北京市十一学校高中数学会考模拟试题
2024北京十一学校高一(上)期末数学试题及答案
2024北京十一学校高一（上）期末数 学（2024.1）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置1. 已知幂函数()y f x =的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为( ) A. ()2f x x −=B. ()2f x x =C. ()2xf x =D. ()2xf x −=2. 已知点πcos ,13P ⎛⎫− ⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ）A.5B.2C. 12−D. 3. 函数2212x x y −⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤⎥⎝⎦D. (0,2]4. 已知0.540.54,log 4,0.5,a b c ===那么a ，b ，c 的大小关系为A. b<c<aB. c b a <<C. b a c <<D. c<a<b5. 若4cos 5α=−，且α是第二象限角，则tan α=（ ） A.34 B. 34−C.43D. 43−6. 若数列{}n a 满足112n n n a a a −++=（2n ≥），且19a =，85a =−，则当{}n a 的前n 项和取到最大值，n 的值为（ ） A. 5B. 6C. 7D. 87. 函数()lg 1y x =−的图象是（ ）A. B. C. D.8. 在等比数列{}n a 中，12a =，公比23q =，记其前n 项的和为n S ，则对于*n ∈N ，使得n S m <都成立的最小整数m 等于（ ）A. 6B. 3C. 4D. 29. 已知扇形的圆心角为8rad ，其面积是42cm ，则该扇形的弧长是（ ） A. 10cm B. 8cmC. cmD.10. 已知无穷等差数列{}n a 的公差为0d ≠，则“0d >”是“存在无限项n a 满足2023n a >”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 函数()213log 3y x ax =−+在[1,2]上恒为正数，则实数a 的取值范围是（ ）A. a <<B. 72a <<C. 732a <<D. 3a <<12. 形如221n+(n 是非负整数)的数称为费马数，记为.n F 数学家费马根据0123,,,,F F F F 4F 都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那5F 的位数是（ ） (参考数据: lg 2≈0.3010 ) A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置13. 计算：1321lg5lg 408⎛⎫++= ⎪⎝⎭____________．14. 已知等差数列{}n a 中，719a =，2826+=a a ，则数列{}n a 的前5项和为____________．15. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，5a 的等差中项为42a +，则6a =____________． 16. 在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为1,22⎛⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是____________. 17. 已知函数()23,1log ,1x ax x f x x x ⎧−≤=⎨>⎩，若函数()2y f x =−有且仅有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是____________．18. 已知数列{}(9)n a n ≤各项均为正整数，对任意的*N (28)k k ∈≤≤，11k k a a −=+和11k k a a +=−中有且仅有一个成立，且16a =，914a =．记9129S a a a =++⋅⋅⋅+．给出下列四个结论： ①{}n a 可能为等差数列； ②{}n a 中最大的项为9a ；③9S 不存在最大值； ④9S 的最小值为36．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题（五个大题，一共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置19. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 20. 已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =−−+. （1）求函数的()f x 定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性，并用定义证明你的结论； （3）若函数()0f x <，求实数x 的取值范围. 21. （1）P 是角α的终边上一点，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，求tan α和()()()π3sin π5sin 2tan π2cos αααα⎛⎫−++ ⎪⎝⎭−+−的值； （2）若sin θ，cos θ是方程240x mx m ++=的两根，求m 的值． 22. 已知首项为0的无穷等差数列{}n a 中，2a ，3a ，41a +成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记12,nn n a a n b n +⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 23. 若在定义域内存在实数0x ，使得()()001(1)f x f x f +=+成立，则称函数有“飘移点”0x ． （1）函数1()f x x=是否有“飘移点”？请说明理由； （2）证明函数2()2x f x x =+在()0,1上有“飘移点”； （3）若函数2()lg 1a f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭在(0,)+∞上有“飘移点”，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置1. 【答案】A【分析】由幂函数()y f x x α==的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得到124α=，求出2α=−，由此能求出此幂函数的解析式．【详解】幂函数()y f x x α==的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 124α∴=， 解得2α=−，∴此幂函数的解析式为()2f x x −=．故选A ．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2. 【答案】D【分析】根据题意，结合三角函数的定义，即可求解. 【详解】由点π(cos,1)3P −是角α终边上一点，即点1(,1)2P −，可得2OP ==，所以sin 5α==−. 故选：D. 3. 【答案】A 【分析】利用二次函数的性质求出22x x −的范围，再根据指数函数的单调性即可求出函数值域. 【详解】()222111x x x −=−−+≤，221111222x x −⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故2212x x y −⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：A.【点睛】本题考查指数型函数值域的求法，属于基础题. 4. 【答案】A【分析】容易看出40.5＞1，log 0.54＜0，0＜0.54＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵40.5＞40＝1，log 0.54＜log 0.51＝0，0＜0.54＜0.50＝1； ∴b ＜c ＜a ． 故选A ．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，以及指对函数的值域问题，属于基础题． 5. 【答案】B 【分析】根据同角三角函数基本关系，由题中条件先求正弦，进而可求出正切 【详解】因为4cos 5α=−，且α是第二象限角，所以3sin 5α==， 因此sin 3tan cos 4ααα==−. 故选：B. 6. 【答案】A【分析】根据题意可知数列{}n a 为等差数列，进而求公差和通项公式，利用n a 的符号性判断前n 项和的最值.【详解】因为112n n n a a a −++=（2n ≥），可知数列{}n a 为等差数列，设公差为d ， 则817975a a d d =+=+=−，解得2d =−， 可得()921112n a n n =−−=−， 令1120n a n =−>，解得112n <， 可知5n ≤时，0n a >；6n ≥时，0n a <； 所以当5n =时，{}n a 的前n 项和取到最大值. 故选：A. 7. 【答案】C【分析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =−的图象，由此可得出合适的选项. 【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =−的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =−的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象. 故选：C.【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：()()x x x f x f x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴上方，将轴下方的图象沿轴对称， ()()y y y f x f x ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→保留轴右方图像，将轴右方图象沿着轴对称.8. 【答案】A【分析】由题可得2613nn S ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得答案.【详解】由题，1126113nnn q S a q ⎡⎤⎛⎫−⎢⎥=⋅=− ⎪−⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则6n S m <≤. 故选：A 9. 【答案】B【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，准确计算，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为r ，因为扇形的圆心角为8rad ，其面积是24cm ，可得21842r ⨯⨯=，解得1r =， 又由扇形的弧长公式，可得88cm l r =⋅=. 故选：B. 10. 【答案】C【分析】根据题意，结合等差数列{}n a 的单调性，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由等差数列{}n a 的公差为0>，则数列{}n a 为递增数列， 所以存在无限项n a 满足2023n a >成立，即充分性成立；反之：由等差数列{}n a 的公差为0d ≠，在数列{}n a 为单调数列，若存在无限项n a 满足2023n a >成立，则数列{}n a 为递增数列，则0d >，即必要性成立， 所以“0d >”是“存在无限项n a 满足2023n a >”充要条件. 故选：C. 11. 【答案】D【分析】根据底数是13，213()log (3)y f x x ax ==−+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <−+<在[1,2]上恒成立，进而解不等式就可以了． 【详解】解：由于底数是13，从而213()log (3)y f x x ax ==−+在[1,2]上恒为正数，故2031x ax <−+<在[1,2]上恒成立， 即23x a x x x+<<+由于[1,2]x ∈，3x x +≥=3x x =即x =由对勾函数的性质可知，函数()2g x x x=+在⎡⎣上单调递减，在2⎤⎦上单调递增，且()()123g g ==所以3a << 故选：D ．【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题． 12. 【答案】B 【分析】32521F ,设322m ,两边取常用对数估算m 的位数即可.【详解】32521F ,设322m，则两边取常用对数得32lg lg 232lg 2320.30109.632m . 9.63291010m ，故5F 的位数是10， 故选：B ．【点睛】解决对数运算问题的常用方法： (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2lg 51+=简化计算.二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置13. 【答案】72【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则及对数的运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质，可得：1132331117lg 5lg 40[()]lg 25lg 40lg10008222⎛⎫++=++=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：72. 14. 【答案】25−【分析】根据等差数列的性质，求得613a =，求得6d =，再结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由2826+=a a ，可得286226a a a +==，解得613a =，又因为719a =，可得7619136761a a d −−===−， 又由17116966a d a a =+⨯==+，解得117a =−， 所以51545455(17)62522S a d ⨯⨯=+=⨯−+⨯=−. 故答案为：25−. 15. 【答案】64【分析】根据等差中项结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为2a ，5a 的等差中项为42a +，则()42522a a a +=+， 即()3422222q q q +=+，则()()334121q q q +=+， 且0q >，可知310q +>，解得2q ，所以562264a =⨯=. 故答案为：64.16. 【答案】21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】根据题意画出图形，结合图形求出3分钟转过的角度，结合三角函数的定义计算点M 所处位置M '的坐标．【详解】解：由题意可得图：每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为3π2π122⨯=；点M 的初始位置坐标为1,22⎛⎝⎭，若角的始边为x 轴的非负半轴，此时角α终边所在直线为OM ，则1sin 22αα== 运动到3分钟时，形成的角度为π2α+，所以π1πsin cos ,cos sin 2222αααα⎛⎫⎛⎫+==+=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭动点M 所处位置M '的坐标是221⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．17. 【答案】()1,−+∞【分析】分1x >和1x ≤两种情况，结合分段函数解析式分析可知方程220x ax −−=在(],1−∞内只有一个根，结合二次函数性质分析求解. 【详解】令()20=−=y f x ，当1x >时，则3log 20x −=，即33log 2log 9x ==，解得9x =； 当1x ≤时，则220x ax −−=由题意可知：方程220x ax −−=在(],1−∞内只有一个根，注意到二次函数()22g x x ax =−−的图象开口向上，且()020g =−<，可得()1120g a =−−<，解得1a >−， 所以实数a 的取值范围是()1,−+∞. 故答案为：()1,−+∞. 18. 【答案】③④【分析】利用等差数列的定义判断①；利用已知举例说明判断②③；求出9S 的最小值判断④作答. 【详解】当*N (28)k k ∈≤≤时，由11k k a a −=+得11k k a a −−=，由11k k a a +=−得11k k a a +−=， 于是1k k a a −−与1k k a a +−仅只一个为1，即11k k k k a a a a −+−−≠，因此数列{}n a 不能是等差数列，①错误；令1(18)m m m b a a m +=−≤≤，依题意，m b 与1m b +均为整数，且有且仅有一个为1（即隔项为1）， 若13571b b b b ====，则2113224335447,1,2,1a a b a a b a a b a a b =+==+≥=+≥=+≥，6557668772,1,2a a b a a b a a b =+≥=+≥=+≥，而16a =，914a =，因此991671212121436ii S a==≥++++++++=∑，当且仅当数列为6,7,1,2,1,2,1,2,14时取等号，若24681b b b b ====，则2113224335441,2,1,2a a b a a b a a b a a b =+≥=+≥=+≥=+≥，6557668981,2,13a a b a a b a a b =+≥=+≥=−=，而16a =，914a =，因此9916121212131442ii S a==≥++++++++=∑，当且仅当数列为6,1,2,1,2,1,2,13,14时取等号，从而9S 的最小值为36，④正确；当13571b b b b ====时，取2468,43,N,1b b b p b p p p ====−∈≠，数列{}n a 为：6,7,7,8,82,92,93,103,14p p p p p p ++++++，满足题意，取2p =，891614a a =>=，{}n a 中最大的项不为9a ，②错误；由于p 的任意性，即p 无最大值，因此97812S p =+不存在最大值，③正确， 所以所有正确结论的序号是③④. 故答案为：③④【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.三、解答题（五个大题，一共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置19. 【答案】（1）21n a n =− （2）21n nT n =+ 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n −=⎧=⎨−≥⎩求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T . 【小问1详解】当2n 时，由2n S n =，得21(1)n S n −=−，则221(1)21n n n a S S n n n −=−=−−=−. 当1n =时，有111S a ==，符合上式. 综上，21n a n =−. 【小问2详解】由（1）得，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==− ⎪⋅−+−+⎝⎭，则11111111121335572121n T n n ⎛⎫=−+−+−++− ⎪−+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=−= ⎪++⎝⎭. 