等腰三角形中垂线角平分线培优题
等腰三角形、角平分线、中垂线doc资料
等腰三角形、角平分线、中垂线一、角平分线、中垂线例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ∆的周长为28，BC=8，则BCE ∆的周长为 ．例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF例3 如图，在ABC ∆中，ο108=∠A ，AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线．例5 如图，在ABC ∆中，C ABC ∠=∠3，21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD训练一下：1．如图，在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，BE 平分ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1cm ，则AC= cm.2．如图，在ABC ∆中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过D 作DE ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：EF=BE-CF3．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，ο36=∠A ，21∠=∠，E 为AB 中点，ED 、BC 延长线交于点F ．求证：AB=CF4．如图，ABC ∆中，21∠=∠，AB=2AC ，DA=DB ．求证：AC ⊥CD5．如图，在ABC ∆中，ο90=∠ABC ，ο60=∠ACB ，BAC ∠和ABC ∠的平分线AD ，BE 相交于点F ．求证：EF=DF二、等腰三角形、等边三角形（1）求角的度数例1、如图所示,已知AB=AC, D 、E 分别在AC 和AB 上,且BD=BC,AD=DE=BE,求∠A 的度数.（2）证明角相等例、已知：如图，AB=AD ，∠B=∠D 。
求证：AC 平分∠BCD 。
（3）证明线段相等例、如图所示,已知△ABC 和△CDE 是等边三角形 求证:BD=AE（4）证明问题例、如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．训练一下：1、如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，分别以AB 、BC 为边，在直线AC 的同侧作等边△ABD 和等边△BCE 。
三角形培优训练100题集锦(1)
DC 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
【常见辅助线的作法有以下几种】EF 的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC ∆为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．A 5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC.6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 。
7、如图，已知在△ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且相交于点F 。
请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
MB16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。
ABC 外一点，、AC 上移动时，的周长L 的关系．22、如图2-7-1，△ABC 和△DCE 均是等边三角形，B 、C 、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD 交AC 于F 。
求证：①AE=BD;②CF=CG.23、如图2-7-2，在正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，MN⊥MD，BN 平分∠CBE。
垂直平分线、角平分线、等腰三角形测试
2014年08月18日1577448049的初中数学组卷垂直平分线、角平分线、等腰三角形综合测试一．选择题（共12小题）1．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）1题图2题图3题图长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）长为（）7题图8题图8．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）．13．（2014•乐山）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= _________度．13题图15题图16题图14．（2014•增城市一模）点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=_________．15．（2014•温州一模）如图，△ABC的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，连结AD．已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为_________cm．16．（2014•宜兴市模拟）如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=6，DE垂直平分BC，则BE=_________．17．（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为_________ cm．17题图18题图20题图18．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．19．（2014•广州）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为_________．20．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．21．（2014•成都模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD=6，则点D到AB的距离为_________．21题图22题图23题图22．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE=_________cm．23．（2014•老河口市模拟）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为_________．24．（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为_________cm．25．（2012•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_________．25题图26题图26．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________cm．三．解答题（共4小题）27．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．28．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB 于点F．求证：CE⊥CF．29．（2014•南充二模）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DE；（2）若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段？（不说明理由）30．如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°．（1）求证：AB=AC；（2）求∠BAC的度数．2014年08月18日1577448049的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）2．（2014•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）ED=3．（2014•定兴县一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE=5，AC=12，则BE的长是（）4．（2014•营口一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）5．（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）6．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）7．（2012•河池）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）8．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）∴×9．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE 的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）∠ABC=×（（10．（2014•仪征市二模）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ 的最小值为（）．11．（2014•南充）如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（）二．填空题（共14小题）13．（2014•乐山）如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E．若CE平分∠ACB，∠B=40°，则∠A= 60度．14．（2014•增城市一模）点P在线段AB的垂直平分线上，PB=10，则PA=10．15．（2014•温州一模）如图，△ABC的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，连结AD．已知AC=5cm，△ADC 的周长为17cm，则BC的长为12cm．16．（2014•宜兴市模拟）如图，△ABC中，∠A=90°，∠C=75°，AC=6，DE垂直平分BC，则BE=12．17．（2013•泰州）如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为6cm．18．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．19．（2014•广州）已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为10．20．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．的面积为21．（2014•成都模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD=6，则点D到AB的距离为6．22．（2014•徐州模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=45°，AB=6cm，∠ABC的平分线交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E，则DC+DE=6cm．23．（2014•老河口市模拟）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为2．24．（2014•扬州）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为35cm．25．（2012•海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．26．（2005•绵阳）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是5cm．三．解答题（共4小题）27．（2012•益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：AB=AC．28．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB 于点F．求证：CE⊥CF．29．（2014•南充二模）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DE；（2）若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段？（不说明理由）30．如图，已知P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP=AP=AQ=QC，∠PAQ=60°．（1）求证：AB=AC；（2）求∠BAC的度数．菁优网，©2010-2014 菁优网。
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析) (2)
