数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则

数列极限的准则、 运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
lim
n
xn
lim
n
yn
特别地,两个无穷小量的和仍是无穷小量.
2021/3/22
12
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例
求
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无穷小之和．先变形再求极限.
lim n
xn
a.
2021/3/22
3
推论（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) a xn zn ,( yn xn a) ,(n N),
(2)
lim
n
zn
a,
则
数列
(
xn
)n1的极
限存在,
且
lim
n
xn
a.
2021/3/22
4
例1 求 lim( 1 1 1 ).
0, N1 0, N2 0, 使得 当 n N1时恒有 yn a ,
当
n
N
时恒有
2
zn
a
,
取 N max{ N1, N2 }, 上两式同时成立, 即 a yn a , a zn a ,
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
n2 n
2021/3/22
5
例2
求数列{ n 1 n}的极限.
解：
( n 1 n)( n 1 n) n1 n
n1 n
1
1
.
n1 n n
取xn 0,
zn
1 ,
n
yn
n1
n
则有 xn yn zn
2021/3/22
6
lim 1 0, lim 1 0
n n
n n
即
lim
n
28
小结
数列与数列极限
1.数列
2.数列极限的定义
数列极限的性质 1、有界性 2、唯一性 4.极限的夹逼性 数列极限的四则运算
3. 保序性
2021/3/22
29
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
xn
1
1
1 2!
1 n!
1
1
1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
记为 lim(1 1)n e
n
n
(e 2.71828)
2021/3/22
26
例1考察下列数列的极限
1.yn a a a a , a 0
b2 2
取 N max{ K, N1, N2},
2021/3/22
当 n N时, 恒有
17
于是,|
xn yn
a b
|
|b||a|
b2 / 2
2(| b | | a |)
b2
即lim n
xn yn
a b
lim
n
xn
/
lim
n
yn
2021/3/22
18
例8.考察lim a0nk a1nk1 n b0nl b1nl1
n n2 n
2021/3/22
8
例4 1. 求 lim n 1n 2n 3n . n
解 n 3n n 1n 2n 3n n 3 3n ,
3 n 1n 2n 3n 3 n 3,
又 lim 3 3 , lim 3 n 3 3 ,
n
n
由夹逼定理得
lim n 1n 2n 3n 3 .
nn
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2)(1 n 1).
2! n
n! n n
n
2021/3/22
25
类似地,
xn1
1
1
1 (1 2!
1 n
) 1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n 1)
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
ak bl
, a0
0, b0
0
例9.求 lim[ 1 cos n n2 1 ]
n n
2n2 1
例10. lim n ( n 1 n ) n
2021/3/22
19
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 单调数列 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
n
2021/3/22
9
1 n
2. lim n
n2
0
3.设a1, a2, , ak是k个正数，证明
lim
n
n
a1n
a2n
akn max(a1, a2,
, ak )
2021/3/22
10
数列极限的运算性质:
若 lim n
xn
a, lim n
yn
b, 则
1.lnim{xn yn} a b.
2. lim n
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1
n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
2021/3/22
13
证2 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
2.设yn (x) sin sin sin sin x ,其中x R,
n
证明{yn}的极限存在，并求此极限。
2021/3/22
27
例.求下列数列的极限
(1)设x1
1,
x2
1,
xn
n k 3
1 ,求 lim k(k 1) n
xn
(2)设an
2n
2, xn
n
k 1
ak
,
求
lim
n
xn
2021/3/22
2021/3/22
22
设
lim
n
xn
A
,
xn1 3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A,
解得 A 1 13 , A 1 13
2
2
1 13
lim n
xn
2
.
(舍去)
2021/3/22
23
例2
设数列
{
xn }为：x1
c 2
,
xn1
c 2
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有
上两式同时成立,
lim
n
xn
a,M
0,
使 | xn | M
2021/3/22
14
当 n N时, 恒有
| xn yn ab || xn yn xnb xnb ab | | xn yn xnb | | xnb ab | | xn || yn b | | b || xn a |
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
取 N' max{ N1, N2}, 当 n N '时, 恒有
上两式同时成立,
2021/3/22
16
| xn a | | bxn ayn |
yn b
| yn || b |
| b || xn a | | a || yn b | | yn || b |
byn
b2
b2 2
K ,当n
K时, 有byn
xn 2
, 其中
0
c
1
,
求
lim
n
xn
.
证
xn
2n 1 2n c
,
lim
n
xn
lim
n
2n 2n
1
c
c.
2021/3/22
24
定义 lim(1 1)n e
n
n
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 1! n 2! n2
n(n 1)(n n 1) 1
n!
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
2021/3/22
20
准则II实际上包含两点： 1）若{ xn } 单调增加且有上界，则 { xn } 必有极限. 2）若{ xn } 单调减少且有下界，则 { xn } 必有极限.
2021/3/22
21
例1 证明数列 xn 3 3 3 (n重根
xn
lim
n
zn
0.
由极限的夹逼性 lim( n 1 n) 0. n
2021/3/22
7
注： 数列极限的四则运算法则只能推广到有限个 数列的情况，而不能随意推广到无限个数列上去.
例如
1 lim(
1
1
)
n n2 1 n2 2
n2 n
1 lim
1 lim
lim
1
0.
n n2 1 n n2 2
式)的极限存在.
证 x1 3 3,
则有 xk1 3 xk
xn是有界的 ;
又 x2 3 x1 3 3
假定 xk 3,
3 3 3,
( 3)2 3 x1 ,
假定 xk1 xk , 则有 xk2 3 xk1 3 xk xk1
xn是单调递增的 .
lim n
xn
存在.