）化简 f ２）若3 1cos( )2 5，求f 的值v 17.已知向量av, bo的夹角为60v, 且| a | 2v, |b| 1v v v v, (1) 求 a gb ; (2) 求| a b |.r18 已知a(1,2)r r, b ( 3,2) ,当k 为什么值时，(1) kabr r与a 3br r垂直？(2) ka br r与a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？19 某港口的水深y （米）是时间t （0t 24，单位：小时）的函数，下边是每日时间与水深的关系表：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 7 10 13 7 10经过长久察看，y f (t)可近似的看作是函数y A sin t b （1）依据以上数据，求出y f (t) 的解析式（2）若船舶航行时，水深最少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？2r20 已知a ( 3 sin x, m cos x)r，b (cos x, m cos x)v v, 且f (x) a bg(1) 求函数f (x) 的解析式;x 时, f (x) 的最小值是－4 , 求此时函数 f (x) 的最大值, 并求出相应的x 的值.(2) 当,6 3数学必修 4 综合试题参照答案一、ACDAD DDDCC二、11.3 12.(0,9) 13. [2 k ,2k ] k Z 14. ①④三、15.解：（1）∵ 2 2cos sin 1，为第三象限角∴2 4 23 sin 1 cos 1 ( )5 5（2）明显cos 04sin 2cos∴4sin 2cos cos 4tan 2 4 3 2 55cos 3sin5cos 3sin 5 3tan 5 3 3 7cos16.解：（1） f3sin( )cos( ) tan( )2 2tan( )sin( )( cos )(sin )( tan ) ( tan )sincos（2）∵3 1cos( )2 5∴sin15从而sin15又为第三象限角∴cos 1 sin 22 65 ，即f ( ) 的值为2 65317.解：(1) v v v v1oa g b|a||b |cos60 2 1 12v v v v2 2(2)|a b | (a b)v v v v2 2a 2a gb b4 2 1 13v v所以| a b | 3r r18.解：ka b k (1,2) ( 3, 2) (k3,2k 2) r ra 3b (1, 2) 3( 3, 2) (10, 4)r r （1）(ka b)r r(a 3b )r r r r，得(ka b)g(a 3b) 10( k3) 4(2 k 2) 2k 38 0,k 19r rr r（2）(ka b)//(a 3b)，得4(k 3)10(2 k2), k此时r rka b10 4 1( , ) (10, 4)3 3 3，所以方向相反。

高一数学必修四期末测试题及答案

高一数学必修4综合试题一、选择题 1．0sin 390=( ) A ．21 B ．21- C ．23D ．23-2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是( ) A ．[0,]π B ．3[,]22ππ C ．[,]22ππ- D ．[,2]ππ3．下列函数中，最小正周期为2π的是( )A ．sin y x =B ．sin cos y x x =C ．tan 2xy = D ．cos 4y x =４．已知(,3)a x =v ,(3,1)b =v, 且a b ⊥v v , 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1 ５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89-６．要得到2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( ) A ．向左平移23π个单位 B ．向右平移23π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移π个单位7．已知a r ，b r 满足：||3a =r ，||2b =r ，||4a b +=r r ，则||a b -=r r( ) A B C ．3 D ．10８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =u u u v u u u v, 则点P 的坐标为 ( )A ．(2,7)-B ．4(,3)3C ．2(,3)3 D ．(2,11)-9．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( )A ．16B ．2213C ．322D ．131810．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（）A.,24ππωϕ==B.,36ππωϕ==C. ,44ππωϕ== D. 5,44ππωϕ==第II 卷（非选择题, 共60分）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在题中横线上）11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积是 12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 13．函数y =的定义域是 .14. 给出下列五个命题： ①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈以上四个命题中正确的有（填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(1)已知4cos 5a=-，且a 为第三象限角，求sin a 的值 (2)已知3tan =α，计算 ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值16）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()f α２）若31cos()25πα-=，求()f α的值 17.已知向量a v , b v 的夹角为60o, 且||2a =v , ||1b =v , (1) 求 a b v v g ; (2) 求 ||a b +v v .18已知(1,2)a =r ,)2,3(-=,当k 为何值时，(1) ka b +r r 与3a b -r r垂直？ (2) ka b +r r 与3a b -r r 平行？平行时它们是同向还是反向？ 19某港口的水深y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测，()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？20已知,cos )a x m x =+r ，(cos ,cos )b x m x =-+r , 且()f x a b =v vg(1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值. 数学必修4综合试题参考答案一、ACDAD DDDCC二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④三、15.解：（1）∵22cossin 1αα+=，α为第三象限角∴ 3sin 5α===-（2）显然cos 0α≠∴4sin2cos4sin2cos4tan24325cos5cos3sin5cos3sin53tan5337cosαααααααααααα---⨯-====++++⨯16.解：（1）()3sin()cos()tan() 22tan()sin()fππααπαααπαπ-+-=----（2）∵31cos()25πα-=∴1sin5α-=从而1sin5α=-又α为第三象限角∴cos5α==-，即()fα的值为17.解：(1)1||||cos602112a b a b==⨯⨯=ov v v vg(2) 22||()a b a b+=+v v v v所以||a b+=v v18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k+=+-=-+r r3(1,2)3(3,2)(10,4)a b-=--=-r r（1）()ka b+⊥r r(3)a b-r r，得()ka b+r rg(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k-=--+=-==r r（2）()//ka b+r r(3)a b-r r，得14(3)10(22),3k k k--=+=-此时1041(,)(10,4)333ka b+=-=--r r，所以方向相反。