1.4 角平分线同步培优练习题一．选择题（共10小题）1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．342．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．43．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．405．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）A．30°B．45°C．60°D．50°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）A．3B．4C．5D．610．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，则点O到斜边AB的距离为．三．解答题（共7小题）16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）（2）写出证明过程．参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．故选：A．4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝6，∴△ABD面积＝，故选：C．5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，PN⊥OB，PM＝PN，∴点P在∠AOB的角平分线上，∴OC平分∠AOB，∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．8．【分析】根据角平分线的性质解答．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，故选：B．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF＝2．∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3，故选：A．10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN＝PH，同理PM＝PH，∴PN＝PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，，∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，∵∠BPN＝∠CP A＝60°，∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．二．填空题（共5小题）11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣130°）＝80°，故答案为：80°．12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，解得：OD＝3，故答案为：313．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．【解答】解：过P作PE⊥OB，∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，∴∠PCE＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝PC＝×6＝3，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝3，故答案为3．14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．故答案为：9015．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵角平分线AE与BF相交于点O，∴点O到△ABC三边的距离相等，设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，解得h＝2，即点O到斜边AB的距离为2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝2cm，故答案为：2cm；（2）在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴BA＝BE，△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；（3）∵DA＝DE，BA＝BE，∴BD⊥AE．17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE，故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；（2）证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD＝PE．。
角平分线、中垂线、等腰三角形补充练习
1.角平分线的性质1、如图所示，在△ABC 中；AD ⊥BC 于点D ，再添加一个条，再添加一个条 ，就可以确定，就可以确定△ABD ≌△ACD 。
2、（小制作）如图所示，四边形ABCD 是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，将A 点放在作角平分线角的顶点处，使AD 和AB 沿着角的两边放下对准，沿AC 画一条射线AE ，AE 是角平分线。
其原理：在△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 是公共边，则△ABC ≌△≌△ ，即∠，即∠BAC= ，，AE 是角平分线。
是角平分线。
3、如图所示，已知点C 是∠AOB 平分线上的一点，点P 、P ’分别在边OA 、OB 上。
如果要得到OP =OP =OP’’，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。
①∠OCP=∠OCP OCP’’；②∠OPC=∠OP OP’’C ；③PC=PC ’；④PP’ ⊥OC4.4.如图所示，如图所示，BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，A B C S D =36cm 2，AB=18cm ，BC=12cm ，则DE= cm cm。
5、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE=5.8cm ，BC=11.2cm ，则BD=A B D C 1 2 A P C A B C D E (第2题) (第1题) O P ’ B (第3题) A B C D E (第4题) A B C D E (第5题) 6、如图所示，已知在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ， CD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，若BC=15cm ，则△DEB 的周长为的周长为 。
7、如图所示，D 是△ABC 的一个外角平分线上的一点，求证：AB+AC<DB+DC. 8、如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线AE 于E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 交延长线于G ，求证：BF=CG 。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
人教版-数学-八年级上册-中垂线(角平分线)与等腰三角形联手巧解题
中垂（角平分）线与等腰三角形联手巧解题角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．一、角平分线与等腰三角形例1、如图1，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E．试猜想线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜想理由．分析：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO和△CEO均是等腰三角形，则DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DE。
解：AD+CE＝DE．理由如下：OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO，∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC，所以∠DOA=∠OAC，∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA，EC＝EO，故AD+CE＝DO+EO=DE。
．例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F．说明：AE＝AP．分析：要说明AE＝AP，可寻找一条角平分线与EF平行，于是想到AB＝AC，则可以作AD平分∠BAC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以AD∥EF，所以可得到△AEP是等腰三角形，故AE＝AP．解：作AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD，因为AB=AC，所以AD⊥BC，而EF⊥BC，所以∠ADC=∠EFC =90°，所以AD ∥EF ，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠APE ，所以∠E=∠APE ，所以AE=AP 。
二、中垂线与等腰三角形例3、如图3，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，E 是垂足，∠CA D∶∠CAB ＝1∶3 ，求∠B 的度数．分析：由DE 是AB 的垂直平分线，得DA ＝DB ，从而DAB B ∠=∠，从而找到CAB ∠与B ∠的关系，再根据三角形内角和定理可求．解：因为DE 垂直平分AB ，所以DA ＝DB ，所以DAB B ∠=∠.设CAD x ∠=︒，所以3CAB x ∠=︒，所以2B DAB x ∠=∠=︒．因为90CAD DAB B ∠+∠+∠=︒，所以2290x x x ︒+︒+︒=︒．解得18x ︒=︒，所以236B x ∠=︒=︒．例4 、如图4，在△ABC 中，已知AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，且∠BAC =115º，∠EAF 的度数．分析：要求∠EAF 的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线”得“线段相等”，进一步可得∠B=∠EAB，∠C=∠FAC ，而∠B+∠C=180º-∠BAC=65º，从而可求得∠EAF 的度数． 解：因为EM 、FD 分别是AB 、AC 的垂直平分线，所以EB=EA ，FC=FA ．所以∠B=∠EAB，∠C=∠FAC ．因为∠B+∠EAB+∠C+∠FAC+∠EAF =180º，所以∠EAF=180º-2（∠B+∠C），而∠BAC =115º． 所以B+∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF =180º-130º=50º．。
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线(解析版)
