2019-2020学年湖南省株洲二中高一(上)段考数学试卷及答案

2019-2020学年湖南省株洲二中高一（上）段考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）求值sin210°＝（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）已知角α终边上一点P（3，﹣4），则sinα+2cosα的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）一公司共有750名职工，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（）A．15B．25C．30D．354．（5分）若向量，则与的夹角等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知tanθ＝2，则的值为（）A．B．C．﹣3D．36．（5分）设是平面内的两个单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．B．C．1D．57．（5分）随机向面积为S的三角形ABC内投一点D，则三角形DBC的面积不超过的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．63B．127C．31D．309．（5分）在ΔOAB中，C为线段AB上的一点，满足，若，则（）A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝10．（5分）已知角α满足sinα•cosα≠0，则表达式的取值集合为（）A．{﹣2，0，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣2，2}D．[﹣2，2] 11．（5分）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，图象关于原点对称，则f （x）＝（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k有三个零点，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，请将答案填入答题卷中的相应位置）13．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）的单调递增区间是．14．（5分）某学校对100名学生的自主招生测试成绩进行统计，得到频率分布直方图（如图），则成绩不低于80分的学生人数是．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为AB的中点，则＝．16．（5分）定义运算：，若函数，则f（x）的最大值为．三、解答题（本大题共6个小题，共计70分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）平面内给定两个向量：．（1）若，求实数m；（2）若，求实数k．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜．（1）求函数f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值和g（x）取最小值时x的取值集合．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝1，AB＝2，CD＝3．M 为AB的中点，N在线段CD上，且．现沿边MN将四边形ADNM翻折，使得平面ADNM ⊥平面MBCN，如图2所示．（1）若F为CD的中点，求证：BF∥平面ADNM；（2）证明：BC⊥平面DNB．20．（12分）一研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下数据：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x/摄氏度812131110发芽数y/颗1826302520该学习组所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；（2）若选取的是4月1日与4月5日这2组数据做检验，请根据4月2日至4月4日这3组数据求出y关于..的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得的线性回归方程是否可靠？参考公式和数据：；12×26+13×30+11×25＝977，122+132+112＝434．21．（12分）已知一圆的圆心C在直线x+2y﹣1＝0上，且该圆经过（3，0）和（1，﹣2）两点．（1）求圆C的标准方程；（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于A，B两点，试求ΔABC面积的最大值和此时直线l的方程．22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）为“不动函数”．（1）求证：函数f（x）＝2x﹣1是“不动函数”；（2）若函数是“不动函数”，求实数k的取值范围．2019-2020学年湖南省株洲二中高一（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）求值sin210°＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°＝﹣sin（210°﹣180°）＝﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°＝﹣sin（210°﹣180°）＝﹣sin30°＝﹣故选：D．【点评】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．可以根据角的象限判断正负．2．（5分）已知角α终边上一点P（3，﹣4），则sinα+2cosα的值等于（）A．B．C．D．