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8
4
第5页共6页
由于＜＜，可得＝ 3 ．
2
4
综上，所求解析式为 y＝10sin π x＋ 3π ＋20，x∈[6，14]．
2
6．C 解析：在平行四边形 ABCD 中，根据向量加法的平行四边形法则知 AD ＋
AB ＝ AC ．
7．B 解析：由 T＝ 2π ＝，得＝2．
8．D
解析：因为 a∥b，所以－2x＝4×5＝20，解得 x＝－10．
9．D
解析：tan(－)＝
tan＋ tan
＝
3＋
4 3
＝1
．
1＋ tan tan 1＋ 4 3
3．C 解析：在直角坐标系中作出－ 4 由其终边即知．
3
4．D 解析：由 cos ＞0 知，为第一、四象限或 x 轴正方向上的角；由 sin ＜0 知，为第三、四象限或 y 轴负方向上的角，所以的终边在第四象限． 5．B 解析：sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝ 3 ．
A．－1
B．1
C．－3
D．3
12．下列函数中，在区间[0， ]上为减函数的是(
)．
2
A．y＝cos x
B．y＝sin x C．y＝tan x
D．y＝sin(x－ )
3
13．已知 0＜A＜，且 cos A＝ 3 ，那么 sin 2A 等于(
)．
2
5
A． 4
25
B． 7
25
C． 12
25
D． 24
5
16． 3 ．
4
解析：在[0，)上，满足 tan ＝－1 的角只有 3 ，故＝ 3 ．
4

高一数学必修四期末考试题含答案

2011—2012学期深州备修院高一数学第一学期期末考试试题（必修4）注：本试卷共21题,满分150分.考试时间为2小时30分。

一、选择题:(每小题5分,共12题，合计60分） 1. 下列命题中正确的是（）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同 2。

sin 330︒等于（ )A ．B ．12- C ．12D 3。

若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ= 则λ等于（）A 、1B 、2C 、3D 、44。

若α是ABC ∆的一个内角，且12sin α=则α等于（ )A 、︒30B 、︒30或︒150C 、︒60D 、︒60或︒1505.设02παβ<<<，3sin 5α=，12cos()13αβ-=，则sin β的值为A .6556 B .6516 C .6533 D .6563 6. 若点P 在34π的终边上，且|OP|=2，则点P 的坐标（） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(- 7．设四边形ABCD 中，有DC =21AB ,且|AD ｜=｜BC |，则这个四边形是 A 。

平行四边形 B . 矩形 C 。

等腰梯形 D ..菱形 8．把函数y =c os x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变）,然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为（）A 。

)821cos(π+=x y B 。

)42cos(π+=x y C 。

)421cos(π+=x y D.)22cos(π+=x y9. 函数sin(),2y x x R π=+∈是在（）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数10。

已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是( ） A ．1或－1 B ．52或 52- C ．1或52- D ．－1或52 11. 下列命题正确的是（ )A 若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B 若||||b a b a -=+，则→a ·→b =0 C 若→a //→b ,→b //→c ，则→a //→c D 若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =1 12. 函数f(x ）=sin2x ·cos2x 是（）A 周期为π的偶函数B 周期为π的奇函数C 周期为2π的偶函数 D 周期为2π的奇函数。

新人教A版高中数学必修四第二学期期末考试测试题(含答案)

山东省聊城四中第二学期高一期末考试数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷120分，考试时间100分钟。

2．答题前请将自己的学校、班级、姓名、考场号等填写在答题卷密封线内的相应栏目。

3．请将答案按题序号填写在答题卷上，考后仅收答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.）1．5sin()6π-的值是A ．B ．12C ．D ．12- 2．已知(1,2),(5,4),(.3),(3,)A B C x D y -，且AB CD =，则,x y 的值分别为A 、－7，－5B 、－7，5C 、7，－5D 、7，5 3.下列给出的赋值语句中正确的是（）A . 4M =B .M M =-C 3B A ==D 0x y +=4．某经济研究小组对全国50个中小城市进行职工人均工资x 与居民人均消费水平y 进行了统计调查，发现y 与x 具有相关关系，其回归方程为ˆ0.3 1.65y x =+（单位：千元）．某城市居民人均消费水平为6.60，估计该城市职工人均消费水平额占居民人均工资收入的百分比为 A ．66%B ．55.3%C ．45.3%D ．40%5．右图是某学校举行的运动会上，七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数及方差分别为( )A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 6．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（） A ．5.3 B ．4.3C ．4.7D ．5.77．已知)1,1(-A ，)5,2(B ，点P 在线段AB 上，且||3||=，则点P 的坐标为（）A ．)4,1(-B ．)313,23(C ．)4,45(D ．)213,411(8．函数x x y cos -=的部分图象是（）10．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A ．51B ．52C ．103 D ．107 11．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度； B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度；C ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度；D ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度。

高中数学必修四期末测试题(含答案)(K12教育文档)