专题04 解三角形中的中线、垂线、角平分线常见考点考点一 中线问题典例1．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +=，且23C π=． （1）求A 的大小；（2）若ABC 的周长为8+AC 边上中线BD 的长度． 【答案】 （1）6A π=（2）【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的周长可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）sin cos C c B +=，sin sin cos B C C B C +=， 因为()0,,sin 0C C π∈≠，cos B B +=sin 6B π⎛⎫+=⎪⎝⎭ 因为23C π=，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,662B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以63B ππ+=，即6B π=，所以6A π=（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，故2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，代入数据解得：=AB ，因为ABC 的周长为8+28x +=+4x =，所以4,BC AC AB ===122DC AC ==, 在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-1．已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c sin cos C c B +，且2π3C =. （1）求A 的大小；（2）若ABC 的面积为AC 边上中线BD 的长度. 【答案】 （1）6π.（2） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再由角的范围可求得答案；（2）设BC AC x ==，根据三角形的面积公式可求得4x =，再在BCD △中，运用余弦定理，可求得中线的长. （1）解：由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，R 为外接圆半径且 0R ≠sin cos C c B +，2sin sin 2sin sin 2sin R B C R B B R C +=，因为(0,)C π∈，所以sin 0C >cos B B +=2(sin cos cos sin )66B B ππ+所以sin()6B π+=2,3C A B C ππ=++=，则662B πππ<+<，所以63B ππ+=，得6B π=，所以6A B C ππ=--=；（2）解：由（1）得ABC 为等腰三角形，设BC AC x ==，则2211sin 2224ABCSab C x x ==⨯⨯==解得4x =，则12,42DC AC BC ===，在BCD △中，23BCD π∠=，所以222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅，即2221422242BD ，解得BD =所以AC 边上中线BD 的长度为变式1-2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=.（1）求C ；（2）若4c =，求AB 的中线CD 长度的最小值. 【答案】 （1）23C π=（2【分析】（1）利用正弦定理可得[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，结合三角恒等变换可得结果；（2）由题意可得22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯，即22228CD a b =+-，结合余弦定理及均值不等式可得结果. （1）因为cos()cos sin cos 0c B A c C A C -++=，所以cos()cos sin cos c B A c C A C -+=-，即[cos()cos()]sin sin cos B A A B C B A C --+=-，整理得2sin sin sin sin cos C A B B A C =-，因为A ，B 为三角形内角，所以0A π<<，0B π<<，所以sin 0A ≠，sin 0B ≠，所以sin C C =，即tan C = 又因为0C π<<，所以23C π=； （2）因为ADC BDC π∠+∠=，所以22224402222CD b CD a CD CD+-+-+=⨯⨯⨯⨯， 整理得22228CD a b =+-，在三角形ABC 中，由余弦定理得22222242cos3a b ab a b ab π=+-=++. 因为222a b ab +≤，当且仅当a b =时取等号，所以()()22222222131622a b ab a b a b a b =++≤+++=+，即22323a b +≥，所以22232828833CD a b =+-≥-=，即CD ≥，即CD变式1-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝a cos C sin A ，点M 是BC 的中点. （1）求A 的值；（2）若a AM 长度的最大值. 【答案】（1）3π；（2）32【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换化简b ＝a cos C sin A 即得解； （2）由余弦定理和基本不等式得b 2＋c 2≤6，由已知得AM →＝2AB AC →→+，平方后利用基本不等式即得解. （1）解：因为b ＝a cos C sin A ，根据正弦定理得sin B ＝sin A cos C C sin A ，所以sin （A ＋C ）＝sin A cos C C sin A ，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C C sin A ，所以cos A sin C C sin A .因为sin C ≠0，所以tan A又0＜A ＜π，所以A ＝3π.（2）解：在ABC 中，由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝3.因为bc ≤222b c +，当且仅当b ＝c 时取等号，所以b 2＋c 2≤6.因为AM 是BC 边上的中线，所以AM →＝2AB AC →→+，两边平方得|AM →|2＝14（b 2＋c 2＋bc ）≤142222()2b c b c +++＝14×32×（b 2＋c 2）＝94，当且仅当b ＝c AM 的长度取得最大值32.考点二 垂线问题典例2．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos a c BC b-=． （1）求角B 的大小；（2）若边AB 上的高为4c ，求cos C ． 【答案】 （1）4B π=；（2）cos C = 【分析】（1）利用余弦定理可求得tan 1B =，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出a =，利用余弦定理可得出b =，再代入sin cos a c B C b -=即可得解. （1）解：由余弦定理，得222sin 2a b c a c B ab b+--=， 所以，()2222sin a b c a a c B +-=-，所以，2222sin b a c ac B =+-，又因为2222cos b a c ac B =+-，所以，sin cos B B =，则tan 1B =，()0,B π∈，因此，4B π=.（2）解：因为ABC的面积21sin 28c S ac B ===，则a =，由余弦定理，得22222252cos 28b a c ac B c c c ⎫=+-=+-⨯=⎪⎪⎝⎭，所以，b ，所以，sin cos a c B C b -== 变式2-1．在△ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 2cos +=ac B b C A. （1）求角A .（2）若2,3b c ==，求a 边上的高AH . 【答案】 （1）3A π=（2）7【分析】（1）根据正弦定理边化角得sin cos sin()2A A B C ⋅+=，进而得1cos 2A =，故3A π=； （2）由余弦定理得a =. （1）解：由题知，cos (cos cos )2aA cB bC ⋅+⋅=， 由正弦定理知，sin cos (sin cos sin cos )2AA CB BC ⋅⋅+=， 即sin cos sin()2AA B C ⋅+=. 又B C A +=π-，且sin 0A ≠. 所以1cos 2A =， 由于()0,A π∈. 所以3A π=.（2）解：由余弦定理得：2222cos 4967a b c bc A =+-⋅=+-=，解得a =又11sin 22ABC S bc A a AH ==⋅△，2,3b c ==，所以23AH ⨯==变式2-2．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c <<，三角形三边上的高之比为2:3:4. （1）求cos C 的值；（2）若E 为边AC 上一点，30CEB ∠=︒，3BC =，求BE 的长. 【答案】 （1）1124-（2【分析】()1由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =，根据123111222ABC S ah bh ch ===△，得出432a b c ==，并利用余弦定理求出cos C 的值； ()2利用()1中cos C 的值求出sin C 的值，进而利用正弦定理求出BE 的长.（1）解：由于a b c <<，则三边a ，b ，c 上的高之比为123::4:3:2h h h =. 又因为123111222ABC S ah bh ch ===△，则432a b c ==. 设43212a b c x ===，则3a x =，4b x ，6c x =. 在ABC 中，由余弦定理得222cos 2a b c C ba+-=222291636112424x x x x +-==-. （2） 解：将11cos 24C =-代入22sin cos 1C C +=，得2223513sin 1cos 24C C ⨯=-=，又()0,C π∈，则sin C ==. 在EBC 中，由正弦定理得sin sin BC BECEB C=∠，则6BE ==变式2-3．ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边c 上的高为2cos ,ab Cab c= （1）求cos C ；（2）若ABC 的周长为4，求边c 的长. 【答案】（1（2 【分析】（1）利用等面积法，结合三角形的面积公式以及同角三角函数关系，即可容易求得； （2）由余弦定理，结合已知条件，即可容易求得. （1） 由12c ⨯2cos ab C c 1sin 2ab C =⋅，可得tan 2C =，故0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 2cos ,sin cos 1C C C C =+=，解得：cos C =，又0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos C = （2）若ABC 的周长为4，即可得：4a b c ++=，又ab()22222222a b ab c a b c ab ab +--+-===解得：c =考点三 角平分线问题典例3．在①πsin sin 3a Bb A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+sinsin 2B Ca B +=三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足___________. （1）求角A ；（2）若A 的角平分线AD 长为1，且6b c +=，求sin sin B C 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】 （1）2π3A = （2）320【分析】（1）选①，先用正弦定理，再求解角；选②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；选③，先用正弦定理、诱导公式、二倍角公式，再根据特殊三角函数值求解. （2）由面积公式得bc b c =+，再用余弦定理得a =，再由2sin sin sin a b cR A B C===转化计算即可求解. （1）选①πsin sin 3a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭得，πsin sin sin sin 3A B B A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.即πsin sin 3A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则π3A A =-（舍）或ππ3A A +-= 所以2π3A =；选②()()()sin sin sin a b A B b c C +-=+得，()()()a b a b b c c +-=+ 即222b c a bc +-=-由2221cos 22b c a A bc +-==-， 又()0,πA ∈，所以2π3A =；选③sinsin 2B C a B +=sin 2B CA +=2sin cos 222A AA =，因为cos02A ≠，所以sin 2A 又()0,πA ∈，所以2π3A =.（2）由ABD ACD ABC S S S +=△△△)b c +，即6bc b c =+=，由余弦定理，()22222cos 36630a b c bc A b c bc =+-=+-=-=. 解得a =由正弦定理，2sin sin sin a b cR A B C==== 263sin sin 44020bc B C R ⋅===. 所以sin sin B C 的值为320.变式3-1．已知在平面四边形ABCD 中，1,2AB BD ==，BC =DB 为ADC ∠的角平分线 （1）若1cos 4A =，求BDC 的面积; （2）若4CD AD -=，求CD 长. 【答案】（1 （2）6 【分析】（1）根据题意，在三角形ABD 中由正弦定理得sin ADB ∠=，进而结合题意，在三角形BCD 中由余弦定理解得6CD =，在根据三角形面积公式计算即可；（2）设CD x =，由于cos cos ADB CDB ∠=∠，故在三角形ABD 和三角形CDB 中，结合余弦定理解方程得6x =. （1）解：在三角形ABD 中，由1cos 4A =得sin A 由正弦定理可得sin sin BD AB A ADB =∠，即21sin sin A ADB=∠所以1sin sin 2ADB A ∠==因为DB 为ADC ∠的角平分线，所以sin sin CDB ADB ∠=∠=， 因为AB BD <，故ADB ∠为锐角，故CDB ∠为锐角，故7cos 8CDB ∠=在三角形BCD 中由余弦定理得2222cos BC CD DB CD DB CDB =+-⋅⋅∠所以227300CD CD --=，解得6CD =或52CD =-（舍） .所以11sin 6222BDCS DC DB CDB =⋅⋅∠=⨯⨯=（2）解：设CD x =，则4AD x =-在三角形ABD 中由余弦定理可得22224)41cos 24(4)DA DB AB x ADB DA DB x +--+-∠==⋅-（ 在三角形CDB 中由余弦定理可得2222419cos 24DC DB CB x CDB DC DB x+-+-∠==⋅ 因为cos cos ADB CDB ∠=∠所以22(4)414194(4)4x x x x -+-+-=-，解得6x =或52x =（舍）综上所述CD 的长为6.