【分析】由题意利用本题主要考查任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得sinα+2cosα的值．【解答】解：∵角α终边上一点P（3，﹣4），∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝，则sinα+2cosα＝﹣+＝，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．（5分）一公司共有750名职工，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为14人，则样本容量为（）A．15B．25C．30D．35【分析】根据分层抽样的定义进行求解即可．【解答】解：设样本容量为n，则由题意得＝，解得n＝30，故选：C．【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．4．（5分）若向量，则与的夹角等于（）A．B．C．D．【分析】利用平面向量的数量积公式求模长和向量夹角的余弦值，再根据夹角的范围求出夹角的大小．【解答】解：设两个向量的夹角为θ，由•＝0×+2×＝2，||＝＝2，||＝＝2；所以cosθ＝＝＝．又θ∈[0，π]，所以θ＝．故选：B．【点评】本题考查了求两个向量的夹角问题，利用向量的数量积公式求出夹角的余弦值，是解题的关键．5．（5分）已知tanθ＝2，则的值为（）A．B．C．﹣3D．3【分析】直接利用商的关系化弦为切求解．【解答】解：∵tanθ＝2，∴＝．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6．（5分）设是平面内的两个单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．B．C．1D．5【分析】计算（2﹣3）2，开方即可得出|2﹣3|．【解答】解：由题意可知＝＝1，＝，（2﹣3）2＝4﹣12+9＝4﹣6+9＝7，∴|2﹣3|＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．7．（5分）随机向面积为S的三角形ABC内投一点D，则三角形DBC的面积不超过的概率为（）A．B．C．D．【分析】在三角形ABC内部取一点D，要满足得到的三角形DBC的面积是原三角形面积的，根据几何关系求解出它们的比例即可．【解答】解：记事件A＝{△DBC的面积小于等于}，基本事件是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（F、E分别是三角形的边上的二等分点），∵△AFE∽△ABC，且相似比为，∴＝，∴阴影部分的面积是整个三角形面积的，∴P（A）＝，故选：C．【点评】本题考查了几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比．对于几何概型常见的测度是长度之比，面积之比，体积之比，角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解．属于中档题．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v的值为（）A．63B．127C．31D．30【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x＝2，v＝1，k＝1，满足进行循环的条件，v＝2+1＝3，k＝2，满足进行循环的条件，v＝（2+1）×2+1＝7，k＝3，…可得：v＝26﹣1＝63，故输出的v值为：63．故选：A．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答，属于基础题．9．（5分）在ΔOAB中，C为线段AB上的一点，满足，若，则（）A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝【分析】由已知可得C是AB的靠近B的三等分点，利用数形结合和三角形法则即可求解．【解答】解：由已知可得|AC|＝|AB|，如图所示：在三角形OAC中，＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理，涉及到数形结合思想，属于基础题．10．（5分）已知角α满足sinα•cosα≠0，则表达式的取值集合为（）A．{﹣2，0，2}B．{﹣1，1，2}C．{﹣2，2}D．[﹣2，2]【分析】由题意利用诱导公式，求得结果．【解答】解：角α满足sinα•cosα≠0，则对于表达式，当k为偶数时，+＝1+1＝2，当k为奇数时，+＝﹣1﹣1＝﹣2，则表达式的取值集合为{2，﹣2}，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．11．（5分）已知函数的图象上相邻两条对称轴的距离为，将f（x）的图象向左平移个单位长度后，图象关于原点对称，则f （x）＝（）A．B．C．D．【分析】由题意利用余弦函数的性质求出ω，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ，可得f（x）的解析式．【解答】解：函数的图象上相邻两条对称轴的距离为＝，∴ω＝2，f（x）＝cos（2x+φ）．将f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得y＝cos（2x++φ）的图象，∵所得图象关于原点对称，∴+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，则f（x）＝cos（2x+），故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．12．（5分）设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣k有三个零点，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．B．C．D．