19数学分析课件含参量积分.doc

第十九章含参量积分

目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质

重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明

第一节含参量正常积分

•含参量正常积分的概念

1定义

设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数

/⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c

设二元函数/(、,)，)在区域

G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a

c(x\d(x)^[a,h]上的连续函数，且对伍,用内每一点们函数

/(x,y)关于y在闭区

间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数

d(；)

F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2)

c由

称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分.

二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性

1连续性

定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d

Z(x)= 在[。㈤上连续.

C

证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或

k<0),于是

d

Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3)

c

由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数

S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要

X,-X2\<3,_光|<$

就有F3，)"-/(尤2,光』<£⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 ,

Z(x + Ar)-/(x)|< j|/(x + Ar,y)-/(x,y)\dy < ^dy = ^d-c) c c

这就证得/(x)在[。,用上连续.

(同理，若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,b]x[c.d]上连续，则函数b

♦3)二在[。挪]上连续.)

a

定理19. 1的结论可写成:若二元函数/(x,y)在矩形区域7? = Mx[c,d]±连续，则

Vx0E [a.b]都有lim \f(x,y)dy = Jlim(极限运算与积分运算交换顺序)・人 > 人0 °」人 >

C C

定理19. 2(连续性)设二元函数f(x,y)在区域

G - {(3)|心)< y V d(x), a

则函数

d(;)

F(x)二J7(x,y)4y, -xe [a.b](6)

c(x)

在R司上的连续.

证明：对积分(6)作换元，令y = c(x) + r(rf(x)-c(x)),贝U

I

F(x)= j/(x, y)dy = |/(x, c(x) + t{d (x) - c(x)))( J (x) - c{x))dt c(x)0

由T* f (x,c(x) 4-(J(x) -c(x)))(J(x) -c(x))在矩形[a,/?]x[o, l]_t连续,由定理19. 1 HP

得F(x)在［M］上的连续.

2 可微性

定理19.3 （可微性）若函数/（x, y）与其偏导数—f（x,），）都在矩形区域R =

[a.b]x [c,d] ex

上连续，则/⑴=Jf（尤,）,知在[。,司上可微，且

C C

证明：设XE[a.b],对充分小的Ar,有x + （若尤为区间端点则考虑单侧导数），于是

/（＞ + 耸）-/（尤）=[f Cx + Ax，v）-r（x,）O 治

Ax ? A A'

由于拉格朗日中值定理及—/（x,y）在矩形区域R = [M]x[c,出上连续（从而一致连续），dx 即对任给的正数总存在某个正数$,只要1*1 ＜5,就有

—+ &：'）顼号'）_ h（号』=|兀（"0 k,），） - 以3】＜，（0 曷＜I）因此芸_]/,（3肉亦爪+愆J顼2）一演,），"，＜如-c）c C

这就证得对一切x G \a,b\,有—/(%)= f (x, y)dy .

dx /永

定理19. 4（可-微性）若函数/（x, y）与其偏导数—/（x, y）都在区域/? = [□,/?]x [p,q]

上连dx

续，c(x), d(x)为定义在[a,b]l.其值含于[p,q]的可微函数，则F(x)= J/(x,y)dy ,在[G,。]c(x)上可微，且

矿O)= f fxy)dy + /(x,d(x))d\x) -/(x,c(x))c r(x) (7)

c(x)

证把F(W看作复合函数：

d

F(x) = H(x,c,d)=其中c = c(x), cl = d{x)

c

由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有

d 8H dH d

e 5H dd

——F(x) = 一 + ------ + -------

dx dx de dx dd dx

%1亿.3,)%> + /0,"0))/3) -/(x,c(x))c\x) c(x)

可枳性

定理19. 5(可积性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a.h]x[c y d]±连续，则函数

d b

/(x)= J/O,y)d.y 和/(y)= ^f(x.y)dx分别在［。，司和［c,出上可积. c a

证由/(x), J(y)的连续性即知.

定理19. 6(可积性)若二元函数/(x,y)在矩形R = [M]x[c,d]上连续，则

h d d b

\dx y)dy = py j/(x, y)dx