变式3-2．在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD 为∠A 的角平分线，AC AD ==2CD =. （1）求sin BAC ∠的值； （2）求边AB 的长. 【答案】 （1）2425（2【分析】（1）先利用余弦定理可求cos CAD ∠，再利用同角的三角函数基本关系式和倍角公式可求sin BAC ∠. （2）利用BAC DAC DAB S S S =+△△△可得关于AB 的方程，从而可求边AB 的长. （1）在ACD △中，由余弦定理可得164cos 205CAD ∠===，而CAD ∠为三角形内角，故3sin 5CAD ∠=，因为AD 为∠A 的角平分线，故24sin 2sin cos 25BAC CAD CAD ∠=∠∠=. （2）因为BAC DAC DAB S S S =+△△△，所以111sin sin sin 222AC AD CAD AB AD BAD AB AC BAC ⨯⨯∠+⨯⨯∠=⨯⨯∠，313124525225AB AB +=，解得AB =变式3-3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. （1）求角C 的大小；（2）设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值. 【答案】 （1）2π3； （2） 【分析】（1）先通过正弦定理进行边化角，进而结合两角和与差的正弦公式将式子化简，然后求得答案； （2）在ACD △和BCD △中，分别运用正弦定理，进而求出c =ABC 中再次运用正弦定理得到1sin 1sin A B⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，最后通过三角形面积公式结合基本不等式求得答案. （1）根据题意，由正弦定理可知：()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=，则()()2sin cos sin 02sin cos sin 2sin cos sin 0B C A C B C B B C B π++=⇒+-=+=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，则1cos 2C =-，而0C π<<，于是23C π=. （2）由（1）可知，3ACD BCD π∠=∠=，在ABC 中，设(0)AD m m c =<<，则||BD c m =-，在ACD △中，由正弦定理得：2sin sin3m m A π=⇒=在BCD △中，由正弦定理得：2sin sin3c m c m c m B π-=⇒-⇒=所以c =+在ABC中，由正弦定理得：1sin 1sin sin sin sin sin Aa b a b A B A B B⎧=⎪⎪==⇒==⎨⎪⎪⎩，所以1111122c c a b a b ⎛⎫==+⇒+= ⎪⎝⎭.由基本不等式可得：111162ab ab+=≥≥，当且仅当4a b ==时取“=”.于是，1sin 2ABCS ab C ==≥即△ABC的面积的最小值为巩固练习练习一 中线问题1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 0a b A -=. （1）求角B 的大小； （2）若23C π=，ABC的周长为4+BC 边上的中线AD 的长.【答案】 （1）π6或5π6； （2【分析】(1)结合正弦定理边化角即可求解； (2)求出△ABC 的边长，解△ACD 即可﹒ （1）∵2sin 0a b A -＝，又由正弦定理得sin sin a B b A ＝，∴sin 2sin 0sin a Ba A A-⋅＝， 则1π2sin 0012sin 0sin 026a a B a B B B B π-∴-∴＝，＞，＝，＝，＜＜，＝或5π6； （2） ∵C 23π＝，∴π6B ＝，∴π6A B C π--＝＝， 作CH AB ⊥于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∴H 为AB 中点，CH 为∠ACB 平分线，∴π6CAH ∠＝，设2CH x AC x AH AB ＝，＝，＝，＝，∴||224AC BC AB x x ＋＋＝＋＋＝＋∴12x AC BC ＝，＝＝， 取BC 中点为D ，在△ACD 中，由余弦定理得222||||cos 2AC CD AD ACD AC CD∠-⋅⋅＋＝，即22π41||1cos 32212AD --⨯⨯＋＝＝，解得AD ＝∴BC ﹒2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是该三角形的面积，且 24sin(3)sin ()cos(2)124A A A πππ-+-- （1）求角A 的大小；（2）若角A 为锐角，1,b S ==BC 上的中线AD 的长.【答案】（1）233ππ，（2 【解析】试题分析：（1）根据诱导公式，降幂公式，二倍角公式将题中式子化简为sin A =，再根据A 为三角形内角即可求出A ；（2）根据角A 为锐角和（1）可得3A π=，然后根据三角形的面积公式再结合条件1,b S =C 的值，而求边BC 上中线AD 的长有两种思路，法一：由于AD 为BC 边上的中线，则根据向量加法的平行四边形法则可得()12AD AB AC =+，然后两边平方即可求出AD 也即为AD 的长；法二 ：先根据cos A 利用余弦定理求出a 的值，再在ADC ∆和ABC ∆中两次利用余弦定理即可求出AD 的值. 试题解析：（1）原式因（2）因A 为锐角，则而面积解法一：又由余弦定理，又，即解法二：作CE 平行于AB ，并延长AD 交CE 地E ， 在△ACE 中，又即这样3．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，若222b c a bc +-=. （1）求角A 的大小；（2）若a =BC 边上的中线AM 的最大值.【答案】（1）3π；（2）32.【分析】（1）由已知等式可推导得到cos A ，由此可求得A ；（2）在ABC 中，利用余弦定理和基本不等式可求得3bc ≤；在ABM 中，利用余弦定理可化简整理得到()22334bc AM +-=，由3bc ≤可求得最大值. 【详解】 （1）222b c a bc +-=，2221cos 22b c a A bc +-∴==，又()0,A π∈，3A π∴=； （2）在ABC 中，由余弦定理得：222222cos 3a b c bc A b c bc =+-=+-=， 2232b c bc bc ∴+=+≥（当且仅当b c =时取等号），3bc ∴≤； 又222cos 2a c b B ac+-=，在ABM 中，由余弦定理得：2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅⋅，()22222222223322942444bc a a c b c b a AM c ac ac +-+-+-∴=+-⋅==≤，32AM ∴≤，即中线AM 的最大值为32.4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；（2）若6b c +=，求ABC 的中线AM 的最小值．【答案】（1）3A π=；（2 【分析】(1)先利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理计算即得；(2)用,AB AC 表示出AM ，借助向量模的计算公式及均值不等式推理计算即得. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理化222sin sin sin sin sin B C A B C +=+为222b c a bc +=+，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，而0A π<<，则3A π=，所以3A π=；（2）因AM 是ABC 的中线，则()12AM AB AC =+，由(1)知3A π=， 于是得221()4AM AB AC =+22211()[()]44b c bc b c bc =++=+-22127[()()]424b c b c ++-=≥，当且仅当b =c 时取“=”，则33AM ≥所以ABC 的中线AM练习二 垂线问题5．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .222sin sin sin sin sin A C B A C +=+. （1）求角B ；（2）若b =sin 3sin A C =，求BC 边上的高.【答案】（1）3π；（2 【分析】（1）利用正弦定理角化边得到222a c b ac +-=，进而结合余弦定理即可求出结果； （2）由正弦定理得3a c =，再利用余弦定理求出1c =，即得BC 边上的高． 【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.由正弦定理可得222a c b ac +=+，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==， 所以3B π=；（2）由sin 3sin A C =，得3a c =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222793c c c =+-，因为0c >，解得1c =，所以BC 边上的高为sin c B . 6．已知锐角三角形ABC 中，sin(A +B )=35，sin(A - B )=15（1）求证: tan A =2tan B（2）设AB =3，求AB 边上的高CD .【答案】（1）证明见解析；（2）2 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式求得21sin cos cos sin 55A B ,A B ==，再结合同角的商数关系即可得出结论；（2）结合同角的基本关系求出()tan A B +，利用（1）的结论与两角和的正切公式即可求出tan tan A,B 的值，然后结合平面图形的几何性质即可求出结果. 【详解】（1）证明：因为sin(A +B )=35，sin(A - B )=15， 所以31sin cos cos sin sin cos cos sin 55A B A B ,A B A B +=-=,21sin cos cos sin 55A B ,A B ==， 所以sin cos 2cos sin A BA B=，即tan 2tan A B =；（2）因为三角形ABC 为锐角三角形，所以<2A B π+<π，又因为sin(A +B )=35，所以()4cos 5A B +=-，因此()3tan 4A B +=-，所以tan tan 31tan tan 4A B A B +=--⋅，结合tan 2tan A B =，因为tan 0tan 0A ,B >>，解得tan 2tanA B =+=又因为tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+=，又因为AB =3，所以2CD =故AB 边上的高CD 为27．在①2sin cos cos cos a C B C C =；②2cos 2c B b a +=；③(2)cos cos b a C c A -= 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足． （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，ABC ∆ABC ∆的边AB 上的高h ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（12 【分析】（1）根据2sin cos cos cos a C B C C =，由正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin C C =求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件②：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到sin (12cos )0B C -=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 选择条件③：（1）根据2cos 2c B b a +=，利用正弦定理将边转化为角结合两角和的正弦公式得到2sin cos sin()sin B C A C B =+=求解；（2）结合（1）利用正弦定理得到c ，再利用余弦定理得到3ab =，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】 选择条件①：（1）因为2sin cos cos cos a C B C C =，所以由正弦定理得，2sin sin cos cos A C C C B C =，即sin sin (sin cos sin cos )A C C C B B C =+，故sin sin sin A C C A =．