【分析】根据x的范围求出2x﹣的范围，看成一个整体设为t，则转化为函数f（t）＝2sin t，再根据条件吧零点问题转化为方程根问题再转化为图象交点问题，根据图象即可求解．【解答】解：因为x，所以2x﹣，设t＝2x﹣，则f（t）＝2sin t，t，而g（x）＝f（x）﹣k有3个零点转化为方程f（x）＝k有三个根，设三个根分别为x1，x2，x3，进而可以转化为函数y＝f（t）与函数y＝k图象有三个交点，如图：则设三个交点分别为t1，t2，t3，则，且，所以t1+2t2+t3＝4π，则（2x1﹣）+2（2x2﹣）+（2x3﹣）＝4π，所以x1+2x2+x3＝，故选：B．【点评】本题考查了函数零点与方程根的问题，涉及到三角函数图象性质，属于基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，请将答案填入答题卷中的相应位置）13．（5分）函数f（x）＝sin（2x+）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【分析】根据正弦函数的单调性，求出f（x）的单调递增区间．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．14．（5分）某学校对100名学生的自主招生测试成绩进行统计，得到频率分布直方图（如图），则成绩不低于80分的学生人数是25．【分析】先求出成绩不低于80分的学生所占频率，由此能求出100名学生的自主招生测试成绩不低于80分的学生人数．【解答】解：由频率分布直方图得：成绩不低于80分的学生所占频率为：（0.015+0.010）×10＝0.25，∴100名学生的自主招生测试成绩不低于80分的学生人数为：100×0.25＝25．故答案为：25．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为AB的中点，则＝﹣2．【分析】用表示出，，再计算数量积．【解答】解：＝，＝，∴＝•（）＝﹣，∵AB⊥AD，AB＝2，∴＝0，＝4，∴＝0﹣2＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．16．（5分）定义运算：，若函数，则f（x）的最大值为2．【分析】由题意分段写出函数解析式，再求出﹣1≤cos x≤0时函数的最大值，则答案可求．【解答】解：由，得2（1﹣cos2x）﹣2cos x﹣2≥0，即﹣1≤cos x≤0．∴＝．当﹣1≤cos x≤0时，函数y＝＝＝＝≤2．当0＜cos x≤1时，f（x）＝．∴f（x）的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查分段函数的应用，考查考生的最值及其几何意义，训练了三角函数最值的求法，是中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共计70分，答题应写出详细的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）平面内给定两个向量：．（1）若，求实数m；（2）若，求实数k．【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求得m的值．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求得k的值．【解答】解：（1）∵两个向量：，显然，、不共线，若，则＝，求得m＝±1．（2）∵，∴（2+k）•＝2+k＝2（﹣4+0）+5k＝0，∴k＝．【点评】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量数量积公式，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）+B的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜．（1）求函数f（x）的表达式；（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数g（x）的图象，求g（x）的最小值和g（x）取最小值时x的取值集合．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．【解答】解：（1）由图可知：A+B＝4，且﹣A+B＝0，求得A＝2，B＝2．∵•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，2×+φ＝，∴φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）+2．（2）将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，可得y＝2sin（2x﹣+）+2＝2sin（2x﹣）+2的图象；再向下平移2个单位长度后，得到函数g（x）＝2sin（2x﹣）的图象．故当2x﹣＝2kπ﹣时，即x＝kπ﹣，k∈Z时，g（x）取得最小值为﹣2，此时，x的取值集合为{x|x＝kπ﹣，k∈Z}．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD＝1，AB＝2，CD＝3．M 为AB的中点，N在线段CD上，且．现沿边MN将四边形ADNM翻折，使得平面ADNM ⊥平面MBCN，如图2所示．（1）若F为CD的中点，求证：BF∥平面ADNM；（2）证明：BC⊥平面DNB．【分析】（1）取DN的中点E，连接EF、ME，推导出EFBM为平行四边形，从而BF∥ME，由此能证明BF∥平面ADNM．（2）推导出DN⊥NM，从而DN⊥平面MBCN，得DN⊥BC，由勾股定理得NB⊥BC，由此能证明BC⊥平面DNB．【解答】证明：（1）如图，取DN的中点E，连接EF、ME，又F为CD的中点，得：EF∥NC，且EF＝，由图1知：MB∥NC，MB＝NC，且折叠后不变，所以EF与MB平行且相等，则EFBM为平行四边形，所以BF∥ME，又BF⊄平面ADNM，ME⊂平面ADNM，所以BF∥平面ADNM．