高等数学课件第2章 导数与微分

f (x0
)
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
f (x0
)
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0 )
（2-6） （2-7）
2.1.3 导数的几何意义
定义2-2 设平面直角坐标系中一条曲线的方程 为y f (x) 。点P是该曲线上的一个定点，点Q是 该曲线上的一个动点。当点Q沿该曲线无限接近 点P时，如果割线PQ存在极限位置PT，则称直线 PT为曲线 y f (x) 在点P的切线，如下图所示。
定理2-4 函数 y f (x)在点 x0可微的充分必要条件是
该函数在点 x0可导。此时 A f (x0 ) ，即有
dy f (x0 )x
（2-38）
证明
➢ 函数可微和可导是等价的。因此，（2-35）式
可写成
y f (x)x (x)
（2-39）
或
y dy (x)
（2-40）
例2-26 求函数y x3 在x=1处，x 0.1和x 0.01时的 增量和微分。(详细解答)
或 x x0
dy dx
等。 x x0
如果极限（2-1）不存在，则称函数 f (x) 在点 x0 处不
可导。
2.1.2 导数的定义(续一)
导数的定义式（2-1）也可取其它不同的形式，常见
的有
f
( x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 )
（2-2）
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
Ax 称为函数y f (x)在点 x0相应于自变量增量x 的微分，记作dy ，即
dy Ax
（2-36）
当 A 0时，Ax 是y 的主要部分（ x 0）。由
于Ax 是x的线性函数，因此，微分dy(Ax)称为
的线性主部（ x 0 ）；当 x很小时，有
y dy
（2-37）
2.4.1 微分的定义(续二)
v v
例2-9 求函数 f (x) 2x sin x 的导数。 例2-10 求函数 f (x) cosx ln x 的导数。 例2-11 求函数 f (x) tan x 的导数。 详细解答
2.2.3 复合函数的求导法则
定理2-3 设y=f(u)，u=g(x)，且g(x)在点x处可导，f(u)
8)
2
(0 t 2) (2 t 8) (8 t 12)
来描述，求速度函数v(t)。
详细解答
2.2.7 求导例题(续二)
例2-22 由工程力学知，梁横截面上的弯矩M和剪 力 FS 分别是该横截面位置x的函数，并
且FS (x) M (x) 。某梁的弯矩由分段函数
M (x)
7
ql 2
2.2.2 导数的四则运算法则
定理2-2 设函数 u u(x)和 v v(x)在点x处都可导，
(u v) u v
（2-13）
(uv) uv uv
（2-14）
(u ) uv uv
v
v2
(v(x) 0)
（2-15）
选择证明
2.2.2 导数的四则运算法则(续)
注意：(uv) uv，(u ) u 。
y [ (x)]
dy dy dt dy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
dt
dy (t) dx (t)
dy yt dx xt
（2-29）
2.2.6 (续二)
例2-17 求本节开始时介绍的斜上抛物体在时刻的运 动速度的大小和方向。
例2-的18法求线摆方线程。yx
例2-12
求函数U sin(5t )的导数。
2
例2-13 求函数 f (x) x 的导数。
详细解答
2.2.4 隐函数求导法
显函数 隐函数 例2-14 求由方程xy+y-x-8=0所确定的函数y=f(x)的
导数。 用两中方法解答 隐函数求导法 例2-15 用隐函数求导法求函数y=arcsinx的导数。 详细解答
a(t a(1
sin t)（a为正常数）相应于t
cost)
3
详细解答
2.2.7 求导例题
例2-19 求下列函数的导数（其中只有x、t是自变
量）。
(1)
y
x3
5x2 x2
x3
(2) f (x) (3x2 2x 3)3
(3) y at a t
(4) y ln(x x2 a2 )
例2-20 求下列函数在指定点的导数值。
➢ 利用右图说明函数以及它的导 函数的关系 。
➢ 对于任何函数 ，导数等于 0意味着它的函f数(x)图像上的对 应点的切线是一条水平线。
2.1.3 导数的几何意义(续三)