高中数学必修四期末测试题(含答案)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修四期末测试题(含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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A数学必修四试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.下列命题正确的是A 。

第一象限角是锐角B 。

钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同2.函数12sin()24y x π=-+的周期，振幅，初相分别是A 。

4π，2，4πB 。

4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4π3.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=A 。

12 B.12 C 。

12 D.124.函数2005sin(2004)2y x π=-是A 。

奇函数B 。

偶函数 C.非奇非偶函数 D 。

既是奇函数又是偶函数 5.给出命题（1）零向量的长度为零,方向是任意的. （2)若a ，b 都是单位向量,则a ＝b . (3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是A.（1) B 。

（2） C.(1）和（3） D 。

（1)和(4） 6。

如果点(sin 2P θ,cos 2)θ位于第三象限，那么角θ所在象限是A.第一象限B.第二象限 C 。

第三象限 D.第四象限 7。

在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是A.矩形 B 。

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18．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) cos2 x 1π2 ， g(x) 121 sin 2x ．
1 设 x x0 是函数 y f (x) 图象的一条对称轴，求 g(x0 ) 的值； 2 求函数h(x) f (x) g(x) 的单调递增区间．
参考答案一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
C．反向平行
D．既不平行也不垂直
11.
3 1
sin
70
12 cos210
．
12.
已知函数
f
(x)
2sin x
5
的图象与直线
y
1
的交点中最近的两个交点的距离为 3 ，则函数
f (x) 的最小正周期为
。
13. 已知函数 f (x) sin(x ) cos(x ) 是偶函数，且 [0, ] ，则的值为
高一年级数学《必修 4》试题
一、选择题（每小题 4 分,共 40 分）
E
D
1. 与 463 终边相同的角可以表示为(k Z) （）
A． k 360 463
B． k 360 103 C． k 360 257
D．k 360 257
2 如图，在正六边形 ABCDEF 中，点 O 为其中心，则下列判断错误的是（）
A、B 的横坐标分别为 2 5 , 3 10 ．
5 10
（1）求 tan( )的值；
（2）求的
值．
17．（本小题满分 12 分）已知函数
f (x) 1 cos2 x 3 sin x cos x 1 , x R ．
2
2
（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
（2）求函数 f (x) 在[ , ]上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量 x 的值． 12 4

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．
2
14．下面有五个命题：
①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是．
②终边在 y 轴上的角的集合是｛a|a= k , k Z ｝． 2
③在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点．
④把函数 y 3sin(2x ) 的图像向右平移得到 y 3sin 2x 的图像．
13
B 头头头头头头头头 /wxc/
头头头头头头头 wxckt@
头头头头头头头头
/wxc/
头头头头头头头 wxckt@
5 13
C
头头头头头头头头
/wxc/
A．互相垂直
B．同向平行
C．反向平行
D．既不平行也不垂直
二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
11．
3 sin 70 2 cos2 10
12．已知函数
f
(x)
2 sin
x
5
的图象与直线
y
1的交点中最近的两个交点的距离为
3
，则函数
f(x)Biblioteka 的最小正周期为。13．已知函数 f (x) sin(x ) cos(x ) 是偶函数，且 [0, ] ，则的值为
84
84
9．
设函数
f (x)
sin
x
3
(x
R)
，则
f (x) =（
）
A．在区间
2 3
，7 6
上是增函数
B．在区间
，
2
上是减函数
C．在区间
8
， 4
上是增函数
D．在区间
3
，5 6
上是减函数
10．设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB, 则 AD BE CF 与 BC ( )

高一数学必修四期末考试题含答案[1]

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2011-2012学期深州备修院高一数学第一学期期末考试试题（必修4）注：本试卷共21题，满分150分.考试时间为2小时30分。

一、选择题：(每小题5分，共12题，合计60分）1. 下列命题中正确的是( ）A．第一象限角必是锐角 B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同 D．不相等的角其终边必不相同2. sin330︒等于（）A．2-B．12-C．12D．23。

若,3)1()1,1(BA--,5)(xC共线,且BCABλ=则λ等于（）A、1B、2C、3α是ABC∆的一个内角,且12sinα=则α等于( ）A、︒30 B、︒30或︒150 C、︒60D、︒60或︒1505。

设02παβ<<<,3sin5α=，12cos()13αβ-=，则sinβ的值为A.6556B。

6516C.6533D。

65636。

若点P在34π的终边上,且｜OP｜=2，则点P的坐标( ）A．)3,1( B．)1,3(- C．)3,1(--D．)3,1(-7．设四边形ABCD 中,有=21，且｜｜=|｜，则这个四边形是A . 平行四边形B . 矩形C 。

等腰梯形D .。

菱形8．把函数y =c os x 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图形对应的函数解析式为( ）A 。

(2021年整理)高中数学必修四(期末试卷含答案)