（2）在四边形ADNM中，DN⊥NM，又因为平面ADNM⊥平面MBCN，且平面ADNM∩平面MBCN＝MN，所以DN⊥平面MBCN，得DN⊥BC，在直角梯形MBCN中，NB＝，BC＝，NC＝2，满足NB2+BC2＝NC2，所以NB⊥BC，又DN∩NB＝N，所以BC⊥平面DNB．【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）一研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下数据：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日温差x/摄氏度812131110发芽数y/颗1826302520该学习组所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天的数据的概率；（2）若选取的是4月1日与4月5日这2组数据做检验，请根据4月2日至4月4日这3组数据求出y关于..的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）所得的线性回归方程是否可靠？参考公式和数据：；12×26+13×30+11×25＝977，122+132+112＝434．【分析】（1）设抽到相邻两组数据为事件A，求出从 5 组数据中选取2 组数据总情况，抽到相邻两组数据的情况数，然后求解P（A）．（2）求出回归直线方程的相关系数，然后求解回归直线方程．（3）利用回归直线方程求出当x＝8时，当x＝10时的残差，即可判断结果．【解答】解：（1）设抽到相邻两组数据为事件A，因为从5 组数据中选取 2 组数据共有10 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4 种，所以P（A）＝＝．（2）＝＝12，＝＝27，＝＝＝，＝27﹣＝﹣3，故所求线性回归方程为：＝﹣3．（3）由（2）知＝﹣3．当x＝8时，＝17，18﹣17＝1＜2，当x＝10时，＝22，22﹣20＝2≤2，与检验数据的误差都不超过2颗，故认为得到的线性回归方程是可靠的．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．21．（12分）已知一圆的圆心C在直线x+2y﹣1＝0上，且该圆经过（3，0）和（1，﹣2）两点．（1）求圆C的标准方程；（2）若斜率为﹣1的直线l与圆C相交于A，B两点，试求ΔABC面积的最大值和此时直线l的方程．【分析】（1）法一求出AB的中垂线方程为x﹣y﹣1＝0，通过，得到圆心C 的坐标为（1，0），求出半径然后求解圆C的标准方程；法二：设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，依题意列式计算出a，b，r即可．（2）根据题意，设直线l的方程为y+x+m＝0，求出圆心C到直线l的距离以及弦|AB|的值，进而可得用d表示△ABC面积，结合二次函数单调性求得S的最大值，【解答】解（1）法一：（3，0）和（1，﹣2）两点的中垂线方程为：x+2y﹣1＝0，圆心必在弦的中垂线上，联立，得C（1，0），半径r＝2，所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝4，．法二：设圆C的标准方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由题得：，解得：，所以圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2＝4；（2）设直线l的方程为x+y+m＝0，圆心C到直线l的距离为d，d＝，且d∈（0，2），|AB|＝2＝2，ΔABC面积S＝|AB|＝d＝，∴当d2＝2，d＝∈（0，2）时，S取得最大值2，此时＝，解得：m＝1或m＝﹣3，所以，直线l的方程为：x+y+1＝0或x+y﹣3＝0．【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系以及二次函数单调性的应用，属于综合题．22．（12分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）为“不动函数”．（1）求证：函数f（x）＝2x﹣1是“不动函数”；（2）若函数是“不动函数”，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据函数f（x）＝2x﹣1是递增函数，可得2a﹣1＝a，2b﹣1＝b，可得a，b的值，即可证明；（2）函数是“不动函数”，即g（x）＝x在区间[﹣1，+∞）有两个不同的实数解，即可求解实数k的取值范围．【解答】证明（1）：要证存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，即f （x）＝2x﹣1是与y＝x必有两个交点，又由于f（x）＝2x﹣1在R是一个单调递増的函数，故只需证存在实数a，b满足a＜b，且有2a﹣1＝a，2b﹣1＝b，可得f（1）＝21﹣1＝1，f（2）＝22﹣1＝2，即存在a＝1，b＝2符合题意，故函数f（x）＝2x﹣1是“不动函数”．解（2）：由题，g（x）的定义域为[﹣1，+∞），存在实数a，b满足﹣1≤a＜b，使得g （x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则g（x）＝x在区间[﹣1，+∞）有两个不同的实数解，由于函数是在定义域[﹣1，+∞），上单调递増，从而有该方程组等价于方程g（x）＝x在[﹣1，+∞）有至少2个解，即k＝x﹣在[﹣1，+∞）上至少有2个解，即y＝k和y＝的图象至少有2个交点，记t＝，则t＞0，且x＝t2﹣1，从而有k＝t2﹣t﹣1，记h（t）＝t2﹣t﹣1，配方得h（t）＝（t﹣）2﹣，又h（0）＝﹣1，由二次函数h（t）＝t2﹣t﹣1的图象可知，k∈（，﹣1]时有两个交点，综上，k的取值范围为（，﹣1]．【点评】本题考查指数函数的单调性，新定义的理解和转化思想的应用，二次函数的性质综合应用问题，属于中档题．。