20. 【答案】（1）(1,1)−；（2）见解析；（3）01x <<【分析】（1）由1010x x +⎧⎨−⎩＞＞，求得x 的范围，可得函数的定义域； （2）根据函数的定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（3）由f （x ）<0，利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．【详解】（1）由10,10,x x +>⎧⎨−>⎩ 解得1,1.x x >−⎧⎨<⎩所以 11x −<<, 故函数()f x 的定义域是()1,1−.（2）函数()f x 是奇函数.由（1）知定义域关于原点对称.因为 ()()()()()lg 1lg 1f x x x −=−−−+− ()()()lg 1lg 1x x =−−−+ ()f x =−，所以函数()f x 是奇函数.(3) 由()0f x <可得 ()()lg 1lg 1x x −<+ .得1111x x x −<<⎧⎨−<+⎩， 解得01x <<.【点睛】本题考查了函数的定义域、奇偶性问题，考查了对数函数单调性的应用，考查转化思想，是一道中档题．21. 【答案】（1）116； （2）1−【分析】（1）根据三角函数的定义，得到43sin ,cos 55α==−，且4tan 3α=−，结合三角函数的诱导公式，代入即可求解；（2）根据题意，得到韦达定理得到sin cos 2sin cos 4m m θθθθ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，即可求解.【详解】解：（1）由点P 的坐标为34,55⎛⎫− ⎪⎝⎭， 根据三角函数的定义，可得43sin ,cos 55α==−，且4tan 3α=−，则()()()π3sin π5sin 3sin 5cos 2tan πtan 2cos 2cos αααααααα⎛⎫−++ ⎪+⎝⎭−+=−− 4335()411553362()5⨯+⨯−=+=⨯−. （2）由sin θ，cos θ是方程2420x mx m ++=的两根， 可得sin cos 2sin cos 4m m θθθθ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即212sin cos 4sin cos 4m m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1m =−1m =+ 又因为sin cos 4m θθ=，可得sin 22m θ=，所以112m −≤≤，解得22m −≤≤，当1m =.满足0∆>，所以1m =22. 【答案】（1）1n a n =−；（2）2221223n n T n +−=+. 【分析】（1）等差数列{}n a 的公差为d ，由等比数列的性质列式可得0d =或1d =，验证可得1d =，根据等差数列的通项公式即可求解；（2）12,n n n n b n −⎧=⎨⎩，为奇数为偶数，由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2a ，3a ，41a +成等比数列，所以()22431a a a +=， 即()()2312d d d +=，即2d d =，解得0d =或1d =.若0d =，则0n a =，则2a ，3a 不能是等比数列中的项，故0d =不符合题意. 所以1d =，()0111n a n n =+−⨯=−,可得231,2a a ==，414a +=，符合2a ，3a ，41a +成等比数列， 所以1n a n =−.【小问2详解】 112,2,n n n a n a n n n b n n −+⎧⎧==⎨⎨⎩⎩，为奇数，为奇数为偶数为偶数， 所以21234212n n n T b b b b b b −=++++++ ()()135212462n n b b b b b b b b −=+++++++++ ()()13521135212222n n −=++++−+++++()()214121214n n n ⨯−+−⎡⎤⎣⎦=+−212223n n +−=+. 所以2221223n n T n +−=+. 23. 【答案】（1）不存在，理由见详解（2）证明见详解 （3）)32⎡⎣【分析】（1）根据题意整理得20010x x ++=，通过∆判断该方程是否有解； （2）根据题意可得010210x x −+−=，构建函数()121x g x x −=+−，结合零点存在性定理分析证明； （3）根据题意整理得020*******x a x x +=−++，利用换元结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】不存在，理由如下： 对于()()001(1)f x f x f +=+，则001111x x =++，整理得20010x x ++=， ∵1430∆=−=−<，则该方程无解， ∴函数1()f x x=不存在“飘移点”. 【小问2详解】 对于()()001(1)f x f x f +=+，则()00210203122x x x x +=++++，整理得010210x x −+−=，∵()121x g x x −=+−在()0,1内连续不断，且()()100,1102g g =−<=>， ∴()g x 在()0,1内存在零点，则方程010210x x −+−=在()0,1内存在实根， 故函数2()2x f x x =+在()0,1上有“飘移点”.【小问3详解】对于()()001(1)f x f x f +=+，则()()2222000lg lg lg lg 122111a a a a x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥++⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222002111aa x x =+++， ∵0a ≠，则200220000121122222x x a x x x x ++==−++++， 令0211t x =+>，则012t x −=，∴224411152251122222a t t t t t t t t =−=−=−++−−⎛⎫+++⨯+ ⎪⎝⎭，又∵5222t t ++≥=，当且仅当5t t =，即t =时等号成立，则410522t t −<≤=++，3411522t t −≤−<++，12a≤<，即32a ≤<，故实数a的取值范围为)32⎡−⎣.。
2025届北京市海淀区十一学校数学高一上期末综合测试模拟试题含解析
故答案为： 2 2
13、
【解析】根据函数奇偶性把求
的值，转化成求 的值.
【详解】由 f（x）为奇函数，可知
，则
又当 ，
，则
故
故答案为：
14、-2020
【解析】根据题意，设 g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析 g（x）为奇函数，结合函数的奇偶性可得 g（2）+g（﹣
2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，计算可得答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知
为钝角，且 sin
12
1 3
，则 cos
5 12
（
）
A. 2 2 3 6
B. 2 2 3 6
C. 2 2 3 6
D. 2 2 3 6
2．如图，在菱形 ABCD 中，下列式子成立的是
故选：D 9、B 【解析】直接由斜率公式计算可得.
【详解】由题意可得直线 l 的斜率 k 4 3 1 . 2 1 3
故选：B. 10、A 【解析】由菱形和平行四边形的定义可判断. 【详解】解：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边 形是菱形”是“四边形是平行四边形” 充分不必要条件. 故选：A.
与 BB1 所成的角为 45°；在 D 中，连结 OD，则 OD∥AC1
【详解】由在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=CC1，点 D，O 分别是 AB，BC1 的中点，知：
在 A 中，∵CC1⊥平面 ABC，∴∠C1AC 是 AC1 与平面 ABC 所成的角， ∵AC=CC1，∴∠C1AC=45°， ∴AC1 与平面 ABC 所成的角为 45°，故 A 错误； 在 B 中，连结 OD，∵点 D，O 分别是 AB，BC1 的中点， ∴OD∥AC1，∵OD⊂平面 CDB1，AC1⊄平面 CDB1， ∴AC1∥平面 CDB1，故 B 正确； 在 C 中，∵CC1∥BB1，∴∠AC1C 是 AC1 与 BB1 所成的角， ∵AC=CC1，∴∠AC1C=45°，
北京顺义区十一中学2021年高三数学理模拟试题含解析
北京顺义区十一中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设的内角的对边分别是，若，则为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定参考答案：B2. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A. (–1,3)B. (–1,)C. (0,3)D. (0,)参考答案：A由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. B. C. D. 参考答案：A【分析】执行循环结构的程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第1次循环：，不满足判断条件；第2次循环：，满足判断条件；终止循环，输出计算的结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出结果，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C略5. 已知球的半径是，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，两点的球面距离是，则二面角的大小是（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：C解析：已知球的半径是R=，三点都在球面上，两点和两点的球面距离都是，则∠AOB，∠AOC都等于，AB=AC，两点的球面距离是，∠BOC=，BC=1，过B做BD⊥AO，垂足为D，连接CD，则CD⊥AD，则∠BDC是二面角的平面角，BD=CD=，∴∠BDC=，二面角的大小是，选C.6. “x<－1”是“x2－1>0”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是 ( )A． B． C． D．参考答案：D8. 设函数的图象过点（，–3），则a的值A．2 B．–2 C．– D．参考答案：A略9. 已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（）A.2B.4C.10D.6参考答案：考点：抛物线的简单性质10. 对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A. B. C.D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为上的偶函数，对任意都有且当，时，有成立，给出四个命题：①② 直线是函数的图像的一条对称轴③ 函数在上为增函数④ 函数在上有四个零点其中所有正确命题的序号为___________参考答案：①②④12. （2）、（几何证明选讲选做题）如图所示，过外一点作一条直线与交于两点，己知弦，点到的切线长则参考答案： 213. 设，则二项式展开式中的第项的系数为;参考答案：14. 已知x ，y 满足约束条件，则的最大值为( )A ．B ．1C ．7D ．参考答案：C先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z= 2x-3y 表示直线在y 轴上的截距的-3倍，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值的点,代入即可．作图，易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y 过点A （2，﹣1）时，z 最大是7【考点】简单线性规划 15. 在中，角A 、B 、C 所对的边为，若成等差数列，则角B 的最大值是_____________【解析】因为为等差数列，所以，，即，，所以，所以最大值为.参考答案：因为为等差数列，所以，，即，，所以，所以最大值为.【答案】16. 定义在R 上的函数满足：，且对于任意的,都有＜，则不等式＞的解集为 。
2024学年北京市十一学校4月高中毕业班联合考试数学试题
2024学年北京市十一学校4月高中毕业班联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( ) ABCD2．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB ACλμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B C ．7D 3．设点A ，B ，C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“AB AC =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．125．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．8．设0.50.82a =，sin1b =，lg 3c =，则a ，b ，c 三数的大小关系是 A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<9．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．210．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．2B ．2C ．2-D ．311．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B 的面积为（ ）A．B．C．D．12．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =32x y ++的取值范围为（ ）A ．[2453，]B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届北京市十一学校高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2023届北京市十一学校高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{3,10},02xA yy x x B x x ⎧⎫==-<<=≥⎨⎬+⎩⎭∣，则UA B 等于（ ）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--【答案】B【分析】分别求出集合,A B ，再根据补集和交集的定义即可得出答案.【详解】解：(){3,10}3,0A yy x x ==-<<=-∣， 由02xx ≥+，得()2020x x x ⎧+≥⎨+≠⎩，解得0x ≥或<2x -， 所以()[)0,20,2xB xx ∞∞⎧⎫=≥=--⋃+⎨⎬+⎩⎭，则[)2,0U B =-， 所以[)2,0UAB -=.故选：B.2．已知a b c d ，，，为实数，a b >且c d >，则下列不等式一定成立的是（ ）． A ． ac bd > B ． a c b d ->- C ． a d b c ->-D ． 11a b<【答案】C【分析】给实数a b c d ，，，在其取值范围内任取值2a =，2b =-，1c =，4d =-，代入各个选项进行验证，A 、B 、D 都不成立，由此可得选项. 【详解】令2a =，2b =-，1c =，4d =-， 选项A ，2ac =，8bd =， ac bd <， A 错误； 选项B ，1a c -=，2b d -=， a c b d -<-，B 错误；选项C ，a b >，c d >， d c ∴->-，根据不等式的加法性质a d b c ->-，C 正确.； 选项D ，112a =，112b =-，11a b>，D 错误. 故选：C ．【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法． 3．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥C ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥D ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ 【答案】D【解析】由线面平行的性质和面面平行的判定可判断选项A ；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质可判断选项B ；由面面垂直的性质定理和线面位置关系可判断选项C ；由线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断选项D ；【详解】对于选项A ：若//l α，//l β，则//αβ或α与β相交，故选项A 不正确； 对于选项B ：若αβ⊥，l α⊥，则//l β或l β⊂，故选项B 不正确；对于选项C ：若αβ⊥，//l α，则//l β或l β⊂或l 与β相交，故选项C 不正确； 对于选项D ：若//l α，由线面平行的性质定理可得过l 的平面γ，设m γα=，则//m l ，所以m β⊥，再由面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故选项D 正确； 故选：D 4．函数()3xxf x x =⋅的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项.【详解】函数()3x x f x x =⋅的定义域为{}0x x ≠，且()1,0331,03xx xx x f x x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎪⎝⎭==⎨⋅⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩， 因此，函数()3xxf x x =⋅的图象为选项D 中的图象.故选：D.5．已知抛物线C ：2=12y x 的焦点为F ，准线为l ，点A 在C 上，过A 点作准线的垂线交准线于B ，若2π3FAB ∠=，则BF =（ ） A ．23 B ．43 C ．433D ．833【答案】B【分析】结合图形，利用抛物线的定义，直角三角形的性质进行求解.【详解】因为AB l ⊥，根据抛物线定义有：AF AB =， 设l 与x 轴的交点为D ，因为2π3FAB ∠=，所以π6BFD ∠=. 因为6DF p ==，所以6==43cos30BF ︒故A ，C ，D 错误. 故选：B.6．已知函数()()22cos 1f x x θ=+-，则“()Z 4k k πθπ=+∈”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用二倍角的余弦公式以及已知条件求出θ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为()()()22cos 1cos 22f x x x θθ=+-=+，若函数()f x 为奇函数，则()2Z 2k k πθπ=+∈，解得()Z 42k k ππθ=+∈，因为,Z 42k k ππθθ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ ,Z 4k k πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭， 因此，“()Z 4k k πθπ=+∈”是“()f x 为奇函数”的充分而不必要条件.