直线的参数方程

01||||2PMQN PF FQ MF FN PQ MN

PF MF S PQ MN ⎫⎪

⇒⊥⎬⎪⋅=⎭⇒=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r 与共线与共线直线的参数方程

一、源于教材

课本第二册（上）P 55.

设直线l 经过点000(,)P x y ，(,)v a b =v 是直线l 的一个方向向量（如图）。(,)P x y 是l 上的任一点，Q 向量0P P u u u r 与v r 共线，0

P P tv ∴=u u u r r 即00(,)(,)x x y y t a b --= 00()x x ta t y y tb

=+⎧∴⎨=+⎩为参数 这就是直线的参数方程。

二、高于教材 参数方程00()x x at

t y y bt =+⎧⎨

=+⎩为参数中的t 的几何意义不代表有向距离，用处不大。如果直线的方向向量(cos ,sin )v θθ=r

来确定，则参数方程为00cos ()sin x x t t y y t θ

θ=+⎧⎨

=+⎩为参数，这时00（x ,y ）表示定点，t 表示定点到动点的有向距离，（即有方向又有大小）。t 的意义用处就大了。

三、直线参数方程在高考中的应用 1、（05全国Ⅱ21）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆

2212

y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u u r 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u r ，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。（命题组给出的参考答案）

解：如图，由条件知MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交

于焦点F(0,1)，且PQ MN ⊥， 直线PQ ，MN 中至少有一 条存在斜率，不妨设PQ 的 斜率为k ，又PQ 过点

F(0,1)，故PQ 方程为1y kx =+。 将此式代入椭圆方程得

22(2)210k x kx ++-=。

设P 、Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则 22122222

k k k k x x --+-++= 从而： 亦即2

22(1)||k PQ += （1） 当0k ≠时，MN 的斜率为1

k

-，同上可推

得， 故四边形面积 22221

4(1)(1)

1||||12(2)(2)k k S PQ MN k k

++==

++g 2222

14(2)2

52k k k k

++=

++ 令22

1

u k k =+

得4(2)12(1)5252u S u u +==-++。 因为2

21u k k =+，当1k =±时，162,9

u S ==。

且S 是以u 为自变量的增函数。所以16

29

S ≤<。

（2） 当0k =时，MN 为椭圆长轴，

||22,||2MN PQ == 1|||| 2.2S PQ MN =⋅=

综合（1）、（2）知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为169

。

解2： 今设PQ 方程：0cos 1sin x t y t θθ

=+⎧⎨

=+⎩（t 为参数），代入椭圆，整理得：

2212122

2(1cos )2sin 10

2sin 1

,1cos 1cos t t t t t t θθθθθ++-=--⇒+=⋅=++ 212222sin 422||||()1cos 1cos PQ t t θθθθ-∴=-+++

同理：22||MN 2122222412sin 24PMQN S θθθ

∴=⨯⋅=

+ 答：……

22

2

2

2

12228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+22122(1())||12()k MN k +-=+-2160sin 21,29

S θ≤≤∴≤≤Q

2、(07全国卷Ⅰ21) 已知椭圆22

132

x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、

D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且

AC BD ⊥，垂足为P

（Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：

22

00132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。 （命题组给出的参考答案） 证明：

（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==， 由AC BD ⊥知点P

线段12F F 故22

001x y +=，所以，22220000

132222y y x x ++=≤（Ⅱ）（ⅰ）当BD 存在且0k ≠时，BD (1)y k x =+，代入椭圆方程22

132

x y +

=，并化简得2222

(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则

2122632k x x k +=-+，212236

32

k x x k -=+

2BD

因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为

1k -，所以，)

2211

132

k

AC k

+=⨯+ 四边形ABCD 的面积

22222222224(1)12(32)(23)

(1)9625(32)(23)2k S BD AC k k k k k +=⋅=++24+=

+++⎡⎤⎢⎥⎣⎦

≥

当2

1k =时，上式取等号．

（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形

ABCD 的面积的最小值为 ． 解2：

3、(07重庆16）过双曲线42

2=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0

105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则|FP|⋅|FQ|的值为__________. （命题组给出的参考答案）

利用直线的参数方程00cos105x t y ⎧=⎨=⎩(t 为参数) 代入2

2

4x y -= 整理得

200120

cos210cos10544|||||||

|cos210t FP FQ t t ++=∴⋅=⋅=

命题立意: 本题若用直线的一般方程跟双曲线

方程联立, 则运算量很大. 用上直线的参数方程能明显减少运算量.

四、老题新做

4、（课本题）过抛物线2

2y px =的焦点的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求证：

212y y p ⋅=-

证：(,0)2p

F Q 设直线的参数方程为

(t 为参数)代入抛:222

sin 2cos 0t pt p θθ--= Q 直线与抛物线交于两点

2122

0,2sin 0sin p p t t θθθ

∴≠≠∴⋅=-

12122

12sin sin sin y y t t t t p

θθ

θ∴⋅=⋅=⋅=-

（想一想这个证法与前面的证法有哪一点是优于前法的？）

cos 20sin p

x t y t θθ

⎧⎪=+⎨=+⎪⎩96

25