又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，所以sin C C =，所以tan C = 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c===（1）因为2cos 2c B b a +=，由正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A +=，即2sin cos sin 2sin()2sin cos 2cos sin C B B B C B C B C +=+=+，于是sin (12cos )0B C -= 在ABC ∆中，sin 0B ≠，所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π==（2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab Ch c=== 选择条件③：（1）因为(2)cos cos b a C c A -=，所以由正弦定理得，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=， 所以2sin cos sin()sin B C A C B =+=， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以1cos 2C =， 由(0,)C π∈，可得3C π=．所以sin sin3C π== （2）由正弦定理得243c π==， 由余弦定理得22222cos()3163c a b ab a b ab π=+-=+-=，所以2()163a b ab +-=，解得3ab =．于是得ABC ∆的面积为11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c ===8．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且满足()2cos cos b a C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4c =，5a b +=，求ABC 的边AB 上的高h ．【答案】（1）3C π=；（2）h = 【分析】（1）由正弦定理将()2cos cos b a C c A -=化为()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，再利用三角函数恒等变换公式化简可求出角C ，（2）由余弦定理结合已知条件可得3ab =，再利用等面积法可求出ABC 的边AB 上的高h【详解】（1）因为()2cos cos b a C c A -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B A C C A -=，即()2sin cos sin sin B C A C B =+=，因为()0,B π∈，所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=，又()0,A π∈，所以3C π=．（2）由已知4c =，5a b +=，由余弦定理得()22222cos 316c a b ab C a b ab =+-=+-=，所以()21633a b ab ab +-=⇒=．于是得ABC 的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c === 练习三 角平分线问题9．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 满足()cos cos sin cos 0b C c B B A +=. （1）求A ；（2）若2c =，a =B 的角平分线交边AC 于点D ，求BD 的长.【答案】（1）2π3；（2【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角A ； （2）利用余弦定理可得b 的值，进而可求出角,B C ，在ABD △中，求出ABD ∠、ADB ∠利用正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理化边为角可得： ()sin cos sin cos sin cos 0B C C B B B A +=，即()sin sin cos 0B C B B A +=所以sin sin cos 0A B B A =，因为sin 0B ≠，所以sin A A =0即tan A =因为0πA <<，所以2π3A =.（2）在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 代入数据可得：21124222b b ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭即21242b b =++. 解得：2b =或4b =-(舍).所以2b c ==，所以π6B C ==，在ABD △中，由BD 是ABC ∠的角平分线，得π12ABD ∠=， 则2ππππ3124ADB ∠=--=， 在ABD △中，由正弦定理得：sin sin AB BD ADB BAD =∠∠即2π2πsin sin 43BD =，可得：2π2sin23πsin4BD⨯===10．在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sin sin()sinc C a A b a B=+-，角C的角平分线交AB于点D，且CD=3a b=，（1）求角C；（2）求c的值【答案】（1）3π；（2【分析】（1）先用正弦定理把角化为边，再用余弦定理即可求解；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△可得，ab a b=+，然后与已知条件联立求解，再用余弦定理即可求解【详解】（1）因为sin sin()sinc C a A b a B=+-，由正弦定理可得：222c a b ab=+-，即222ab a b c=+-由余弦定理可得：2221cos222a b c abCab ab+-===，因为0Cπ<<，所以3Cπ=；（2）由ABC ACD BCDS S S=+△△△，有111sin sin sin232626ab a CD b CDπππ=⨯⨯+⨯⨯，得ab a b=+，由3a bab a b=⎧⎨=+⎩，解得443ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理得：c===11．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若角C 的角平分线交AB 于点D ，13ACD ABC S S=△△，3AB =，求AC 和CD 的长度. 【答案】（1）23C π=；（2）AC =CD . 【分析】（1）由正弦定理得1cos 2C =-，结合C 为三角形内角可得答案； （2）D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ，由13ACD ABC S AD AB ==，得2BD AD =， 由角平分线性质得12b a=，由余弦定理得a ABC S ACD S =可得答案.【详解】（1）由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin C B A B B C B =+=++，2sin cos 2sin cos sin B C C B B =++，得2sin cos sin 0B C B +=，因为sin 0B >，所以1cos 2C =-，由C 为三角形内角得23C π=； （2）因为CD 平分C ，则D 到CA ，CB 的距离相等，设为h ， 因为13ACD ABC S AD AB ==， 所以2BD AD =，由角平分线性质得12b AD a DB ==，所以12b a =，因为3AB =，23C π=，由余弦定理得2219121222a a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭-=⨯，解得a所以AC b =，因为12ABC S=，1123ACD S ==解得CD =.12．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的面积为S，且满足222b c a +-=. （1）求角A 的大小；（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D，且512a B π==，求线段AD 的长. 【答案】（1）3π；（2） 【分析】（1）由余弦定理以及三角形的面积公式即可求解； （2）在ABC 中求出角C ，再由正弦定理求出边AB 、AC ，再由ABC ACD ABD S S S =+△△△结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=，所以2222cos b c a bc A +-= 由三角形的面积公式可得1sin 2S bc A =，因为222b c a +-=，所以12cos sin 2bc A bc A =，整理可得：cos A A =，即tan A = 因为0A π<<，所以3A π=（2）由（1）知：3BAC π∠=，AD 为BAC ∠的角平分线，所以6CAD BAD π∠=∠=，由512B π=可得53124C A B πππππ=--=--= 在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin sin AC BC AB B A C ==，即5sin sin sin 1234AC AB ππ==，因为51sin sin 1264222πππ⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭，所以AC ==AB == 由ABC ACD ABD S S S =+△△△可得：111sin sin sin 232626AD AD πππ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯整理可得：((114AD =⨯⨯，解得：AD =所以线段AD的长为。
专题05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读(原卷版)
专题05 与角平分线、垂线、等腰三角形相关辅助线添加题型解读一、基础知识点综述 利用平行线构造等腰三角形△ABC 为等腰三角形，AB =AC ，DE △BC ，FG △BC ，则△ADE ，△AFG 是等腰三角形.一线三直角构造全等三角形△C =△ABD =△E =90°，C 、B 、E 三点共线，AB =BD ，则△ABC △△BDE ；△C =△EAD =90°，C 、A 、E 三点共线，DE △AB ，AB =DE ，则△ABC △△DEA ；过角平分线上点向角两边作垂线段二、典型例题解析 题型一：利用角平分线性质解题题型例1. （2019·深圳期中）如图，在△ABC 中，△BAC =40°，△ACB =60°，D 为△ABC 外一点，DA 平分△BAC ，△CBD =50°，求△DCB 的度数.BD E A BC DED E题型二：一线多用例2. （2017·北京中考）在等腰直角△ABC 中，△ACB =90°，点P 是线段BC 上一动点（与点B ,C 不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ,使得CQ =CP ,过点Q 作QH △AP 于点H ,交直线AB 与点M 。
（1）若△P AC =α ，求△AMQ 的大小（用含α的式子表示）（2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.（可用结论：等腰直角三角形斜边长等于腰倍.）例3. （2019·河南平顶山周练）在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，BD 平分△ABC ，过C 作CE ⊥BD ，交BD 延长线于E ，AF △BD 于F ，求证：BD =2CE .B例4. 如图所示，线段AB 、CD 交于点E ，且AB △BD 于B ，AC △CD 于C .（1）如图1，若AB =CD ，△D =30°，探究线段DE 与CE 的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若AB =BD ，△D =22.5°，探究线段DE 与AC 的数量关系，并说明理由.图1 图2题型三：一线三直角 例5. （2019·广东期末）如图，已知等腰直角△ABC 中，AB =AC ，△BAC =90°，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点C 的坐标为（6,2），求A 点、B 点坐标.例6. （2018·柘城实验中学月考）如图1，在平面直角坐标系中，()()()()20,03,3002A B C D -，，，，，.（1）求证：AB =CD ，AB △CD ；（2）如图2，以A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE ，过点E 作EF △x 轴于点F ，求点F 的坐标；（3）如图3，若点P 为y 轴正半轴上一动点，以AP 为直角边作等腰直角三角形APQ ，点Q 在第一象限，△APQ =90°，QR △x 轴于点R ，当点P 运动时，OP －QR 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由。
综合练习：等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合(含答案)