故选：A.7．《周髀算经》中有这们一个问题：从冬至日起，依次有小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至､立春､春分日影长之和为31.5尺，谷雨日影长为5.5尺，则这十二个节气日影长之和为（ ）A ．80尺B ．96尺C ．162尺D ．228尺【答案】B【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，把已知用数列语言描述后求解可得．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ， 由题意可得14731.5a a a ++=，即4331.5a =，解得410.5a =， 因为谷雨日影长为5.5，即9 5.5a =， 所以()15.510.515d =-=-， 所以110.5313.5a =+=， 所以()1212111213.51962S ⨯=⨯+⨯-=. 故选：B.8．已知a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=，则,a b a -=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4【答案】B【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -，然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量，向量()1,2b =，且2a b ⋅=， 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=，222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,22a b a a b a a b a⋅--===-， 因为[],0,πa b a -∈， 所以π,4a b a -=， 故选：B9．设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A ．(,2-∞-B ．)2∞⎡++⎣C ．2⎡-+⎣D ．[(),22∞∞--⋃++【答案】D【分析】利用直线与圆相切的性质可得m ，n 的关系式，再借助均值不等式求解能求出m n +的取值范围．【详解】,m n ∈R ,直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切， 圆22(1)(1)1x y -+-=的圆心(1,1)，半径1r =，1=，整理得()1mn m n =++，2()2m n mn +， 2()()12m n m n +∴++，2()4()40m n m n ∴+-+-， 解得222m n +-或222m n ++，m n ∴+的取值范围是[(),22∞∞--⋃++故选：D10．已知点()2,0P 和圆22:36O x y +=上两个不同的点,M N ，满足90,MPN Q ∠=是弦MN 的中点，给出下列三个结论： ①MP 的最小值是4； ②点Q 的轨迹是一个圆；③若点()5,3A ，点()5,5B ，则存在点Q ，使得90AQB ∠=；其中所有正确结论的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】①设()6cos ,6sin M θθ，再根据两点的距离公式进行求解即可；②设出(),x y ，找到等量关系，建立方程，求出点Q 的轨迹方程，即可说明；③转化为两圆是否有交点，说明是否存在点Q . 【详解】解：点M 在圆22:36O x y +=上，设()6cos ,6sin M θθ，则||MP ==当cos 1θ=时，||MP 取得最小值，最小值为4，①正确； 设点Q (),x y ，则由题意得：2222PQ QM OM OQ ==-，则()()2222236x y x y -+=-+，整理得：()22117x y -+=，所以点Q 的轨迹是一个圆，②正确；以AB 为直径的圆，圆心为()5,4，半径为1，方程为：()()22541x y -+-=，下面判断此圆与点Q 的轨迹方程()22117x y -+=是否有交点，1=，两圆相离，故不存在点Q ，使得90AQB ∠=︒，③错误， 所以正确的个数为2个. 故选：C.二、填空题11．在复平面内，复数21iz =+，则z 的共轭复数的虚部是__________． 【答案】1【分析】由复数除法化简成标准形式，再求出共轭复数，即可求虚部. 【详解】()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-，则1i z =+，故虚部是1.故答案为：112．能说明“设数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*N n ∈，若1n n a a +>，则1n n S S +>”为假命题的一个等比数列是__________．（写出数列的通项公式）【答案】12n na =-（答案不唯一） 【分析】根据数列的单调性结合{}n a 的符号可得出结果. 【详解】取12n n a =-，则1111110222n n n n n a a +++-=-+=>，则1n n a a +>， 但110n n n S S a ++-=<，故12n na =-满足题意. 故答案为：12n na =-.（答案不唯一） 13．若函数25,1()2,1x a x f x x ax x ⎧++≥=⎨-+<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[1,7]【分析】根据题意，分段函数在R 上单调递增，则每一段函数在相应的区间上必须单调递增，再结合分段函数在1x =处需满足的条件，列出不等式组即可得到答案．【详解】函数25,1()2,1x a x f x x ax x ⎧++≥=⎨-+<⎩在R 上单调递增，当1x ≥时，()||5f x x a =++单调递增，故0x a +≥恒成立，解得1a ≥-，此时()5f x x a =++； 当1x <时，2()2f x x ax =-+单调递增，故212aa -=≥-，解得1a ≥， 要使()f x 在R 上单调递增，需满足111512a a a a ≥-⎧⎪≥⎨⎪++≥-+⎩，解得17a ≤≤，即a 的取值范围是[1,7]．故答案为：[1,7]．14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1111,A B A D 的中点，点P 在线段CM 上运动，给出下列四个结论：①平面CMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形是五边形； ②直线11B D 到平面CMN 的距离是22； ③存在点P ，使得1190B PD ∠=；④1PDD △面积的最小值是455． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④【分析】对于①，直线MN 与1111,C B C D 的延长线分别交于11,M N ,连接11,CM CN 分别交1111,B B D D 于22,M N ,连接22,MM NN 即可解决；对于②等体积法11--=B CMN C B MN V V 解决即可；对于③④，建立空间直角坐标系，设,01PC MC λλ=≤≤，得(2,22,2)--P λλλ即可.【详解】对于①，如图直线MN 与1111,C B C D 的延长线分别交于11,M N ,连接11,CM CN 分别交1111,B B D D 于22,M N ,连接22,MM NN ，则五边形22MM CNN 即为所求的截面图形，故①正确；对于②，由题知11//MN B D ，MN ⊂平面CMN ，11B D ⊄平面CMN ， 所以11//B D 平面CMN ，所以点1B 到平面CMN 的距离即为直线11B D 到平面CMN 的距离，设点1B 到平面CMN 的距离为h ，由正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2可得，3,2CM CN MN ===22121723()22∆=-CMN S 所以111171733B CMN CMNV Sh h -=⋅==，111111123323C B MN B MN V SCC -=⋅=⨯⨯=， 所以由11--=B CMN C B MN V V ，可得21717h =，所以直线11B D 到平面CMN 的距离是21717，故②错误； 对于③，如图建立空间直角坐标系，则11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),(1,0,2)B D C M ， 设,01PC MC λλ=≤≤， 所以(1,2,2)==-PC MC λλ，又因为11(2,0,2),(0,2,2),(2,2,0),(1,0,2)B D C M ， 所以(2,22,2)--P λλλ，所以11(,22,22),(2,2,22)=--=--PB PD λλλλλλ， 假设存在点P 使得1190︒∠=B PD ，所以211(2)2(22)(22)0⋅=-+-+-=PB PD λλλλλ， 整理得291440λλ-+=， 所以7131λ+=>（舍去），或713λ-= 所以存在点P 使得1190︒∠=B PD ，故③正确； 对于④，由③知(2,22,2)--P λλλ，所以点(2,22,2)--P λλλ在1DD 的射影为(0,2,2)λ， 所以点(2,22,2)--P λλλ到1DD 的距离为2222216(2)(2)5445()55=-+--+-+d λλλλλ当2=5λ时，min d =所以1PDD △面积的最小值是122⨯=④正确； 故答案为：①③④三、双空题15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>C 的焦点到其渐近线的距离为5，则=a __________，渐近线方程为__________．【答案】52##2.5 2y x =± 【分析】利用点到直线的距离公式可求得b 的值，利用已知条件可得出关于a 、c 的值，解出这两个量的值，即可得出双曲线C 的渐近线方程. 【详解】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=， 双曲线C5b ==，由题意可得5c a b ⎧=⎪⎨⎪==⎩，解得52a c ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故答案为：52；2y x =±.四、解答题16．ABCππcos 0,6,36ABCB B a S⎛⎫⎛⎫-++=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求B ∠；(2)记AC 边上的中线为BD ．求AC 和BD 的长度． 【答案】(1)2π3(2)14,AC BD =【分析】（1ππcos 036B B ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得B .（2）利用三角形的面积公式求得c ，利用余弦定理求得b 也即求得AC ，利用向量运算求得BD .【详解】（1ππcos 036B B ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππcos 0266B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，πππcos 2sin 0663B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由于ππ4π333B <+<，所以π2ππ,33B B +==.（2）由三角形的面积公式得11sin 61022ac B c c =⨯⨯==，由余弦定理得14AC b ===.由()12BD BA BC =+两边平方并化简得： 2113610026101942BD ⎡⎤⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以BD =17．已知函数()()3221123R 32f x x ax a x a =-+++∈．(1)若=1x -为函数()f x 的极值点，求实数a 的值；(2)()f x 的单调增区间（不含端点）内有且只有两个整数时，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)1a =或12a =-；(2)112a <≤或112a -≤<-．【分析】（1）求出导函数()f x '，由(1)0f '-=求得a 值，并验证=1x -是极值点即可得；（2）由（1）得()f x 的增区间是(,2)a a -(0)a >或(2),a a -(0)a <，由0在增区间内，因此可得增区间内还有一个整数1或1-，分类讨论可得a 的范围．【详解】（1）22()2f x x ax a '=-++，由题意2(1)120f a a '-=--+=，1a =或12a =-，()()(2)f x x a x a '=-+-，0a ≠时，()f x '在x a =-和2x a =两侧符号相反，x a =-与2x a =是()f x 的极值点，因此1a =或12a =-符合题意．（2）由（1）知0a >时，2a x a -<<时，()0f x '>，()f x 递增，a<0时，2a x a <<-时，()0f x '>，()f x 递增，显然0x =在()f x 的增区间内，()f x 的单调增区间（不含端点）内有且只有两个整数时，由于2a a >-， 因此1122a a -≥-⎧⎨<≤⎩或2211a a -≤<-⎧⎨-≤⎩，解得112a <≤或112a -≤<-．18．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为棱PB 中点，2,3PA AD CD BC ====，23PC =，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知． 条件①：5AB =； 条件②：BC平面PAD ．(1).求证：BC CD ⊥；(2).求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析. 2【分析】连接AC ，由题目条件可推得ADC △为等腰直角三角形，且π4ACD ∠=，π2ADC ∠=.对于（1），若选条件①，证明π4ACB ∠=即可.若选条件②，证明BC AD ∥即可. 对于（2），建立以A 为原点的空间直角坐标系.若选条件①，由题得AE ，平面PCD 法向量对应坐标，后可得答案.若选条件②，由题目条件得5AB =AE ，平面PCD 法向量对应坐标，后可得答案 【详解】（1）如图，连接AC ，因PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PA AC ⊥.又2PC PA ==，则AC =注意到2AD DC ==，则ADC △为等腰直角三角形，其中π4ACD ∠=，π2ADC ∠=. 若选条件①，由余弦定理可得，22222cos AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅，结合ACB ∠为三角形内角，得4ACB π∠=，又π4ACD ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.若选条件②，因BC平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD AD =，则BC AD ∥，又π2ADC ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.（2）若选条件①，由（1）可得BCD ∠=π2ADC ∠=，则BC AD ∥， 故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行） 又23，PA AD CD BC ====，AB =则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩. 取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则3sin cos ,n AE θnAE n AE⋅====⋅. 即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为6若选条件②，由（1）可得BC AD ∥，故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行） 因π2BCD ∠=，则4ACBπ∠=， 则由余弦定理可得222π2cos4AB AC CB AC CB =+-⋅⋅AB ⇒=又23，PA AD CD BC ====，则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩. 取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则1223622sin cos ,n AE θn AE n AE⋅====⋅⋅. 即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为26.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>3,A B分别为椭圆E 的上、下顶点，且2AB =.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆E 交于,M N （不与点,A B 重合）两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，判断直线l 是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)直线l 经过定点(1,1)--．【分析】（1）根据离心率和2AB =，222a b c =+求出2a =，1b =，从而求出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率存在时，设直线:l y kx t =+，(1t ≠±)，联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，求出1t k =-，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案.【详解】（1c a =因为,A B 为椭圆的上、下顶点，且2AB =，所以22b = 即1b = ， 又222a b c =+ 解得：2a =所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=（2）直线l 经过定点()1,1--，证明如下：①当直线l 的斜率存在时，设:l y kx t =+，(1t ≠±)， 由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440k x ktx t +++-=， 则 222(8)4(14)(44)0kt k t ∆=-+->得：2241t k <+ 设1122(,),(,)M x y N x y则122814kt x x k -+=+，21224414t x x k -=+，则1212121212112(1)()AM AN y y kx x t x x k k x x x x --+-++=+= 8(1)24(1)(1)k t t t -==+-所以1t k =-，经检验，可满足2241t k <+， 所以直线l 的方程为1y kx k =+-，即()11y k x =+-所以直线l 经过定点()11--，． ②当直线l 的斜率不存在时，设:l x m =，(,)M M m y ，(,)M N m y -， 则112M M AM AN y y k k m m---+=+= 解得1m =-，此时直线l 也经过定点()11--， 综上直线l 经过定点(1,1)--．