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数学必修四测试卷一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分） 1．函数y ＝sin ＋cos⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜＜ 0α的值域为（ )．A ．（0，1）B ．(－1，1)C ．（1，2]D ．(－1,2）2．锐角三角形的内角A ,B 满足tan A －A2sin 1＝tan B ,则有（ )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0 D ．sin 2A ＋sin B ＝03．函数f （x )＝sin 2⎪⎭⎫⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( ）． A ．周期为的偶函数 B ．周期为的奇函数C ．周期为2的偶函数 D ．周期为2的奇函数4．下列命题正确的是（ )A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||a b a b +=-,则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅= 5．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（）A ．7B ．10C ．13D ．46．已知向量a ,b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7.在ABC 中，2sinA+cosB=2,sinB+2cosA=3，则C 的大小应为（）A ．3π B ． 6π C ．6π或π65 D ．3π或32π8. 若,则对任意实数的取值为（）A. 区间（0，1） B 。

【湘教版】高中数学必修四期末试题附答案(1)

一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（）A ．15B C ．35D 2．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33653．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17184．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形5．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（）A B ．2C ．12D ．236．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（） A ．12B ．14C ．34D ．327．直线0ax by c与圆22:4O x y +=相交于M ，N 两点，若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为（）A ．[2,6]-B ．[]2,4-C ．[]1,4D ．[1,4]-8．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．239．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （512AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④10．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（） A ．0B ．8π C ．4π D ．2π 11．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（） A ．()f x 的最小正周期23T π=B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（） A ．60169B ．120169C ．119169D ．59169二、填空题13．给出下列命题：①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭-是偶函数； ④8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>，其中正确命题的序号是______.14．化简tan 20tan 25tan 20?tan 25︒+︒+︒︒=_____.15．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．16．已知向量a ，b 及实数t 满足|(1)(1)|1t a t b ++-=，若22||||1a b -=，则t 的最大值是________．17．已知向量()3,2OA =，()2,1OB =，O 点为坐标原点，在x 轴上找一个点M ，使得AM BM ⋅取最小值，则M 点的坐标是___________.18．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.19．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 20．如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数()sin y A x b ωϕ=++，则这段曲线的函数解析式为______________．三、解答题21．如图，设A 是一块麦田，射线,AB AC 夹角为60°，若将水管P 设在BAC ∠围成的区域内（不含边界）（1）若P 到,AB AC 的距离之和为定值20，设PAB θ∠=，试将PA 的长用含θ的式子表示，并求出水管想要浇灌到麦田的最小射程；（2）若P 在以A 为圆心，10为半径的圆弧上运动，过P 作AP 的垂线分别交,AB AC 于,Q R 两点，求AQ AR +的最小值．22．在①36f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．在ABCD 中，2AB =，23AC =，向量AB 与AD 的夹角为3π．（Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．24．如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处.（1）已知在(min)t 时点P 距离地面的高度为()sin()0,0,||2f t A t h A πωϕωϕ⎛⎫=++>>≤ ⎪⎝⎭，求2020t =时，点P 距离地面的高度；（2）当离地面(503)m +以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌.25．已知函数1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的单调递增区间. 26．已知向量()cos ,sin m x x =-，()3,3n =，[]0,x π∈. （1）若m 与n 共线，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理得到1sin cos 2αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】由2sin 2cos21αα-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>，所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1sin cos 2αα=，代入22sin cos 1αα+=得，25cos 14α=，故24cos 5α=，因为cos 0α>，所以cos α=. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.2．A解析：A 【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin 2αααα-=-，又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-，故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.4．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案．【详解】因为sin 2sin cos B A C =，所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．5．D解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果.【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+，因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B ACy A =+-≥-=+=，即23AG ≥，当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.6．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OACAEC S S =△△，即可得解. 【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+，所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．A解析：A 【分析】取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，由点到直线的距离公式可得1OA =，于是推出1cos 2AON ∠=，1cos 2MON ∠=-，而||||cos 2OM ON OM ON MON ⋅=⋅∠=-，()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-()224cos OM ON OPOP OM ON AOP =⋅+-⋅+=-∠，其中cos [1,1]AOP ∠∈-，从而得解. 【详解】解：取MN 的中点A ，连接OA 、OP ，则OA MN ⊥，∵222c a b =+，∴点O 到直线MN 的距离221OA a b==+，在Rt AON 中，1cos 2OA AON ON ∠==， ∴2211cos 2cos 12122MON AON ⎛⎫∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1||||cos 2222OM ON OM ON MON ⎛⎫⋅=⋅∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()PM PN OM OP ON OP ⋅=-⋅-2()OM ON OP OP OM ON =⋅+-⋅+24222||||cos OP OA OP OA AOP =-+-⋅=-⋅∠24cos AOP =-∠，当OP ，OA 同向时，取得最小值，为242-=-；当OP ，OA 反向时，取得最大值，为246+=. ∴PM PN ⋅的取值范围为[]2,6-. 故选：A. 【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.8．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.9．A解析：A 【分析】设1AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】不妨设1AB =，则2BC =，所以)12l BE π==⨯，)213ED =-=所以(32m EG π==⨯，(134CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(222234m π⨯==，))2122l n ππ⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))122l n ππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++===⋅(1132m π==⨯，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.10．A解析：A 【分析】先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a ,b 的值，即可得结果. 【详解】解：函数()cos 2sin 224f x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移a 个单位得到()224g x x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又因为函数为奇函数，则242a k πππ+=+（k Z ∈），整理得28k a ππ=+（k Z ∈）；函数()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移b 个单位得到()224h x x b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于得到的函数的图象为偶函数，2=4b k ππ-+-，=,()82k b k Z ππ+∈；当0k =时，min 0a b -= 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.11．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确；当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 12．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解．【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =，设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．二、填空题13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；解析：③④ 【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误；对于命题②，sin cos 4πααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以，不存在实数α使得3sin cos 2αα+=，②错误；对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝-⎭-⎭=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫⎪⎝=⎭-是偶函数，③正确；对于命题④，当8x π=时，min 53sin 2sin 1842y y πππ⎛⎫=⨯+==-= ⎪⎝⎭，所以，8x π=是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴方程，命题④正确；对于命题⑤，取9244παππ=+=，4πβ=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.14．