综合练习：等腰三角形与全等、垂直平分线、角平分线的综合时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每小题4分，共32分)1．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是()A．55°B．45°C．35°D．65°第1题图第2题图2．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为()A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是() A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点．若EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为()A．13 B．15 C．17 D．195．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别12，18，24，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为【方法22②】()A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A ＝60°，则∠CDE的度数为()A．45°B．50°C．51°D．52°7．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF交于点D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠A的平分线上．正确的是() A．①B．②C．①②D．①②③8．等腰三角形纸片ABC(AB＝AC)可按如图所示的方法折成一个四边形，点A与点B 重合，点C与点D重合，则原等腰△ABC中∠B的度数为()A．48°B．60°C．72°D．80°二、填空题(每小题4分，共24分)9．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝________°.10．如图是一个三角形测平架，已知AB＝AC，在BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上，则AD和BC的关系为____________．11．如图，等边△ABC的周长是12，AD是∠BAC的平分线，则BD的长是________．第11题图第12题图12．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的外角平分线交于点P，PM⊥AC于点M.若PM＝6cm，则点P到AB的距离为________．13．如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE.若CD＝1，CE＝3，则BC的长是________．第13题图14．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B.在A1B上取点C，延长AA1到点A2，使得A1A2＝A1C.在A2C上取点D，延长A1A2到点A3，使得A2A3＝A2D，则∠A3的度数为________．第14题图三、解答题(共44分)15．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点E，交AB于点D.(1)若∠A＝40°，求∠CBE的度数；(2)若△BCE的周长为8cm，AB＝5cm，求BC的长．16．(10分)如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF.(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；(2)试说明：PE＝PF.17．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.(1)若∠A＝40°，求∠M的度数；(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠M的度数；(3)你发现∠A与∠M有什么关系？请说明理由．18．(12分)如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．例如，在△ABC中，如果∠A＝50°，∠B＝100°，那么△ABC就是一个“倍角三角形”．(1)已知倍角三角形的一个内角为150°，求这个三角形的另两个角的度数；(2)已知倍角三角形是一个等腰三角形，求它的顶角的度数．参考答案与解析1．A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 7.D8．C 解析：如图，由题可知AD ＝BD ＝BC ，∠A ＝∠ABD ，∠C ＝∠BDC ，∴∠C ＝∠BDC ＝180°－∠ADB ＝2∠A .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝2∠A .∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°，∴5∠A ＝180°，即∠A ＝36°，∴∠ABC ＝72°.9．50 10.AD 垂直平分BC 11.2 12.6cm 13.414．20° 解析：∵AB ＝A 1B ，∠B ＝20°，∴∠AA 1B ＝∠A ＝12(180°－∠B )＝80°，∴∠CA 1A 2＝100°.∵A 1C ＝A 1A 2，∴∠A 1A 2C ＝∠A 1CA 2＝12(180°－∠CA 1A 2)＝40°，∴∠DA 2A 3＝140°.∵A 2A 3＝A 2D ，∴∠DA 3A 2＝12(180°－∠DA 2A 3)＝20°.15．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝70°.(2分)∵DE 垂直平分AB ，∴AE ＝BE ，∴∠ABE ＝∠A ＝40°，∴∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝70°－40°＝30°.(5分)(2)∵△BCE 的周长为8cm ，∴BE ＋EC ＋BC ＝8cm.∵AE ＝BE ，∴AE ＋EC ＋BC ＝8cm ，(8分)∴AC ＋BC ＝8cm.∵AC ＝AB ＝5cm ，∴BC ＝8－5＝3(cm)．(10分)16．解：(1)∵BM 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°，∠EBD ＝∠FBD ，DE ＝DF ，∴△EDB ≌△FDB (AAS)，(3分)∴∠BDE ＝∠BDF ＝12∠EDF ＝62°，∴∠EBD ＝90°－62°＝28°，∴∠ABC ＝2∠EBD ＝56°.(5分)(2)∵∠BDE ＝∠BDF ，∴∠EDP ＝∠FDP .(6分)在△EDP 和△FDP 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝FD ，∠EDP ＝∠FDP ，DP ＝DP ，∴△EDP ≌△FDP (SAS)，∴PE ＝PF .(10分) 17．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝40°，∴∠B ＝∠ACB ＝70°.∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝20°.(3分)(2)∵AB ＝AC ，∠A ＝70°，∴∠B ＝∠ACB ＝55°.∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝35°.(6分)(3)∠M ＝12∠A .(8分)理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝180°－∠A 2.(10分)∵MN ⊥AB ，∴∠MNB ＝90°，∴∠M ＝90°－∠B ＝12∠A .(12分)18．解：(1)当内角150°是另一个内角的2倍时，则另一内角的度数为75°.此时三角形的内角和超过180°，不符合．(2分)∴另两个内角互为2倍关系，且和是180°－150＝30°，∴另两个角的度数是20°和10°.(5分)(2)当顶角是底角的2倍时，设三角形底角的度数是x ，则顶角的度数为2x .由题意得x ＋x ＋2x ＝180°，解得x ＝45°，∴2x ＝90°.(8分)当底角是顶角的2倍时，设顶角为y ，则底角的度数为2y .由题意得y ＋2y ＋2y ＝180°，解得y ＝36°.(11分)故它的顶角的度数是90°或36°.(12分)。
证明二---等腰、直角三角形及角平分线、中垂线的典型例题
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六、新课探究---<5>角平分线的应用 经典例题 （ 1 ） 如 图 ， AB // CD ， DE EA ， CE 平 分 DCB ， 求 证 ： CD AB BC ；
C 60 ， ABC 中， （2） 如图， 内角平分线 AD、BE 相交于点 P ，
求证： PD PE ；
举一反三 ① 如图，已知线段 AB // CD ，连接 AD、BC ，若 BP 平分 ABC ， 且 AP PD ，猜想线段 AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系? 请写出你的结论并予以证明
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
（2）如图， ABC 中， AB AC ， A 36 ， D 是 AC 上一点， 且 BD BC ，过点 D 分别作 DE AB 、 DF BC ，垂足分别是 E、F ．给出以下四个结论：① DE DF ；②点 D 是 AC 的中点； ③ DE 垂直平分 AB ；④ AB BC CD ．其中正确结论的序号是 _______________；
举一反三 ①如图， AD 是 ABC 的角平分线， EF 是 AD 的垂直平分线． 求证： （1） EAD EDA ； （2） DF // AC ； （3） EAC B ．
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
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音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的 一切。 ——F.Klein
角平分线的性质同步培优题典(解析版)
专题2.6角平分线的性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•碑林区校级模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，若AC ＝3，BC ＝4，则S △ABD ：S △ACD 为（ ）A ．5：4B ．5：3C ．4：3D ．3：4【分析】过D 作DF ⊥AB 于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出△ABD 和△ACD 的面积，最后求出答案即可．【解析】过D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 平分∠CAB ，∠C ＝90°（即AC ⊥BC ），∴DF ＝CD ，设DF ＝CD ＝R ， 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AB =√32+42=5，∴S △ABD =12×AB ×DF =12×5×R =52R ，S △ACD =12×AC ×CD =12×3×R =32R ，∴S △ABD ：S △ACD ＝（52R ）：（32R ）＝5：3， 故选：B ．2．（2020春•高明区期末）如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，若CD ＝4，AB ＝14，则S △ABD ＝（ ）A ．56B ．28C ．14D ．12【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE ＝CD ，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∠C ＝90°，∴DE ＝CD ＝4，∴△ABD 的面积=12AB •DE =12×14×4＝28．故选：B ．3．（2020•怀化）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ，若BD ＝3，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．6【分析】根据角平分线的性质即可求得．【解析】∵∠B ＝90°，∴DB ⊥AB ，又∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，∴DE ＝BD ＝3，故选：A．4．（2020春•龙岗区期末）如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离为（）A．3B．4C．5D．6【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，从而得解．【解析】如图，过点P作PD⊥OB于D，∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，∴PC＝PD＝3，即点P到OB的距离等于3．故选：A．5．（2020春•锦江区期末）点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜10B．PQ＞10C．PQ≥10D．PQ≤10【分析】过P作PD⊥OB于D，根据角平分线的性质得出PC＝PD＝10，再根据垂线段最短得出即可．【解析】过P 作PD ⊥OB 于D ，∵PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，OP 平分∠AOB ，∴PC ＝PD ，∵点P 到OA 边的距离等于10，∴PD ＝PC ＝10，∴PQ ≥10（当Q 与点D 重合时，PQ ＝10），故选：C ． 