【点睛】直线过定点问题，需要设出直线方程y kx b =+，与曲线联立方程后用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干中条件得到等量关系，找到k 与b 的关系，或者求出b 的值，从而确定所过的定点，注意考虑直线斜率不存在的情况.20．已知函数()()e 1ln xf x m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数.(1)当1m =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)设函数()()e xf x h x ='，且()52h x 恒成立. ①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >. 【答案】(1)2e e y x =- (2)①3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;②详见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.（2）①先对函数()e (1ln )x f x m x =+求导，得到()e 1ln x m f x m x x '⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，推出()()1ln e x f x m h x m x x ==++'，求导，得到2(1)()(0)m x h x x x '-=>，解对应不等式，得到()h x 单调性，求出其最小值，再根据()52h x ≥恒成立，即可得出结果；②先设()()e 1ln x m g x f x m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，求导得22()e 1ln x m m g x m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭. 设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>，对其求导，判定单调性，从而得到函数()g x 单调性，得到2x 是函数()g x 的极小值点，得到21x x =，再由①得32m =时，5()2h x ≥，推出所以ln m m x m x+≥，得到()1()0g x g x ≥>，得到函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.【详解】（1）1m =时，()()e 1ln xf x x =+,()1e 1ln x f x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭,()12e f '=,()1e f =，所以函数在1x =处的切线方程()e 2e 1y x -=-，即2e e y x =-.（2）①由题设知，()e 1ln (0)x m f x m x x x '⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，()()1ln e x f x m h x m x x ==++'，2(1)()(0)m x h x x x '-=>，由()0h x '>，得1x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞上是增函数； 由()0h x '>，得01x <<，所以函数()h x 在区间()0,1上是减函数. 故()h x 在1x =处取得最小值，且()11h m =+.由于5()2h x ≥恒成立，所以512m +≥，得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；②设()()e 1ln x m g x f x m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，则22()e 1ln x m m g x m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭.设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>， 则()22332222()0m x x m m m H x x x x x -+'=-++=>， 故函数()H x 在区间(0,)+∞上单调递增，由（1）知，32m ≥， 所以(1)10H m =+>，11ln 21ln 02H m ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，故存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20H x =，所以，当20x x <<时，()0H x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当2x x >时，()0H x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 所以2x 是函数()g x 的极小值点.因此21x x =，即11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由①可知，当32m =时，5()2h x ≥，即33521ln 22x x ++≥，整理得1ln 1x x+≥， 所以ln mm x m x+≥. 因此()11111()e 1ln e (1)0x x m g x g x m x m x ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即()0f x '>.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 由于()10H x =，即121121ln 0m mm x x x +-+=， 即121121ln m m m x x x +=-， 所以()()()1111102112e 1ln e0x x x f x m x m f x x -=+=<=. 又函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以01x x >.21．对于无穷数列{}n c ，若对任意*,N m n ∈，且m n ≠，存在*N k ∈，使得m n k c c c +=成立，则称{}n c 为“G 数列”．(1)若数列{}n b 的通项公式为{}2,n n b n t =的通项公式为21n t n =+，分别判断{}{},n n b t 是否为“G 数列”，并说明理由；(2)已知数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列，*128,N a a =∈，且21a a >，求2a 所有可能的取值；②若对任意*n ∈N ，存在*N k ∈，使得k n a S =成立，求证：数列{}n a 为“G 数列”． 【答案】(1){}n b 是“G 数列”，{}n t 不是“G 数列”； (2)①9,10,12,16；②证明见解析．【分析】（1）根据“G 数列”的定义验证即可；（2）①设公差为d ，利用“G 数列”定义得d 是8的正约数：1，2，4，8，分别求出2a 并验证符合题意即得；②利用122k a a S a +==，求出公差d 与首项1a 的关系，然后表示出通项公式n a ，再根据“G 数列”定义证明．【详解】（1）2n b n =，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，2m b m =，2n b n =，222()m n b b m n m n +=+=+， 取k m n =+，则m n k b b b +=，∴{}n b 是“G 数列”，21n t n =+，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，21m t m =+，21n t n =+，2222(1)m n t t m n m n +=++=++为偶数，而21n t n =+为奇数，因此不存在N*k ∈ 使得m n k t t t +=，∴{}n t 不是“G 数列”； （2）数列{}n a 为等差数列，①若{}n a 是“G 数列，*128,N a a =∈，且21a a >，210d a a =->，N*d ∈， 8(1)n a n d =+-，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，8(1)m a m d =+-，8(1)n a n d =+-， 88(2)m n a a m n d +=+++-，由题意存在N*k ∈，使得m n k a a a +=，即88(2)8(1)m n d k d +++-=+-，显然k m n ≥+， 所以(2)8(1)m n d k d +-+=-，(1)8k m n d --+=，1k m n --+N*∈，所以d 是8的正约数，即1d =，2，4，8， 1d =时，29a =，7k m n =++； 2d =时，210a =，3k m n =++；4d =时，212a =，1k m n =++；8d =时，216a =，k m n =+．综上，2a 的可能值为9，10，12，16；②若对任意*n ∈N ，存在*N k ∈，使得k n a S =成立， 所以存在N*t ∈，122t a a S a +==，3t ≥，设{}n a 公差为d ，则112(1)a d a t d +=+-，1(2)a t d =-， (2)(1)(3)n a t d n d t n d =-+-=+-，对任意的,N*m n ∈，m n ≠，(3)m a t m d =+-，(3)n a t n d =+-，(26)m n a a t m n d +=++-，取3N*k t m n =++-∈，则(3)(26)k m n a t k d t m n d a a =-+=++-=+，所以{}n a 是“G 数列”．【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数d （或1a ），然后利用通项公式进行检验．。
2021届北京市十一学校高三综合练习数学试题(解析版)
2021届北京市十一学校高三综合练习数学试题一、单选题1．设集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃=（ ） A ．{}3,0 B ．{}301,, C ．{}3,0,2 D ．{}3012,,, 【答案】B【分析】由已知可得出关于a 、b 的方程组，求出a 、b 的值，即可得出PQ .【详解】已知集合{}23,log P a =，{},Q a b =，且{}0P Q ⋂=，则2log 0a b ==，解得1a =，所以，{}0,3P =，{}0,1Q =，因此，{}0,1,3P Q ⋃=. 故选：B.2．若1a b ==，(2)a b a +⊥，则向量a 与b 的夹角为A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】C【详解】分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用()2a a b ⊥+，数量积为零，得到关于a 与b 数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围. 详解：()1,1,2a b a a b ==⊥+，()20a a b ∴⋅+=， 220a a b ∴+⋅=，21122a b a ∴⋅=-=-，112cos 112a b -∴⋅==-⨯，0,180a b ⎡⎤⋅∈⎣⎦，∴两个向量的夹角是120，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．已知(,)a bi a b R +∈是11ii -+的共轭复数，则a b += A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】D 【分析】首先计算11ii-+，然后利用共轭复数的特征计算,a b 的值. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ---===-++-， ()a bi i i ∴+=--=， 0,1,1a b a b ∴==∴+=.故选:D.【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.4．直线20x ay ++=与直线220ax y a ++=平行，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．0或-1C ．-1D ．1【答案】C【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】解：因为直线20x ay ++=与直线220ax y a ++=平行，所以21101220a a a a ⨯-⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即10,1a a a =±⎧⎨≠≠⎩， 所以1a =-， 故选：C.5．甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）．①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学高；③甲同学成绩的极差是18；④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．上面说法正确的是（）A．③④B．①④C．②④D．②③【答案】A【分析】由茎叶图数据，求出甲同学的极差，甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．【详解】解：根据茎叶图数据知，①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，∴甲的中位数小于乙的中位数；②甲同学的平均分是1727680828690816x+++++==，乙同学的平均分是2697887889296856x+++++==，∴乙的平均分高；③甲同学的极差为907218-=；④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．∴正确的说法是③④．故选：A．6．我国古代科学家祖冲之之子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”（“幂”是截面积，“势”是几何体的高），意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）．A ．8π-B ．82π-C ．122π-D ．12π-【答案】C【分析】根据三视图转换为直观图可得该几何体由长为3，宽为2，高为2的长方体两头挖去两个半圆柱组成，即可求出体积.【详解】根据几何体的三视图转换为直观图如图所示，该几何体由长为3，宽为2，高为2的长方体两头挖去两个半圆柱组成.则可得该几何体的体积为223212122ππ⨯⨯-⨯⨯=-，根据“幂势既同，则积不容异”规则可得该不规则几何体的体积为122π-. 故选：C.7．已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于x 轴对称，若()01f x =-，则0x =（ ） A ．-2 B ．2C ．2log 3-D ．2log 3【答案】B【分析】由题意可得与函数2x y =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，再由()01f x =-即可得解.【详解】先求与函数2x y =的图象关于x 轴对称的函数， 可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，所以()02021x f x -=-=-，可得：02x =， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a = B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值【答案】C【分析】根据()12n n n a S S n -=-≥推导出80a <，90a =，100a >，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，由89S S =可得9980a S S =-=，A 选项正确；对于C 选项，由78S S >可得8870a S S =-<，980d a a ∴=->，C 选项错误； 对于D 选项，由109S S >可得101090a S S =->，且90a =，80a <，0d >， 所以，当8n ≤且n *∈N 时，0n a <，且90a =，则8S 与9S 均为n S 的最小值，D 选项正确； 对于B 选项，90a =，0d >，当10n ≥时，90n a a >=，所以，1514150S S a -=>，B 选项正确. 故选：C.【点睛】方法点睛：在等差数列中，求n S 的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点到该项的各项和为最大（小）；（2）借助二次函数的图象及性质求最值.9．在ABC 中，“sin cos A B >”是“ABC 是锐角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】举反例说明充分性不成立即可，必要性由2A B π+>，且,A B 为锐角，则sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭成立．【详解】当30A =︒，120B =︒时，有sin cos A B >，但ABC 是钝角三角形； 当ABC 是锐角三角形时，2A B π+>，且,A B 为锐角，则sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭故“sin cos A B >”是“ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件 故选：B10．已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a ->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围．【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零. 如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动. 因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-.所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦. 所以满足条件的整数a 有4个. 故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.二、填空题11．双曲线2214y x -=的渐近线方程是__________．【答案】2y x =±【详解】根据双曲线的渐近线公式得到,2ay x y x b=±=± 故答案为2y x =±. 12．设()1234501234521ax a a x a x a x a x a x -=+++++，则1a =_____________．【答案】10【分析】由二项展开式展开为6项可得5a =，进而由二项式定理即可求解. 