1【详解】分析：首先从式子中分析得出角的大小借助于两角和的正切公式得到与之间的关系借助于角的正切值求得结果详解：因为所以所以有故答案为：1点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题在解题的过程中涉及解析：1 【详解】分析：首先从式子中分析得出2025︒︒+角的大小，借助于两角和的正切公式，得到tan 20tan 25︒︒+与tan 20tan 25︒︒⋅之间的关系，借助于45︒角的正切值，求得结果. 详解：因为tan 20tan 25tan(2025)1tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒++=-，所以1tan 20tan 25tan 20tan 25︒︒︒︒-=+，所以有tan 20tan 25tan 20tan 251︒︒︒︒++=，故答案为：1.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意45︒角的正切值的大小.15．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠；（2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 16．【分析】根据整理为再两边平方结合得到然后利用基本不等式求解【详解】因为所以两边平方得因为即所以而所以解得当且仅当时等号成立所以的最大值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由这一信息将转化为再遇解析：14【分析】根据|(1)(1)|1t a t b ++-=，整理为()()||1t a b a b ++-=，再两边平方结合22||||1a b -=，得到()()22212t a ba bt ++-=-，然后利用基本不等式求解.【详解】因为|(1)(1)|1t a t b ++-=，所以()()||1t a b a b ++-=，两边平方得()()()()22221t a b t a b a b a b +++-+-=，因为22||||1a b -=，即()()1a b a b +-=，所以()()22212t a b a b t ++-=-，而()()()()22222t a b a b t a b a b t ++-≥+⋅-=，所以122t t -≥，解得14t ≤，当且仅当()()t a b a b +=-时等号成立，所以t 的最大值是14故答案为：14【点睛】关键点点睛：本题关键是由22||||1a b -=这一信息，将|(1)(1)|1t a t b ++-=，转化为()()||1t a b a b ++-=，再遇模平方，利用基本不等式从而得解.17．【分析】设点的坐标是求出再利用配方法可得答案【详解】设点的坐标是即因为向量所以当时有最小值此时点的坐标是故答案为：【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1几何法；2三角函数有界法；3二次函解析：5,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设M 点的坐标是(),0t ，求出AM BM ⋅，再利用配方法可得答案. 【详解】设M 点的坐标是(),0t ，即(),0OM t =，因为向量()3,2OA =，()2,1OB =，所以()3,2AM OM OA t =-=--，()2,1BM OM OB t =-=--，()()()()3221AM BM t t ⋅=--+-⨯-22575824t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当52t =时，AM BM ⋅有最小值74，此时M 点的坐标是5,02⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：平面向量求最值有三种常见方法：1、几何法；2、三角函数有界法；3、二次函数配方法.18．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2，故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.19．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈，当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确；令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.20．【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值可得结合图象求得该函数的最小正周期可得出再将点代入函数解析式求出的值即可求得该函数的解析式【详解】由图象可知从题图中可以看出从时是函数的半个周期则又得取所以解析：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈ 【分析】根据图象得出该函数的最大值和最小值，可得max min 2y y A -=，max min2y y b +=，结合图象求得该函数的最小正周期T ，可得出2Tπω=，再将点()10,20代入函数解析式，求出ϕ的值，即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知，max 30y =，min 10y =，max min 102y y A -∴==，max min202y y b +==，从题图中可以看出，从614时是函数()sin y A x b ωϕ=++的半个周期，则()214616T =⨯-=，28T ππω∴==. 又10228k πϕππ⨯+=+，k Z ∈，得()324k k Z πϕπ=+∈，取34πϕ=，所以310sin 2084y x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[]6,14x ∈．故答案为：310sin 2084y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[]6,14x ∈．【点睛】本题考查由图象求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）2003sin 3x πθπθ⎛⎫=<< ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，最小射程为20；（2）3. 【分析】（1）过点P 作PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，设PA x =，则可表示出,PE PF ，根据20PE PF +=，列出等式，化简整理，即可得PA 的表达式，根据θ的范围，即可求得答案；（2）设PAQ α∠=，则1010cos cos 3AQ AR παα+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，令6t πα=-，则，化简整理可得4cos cos AQ AR t t+=-，根据t 的范围，结合14cos cos y t t=-的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）过点P 作PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，则20PE PF += 设PA x =,则sin ,sin 3x E PF x P πθθ⎛-==⎫⎪⎝⎭，所以sin sin 203x x πθθ⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即202003sin sin sin 33x πθππθθθ⎛⎫==<< ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以20PA ≥（当且仅当6πθ=时取“=”），即水管想要浇灌到麦田的最小射程为20. （2）由题可知：10PA =，设,(0,)3PAQ παα∠=∈，则1010cos cos 3AQ AR παα+=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，令6t πα=-，则66t ππ-<<则10104cos cos cos cos 66AQ AR t t t t ππ+=+==⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由66t ππ-<<，所以cos 12t <≤，且14cos cos y t t =-在为增函数，所以当cos 1t =时，14cos cos y t t=-有最大值3，所以10104cos cos cos cos 66AQ AR t t t t ππ+=+==≥⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AQ AR +【点睛】解题的关键是根据题意，结合三角函数的概念，进行求解，以实际问题作为载体，考查三角函数的综合应用，属中档题. 22．①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=，1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解. 【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos sin 22x x x ωωω=⋅-11cos 2sin 2422x x ωω-=-11sin 2222x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 223x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 选①64f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+=⎪⎝⎭()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-= 代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-= 意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+.23．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0.【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a b a a b b b b ∴=+=+=+⋅+=++= 整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．24．（1）70m ；（2）0.5min .【分析】（1）根据题意，确定()sin()f t A t h ωϕ=++的表达式，代入2020t =运算即可；（2）要求()50f t >+2cos3t π<，解不等式即可. 【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，由23πω=得23πω=，所以2()40sin 503f t t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为(0)10f =，所以sin 1ϕ=-，又||2πϕ≤，所以2πϕ=-. 所以2()40sin 50(0)32f t t t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，所以2(2020)40sin 2020507032f ππ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭. 即2020t =时点P 距离地面的高度为70m .（2）由（1）知22()40sin 505040cos (0)323f t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭.令()50f t >+2cos32t π<-，从而()*52722N 636k t k k πππππ+<<+∈， ∴()*5733N 44k t k k +<<+∈. ∵()*751330.5N 442k k k ⎛⎫+-+==∈ ⎪⎝⎭， ∴转一圈中在点P 处有0.5min 的时间可以看到公园的全貌.【点睛】本题考查了已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是能根据题目条件，得出相应的函数模型，作出正确的示意图，然后再由三角函数中的相关知识进行求解，解题时要注意综合利用所学知识与题中的条件，是中档题．25．（1）π；（2）单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先根据二倍角公式、辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的周期公式求周期；（2）根据正弦函数性质求单调区间，再取对应区间即得结果.【详解】（1）11()2sin sin 22f x x x x ⎫=+-⎪⎪⎝⎭1cos21222x x -=+-12cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）令26z x π=-，[]0,x π∈，则11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =，11,66z ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调增区间是,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，311,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ-≤-≤或3112266x πππ≤-≤，得：03x π≤≤或56x ππ≤≤，所以()f x 在[]0,π内的单调递增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数性质，解题关键是要熟练掌握三角函数的性质，考查分析求解能力，属基础题.26．（1）2）6π 【分析】（13sin =-x x ，进而可得结果.（2）由平面向量的数量积可得3cos -x x ，进而可得结果.【详解】（1）由//m n 3sin tan =-⇒=x x x（2）13cos 3sin cos 132π⋅=-=⋅⋅=⨯m n x x m n 可得1sin()32x π-=-，因为2[0,],[,]333ππππ∈-∈-x x 所以366πππ-=-⇒=x x【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积运算的坐标表示和三角恒等变换，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.。

