太原理工大学2010研究生数理统计期末试题及答案

8 设ˆn 是 的渐近无偏估计，其中 n 为样本的容量，若 n 时，ˆn 的方差趋于零，则ˆn 一定是 的相合估计(√) 9 在真实水平 的假设检验 H0 : 0, H1 : 1 中,不犯第二类错误的概率总不小于
犯第一类错误的概率(√)
10 设 t 为 t 分布的 上侧分位数, 设 u 为标准正态
解:
方差来源 离 差 平 方 自由度
均方离差 F 值
显著性
和
因素 A
74.91
2
37.46
70.02
*
因素 B
35.17
3
11.72
21.91
*
误差
3.21
6
0.535
总和
113.29
11
依据为 FA 70.02 5.14 F0.05 (2,6), FB 21.91 4.76 F0.05 (3,6) 故可以认为因素 A 和因素 B 对指标都有显著影响.
H0
:
pi

1 2
,
H1
:
pi

1 (i 2
1,2)
ˆ
2 n

m (ni
i 1
npi0 )2 npi0
1
其中 n
100, n1

45, n2

55,
p10

p20

1 ,m 2

2
对给定检验水平
1%
，
2 0.01
(2
1)

6.635
ˆ
2 n

1

6.635
,故接受原假设,即认为该硬
小,或使 P{| d | 0.1| x} d 0.1h( | x)d 达到最大,只要取 d 为后验分布 h( | x) 的均值, d 0.1
n
Xi
则贝叶斯估计为 d ( X ) i1 1 n
六、在一项关于公共场所限制吸烟的提案调查中，根据被调查者的性别和对该提案的态度
2010 年试题 判断题 1 若ˆ 是未知参数 的最大似然估计量,则ˆ 一定是唯一的(×) 2 若ˆ 是未知参数 的无偏估计, g( ) 为连续函数,则 gˆ ( ) 是 g( ) 的无偏估计(×)
3 若ˆ 是未知参数 的最小方差无偏估计量, 则ˆ 一定是 的有效估计量(×)
本 ( X1, X 2 X 9 )T ,则当给定的检验水平为 1% 时,检验函数

(
x)

1,
3(x 3) 2.32 .
0, 3(x 3) 2.32
5 设 ( X1, X 2 X n )T 为服从区间 (0, ) 上均匀分布的总体 X 的一个简单随机样本,则其次 序统计量 ( X (1) , X (2) , X (n) )T 的分布密度 f (x1, x2,, xn ) n!/ n . 6 设总体 X 的方差 DX 存在且大于零, ( X1, X 2 X n )T 为其简单随机样本,则相应样本均值 X 的渐近分布
9 设总体 X ~ N (, 2 ) ,其中未知参数 2 0 的先验分布 ( ) 1,
( X1,
X 2 X n )T
为其简单随机样本,则
2
的后验分布
h(
|
x)
为
I( n 2
1,
1 2
n i 1
X
2 i
)
分布的
分布密度. 10 在一元线性回归 Y x , ~ N (0, 2 ) 中,设 (xi , yi ),i 1,2,n 位给定的回归
币是均匀对称的.
五、设 ( X1, X 2 X n )T 为来自总体 X ~ N ( ,1) 的简单随机样本，未知参数 的先验分布
为
N
(0,1)
分布，损失函数为
L(
,
d
)

1, 0,
| d | 0.1 ，试求 的后验分布和贝叶斯估 | d | 0.1
计量
n
xi
七、设在某两因素非重复的方差分析中，根据试验数据，已算得方差表的部分数据，得到
下面尚不完整的方差分析表：
方差来源 离 差 平 方 自由度
均方离差 F 值
显著性
和
因素 A
74.91
因素 B
3
误差
3.21
6
总和
113.29
11
在给定显著水平 0.05 时，请将上面的方差分析表填写完整，并给出显著性判别的依据
2 的无偏估计量的罗-克拉默(Rao-Cramer)下界为 2 4 . n
n
3 设总体 X ~ N (10,1) ,简单随机样本 ( X1, X 2 X n )T ,则统计量 Y ( X i X )2 的分布为 i 1
2 (n 1)
4 设总体 X ~ N (,1) ,欲检验问题 H0 : 3, H1 : 5 现给定其容量 n 9 的简单随机样
样本，则其(经验)线性回归方程中的回归系数 ˆ 服从 N ( , n 2 ) 分布
(xi x)2
i 1
三、设总体 X 为服从区间 (0, ) 上均匀分布， ( X1, X 2 X n )T 为其简单随机样本，试求 未知参数 的最小方差无偏估计量
解:因为 X (n) 是 的充分完备统计量
E( X (n) )
E(n 1 n
n n
X (n) )
xndx
0


n
n
1
,
,
E[ n 1 n
X (n)
|
X (n) ]

n 1 n
X (n)为
唯一的最小方差无偏估计量
四、重复掷一硬币 100 次，若其结果为 45 次背面朝上，55 次正面朝上，现给定检验 水平 1% ，问该硬币是否均匀对称？ 解: 记 1 表示背面,2 表示正面
分类，所得结果如下表。现给定检验水平 5% ，问性别是否会对提案的态度有影响？
赞成
反对
男
70
30
女
80
20
解: X 和Y 分别表示性别和态度
H0 : X ,Y独立
r s 2, n 200
ˆ

2 0.05
(1)

3.84
2.667<3.84,故接受原假设,认为性别对提案的态度没有影响.
为 N (EX , DX )或N (EX , Sn2 )
n
n
7
设总体 X
~
N
(,
2 0
)
,其中方差
2 0
已知,则均值

的置信度为1


的单侧置信下限为
X
u
0 n
.
8 在关于未知参数 的贝叶斯估计中,当损失函数为绝对值损失函数 L( , d ) | d |
时, 的贝叶斯估计为其后验分布 h( | x) 的中位数
八、设在一元线性回归模型：Y x , ~ N (0, 2 ) 中，根据 12 次试验所的数据计算
得到
12
12
12
12
12
xi 800, yi 811, xi2 53418, yi2 54849, xi yi 54107,
i1
i1
i1
i1
i1
试求（经验）回归直线方程
n
n
n
xi yi nx y
解:
ˆ
(xi x)(Yi Y ) /
( xi
x)2

i 1 n
i 1
i 1
xi2 n x2
i 1
ˆ 0.476,ˆ y ˆ x 35.82
Yˆ 35.82 0.476x
4 若ˆ 是未知参数 的一个无偏充分完备估计量,则必为 的唯一的最小方差无偏估计 量(√) 5 在单因素分析中，组间离差平方和 QA 仅反映因素水平改变所引起的数据波动(×) 6 未知参数 的矩估计不一定存在(√) 7 在假设检验中，若经检验后零假设 H0 被拒绝,则说明其假设 H0 是不正确的(×)
分布的 上侧分位数,则当 0 充分小时,总有 t u (√)
二填空题 1 设总体 X ~ B(1,0.5) F5 (x) 是由其简单随机样本 ( X1, X 2 X 5 )T 确定的经验分布函数,
则 P{F5 (0.2) 0} 0.55
2 设总体 X ~ N (0, 2 ) ,简单随机样本 ( X1, X 2 X n )T ,则
解: h( | x)为正态分布N ( i1 ,
1
)的密度函数
1 n 1 n
后验风险
R(d | x) E[L( , d ) | x] P{| d | 0.1| x} 1 P{| d | 0.1| x}
由于贝叶斯估计是使贝叶斯风险最小的决策,也是后验风险最小的决策,使 R(d | x) 达到最