【详解】解：()1234501234521ax a a x a x a x a x a x -=+++++，∴二项展开式展开后有6项， 5a ∴=，∴由二项式定理得1a =()4152110C ⨯⨯-=，故答案为：10.13．已知()()()sin f x x x θθ=--是偶函数，且[]0,θπ∈，则θ=_____________．【答案】56π【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后结合诱导公式可得结论．【详解】1()2sin())2sin()223f x x x x πθθθ⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 它为偶函数，则32k ππθπ-=+，k Z ∈，又[]0,θπ∈，所以56πθ=． 故答案为：56π． 14．若命题:p x R ∃∈，220x ax a ++≤是假命题，则实数a 的一个值为_____________． 【答案】12（(0,1)上任一数均可） 【分析】由命题p 的否定是真命题易得a 的范围． 【详解】由题意2,20x R x ax a ∀∈++>是真命题， 所以2440a a -<，解得01a <<． 故答案为：12（(0,1)上任一数均可）． 15．向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈，对于任意,S αβ∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合}M a a S =∈也是“C 类集"；②若S ，T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A ，2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A ，2A 都是“C 类集”，且交集非空，12A A ⋂，也是“C 类集”． 其中正确的命题有____________________（填所有正确命题的序号）． 【答案】①②④【分析】判断集合M 和12A A ⋃、12AA ⋂是否也具有“C 类集”中元素性质即可得．【详解】①S 为“C 类集”， 即对于任意,S αβ∈，以及任意()0,1λ∈，都存在S γ∈，使得()1S λαλβγ+-=∈,3βM ，以及任意()0,1λ∈，()3331M αλβγ+-=∈，①正确；②若S 是“C 类集”，对任意的11S ∈，αβ以及对任意的(0,1)λ∈，11(1)S +-∈λαλβ， 若T 是“C 类集，对任意的22T ∈，αβ以及对任意的(0,1)λ∈，22(1)T +-∈λαλβ， 可得对任意的12M +∈αα，12M +∈ββ以及任意(0,1)λ∈，都有1212()(1)()M ++-+∈λααλββ，②正确；③若1A ，2A 都是“C 类集”，即对任意的的1,a b A ∈，2,c d A ∈，对任意(0,1)λ∈， 112(1)a b A A A λλ+-∈⊆，212(1)c d A A A λλ+-∈⊆，但(1)a d λλ+-是否属于集合1A 或2A 不能确定， 因此(1)a d λλ+-12A A ∈也不确定，③错；④对任意12,a b A A ∈，则1,a b A ∈，2,a b A ∈，因此对任意(0,1)λ∈，1(1)a b A λλ+-∈，2(1)a b A λλ+-∈，所以12(1)a b A A λλ+-∈，④正确．故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义及应用．实质是考查元素与集合的关系，集合A 是“C 类集”，只要对任意,A αβ∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1A λαλβ+-∈即可．三、解答题16．在锐角ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin b A =. （1）求B 的大小； （2）若2AB =，32BC =，点D 在边AC 上，___________，求BD 的长. 请在①AD DC =；②DBC DBA ∠=∠；③BD AC ⊥这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答(如选多个条件作答，按排列最前的解法评分). 【答案】（1）3π；（2）答案见解析.【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，化简可得B ；（2）若选①由余弦定理可求AC 的值，在ABD △，DBC △中，分别用余弦定理，结合cos ADB cos DB 0∠+∠=C ，可求得BD 的值；若选②，由ABCABDCBD SSS=+，利用三角形的面积公式即可求解BD 的值；若选③，由余弦定理可求得AC 的值，利用，进而可得BD 的值.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B =及sin b A =，得sin sin B A A =. 因为ABC 为锐角三角形，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0A >.所以sin B =. 又因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3B π=. （2）若选①.在ABC 中，由余弦定理，得2222233132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B π⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以AC =，所以AD DC =.在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB =+-⋅⋅∠，即2134cos 16BD ADB =+∠， 在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB =+-⋅⋅∠，即2913cos 416BD CDB =+∠. 又πADB CDB ∠+∠=，所以cos ADB cos DB 0∠+∠=C . 所以29134248BD +=+，所以4BD =. 若选②.在ABC 中，ABCABDCBD SSS=+，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 即313111312222222222BD BD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯， 解得637BD =.若选③.在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅223313222cos 2234π⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以132AC =. 因为331sin 24ABC S BA BC B =⋅⋅=△，又13124ABC S BD AC BD =⋅=△，所以133344BD =，解得33913BD =. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12BC BB ==，11BC B C O =，AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）若160B BC ∠=︒，直线AB 与平面11BB C C 所成角为30°，求二面角111A B C B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21【分析】（1）证明1BC 与平面1ABC 垂直后可证线线垂直；（2）以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）1BC BB =，因此11BB C C 是菱形，11B C BC ⊥， 又AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ．所以1AO B C ⊥，1AO BC O ⋂=，1,AO BC ⊂平面1ABC ， 所以1B C ⊥平面1ABC ，而AB ⊂平面1ABC ，所以1B C AB ⊥；（2）AO ⊥平面11BB C C ．所以直线AB 与平面11BB C C 所成角为ABO ∠，即30ABO ∠=︒，由已知11BCC B 是菱形，又160CBB ∠=︒，所以13OB OC ==，11OB =，所以，以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则1(3,0,0),(3,0,0)B C -，1(0,1,0)B ，(0,0,1)A ，1(3,1,1)A -， 1111(3,0,1),(3,1,0)A B BC =-=--， 设平面111A B C 的一个法向量为(,,)n x y z =，则11113030n A B x z n B C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1x =，则(1,3,3)n =-， 易得平面11BCC B 的一个法向量是(0,0,1)m =，321cos ,717m n m n m n⋅<>===⨯， 又二面角111A B C B --是钝二面角，所以其余弦值为217-．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论； （2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18．随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app ）获取新闻资讯.为了解用户对某款新闻类app 的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如表：（单位：人）（1）从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；（2）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率； （3）现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由. 【答案】（1）215（2）3770（3）这种抽样不合理，详见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式进行计算即可（2）根据独立事件同时发生的概率公式进行计算即可（3）根据抽样的公平性的性质进行判断【详解】（1）从所有参与调研的人共有300人，不满意的人数是25+5+10＝40， 记事件D 为“从所有参与调研的人中随机选取1人此人不满意”， 则所求概率为()40230015P D ==. （2）记事件M 为“从参与调研的青年人中随机选取1人，此人满意”，则()6031407P M ==； 记事件N 为“从参与调研的中年人中随机选取1人，此人满意”，则()70710010P N ==； 则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取1人，恰有1人满意”的概率为()()()()()3737371171071070P MN MN P M P N P M P N ⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）这种抽样不合理.理由：参与调研的60名老年人中不满意的人数为20，满意与一般的总人数为x +y ＝50，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取2人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样，根据x ，y ，10的具体数值来确定抽样数值.【点睛】本题主要考查抽样方法的应用，古典概型的概率和条件概率的求法，还考查了抽象建模解决实际问题的能力，属于中档题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率e =长轴长为4．过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点）． （1）求椭圆的方程；（2）已知点()0,2Q ，求线段MQ 长度的取值范围；（3）延长MO 交椭圆C 于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=；（2）21,22,⎛⎡ ⎣ ⎝⎦；（3）0x =或0x =【分析】（1）根据题意得42c a a ==，进而可得答案； （2）设()()()112212,,,0,0M x y N x y y y ≠≠，则221114x y +=，进而MQ ==（3）根据题意，设直线l 方程为x my =224(1)4m MN m +=+，点P到直线x my =.【详解】解：（1）因为离心率2e =，长轴长为4，所以42c a a ==，所以2,1a c b ===，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）根据题意，设()()()112212,,,0,0M x y N x y y y ≠≠，则221114x y +=所以221144x y =-所以MQ ===因为[)(]11,00,1y∈-，所以当11y=时，MQ有最小值1，当123y=-时，MQ当1y=时，MQ=所以线段MQ长度的取值范围是21,22,⎛⎡⎣⎝⎦.（3）根据题意，设直线l方程为)0x my m=≠，则联立方程2214xyx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)10m y++-=，所以1212214y y y ym-+=⋅=+，所以21224(1)4mMN ym+=-==+，原点到直线x my=d=所以点P到直线x my=2d=，所以1||22MNPS MN d=⋅=△,1t t=>，则2MNPStt==≤+△，当且仅当t=2，=m=，所以直线l方程为0x=或0x=.【点睛】本题考查椭圆的方程求解，直线与椭圆的位置关系求面积最值，椭圆上的点到定点距离的范围，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据2PMN OMNS S=△△将问题转化为求弦长与定点到直线的距离，进而求解.20．已知函数()()22sin x af x a x-=-∈R ．（1）若曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线经过坐标原点，求实数a ； （2）当0a >时，判断函数()f x 在(0,)x π∈上的零点个数，并说明理由．【答案】（1）224a π=--；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数几何意义求斜率，由切线方程求a ； （2）原问题转化为2()2sin g x x a x =--的零点问题，求导，利用导数可得()g x 单调性，结合零点存在性即可求解. 【详解】（1）()222sin cos (),sin 2x x x a xf x f xππ--⎛⎫'== ⎪⎝⎭， 所以()f x 在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为y x π=， 所以222f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2222,2424a a πππ--==--；（2）因为()0,x π∈， 所以sin 0x >，所以220sin x ax--=可转化为22sin 0x a x --=，设2()2sin g x x a x =--， 则()22cos g x x x '=- 当,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '>， 所以()g x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()()22cos h x g x x x '==-， 此时()22sin 0h x x '=+>，所以()'g x 在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增， 又(0)20g '=-<，02g ππ⎛⎫'=>⎪⎝⎭， 所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0g x '=且()00,x x ∈时()g x 单调递减， 0,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()g x 单调递增．综上，对于连续函数()g x ，在()00,x x ∈时，()g x 单调递减， 在()0,x x π∈时，()g x 单调递增． 又因为(0)0g a =-<，所以当20()g a ππ=->，即2a π<时，函数()g x 有唯一零点在区间0(,)x π上， 当20()g a ππ=-≤，即2a π≥时，函数()g x 在区间(0,)π上无零点， 综上可知，当20a π<<时，函数()f x 在(0,)π上有1个零点； 当2a π≥时，函数()f x 在(0,)π上没有零点．【点睛】关键点点睛：由题意可转化为2()2sin g x x a x =--在区间(0,)π上的零点个数问题，求导，利用导数可得函数单调性，在()00,x x ∈时，()g x 单调递减，在()0,x x π∈时，()g x 单调递增，分类讨论(0)g a =-的正负即可．21．已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==∈=，其中2n ≥．对于()12,,,n A a a a =，()12,,,n n B b b b S =∈，定义A 与B 之间的距离为()1,ni i i d A B a b ==-∑．（1）记()41,1,1,1I S =∈，写出所有4A S ∈使得(),3d I A =； （2）记()1,1,,1n I S =∈，A 、n B S ∈，并且()(),,d I A d I B p n ==≤，求(),d A B 的最大值；（3）设n P S ⊆，P 中所有不同元素间的距离的最小值为k ，记满足条件的集合P 的元素个数的最大值为m ，求证：0112nk n n nm C C C -≥+++．【答案】（1）A 的所有情形有：()1,0,0,0、()0,1,0,0、()0,0,1,0、()0,0,0,1；（2）()()max2,2,2,2p p nd A B n p p n ≤⎧=⎨->⎩；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据题中定义可得A 的所有情形；（2）分2p n ≤、2p n >两种情况，利用绝对值三角不等式可求得(),d A B 的最大值； （3）设P 是满足条件的最大集合，即P 中的元素个数为m ，C P ∀∈，记集合()(){},1,1n S C k X S d X C k -=∈≤-，分析出(),1S C k -中的元素个数为011k n n n C C C -+++，利用反证法可得出集合{}0P PX '=有1m +个元素，从而推出矛盾，进而可证得结论成立.【详解】（1）已知()41,1,1,1I S =∈，4A S ∈，且(),3d I A =，所以，A 的所有情形有：()1,0,0,0、()0,1,0,0、()0,0,1,0、()0,0,0,1； （2）设()12,,,n A a a a =，()12,,,n B b b b =，因为()()11,=11nniii i d I A a a p ==-=-=∑∑，则12n a aa n p +++=-，同理可得12n b b b n p +++=-，当2n p ≥时，()1111,11112n n n niiiiiii i i i d A B a b a b a bp =====-=-+-≤-+-=∑∑∑∑；当2n p <时，()111,22nnniiiii i i d A B a b a b n p ====-≤+=-∑∑∑.当11,1,,1,0,0,,0p A ⎛⎫ ⎪=⎪⎝⎭个，10,0,0,1,1,,1p B ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭个时，上式等号成立.综上所述，()()max2,2,2,2p p nd A B n p p n ≤⎧=⎨->⎩； （3）设P 是满足条件的最大集合，即P 中的元素个数为m ， 所以，A ∀、B P ∈且A B ≠，(),d A B k ≥，C P ∀∈，记集合()(){},1,1n S C k X S d X C k -=∈≤-，那么(),1S C k -中的元素个数为011k n n n C C C -+++，对于n S 中的任意元素X ，都存在C P ∈，使得(),1d X C k ≤-， 若不然，假设存在0n X S ∈，C P ∀∈都有()0,d X C k ≥， 那么集合{}0P PX '=中所有不同元素间的距离的最小值为k ，且P '中有1m +个元素，这与m 的最大性矛盾.所以n S 中的每个元素必与P 中某个元素间的距离不超过1k -. 从而(),1n C PS S C k ∈=-，所以，()0112n k n n n m C C C -≤+++.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.。