高一数学必修四期末测试题及答案(3)(K12教育文档)

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高一数学必修4综合试题一、选择题1．0sin 390=( ) A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2．下列区间中,使函数sin y x =为增函数的是（ ) A ．[0,]π B ．3[,]22ππC ．[,]22ππ-D ．[,2]ππ3．下列函数中，最小正周期为2π的是（） A ．sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan2xy = D ．cos 4y x = ４．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于（ ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（） A ．21 B ．21- C ．89 D ．89-６．要得到2sin(2)3y x π=-的图像，需要将函数sin 2y x =的图像（ )A ．向左平移23π个单位B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7．已知a ,b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( ) A．3 B C ．3 D ．10８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( ） A ．(2,7)-B ．4(,3)3C ．2(,3)3D ．(2,11)-9．已知2tan()5αβ+=， 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( ）A ．16B ．2213C ．322D ．131810．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（）A 。

(word完整版)高一数学(必修4)期末测试题及其答案

高中数学必修4期末测试题一.选择题：(本大题共班级：30小题，每小题姓名：2分，共60分).1. _的正弦值等于(A31 .3 1(A)(B(C)(D)2 2 2 22. 215° 是(C )(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角3. 角的终边过点P (4, - 3),则COS 的值为( C )4 3(A 4( B)- 3 ( C) —( D)5 54. 若sin <0,则角的终边在( D )(A)第一、二象限(B)第二、三象限(C)第二、四象限(D)第三、四象限5. 函数y=cos2x的最小正周期是(A )(A) (B) (C) (D) 22 46. 给出下面四个命题：①AB BA 0 ；②AB BC AC :③AB- AC B C;④0 AB 0。