6．（2020•岐山县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（ ）A ．2B ．2√2C ．√3D ．52 【分析】作DH ⊥AB 于H ，如图，根据角平分线的性质得到DH ＝DC ＝2，然后根据垂线段最短求解．【解析】作DH ⊥AB 于H ，如图，∵AD 平分∠BAC ，DH ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DH ＝DC ＝2，∵Q 为AB 上一动点，∴DQ 的最小值为DH 的长，即DQ 的最小值为2．故选：A ．7．（2020•丽水模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，小明进行如图步骤尺规作图，根据操作，对结论判断正确的序号是（）①AD平分∠BAC；②AC＝2DG；③S△ADC＝S△ABD；④S△ADC＝2S△ADG．A．①②③④B．③④C．②③D．②③④【分析】利用基本作图得到DG⊥BC，BD＝CD，则AD为△ABC的中线，则可对①进行判断；再证明DG为△ABC的中位线，则可对②进行判断；然后根据三角形面积公式对③④进行判断．【解析】由作法得DG垂直平分BC，∴DG⊥BC，BD＝CD，∴AD为△ABC的中线，所以①错误；∵∠C＝90°，∴DG∥AC，∴DG为△ABC的中位线，∴AC＝2DG，所以②正确；BG＝AG，∴S△ADC＝S△ABD，所以③正确；S△ADG＝S△BDG，∴S△ADC＝2S△ADG，所以④正确．故选：D．8．（2020•南山区模拟）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为（）A．4B．5C．9D．10【分析】作GM⊥AB于M，如图，先利用基本作图得到AG平分∠BAC，再根据角平分线的性质得到GM ＝GH＝2，然后根据三角形面积公式计算．【解析】作GM⊥AB于M，如图，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM＝GH＝2，∴S△ABG=12×5×2＝5．故选：B．9．（2020•长春模拟）如图，∠MON＝60°．①以点O为圆心，2cm长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、C；②在分别以A、C为圆心，2cm长为半径画弧，两弧交于点B；③连结AB、BC，则四边形OABC的面积为（）A．4√3cm2B．2√3cm2C．4cm2D．2cm2【分析】先确定OB是∠MON的角平分线，得出∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，根据等腰三角形的性质得出∠BCN＝60°，解直角三角形求得BD，然后根据三角形面积公式求得△BOC的面积，进而求得四边形OABC的面积．【解析】由题意可知OB是∠MON的角平分线，∵∠MON＝60°，∴∠BON＝30°，作BD⊥ON于D，∵OC＝BC＝2，∴∠BOC＝∠OBC＝30°，∴∠BCN＝60°，∴BD=√32BC=√3，∴S△BOC=12×OC×BD=12×2×√3=√3，∴四边形OABC的面积＝2S△BOC＝2√3，故选：B．10．（2019秋•霸州市期末）如图，已知△ABC的周长是10，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝2，则△ABC的面积是（）A．20B．12C．10D．8【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得到OE＝OF＝OD＝2，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF＝OD＝2，∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积=12×（AB+BC+AC）×OD=12×10×2＝10，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•宁德期末）如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D到AB边的距离为2．【分析】过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，即可得解．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线，∴DE＝CD＝2，即点D到AB边的距离是2．故答案为：2．12．（2020•湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为3．【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．13．（2020春•市北区期末）如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为1cm．【分析】根据角平分线的性质得出PE＝PD＝PF，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解析】过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PD＝PF，∵△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC=12×AB×AC=12AB⋅PE+12BC⋅PD+12AC⋅PF，即12×6×2.5=12PD ⋅(AB +AC +BC)=12PD ×(2.5+6+6.5)， 解得：PD ＝1（cm ），故答案为：1．14．（2020春•太原期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CD ＝3，DB ＝5，点E 在边AB 上运动，连接DE ，则线段DE 长度的最小值为 3 ．【分析】当DE ⊥AB 时，线段DE 的长度最小，根据角平分线的性质得出CD ＝DE ，代入求出即可．【解析】当DE ⊥AB 时，线段DE 的长度最小（根据垂线段最短），∵AD 平分∠CAB ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴DE ＝CD ，∵CD ＝3，∴DE ＝3，即线段DE 的长度的最小值是3，故答案为：3．15．（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若△ABC 的面积为21cm 2，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，则DE 的长为 3 cm ．【分析】先根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再利用三角形面积公式得到12×AB ×DE +12×DF ×AC ＝21，所以12×8×DE +12×DE ×6＝21，然后解关于DE 的方程即可． 【解析】∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∵S △ABD +S △ACD ＝S △ABC ，∴12×AB ×DE +12×DF ×AC ＝21， 即12×8×DE +12×DE ×6＝21，∴DE ＝3（cm ）．故答案为3．16．（2019秋•安居区期末）三条公路将A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是 ∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处 ．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【解析】在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处．故答案为：∠A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处．17．（2019秋•余姚市期末）在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，点P ，Q ，M ，N 是四个格点，则这四个格点中到∠AOB 两边距离相等的点是 M 点．【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【解析】由图形可知，点M 在∠AOB 的角平分线上，∴点M 到∠AOB 两边距离相等，故答案为：M ．18．（2019秋•南江县期末）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为30，40，15，点P 是△ABC 三个内角平分线的交点，则S △P AB ：S △PBC ：S △PCA ＝ 6：8：3 ．【分析】先根据角平分线的性质得到P点到三边的距离相等，设这个距离为m，然后根据三角形面积公式得到S△P AB：S△PBC：S△PCA＝AB：BC：AC．【解析】∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，设这个距离为m，∴S△P AB：S△PBC：S△PCA=12×AB×m−12×BC×m−12×AC×m＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案为6：8：3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•南岗区期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DH＝2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．【解析】（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=12×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB=12×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积=12DF•AC=12×2×4＝4．20．（2019秋•临西县期末）已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC 于点N．求证：P A平分∠MAN．【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．【解析】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴P A平分∠MAN．21．（2019秋•呼和浩特期末）已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD 于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC＝90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．【解析】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°，又CE平分∠BCD，∴CB＝CD，∴OB＝OD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．22．（2019秋•涡阳县期末）已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解析】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．23．（2019秋•交城县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE＝FD．【分析】根据条件可得到FM＝FN，再根据角的度数可求得∠NEF＝75°＝∠MDF，可证明△EFM≌△DFN，可得到FE＝FD．【解析】证明：连接BF，∵F是△ABC的角平分线交点，∴BF也是角平分线，∵FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，∴MF ＝FN ，∠DNF ＝∠EMF ＝90°，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴∠DAC =12∠BAC ＝15°，∴∠CDA ＝75°，∵∠NFC ＝45°，∠MFN ＝120°，∴∠MFE ＝15°，∴∠MEF ＝75°＝∠NDF ，在△DNF 和△EMF 中，{∠DNF =∠EMF ∠NDF =∠MEF NF =MF，∴△DNF ≌△EMF （AAS ），∴FE ＝FD ．24．（2019秋•潮州期末）如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF求证：AD 平分∠BAC ．【分析】由DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，BE ＝CF ，即可判定Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），则可得DE ＝DF ，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD 平分∠BAC ．【解析】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠E ＝∠DFC ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，{BD=CDBE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC．。