北京市高中数学学业水平考试选择题会考模拟
会考模拟一、单选题1．已知全集U ={ 1,2,3,4,5}，集合A =, 1，2-，B ={ 2,3,4}，则B ∩(C 2A )=( ) A ．{ 2} B ．{ 3,4} C ．{ 1,4,5} D ．{ 2,3,4,5}2．已知向量，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．若直线与直线垂直，则实数a 的值 A ． B ．4 C ．D ．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）AB C D ．y=log 2x5．( )A．B． C． D．6．log 69+log 64= A ．log 62 B ．2 C ．log 63 D ．3 7．若幂函数的图像过点 ，则= ( ) A ． B ． C ． D ．8．某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）．A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法9．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g 的概率是0.3，质量不小于4.85 g 的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.7 D ．0.6810．在ΔABC 中，A =60°,a =√6,b =2，则B 等于（ ）()()2,1,1,3a b =-=-!!//a b !!a b ^!!()a a b ^-!!!()//a a b -!!!10ax y +-=()4320x a y +--=-1353-2=-)780cos(!2323-2121-()f x 16x 1x -2x 2x -A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．30° 11．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝30°，c ＝1，则b ＝ ABC D12．sin27°cos63°+cos27°sin63°=（ ）A ．1B ．−1C ．D ．13．如图所示，已知ACC CC C C⃑=3BC CC CC C⃑， OA CCCCC⃑=a ⃑， OB CCCCC⃑=b C ⃑， OC CC CCC⃑=c ⃑，则下列等式中成立的是( )A ．c ⃑=GHb C ⃑−I Ha ⃑B ．c ⃑=2bC ⃑−a ⃑ C ．c ⃑=2a ⃑−b C ⃑D ．c ⃑=GH a ⃑−IH bC ⃑ 14．已知平行四边形中， 则 ， （ ）A ．B ．CD ．15．方程log G x +x −3=0的解所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)16．已知数列为等差数列，首项，公差，则（ ） A. B. C. D. 17．公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．18．圆的圆心坐标和半径分别为A． B． C． D． 19．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥D 1－ACD 的体积是( )ABCD 60,1,2ABC AB BC Ð===!·BA BD =!!!"!!!"122-}{n a 11=a 2=d =5a 692531{}n a 21216a a =6a 12480422=-+x y x ()0,2,2 ()2,0,2 ()2,0,4- ()2,0,4A ．IM B ．IG C ．IH D ．120．设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平 面，则下列为假．命题的是 A、若，则 B、若C、若D、若21．已知函数f(x)=Ox +1,x ≤0f(x −2),x >0，则f(3)的值等于（ ）．A．4B ．2C ．1D ．022．已知是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点，连接，则弦的长不小于圆半径的概率是（ ） A B C D 23．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： ）的数据，绘制了下面的折线图。
2023年北京市十一学校中考模拟数学试题(含答案解析)
2023年北京市十一学校中考模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．三棱柱2．芝麻被称为“八谷之冠广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为记数法表示约为（A．30.210-⨯3．若正多边形的一个内角是A．104．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果结论正确的是（）A ．①③B ．②③C ．①④二、填空题9．若23x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是________10．分解因式：22288a ab b ++=______．11．如图，已知ABCD Y ，通过测量、计算得ABCD Y 的面积约为果保留1位小数）12．在一个不透明袋子中装有3个红球、1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．若从袋子中随机摸出两个球，两个球颜色恰好不同的概率为___________．13．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意，可列方程组为____________．14．如图，平南直角坐标系xOy 中，OCD 可以看作是AOB 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由AOB 得到OCD 过程___________．15．如图，点A ，B ，C ，D 在O 上，CD CB =，30CAD ∠=︒，50ACD ∠=︒，则ADB =∠_______．16．甲、乙两人分别在A ，B 两条生产线上加工零件，在A 生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A 零件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少2个；乙第一天能加工8个A 零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B 生产线，甲每天加工7个B 零件，乙每天加工8个B 零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：（1）甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件______个；（2）若一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．三、解答题根据该操作过程，回答问题：(1)直线DE 与圆O 的位置关系是___________，依据是___________；(2)求证：123∠=∠=∠；(3)若被测量的3MEN α∠=，AB m =，则BD 的长度至少为___________，角器能够三等分该角．（用含有α，m 的代数式表示）21．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，延长DC 到点E ，使点E 作EF AD ∥交AC 的延长线于点F ，连接AE ，DF ．(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)过点E 作EG DF ⊥于点G ，若BD 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1)当函数my =的图象经过点Q 时，求(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若6AB =，3cos 5B =，求CF 、b ．两次竞赛学生的获奖情况如下：奖项竞赛参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数8mn平均分738595第二次竞赛人数9516平均分748593(说明：成绩90≥，获卓越奖；80≤成绩90<，获优秀奖；成绩c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：909091919191929393949494959596根据以上信息，回答下列问题:(1)写出表中m ，n 的值；(2)甲同学第一次竞赛成绩是83分，第二次竞赛成绩是同学的点；(3)下列推断合理的是．①第二次竞赛成绩数据的中位数是90；②两次竞赛都获得卓越奖的有10人；③第二次竞赛的平均成绩高于第一次竞赛的平均成绩．(1)测足球落地时，s =m ；(2)求h 关于s 的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m /s ，最大防守高度为2.5m ；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点A 线上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若AB x 轴，用含a 的代数式表示b ；(2)记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点），若图象(),P P P x y ，使得P y m c <≤，求t 的取值范围．27．如图，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点C 作直线l AC ⊥，点D ，点（D 在E 的右侧）且满足DE AB =，连接BD ，ABD ∠的平分线与射线与射线AC 交于点G ．参考答案：4测量得， 3.1cm, 2.1cm BC DE ==∴ABCD Y 的面积 3.1BC DE =⋅=故答案是6.5．【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积就是公式，题的关键．12．12【分析】画树状图分析计算即可．【详解】解： 不透明袋子中装有两个球颜色恰好不同的概率为3 3 +⨯故答案为：12．【点睛】本题考查了概率的计算，根据题目信息画树状图分析计算是解题的关键．13．454353 x yx y+=⎧⎨-=⎩【分析】根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可【详解】由题意得：4个篮球和5价比足球的单价多3元，可列方程：【点睛】本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键14．将AOB逆时针旋转90︒，再向右平移【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由【详解】解：将AOB逆时针旋转故答案为：将AOB逆时针旋转90【点睛】本题考查了坐标与图形变化的距离等于对应点连线的长度．15．70°【分析】由圆周角定理，得CAB∠即可得到答案．【详解】解：∵CD CB =，∴30CAB CAD ∠=∠=︒，∴303060BAD ∠=︒+︒=︒，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴120DCB ∠=︒，∵50ACD ∠=︒，∴1205070ACB ∠=︒-︒=︒，∴70ADB ∠=︒．故答案为：70°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，正确求出角的度数．16．24106【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；（2）由于A 、B 零件要配套，则A 、B 零件的数量都要多；然后发现甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个；则每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件符合题意，最后确定最大数量即可．【详解】解：（1）由题意可得：甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件的个数为：()()10102102224+-+-⨯=（个）故答案为24．（2）∵一个A 零件、一个B 零件组成一套产品，∴14天A 、B 两种零件同时产出数量最多∵甲在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件24个，甲在B 生产线连续工作3天最能加工B 零件21个；乙在A 生产线连续工作3天最多能加工A 零件87621++=个，乙在B 生产线连续工作3天最多能加工B 零件2438=⨯个∴每3天甲、乙轮流生产可使A 、B 零件的数量，最后两天甲产A 零件18件，乙生产B 零件16件∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106．∵DB 与AC 垂直于点B ，∴90ABE OBE ∠=∠=︒，在ABE 和OBE △中，90AB OB ABE OBE BE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵AB AC =，AD BC ⊥，2BD =，∴2CD =，由（1）得：四边形ADFE 是平行四边形，∴24DE CD ==，∵6AE =，∴226425AD =-=，∵四边形ADFE 是平行四边形，AD ∴25EF AD ==，6DF AE ==，∵EG DF ⊥，AD BC ⊥，∴1122DE EF DF EG ⨯⨯=⨯⨯，即12解得453EG =；【点睛】本题考查了平行的性质和等腰三角形的性质，涉及到勾股定理解三角形等知识点，延长EO 交AB 于点G ，连接AO ，如图所示：由（1）得90BAC ∠=︒，AC OE ∥∴GE 垂直平分AB ，∴3AG =，∵5AO =，∴22534OG =-=，∴549GE =+=，∴22310AE AG GE =+=．【点睛】题目主要考查切线的判定，圆周角定理，垂径定理及相似三角形的判定和性质，解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．24．(1)12,10m n ==(2)见解析（3）①第二次竞赛成绩数据中参与奖及优秀奖的人数为第15、16名学生的成绩为90、90，∴4022t -≥=，∴2t ≥．【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识．27．(1)436-(2)①补全图形见解析；②EF DC =+【分析】（1）先求证明四边形AEDB 30AFB ABF ∠=∠=︒，可得AB AF =（2）①根据题干要求画好图形即可，四边形ABMF 是菱形，四边形EFMD 证明,ACN BAG ≌可得,CN AG =【详解】（1）解：∵l AC ⊥，BAC ∠②,EF DC AG =+理由如下：如下图所示，过A 作AH BF ⊥于,H 交BD 90,BHM BHA ∴∠=∠=︒BF 平分,ABD ∠,ABH MBH ∴∠=∠,BAH BMH ∴∠=∠,BA BM ∴=由（1）得：,ABDE //,AF BM ∴,AFB MBF ABF ∴∠=∠=∠,AF AB ∴=,AF BM ∴=∴四边形ABMF 是菱形，,,FM AB FM AB ∴=∥,,FM DE FM DE ∴=∥∴四边形EFMD 是平行四边形，,EF DM ∴=,DE AB ∥,DNM BAM ∴∠=∠,,BMA DMN BMA BAM ∠=∠∠=∠ ,DNM DMN ∴∠=∠,DM DN ∴=90ACN CAB ∠=∠=︒ ，90,CAN CNA CAN HAB ∴∠+∠=︒=∠+∠,CAN GBA ∴∠=∠,AC AB = ,ACN BAG ∴ ≌,CN AG ∴=,DN DC CN DC AG ∴=+=+.EF DC AG ∴=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．28．(1)1.5或0.5；Q关于直线y 点P和1(0,1)Q-关于直线点P和2(0,1)设线段l ：212()y x =--≤≤的左右两个端点分别为设OA 的解析式为：y kx =，则：34k =，解得：34k =，∴OA 的解析式为：34y x =，设点Q 为EF 上的一个动点，在点Q 从左到右运动过程中，在射线OA 上存在一点P ，使得P 和Q 当点Q 与点G 重合时，为第一个临界位置，此时当2x =时，直线34y x =上对应点为点H 在第二个临界位置，点P 和点H 重合时，此时可得综上可知：t 的取值范围为114t -≤≤-（3）∵直线313y x =-与x 轴，y 轴分别交于令0x =，则1y =-，令0y =，则x =∴(3,0),(0,1)C D -，∴22(3)12CD =+=，sin OC ODC DC ∠==若线段CD 上存在一点P ，圆则P 、Q 关于直线2y m =对称，即过圆心的直线2y m =是线段∴根据垂径定理，只要圆S 此时在圆S 上一定存在一点当圆S 向下运动时，如图所示：当圆S 经过点(0,1)D -时，圆此时23m =-，解得：m =圆S 在上图基础上继续向上运动，如图所示：当圆S 经过点C 时，∵2CD =，∴点S 与点D 重合，此时21m =-，解得：m =-∴m 的取值范围为：32-≤m 当圆S 从上图位置继续向上运动时，如图所示：当圆S 经过点D 时，∵,60SC SD ODC =∠=︒，∴SDC △为等边三角形，∴21m =，解得：12m =，当圆S 从上图位置继续向上运动时，如图所示，答案第23页，共23页当圆S 与线段CD 相切时，设切点为在Rt SDK 中，60SDK ∠=︒∴23sin 602SK SD SD ︒===，解得：433SD =，又∵1OD =，∴4313OS SD OD =-=-，∴43213m =-，解得：23132m =-，∴m 的取值范围为：12m ≤≤综上可知，m 的取值范围为：【点睛】本题考查了新定义问题，涉及到对称的知识，圆与直线的位置关系，垂径定理，勾股定理，三角函数，等边三角形的判定与性质，求一次函数解析式，综合性强，难度较大；读懂题意，理解新定义，将问题转换为熟悉的知识解决问题是解题的关键．。