其中正确的个数为( B )(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个7. 向量a (1, 2) , b (2,1)，则(B )(A) a // b (B) a丄b (C) a与b的夹角为60°(D) a与b的夹角为30°8.化简.1 sin 2160的结果是(B )(A) cos160 (B) cos160 (C) cos160 (D) cos1609.函数y . 2 sin(2x )cos[2(x )]是(C )(A)周期为一的奇函数(B)周期为的偶函数4 4( C)周期为一的奇函数(D)周期为__ 的偶函数2 210. 要得到函数y=sin(2x-—)的图象，只需要将y=sin2x的图象 (A )3(A .向右平移一个单位B.向左平移一个单位C.向右平移一个单位 D.向左平移一个单位6 6 3 311. cos3000的值等于(A )么c 的值是(D ).12 .下列命题中正确的是( C (A )小于90°的角是锐角 (C )钝角是第二象限角 (B) (D) 第一象限角是锐角终边相同的角一定相等13.AB A . 2B . 3C . 4D .514 .在0到2范围内，与角一—终边相同的角是 (C ).3小2 4A—— C .—D .—633315 .若 cos >0, sin v 0，则角的终边在(D ).A . 第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限16 . sin 20 cOs 40 + cos 20 sin 40的值等于(B).A .1B. 3C .-n .3D .——422417 .如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中正确的是 (C).A .AB = CDD-CB .AB — AD = BDC .AD + AB = ACAB(第17题)D.* M -rAD + BC = 0A . 10D . - 1019.a= (1,2), b= (-4 , x ),且 a 丄 b ,则 x 的值是(20. 21. 22. .-8若 tan = 3,tan.-2 C . 2 -，则 tan(—)等于(D 3C .函数y = 2cos x — 1的最大值、最小值分别是(BA . 2,— 2B . 1 , — 3C .).1,— 1 2,- 1 已知△ ABC 三个顶点的坐标分别为 A( — 1, 0) , B(1, 2) , C(0, c)，若AB 丄BC ,那等于(B已知AB = (3, 0)，那么 ).那么x 等于(已知向量 18.a = (4,b , D).—2)，向量 b = (x , 5)，且 a //23.下列函数中，在区间［0,—］上为减函数的是(A ).2A . y = cos xB . y = sin xC .y = tan x D . y = sin(x ——)3 24.已知 0v A v -,且 cos A = 3, 那么sin 2A 等于( D ) •、254 m 7 c 12 24A .B .C .D .25 25 25 2525 .函数 y 4sin2x 是(C )B •周期为—的偶函数 2D.周期为的偶函数33.已知点 A (2, — 4) , B (— 6,2 ),贝U AB 的中点 34.若 2(2,3)与 b ( 4, y)共线,贝U y =二6 _________36.已知向量 a (2,x), b (x,8),若 a b | a | | b | ,则 x 的值是 _426.设向量 a = ( m , n),b = (s , t)，定义两个向量a ,b 之间的运算为 a b = (ms ,nt).若向量 p = (1, 2) , p q = ( — 3,— 4)，则向量q 等于( 2) A ) / 、 1 11(A ) - (B ) 19 (C ) — (D ) 2 3 929.已知平行四边形 ABCD 满足条件 (AB AD)(AB AD) 0，则该四边形是( A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.任意平行四边形 A . ( — 3, — 2) B . (3,— 2) C . ( — 2,— 3) D . ( — 3, 27•已知 a = (— 2,4) ,b = (1 , 2),则 a • b 等于( C ) (A ) 0( B ) 10 (C ) 6 ( D )— 10 28 .若 a = (1 , 2), b =(— 3 , 2),且(ka + b )//( a —3b ),则实数 k 的值是(B ) 30.函数y Asin( x )在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 ( A ) (A ) y 2 2 si n(2x ) 3 (B ) y 2si n(2x 3 (C ) x 、y 2 si n( ) (D ) y 2si n(2x 3 二.填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 31.已知tan =— 1，且 € ［0,)，那么的值等于 _________________ (-3, -5) 32.已知向量 a = (3, 2) , b = (0,— 1)，那么向量 3b — a 的坐标是 A •周期为—的奇函数 2C .周期为的奇函数 M 的坐标为(-2 , -1 )35.若 tan 2sin cos3cos•解答题(共28分) 4已知cosa =-，且a 为第三象限角，求 sina 的值 54sin 2coscos已知非零向量 a , b 满足| a| = 1,且(a — b) • (a + b)(1)求| b| ;(2)当a • b =丄时，求向量a 与b 的夹角的值.2解：(1)因为(a — b) • (a + b) = 1，即 a 2— b 2=丄,2 2 丄，故 | b| =—.2 -(2)因为 cos a|b40.已知函数 f(x) =sin(2x+)6(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)的最大值及取得最大值时 x 的取值集合(3) 求函数f(x)的单调区间。

新人教A版高中数学必修四下学期期末考试数学试卷(含答案)