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)
角平分线与垂直平分线练习(较难题型)1.如图1，点H在QR边上，PH所在的直线是△PQR的对称轴，且PQ≠QR。
设HM∥PR，交PQ于点M。
下列结论中正确的是：①HM=PM；②HM=QM；③M是PQ的中点；④HM平分∠PHQ；⑤HM⊥PQ。
答案：①、④、⑤。
2.如图2，在△ABC中，直线l为BC边的垂直平分线，直线l与∠XXX的角平分线相交于点P。
已知∠ACP=15°，∠BAC=100°。
求∠ABP的度数。
答案：∠ABP=35°。
3.如图3，在△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32cm，4.如图4，将△ABC绕顶点A旋转到△ADE的位置，BC 与DE相交于点F。
下列结论中正确的有：①BC=DE；③FA 平分∠CFD；④∠CAE=∠BAD；⑤∠CAE=∠BFD；⑥AC=CF。
答案：①、③、④。
5.(1) 如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AC于点D，交AB于E，AC=5，BC=4.求△BCD的周长。
答案：△BCD的周长为12.2) 如图，在△ABC中，DE⊥BC，交AC于点E，垂足为D。
已知BC=10cm，△ABE的周长为15cm，△XXX的周长为25cm。
判断D是否是BC的中点。
答案：D不是BC的中点。
6.(1) 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠BAC=120°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G，垂足分别为D，F。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=30°，△AEG的周长为24.2) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=100°。
AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点G。
求∠EAG的度数和△AEG的周长。
答案：∠EAG=40°，△AEG的周长为24.3) 如图，在△ABC中，BC=12，∠BAC=70°。
等腰三角形应用(垂直平分线、角平分线)人教版(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点_____________________________；②到一条线段两个端点________________，在这条线段的垂直平分线上．问题2：角平分线相关定理：①角平分线上的点__________________________；②在一个角的内部，______________________在这个角的平分线上．问题3：已知：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．求证：点P在∠AOB的平分线上．你是怎么思考的？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：垂直平分线相关定理：①线段垂直平分线上的点；②到一条线段两个端点，在这条线段的垂直平分线上．答：①到这条线段的两个端点的距离相等；②距离相等的点．问题2：角平分线相关定理：①角平分线上的点；②在一个角的内部，在这个角的平分线上．答：①到这个角的两边距离相等；②到角的两边距离相等的点．问题3：已知：如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD．求证：点P在∠AOB的平分线上．你是怎么思考的？答：连接OP，利用HL证明Rt△OCP≌Rt△ODP，所以∠COP=∠DOP．等腰三角形应用（垂直平分线、角平分线）人教版一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠CED的度数为( )A.40°B.45°C.50°D.60°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理2.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=18，BC=10，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△BEC的周长为( )A.19B.23C.28D.36答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理3.已知：如图，OA垂直平分CP，OB垂直平分PD，连接CD，交OA于M，交OB于N，若△PMN的周长是8cm，则下列说法不一定正确的是( )A.MC=MPB.PC=PDC.NP=NDD.CD=8cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：垂直平分线相关定理4.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理5.如图，在△ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，线段AD是( )A.△ABC的高B.BC边的中垂线C.△ABC的中线D.△ABC的角平分线答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理6.如图，AB∥CD，AP，CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，则要求AB与CD之间的距离，只需测量出( )A.PA的长度B.PC的长度C.PE的长度D.AB的长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且BE平分∠ABC，则下列说法错误的是( )A.BE=AEB.CE=DEC.BE=2CED.∠A=45°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理8.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点E在AC上，过点E作ED⊥AB于D，CE=DE，求∠CBE的度数．解：如图，∵________________________________∴∠CBA=60°∵∠C=90°∴EC⊥BC∵________________________________∴BE平分∠CBA请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠A=30°；②∠C=90°，∠A=30°；③EC⊥BC，ED⊥AB，CE=DE；④CE=DE；⑤EC⊥BC，ED⊥AB．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④B.①④C.②③D.①⑤答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线相关定理。
2022年教学教材中垂线角平分线与等腰三角形联手巧解配套精选卷
中垂〔角平分〕线与等腰三角形联手巧解题
角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题，下面归类说明．
一、角平分线与等腰三角形
例1、如图1，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O 作DE∥AC，分别交AB，BC于点D，E．试猜测线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜测理由．
分析：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE∥AC，可得△ADO 和△CEO均是等腰三角形，那么DO＝DA，EC＝EO，故ADCE＝DE。
解：ADCE＝DE．理由如下：OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠OAC=∠DAO，∠OCA=∠OCE，因为DE∥AC，所以∠DOA=∠OAC，∠EOC=∠OCA，所以∠DOA=∠DAO，∠EOC=∠OCE，所以DO＝DA，EC ＝EO，故ADCE＝DOEO=DE。
．
例2、如图2，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点、FD分别是AB、AC的垂直平分线，所以EB=EA，FC=FA．
所以∠B=∠EAB，∠C=∠F AC．
因为∠B∠EAB∠C∠F AC∠EAF=180º，所以∠EAF=180º-2〔∠B∠C〕，而∠BAC=115º．
所以B∠C=180º-115º=65º，所以∠EAF=180º-130º=50º．。
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1．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ．
（1）求证：OE 是CD 的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论．
1 2 3
2、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA ＝CD
3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。
4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B
4 5
5、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE .
6、已知，如图，等边△ABC ，AB ＝6㎝，点M 从点B 开始沿BA 边向点A 以1㎝/秒的速度运动，点N 从点C 开始沿AC 的延长线以1㎝/秒的速度运动，M 、N 分别从B 、C 同时出发，当点M 到达端点A 时，停止运动。
（1）设线段MN 与线段BC 交于点P ，试判断点P 与线段MN 的位置关系，并证明你的结论。
（2）当M 、N 运动几秒时，△AMN 为直角三角形？
（3）过点P 作MN 的垂线交∠BAC 的平分线AD 于Q 点，在M 、N 两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q 点为AD 上的一个定点；②线段PQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。
7.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC. A B C
D A
B
C P Q M
N A
B C D E
F A C B
P M N A C B P M N Q D
7 8 9
8、如图所示，已知AD //BC ，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；（2）AD ＋BC =AB .
9．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，BC=6cm ，若动点P 从点C 开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．
（1）出发2秒后，求△ABP 的周长．
（2）问t 为何值时，△BCP 为等腰三角形？
（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把△ABC 的周长分成相等的两部分？
10．已知△ABC 的角平分线AP 与边BC 的垂直平分线PM 相交于点P ，作PK ⊥AB ，PL ⊥AC ，垂足分别是K 、L ，
求证：BK=CL ．
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11．在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．
（1）如图1，求证：；（2）如图，若AB=5，AC=4，BC=6．求BD 的长．
12．已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上．（1）如图1，若∠ABC=D O C E
B A
A D
E C B
∠ADC=90°，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，
给出证明；若不成立，请说明理由.
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13．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？
14．如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
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15．平面直角坐标系xOy中，已知定点A（1，0）和B（0，1）．
（1）如图1，若动点C在x轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有几个？
（2）过A、B向直线l：y=﹣2x作垂线，垂足分别为M，N（如图2），试判断线段AM、BN、MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）过A、B向动直线l：y=kx（k＞0）作垂线，垂足分别为M，N，请直接写出线段AM、BN、MN之间的数量关系．。