2025届北京市十一学校高考数学五模试卷含解析
2025届北京市十一学校高考数学五模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．432．已知函数有三个不同的零点 （其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．3．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．23πD ．2053π5．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<<D ．{}25x x -<<6．二项式52x x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．1607．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．32B ．32-C ．23D ．23-9．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ=则该双曲线的离心率为（ ）A 5B 5C ．2D ．411．已知()3,0A -，)3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥12．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【新】2019-2020北京市十一学校初升高自主招生数学【4套】模拟试卷【含解析】
第一套：满分120分2020-2021年北京市十一学校初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共6小题，满分42分）1. （7分）货车和小汽车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，小汽车到达乙地后，立即以相同的速度沿原路返回甲地，已知甲、乙两地相距180千米，货车的速度为60千米/小时，小汽车的速度为90千米/小时，则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y （千米）与各自行驶时间t （小时）之间的函数图象是【 】A. B. C. D.2. （7分）在平面直角坐标系中，任意两点规定运算：①；②；③当x 1= x 2且y 1=y 2时，A =B.有下列四个命题：（1）若A (1，2)，B (2，–1)，则，； （2）若，则A =C ； （3）若，则A =C ；()()1122,,，A x y B x y ()1212,⊕=++A B x x y y 1212=⊗+A B x x y y (),31⊕= A B 0=⊗A B ⊕=⊕A B B C =⊗⊗A B B C（4）对任意点A 、B 、C ，均有成立. 其中正确命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 3．（7分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE=OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2=CE •AB ．正确结论序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④ 4. （7分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90º，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①；②当点E 与点B 重合时，；③；④MG •MH =，其中正确结论为（ ）A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ①②③④ 5.（7分）在数学活动课上，同学们利用如图的程序进行计算，发现无论x 取任何正整数，结果都会进入循环，下面选项一定不是该循环的是（ ）A. 4，2，1B. 2，1，4C. 1，4，2D. 2，4，1 6. （7分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D()()⊕⊕=⊕⊕A B C A B C 2AB =12MH =AF BE EF +=12作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为（ ）A.B. C. D.二．填空题（每小题6分，满分30分）7.（6分）将边长分别为1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐标系第一象限，如图中方式叠放，则按图示规律排列的所有阴影部分的面积之和为 . 8.（6分）如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴上，并与直线3y x =相切．设三个半圆的半径依次为r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝ ．9.（6分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB=60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k y x=．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ´B ´．（1）当点O ´与点A 重合时，点P 的坐标是 ；（2）设P （t ，0），当O ´B ´与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ．1339241332510.（6分）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反 比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ．11.（6分）如图，在⊙O 中，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，点M 在OC 上，AM 的延长线交⊙O 于点G ，交过C 的直线于F ，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N ．若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，则BN= ．三．解答题（每小题12分，满分48分）12.（12分）先化简，再求值：， 其中.13.（12分）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数的图象上．（1）求m ，k 的值；32221052422x x x x x x x x --÷++--+-2022(tan 45cos30)21x =-+︒-︒-xky =xO yAB （2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点， 以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式． （3）将线段AB 沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA 上，当线段与轴有交点时,则b 的取值范围为 （直接写出答案）14.（12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，DE 是⊙O 的切线，连接DE ．（1）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ，证明：四边形OECD 是平行四边形； （2）若=n ，求tan ∠ACO 的值b kx y +=11B A 1A 11B A x OFCF15.（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）。
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．522．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 42C 2D ．2333．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ） A ．0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,34．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．65．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50506．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -7．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．228．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 9．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤10．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i11．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x =的图象 12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年北京市第十一中学中考二模数学试题(原卷版)
北京市第十一中学2024年中考数学二轮模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 的倒数为（ ）A. 3B. C. D. 2. 计算的结果是（ ）A B. C. D. 3. 下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是（ ）A. B. C. D.4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）AB. C.D. 5. 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则（ ）A. B. C. D. 6. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n 个单项式是( )A. B. C. D. 7. 电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（ ）A. B...的3-3-1313-()2ab 2ab 2a b 22a b 2ab 21,1223x x x x ≥-⎧⎪+⎨>⎪⎩150∠=︒2∠=40︒50︒60︒70︒3x 52x -73x 94x -115x ()1211n n nx ---()211n n nx --()1211n n nx -+-()211nn nx +-2(1)5x +=22(1)5x +=C. D. 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为米，则点到弦所在直线的距离是（ ）A. 1米B. 2米C. 米D. 米二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 分解因式： ___________．10. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在左右，则袋子里白球可能是_____个．11. 已知方程的一个根是，则m 的值是_______．12.有意义，则的取值范围是______．13. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花钱买了只鸡．若公鸡有8只，设母鸡有只，小鸡有只，可列方程组为___________．14 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，AD ＝，E 是AB 的中点，F 是AD 边上的一个动点（点F 不与点AD 重合）．将△AEF 沿EF 所在直线翻折，点A 的对应点为A '，连接A 'D ，A 'C ．当△A 'DC 是等腰三角形时，AF 的长为 _____．15. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是，则A 点的坐标是___________．.222(1)5x ++=222(1)2(1)5x x ++++=O O O AB O 3C AB (3-(323x x -=0.32230x mx -+=-1x 100100x y (16. 如图，点M 是反比例函数图像上的一点，过点M 作轴于点N ，点P 在y 轴上，若的面积是2，则________．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.．18. 先化简，再求值：，其中．19. 解不等式组：．20. 如图，已知△ABC 和△ADE ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠CAE ，AC ＝AE ，AD 与BC 交于点P ，点C 在DE 上．求证：BC ＝DE ．21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A ，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下()0k y x x=<MN x ⊥MNP △k =01|2|302024︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭526222m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭3m =-+331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩D B O DO O AB O C BD OB测得液压杆，，．（1）求的长．（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）22. 2022年冬季奥运会和冬季残奥会两项赛事在我国首都北京和河北省石家庄市举行．某商家购进了一批冬季残奥会吉祥物“雪容融”纪念品，发现进价为40元/件的纪念品每月的销售量（件）与售价（元/件）的相关信息如下：售价（元/件）50607080…销售量（件）300280260240…（1）求与的一次函数解析式；（2）若获利不得高于进价的50%，那么售价定为多少元/件时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？23. 如图，在中，，点O 在边上，且，过点A 作交延长线于点D ，以点O 为圆心，的长为半径作交于点E ．（1）求证：是的切线．（2）若的半径为5，，求线段的长．24. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．的3m AB =53BAC ∠=︒37DOC ∠=︒BO D BD 6m DO O 3m OD 3sin 375︒≈3tan 374︒≈sin 5345︒≈tan 5343︒≈sin 640.90︒≈cos 640.44︒≈y x x y y x Rt ABC △90C ∠=︒AC CBO CAB ∠=∠AD BO ⊥BO OD O BO AB O O 8BE =AB A B C D E（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人；（3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．（1）求一次函数与二次函数的表达式；（2）设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．26. （1）如图1，平分分别在射线上，若，求证：;（2）如图2，在中，交边于点于点H ．已知，求的面积；（3）如图3，在等边中，点D 在边上，P 为延长线上一点，E 为边上一点，已知平分，求的长．D A A B C xOy y x b =+()2,0A -21y kx x =+-()3,B a M AB M MN y ∥21y kx x =+-N O C M N M BP ,,ABC M N ∠,BA BC BM BN =PM PN =ABC CP CB ⊥AB ,P PH AC ⊥,2,5ACP B CH AB ∠=∠==ABC ABC AB BA AC CA ,,2,3PCD ADE CPD AE AD ∠∠=∠==PA。
2020年北京十一学校高二数学文模拟试卷含解析
2020年北京十一学校高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. (文科)给出以下四个问题：①输入一个数，输出它的相反数；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数，，中的最大数；④求函数关系式的函数值。
其中不需要用条件语句来描述其算法的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B2. 已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a?2a×，解得a=1，∴c=2，又cosB=，∴sinB==，∴△ABC的面积S=acsinB=×=故选：B【点评】本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．3. 已知命题p：?x∈R，x2－x＋>0，则p为（）A．?x∈R，x2－x＋≤0B．?x∈R，x2－x＋≤0C．?x∈R，x2－x＋>0 D．?x∈R，x2－x＋≥0参考答案：B略4. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．【解答】解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．5. 已知全集, 集合则( )A. B. C. D.参考答案：A略6. 若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A． B．C． D．参考答案：A7. 若过原点的直线与圆+++3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A． B． C． D．参考答案：C8. 已知双曲线mx2﹣y2=m（m＞0）的一条渐近线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则m等于（）A．3 B．C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为60°，则，即可求出m的值．【解答】解：由已知得双曲线的渐近线的倾斜角为60°，则，得m=3．故选A．【点评】本题考查双曲线的渐近线，考查方程思想，比较基础．9. 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则关于x的不等式bx2－ax－2>0的解集为()A．{x|－2<x<1} B．{x|x>1或x<－2}C．{x|x>2或x<－1} D．{x|x<－1或x>1}参考答案：B10. 已知圆,圆,分别是圆上的动点,为轴上的动点,则的最小值为()A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有种．参考答案：345【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】因为选出的4人中恰有1名女同学，这一女同学可能是从甲组中选，也可能是从乙组中选，所以可按分类计数原理，按女学生从那一组中选分成两类，把每一类方法数求出，再相加即可．【解答】解：分两类，第一类，甲组选1名男同学，1名女同学，乙组选2名男同学，有C51C31C62=225第二类，甲组选2名男同学，乙组选1名男同学，1名女同学，有C52C61C21=120∴共有225+120=345种．故答案为：345．【点评】本体主要考查了分类计数原理在组合问题中的应用，注意分类要不重不漏．12. 有一组统计数据共10个，它们是：，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为参考答案：13. 函数f（x）=﹣的最大值是．参考答案：【考点】两点间距离公式的应用．【分析】明确函数的几何意义，利用三点共线，可求函数的最大值．【解答】解：f（x）=﹣=表示点P（x，x2）与A（3，2）的距离及B（0，1）的距离的差∵点P（x，x2）的轨迹是抛物线y=x2，B在抛物线内，A在抛物线外∴当P、B、A三点共线且B在AP之间时|PA|﹣|PB|最大，为|AB|（P、A、B不共线时三点可构成三角形，两边之差小于第三边）∵|AB|=∴函数f（x）=﹣的最大值是故答案为．14. 参考答案：15. 已知三角形的三边满足条件，则∠A＝_________。