例2-5 求抛物线线 y 1 x2 在点 (2,1)处的切线方程和4法线方程。
详细解答
2.1.4 可导与连续的关系
定理2-1 如果函数y f (x) 在点x0 处可导，则函数在点 x0 连续。
2.1.2 导数的定义(续三)
函数 f (x)在点 x0处的导数 f (x0 ) 就是导函数 f (x)在点 x x0 处的函数值，即
f (x0 ) f (x) xx0
通常，如果求函数 f (x)在点x0 处的导数，就用先求导 函数 f (x) ，再将点 x x0 代入的方法求导数。
有了导数的概念，前面介绍的变速直线运动的瞬时 速度与电流强度可分别写成导数的形式：
（2-3）
如果函数f (x) 在开区间D内的每一点x处都可导，就 称函数 f (x) 在开区间D内可导，其导数一般是x的 函数，这个函数称为原来函数y f (x)的导函数， 简称导数，记为 y 、f (x) 、dy 或 df (x) 。
dx dx
2.1.2 导数的定义(续二)
➢ 将（2-1）式和（2-2）式中的 x0 换成x，即得到导 函数的定义式
例2-24 已知物体的运动规律为s Asin（t 其中A 、
为常数），求物体运动的加速度，并验证
d2s 2s 0
dt 2
例2-25 求y=sinx的n阶导数。
详细解答
2.4 微分及其应用
2.4.1微分的定义 2.4.2微分的几何意义 2.4.3基本初等函数的微分公式
与微分运算法则 2.4.4微分在近似计算中的应用 2.4.5利用微分估计误差
a d [ f (x)] [ f (x)] dt
f (x) d 2 y d (dy) dx2 dx dx
二阶导数
2.3 高阶导数(续)
y, y (4) ,, y (n)
d3 dx
y
3
,
d4 dx
y
4
,,
dn dx
y
n
三阶导数 n阶导数 高阶导数
例2-23 求y 4x3 3x2 x 5的四阶导数。
2.2.4 隐函数求导法(续)
反函数求导法：如果函数y f (x) 和它的反函数 x f 1( y)
在对应区间都是单调函数，则有
dy 1 dx dx
（2-26）
dy
例2-16 求椭圆 x2 y2 1 在点 (2 2, 3 2 ) 处的切线方
程。
16 9
2
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详细解答
2.2.5 基本初等函数的导数公式
说明各导数公式间的异同，介绍记忆方法
2.2.6 参数方程确定的函数的导数
举例
y
x v1t
v2t
1 2
gt
2
y v2 x g x2
v1
2v12
2.2.6 (续一)
由参数方程所确定的函数
x (t) y (t)
（2-28）
t (x)是x (t)的反函数，单调且连续。
y (t)
t (x)
y lim f (x x) f (x)
x0
x
（2-4）
f (x) lim f (x h) f (x)
h0
【说明】
h
（2-5）
(1)在（2-4）和（2-5）两式中，虽然x可以取开区间
D内的任何数值，但在极限过程中，x当作常量，x
或h是变量。
(2)在没有特别说明的情况下，导数是指导函数。如
果给出了具体的点，导数是指该点的导数值。
Q Q(t0 t) Q(t0 )
(2) 定比值
_
i
Q
Q(t0
t)
Q(t0 )
(3) 取极限 t
t
i(t0 )
lim
t 0
Q t
lim
t 0
Q(t0
t) t
Q(t0 )
2.1.2 导数的定义
定义2-1 设函数 y f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义， 当自变量x在 x0 处取得增量 x(x 0 ，点x0 x 仍在 该邻域内）时，相应地函数 f (x) 取得增量
2.4.1 微分的定义
实例
A x2 A (x0 x) x02 2x0x (x)2
A 2x0x
2.4.1 微分的定义(续一)
定义2-3 设函数y f (x)在某区间内有定义，x0及x0 x 在该区间内，如果函数的增量 y可表示为
y Ax (x)
（2-35）
其中A是不依赖于x 的常数，而(x)是x的高阶 无穷小，则称函数y f (x)在点 x0是可微的，而
2.2.1 按定义求导数
例2-6 求函数f(x)=sinx的导数。 详细解答 讲解原来函数与它的导函数图像间的关系
2.2.1 按定义求导数(续)
例2-7 求函数 f (x) log a x(a 0, a 1) 的导数。 例2-8 求函数 f (x) a x (a 0, a 1) 的导数。 详细解答