高一下学期期末考试数学试卷一、选择题：（每题4分，共48分）1.设=⋅+=-=-=c b a c b a)2(),2,3(),4,3(),2,1(则（）A.(-15,12)B.0C.-3D.-11 2.把38化成二进制数为（）A.100110（2）B.101010（2）C.110100（2）D.110010(2) 3.容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是 ( )A ．14和0.14B ．0.14和14C ． 141和0.14 D ． 31和1414.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（）A.2πB.4π-C.4πD.34π5.下列说法正确的是A.事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大.B. 事件A ，B 同时发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率小.C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件.D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件.6.在.,,b AC c AB ABC==∆中若点D 满足==2A. b c 3235-B. c b 3132+C.c b 3132-D.c b 3231+7. .在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 ( ) A ．9.4,0.484 B ．9.4,0.016 C ．9.5,0.04 D ．9.5,0.0168.若21,e e 是夹角为600的两个单位向量，则212123;2e e b e e a +-=+=的夹角为A ．300B ．600C ．1200D ．15009. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A ．3B ．9C ．17D ．5110.已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（）． A ．231+-B ．231+-C ．231-D ． 231+11.已知向量(1sin ,1)θ=-a ，1(,1sin )2θ=+b ，若a ∥b ，则锐角θ等于 A ．30︒ B ． 45︒ C ．60︒ D ．75︒12．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 13a b c -=-==+则有（） A.a b c >> B. b c a << C. a b c << D. a c b <<二、填空题：（每题4分，共20分）13. 在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________。

(版)高一数学必修四期末测试题及答案

高一数学必修4综合试题一、选择题1．sin3900()A．1B．1C．3D．3 22222．以下区间中，使函数y sinx为增函数的是()A．[0,]B．[3C．[,]D．[,2] ,]22223．以下函数中，最小正周期为的是()2tan xA．ysinx B．y sinxcosx C．y D．y cos4x v v v v2４．a(x,3),b(3,1),且a b,那么x等于()A．－1B．－9C．9D．1５．sin cos 1()1B．18D．8，那么sin2A．2C．9 329６．要得到y sin(2x2)的图像,需要将函数y sin2x的图像()3A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位r r3r r3r r r r3A．337．a，b满足：|a|3，|b|2，|a b|4，那么|a b|()B．5C．3D．10８．P1(2,1),P2(0,5)且点P在P1P2uuuv uuuv的延长线|PP|2|PP|,那么点P的坐标为)上,(12A ．(2, 7)42 ,3)D ．( 2,11)B ．( ,3)C ．(23139．tan(),tan(,那么tan()的值为( )5 4)441 B ．22C ．3D ．13A ．132218610．函数y sin( x)的局部图象如右图，那么、可以取的一组值是〔〕A.2,4B., 6y3C.,D., 54444O 1 2 3 x第II 卷〔非选择题 ,共60 分〕二、填空题〔本大题共 4小题，把答案填在题中横线上〕11．扇形的圆心角为 1200，半径为3，那么扇形的面积是12．ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B(0,0)，Ｃ(1,7)，那么Ｄ点坐标为13．函数y sinx 的定义域是 .14.给出以下五个命题：①函数y 2sin(2x)的一条对称轴是x 5；②函数y tanx 的图象关于点( ,0)对称；3 122③正弦函数在第一象限为增函数；④假设sin(2x1)sin(2x2)，那么x1x2k ，其中k Z44以上四个命题中正确的有〔填写正确命题前面的序号〕1三、解答题〔本大题共6小题，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15.(1)cosa=-4，且a为第三象限角，求sina的值54sin2cos(2)tan3，计算3sin 的值5cossin()cos(3)tan()16〕为第三象限角，f22．tan()sin()〔１〕化简f２〕假设cos(3)1，求f 的值25v v60o v v vv v v17.向量a,b的夹角为,且|a|2,|b|1,(1)求agb;(2)求|ab|.r r rr r r rr r18a(1,2),b (3,2),当k为何值时，(1)ka b与a3b垂直？(2)ka b与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？19某港口的水深y〔米〕是时间t〔0 t 24，单位：小时〕的函数，下面是每天时间与水深的关系表：t y03691215182124101371013710经过长期观测，y f(t)可近似的看成是函数y Asin t b〔1〕根据以上数据，求出y f(t)的解析式〔2〕假设船舶航行时，水深至少要米才是平安的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以平安的进出该港？2rr vv20a(3sinx,mcosx)，b(cosx,mcosx),且f(x)agb求函数f(x)的解析式;(2)当x,时, f(x)的最小值是－4,求此时函数 f(x)的最大值,并求出相应的 x 的值.6 3数学必修 4综合试题参考答案一、ACDADDDDCC二、11.3 12.(0,9)13. [2k ,2k]k Z14. ①④三、15.解：〔1〕∵cos 2sin 21，为第三象限角∴sin1 cos 21 ( 4 )2355〔2〕显然cos4sin 2cos4sin2cos4tan 2 4 3 2 5∴cos5cos3si n5cos3sin5 3tan5 3 37cossin ()cos(3)tan( )16.解：〔1〕f2 2)tan()sin (( cos )(sin)( tan)( tan )sincos〔2〕∵cos(3 ) 1 ∴ sin1从而sin12555又为第三象限角∴cos1 sin 22 6 ，即f()的值为 2 6553vv v v o1g |a||b|cos62 1117.解： (1) ab2v v 2 v v(2) 2|ab| (a b)v2 vv v22agbb 42113v v3所以|ab|rrk(1,2)( 3,2) (k3,2k 2)r r(1,2) 3( 3,2)(10,4)18.解：kab a3br rrrr rrr10(k 3) 4(2k 2) 2k 38 0,k19〔1〕(ka b)(a 3b)，得(ka b)g(a 3b)r r rr3) 10(2k 2),k1〔2〕(kab)// (a 3b)，得4(k 3r r(10,4)1(10,4)，所以方向相反。