2023-2024学年北京市十一学校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市十一学校高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12道小题，每题5分，共60分），请将答案填写到答题卡规定的位置。
1．设集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0，1，2}2．命题p ：∀x ＞2，x 2﹣1＞0，则￢p 是（ ） A ．∀x ＞2，x 2﹣1≤0 B ．∀x ≤2，x 2﹣1＞0C ．∃x ＞2，x 2﹣1≤0D ．∃x ≤2，x 2﹣1≤03．设实数x 满足x ＞0，函数y =3x +4x+1的最小值为（ ） A ．4√3−3 B ．4√3C ．4√3+3D ．64．函数y =1x 2+3的值域为（ ）A ．(−∞，13] B ．(−∞，13) C ．[0，13]D ．(0，13]5．已知a =40.5，b =√2，c =0．54，那么a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜aB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b6．下列函数中，既是偶函数，又在区间（﹣∞，0）上为减函数的为（ ） A ．y =1|x|B ．y =−x +1xC ．y ＝2|x |D ．y ＝|x +1|7．如果x 0是函数f （x ）＝e x +x 的零点，那么x 0一定在下列哪个区间中（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）8．已知a ，b ∈R ，则“a 2＞b 2”是“a 3＞b 3”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如果二次函数y ＝x 2+2mx +（m +2）有两个不同的零点，那么m 的取值范围为（ ） A ．（﹣2，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）10．已知函数f(x)={2x，x ≥2，x 2−3，x ＜2．若关于x 的函数y ＝f （x ）﹣k 有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（﹣3，1）B ．（0，1）C ．（﹣3，0]D ．（0，+∞）11．若不等式3ax−1＜(13)ax 2恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣4，0]C ．（0，4）D ．[0，4）12．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y （℃）与时间t （min ）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y （℃）与时间t （min ）近似满足函数的关系式为y =80(12)t−a10+b （a ，b 为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）A ．35minB ．30minC ．25minD ．20min二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分），请将答案填写到答题卡规定的位置。
北京市第十一中学实验学校2023届高三10月月考数学试卷及答案
北京市第十一中学实验学校2023届高三10月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在复平面内，复数1z ，z 2对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z 的虚部是（ ）A ．32B ．32-C ．3i 2-D ．3i 22．已知集合(){}{}|lg 10|24M x x N x x =∈-≤=∈-<<Z Z ,，则M N ⋃=（ ） A ．（0，2] B ．{}2 C ．{1-，0，1，2，3} D ．（2-，4） 3．命题“存在Z x ∈，使320x x m -+≥”的否定是（ ）A ．存在Z x ∈，使320x x m -+≤B ．不存在Z x ∈，使320x x m -+≥C ．对任意的Z x ∈，使320x x m -+≥D ．对任意的Z x ∈，使320x x m -+<4．已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭y P ，则cos2α=（ ） A ．12- B ．12 CD ．12± 5．已知边长为1的等边△ABC ，2BD DC =，则AB AD ⋅（ ） A ．23 B ．3 C ．152 D ．66．等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A ．“q >0”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件B ．“q >1”是“{}n a 为递增数列”的充分不必要条件C ．“q >0”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件D ．“q >1”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件7．函数()sin cos2f x x x =-是（ ）A ．奇函数，且最小值为-2B ．偶函数，且最小值为-2C ．非奇非偶函数，且最小值为98-D ．非奇非偶函数，且最大值为988．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0]∞-，上是单调递增的，设0.512a f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21log cos 33b f c f π⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c b a >> C ．b<c<a D ．c a b >>9．如图，AB 是圆O 的一条直径，且AB 4=.C 、D 是圆O 上的任意两点，CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．⎡⎤⎣⎦C ．⎡⎤⎣⎦D ．[]1,0-10．如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A ，B 两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三次函数的极值处）.在A ，B 两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为12（坡度即坡面与水平面所成角的正切值），经测量A ，B 两点在水平方向的距离为90m ，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）A ．20mB ．30mC ．45mD ．60m二、填空题11．已知()2,3a =，()3,2b =，则2a b -=___________．12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1101910a S ==，，则n S 取最大值时，n 的值为______.13．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（2πϕ<），给出下面三个论断：①()f x 在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ②()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称： ③()f x 的图象关于直线6x π=轴对称，以其中一个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______.（用论断的序号表示为形如“④⇒⑤⑥”的形式）14．已知函数4log (2),()23,x x x m f x x m +≤⎧=⎨->⎩，其中1m ≥-.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根，则m 的取值范围是______.15．如图，圆O 的半径为1m ，A 为圆O 上一点，动点M ， N 同时从A 点出发，M 沿着OA 方向向右以1m/s 的速度做匀速直线运动，N 沿着圆周按逆时针以1m/s 的线速度做匀速圆周运动，运动时间为t 时()()02πt ∈，，OMN 的面积为()1S t ，线段ON 扫过的扇形AON （阴影部分）的面积为()2S t ，则下列说法中正确的有______.（填入所有你认为正确的选项的序号）①当π3t =时，ONM ∠为钝角； ②当πt =时，M 、N 之间距离最大；③在πt 0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭这段时间，存在一个时刻使得MN 与圆O 相切； ④在()0,2πt ∈这段时间，恰有三个时刻使得()()12S t S t =.三、解答题16．已知函数1()2sin()cos()62f x x x ππ=-⋅++. (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()y f x =在区间[6π-，m ]上有且仅有三个零点，求实数m 的取值范围. 17．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且3a 是1a 与41a -的等差中项.(1)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市十一学校2011届高中数学会考模拟试题
姓名
一、选择题
1、若a b >，R c ∈，则下列命题中成立的是（ C ） A ．bc ac > B ．
1>b
a C ．2
2
bc ac
≥ D ．
b
a
11<
2、不等式21<-x 的解集是（ D ）
A ．3x <
B ．1x >-
C ．1x <-或3x >
D ．13x -<< 3、下列等式中，成立的是（ C ） A ．sin cos 22x x π
π⎛⎫⎛⎫
-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()sin 2sin x x π+=-
C ．()sin 2sin x x π+=
D ．()cos cos x x π+= 4、“0a =”是“0ab =”的（ A ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、函数()f x =
的定义域是（ A ）
A ．1x <-或1x ≥
B ．1x <-且1x ≥
C ．1x ≥
D ．11x -<< 6、若4sin 5
α=
，0
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则cos2α等于（ B ）
A ．
25
7 B ．－
25
7 C ．1 D ．5
7
7、若()1sin 1803
α+=
，则()cos 270α+= （ B ）
A ． 3
1 B ． 3
1- C ． 3
22 D ． 3
22-
8、函数x x x y 2
sin 21cos sin 2-+⋅=的最小正周期是（ B ）
A ．
2
π
B ． π
C ． π2
D ． π4
9、直线l 与两条直线1=y ，07=--y x 分别交于P 、Q 两点．线段PQ 的中点坐标为()1 1-，
，那么直线l 的斜率是（ C ） A ．
3
2 B ．
2
3 C ． 3
2-
D ． 2
3-
10、为了得到函数x y 2sin 3=，R x ∈的图象，只需将函数3sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，R x ∈的图象上所有的
点（ C ） A ． 向左平行移动3
π
个单位长度 B ． 向右平行移动3
π
个单位长度 C ． 向左平行移动
6
π
个单位长度
D ． 向右平行移动
6
π
个单位长度
11、如果()23a =- ，，()6b x =- ，，而且a b ⊥
，那么x 的值是（ D ）
A ． 4
B ． 4-
C ． 9
D ． 9-
12、在等差数列}{n a 中，32=a ，137=a ，则10S 等于（ C ）
A ． 19
B ． 50
C ． 100
D ． 120
13、把4名中学生分别推荐到3所不同的大学去学习，每个大学至少收一名，全部分完，不同的分配方案数为（ C ）
A ． 12
B ． 24
C ． 36
D ． 28
14、若a 、b 是异面直线，则一定存在两个平行平面α、β，使（ A ） A ． α⊂a ，β⊂b B ． α⊥a ，β⊥b C ． α//a ，β⊥b
D ． α⊂a ，β⊥b
15、甲、乙两个人投篮，他们投进蓝的概率分别为25，
12
现甲、乙两人各投篮1次则两个人都投进的概率
是（ A ） A ．
15
B ．
10
3 C ． 910
D ．
45
16、圆0204222=-+-+y x y x 截直线0125=+-c y x 所得弦长为8，则c 的值为（ D ） A ． 10 B ．-68 C ． 12 D ． 10或-68 17、已知等比数列{}n a 满足1223412a a a a +=+=，，则5a = （ B ） A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
18、已知点P （x ，y ）在不等式组20
10220
x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则12z x y =-+的取值范围
是（ B ）
A ．[－1，－1]
B ．[－1，1]
C ．[1，－1]
D ．[1，1] 19、如果执行右面的程序框图，那么输出的S 等于（ C ） A ．20 B ． 90 C ． 110 D ． 132
20、国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20 ，连环送活动”即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有680元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（ D ）
A ． 120元
B ． 136元
C ． 140元
D ．160元 二、填空题
21、点（－2，1）到直线3420x y --=的距离等于_________．
5
12
22、在[]ππ-，内，函数sin 3y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
为增函数的区间是__________．5
6
6ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦
， 23、计算︒⋅︒75cos 105sin 的值等于 ．14
24、半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆上，若正方体的一边长为6，则半球的体积是 ．18π
三、解答题
25、（8分）设222tan =θ， 2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，求
θ
θθθcos sin 1
sin 2
cos
22
+--的值．
解：2tan tan 1tan 22tan 2
-=⇒-=
θθθ
θ 2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
， 原式223tan 1tan 1sin cos sin cos --=+-=
+-=
θ
θθ
θθθ
26、（8分）已知三棱锥BCD A -，平面⊥ABD 平面BCD ，AB=AD=1，AB ⊥AD ，DB=DC ，DB ⊥DC ．
（1）求证：AB ⊥平面ADC ；
（2）求二面角D BC A --的平面角的余弦值； （3）求三棱锥BCD A -的体积．
（1）证明：
ADC AB BD
CD BCD ABD 平面平面平面⊥⇒⇒⊥⊥⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎬⎭⎬⎫ （2）解：取BD 中点E ，连结AE ，过A 作AF ⊥BC ，F 为垂足，连结EF ⎪⎪
⎪⎭
⎪
⎪
⎪⎬⎫⊥⎪
⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎭⎪
⎬⎫
⎭⎬⎫⊥⇒⊥⊥⇒⊥⇒=⊥BC AF BC EF BC AF BCD AE BD AE BD E AD AB BCD
ABD 面中点为面面
AFE ∠是二面角D BC A --的平面角
在ABD ∆中，2=
BD
在BCD ∆中，2
1=EF （3）3
1=
∆-S V BCD A 27、（8分）已知数列}{n a
（1）设n n n a a b 21-=+，求证}{n b 是等比数列；
（2）设n
n n a C 2
=，求证}{n C 是等差数列；
（3）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和公式．
解：（1）111124+-++++=+=n n n n n a a a S S ∴ 112424+-++=+n n n a a a ∴ ()11222n n n n a a a a +--=- 即：
()11
1
2222n n n n n n b a a n b a a +---=
=≥-且32121=-=a a b
∴ }{n b 是等比数列
（2）}{n b 的通项11123--⋅=⋅=n n n q b b ∴ ()1111
1
1
*
23
2
2
2
2
4
n n n n
n n n n n
n n a a a a b C C n N ++++++--=
-
=
=
=
∈ 又2
12
11=
=
a C ∴ }{n C 为等差数列
（3）∵ d n C C n ⋅-+=)1(1 ∴ ()1312
2
4
n n
a n =
+-⋅
∴ ()()2
*312
n n a n n N -=-⋅∈
()()2
142431223122n n
n n S a n n -+=⋅+=⋅-⋅+=-⋅+
∴ ()(
)1
*
342
2n n S n n N
-=-+∈。