直线的参数方程
直线的参数方程及应用
直线的参数方程及应用直线的参数方程及应用直线参数方程的标准式过点P(x,y)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(x,y)为直线上的任意一点。
直线l上的点与对应的参数t是一一对应关系。
若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2 = t2 - t1，|P1P2| = |t2 - t1|。
若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则P1P2中点P3的参数为t3 = (t1 + t2)/2，|PP3| = |(t1 + t2)/2|。
若P为P1P2的中点，则t1 + t2 = 0，t1·t2 < 0.直线参数方程的一般式过点P(xb,y)，斜率为k = a的直线的参数方程是x = x + aty = y + bt其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xb,y)为直线上的任意一点。
直线的参数方程给定点P(xl,y)，倾斜角为α，求经过该点的直线l的参数方程。
直线l的参数方程为x = x + tcosαy = y + tsinα其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
特别地，若直线l的倾斜角α = 90°，直线l的参数方程为x = x + ty = y其中t为参数，表示有向线段PP的数量，P(xl,y)为直线上的任意一点。
2、直线的参数方程与标准形式如果直线的方向已知，那么可以使用参数方程来表示直线。
对于倾斜角为 $\alpha$，过点 $M(x,y)$ 的直线 $l$，其参数方程一般式为：begin{cases}x=x_M+t\cos\alpha \\y=y_M+t\sin\alphaend{cases}其中 $t$ 是参数，表示从点 $M$ 沿着直线 $l$ 方向前进的距离。
如果要将参数方程转化为标准形式，可以通过以下步骤：1.消去参数 $t$，得到 $y-y_M=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(x-x_M)$。
直线的参数方程
直线的参数方程（1）直线的标准参数方程：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；性质：（2）直线的一般参数方程：过定点，且其斜率为的直线的参数方程为： 性质：（为参数，为为常数，）例1.把y=2x+3化为参数方程。
变式：直线l 的方程：1sin 252cos 25x t y t ì=-ïí=+ïî（t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°例2. 已知直线l：15x t y ì=+ïíï=-î (t 为参数)与直线m：0x y --=交于P 点， 求点M(1,－5)到点P 的距离.例3：已知直线L过点M（1，1），且倾斜角的余弦值为35，L与圆229x y+=交与A，B，且AB中点为C（1）求L的参数方程（2）求中点C所对应的参数t及C点坐标（3）求|CM|（4）求|AM|（5）求|AB|（6）求|MA|+|MB|（7）求|MA||MB|二、根据t的式子求解1．在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线经过点，倾斜角．（Ⅰ）写出圆的标准方程和直线的参数方程；（Ⅱ）设与圆相交于、两点，求的值．2．在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线交于点．若点的坐标为（3，），求．3．在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为（Ⅰ）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值．4．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为 （为参数），与分别交于． （Ⅰ）写出的平面直角坐标系方程和的普通方程； （Ⅱ）若成等比数列，求的值．5．已知圆锥曲线（为参数）和定点，、是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线的直角坐标方程； （2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，求的值．6.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，AB =求l 的斜率.圆的参数方程已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：（是参数，）；1.在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos r q =，0,2p q 轾Î犏臌. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.椭圆的参数方程椭圆（）的参数方程（为参数）。
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
直线的参数方程的几何意义
直线的参数方程的几何意义直线的参数方程是用变量表示直线上的每一个点的坐标的一种表示方法。
在二维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt，其中n和m是常数。
在三维空间中，直线的参数方程可以用以下形式表示：x = x0 + nt, y = y0 + mt, z = z0 + pt，其中n、m和p是常数。
直线的参数方程的几何意义体现在以下几个方面：1.直线的方向向量：直线的参数方程中的常数n、m和p是直线的方向向量的分量。
直线上的每一个点都可以通过起点坐标加上方向向量的分量与参数的乘积得到。
2. 直线的斜率：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为斜截式方程y = mx + c的形式，其中m代表直线的斜率。
直线的斜率是直线上两个不同点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
3. 直线的截距：在二维空间中，直线的参数方程可以转化为截距式方程y = mx + c的形式，其中c代表直线与y轴的交点坐标。
直线的截距可以通过将参数方程中x等于零得到。
4.直线的方向：直线的参数方程中的常数n、m和p可以决定直线的方向。
当n、m和p都不为零时，直线是斜的，方向由斜率来确定；当其中一个常数为零时，直线平行于一个坐标轴，方向由与之平行的轴来决定；当两个常数为零时，直线垂直于一个坐标轴，方向由与之垂直的轴来决定。
5.直线上的点的坐标：直线的参数方程中的变量t可以取不同的值，对应于直线上的不同点。
通过给定不同的t值，可以得到直线上的各个点的坐标。
直线上的点的坐标可以通过代入参数方程中的t值来计算。
总之，直线的参数方程能够描述直线的方向、斜率、截距以及直线上各个点的坐标。
利用参数方程，可以方便地求解与直线相关的问题，如直线与其他几何图形的交点、直线的长度等。
同时，参数方程也是研究曲线、平面、空间之间关系的重要工具。
直线的参数方程标准式
直线的参数方程标准式直线是几何学中最基本的概念，它是空间中所有点组成的连续一维线段，可以用参数方程表示。
什么是参数方程标准式?数方程标准式是用数学公式来表示空间直线的形状和特征，它是由平面直角坐标系上任意两点确定的，具有特定形状和方向。
以二维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 y=kx+b 其中，k 为斜率，b 为截距，结合两个坐标点的坐标值，就可以求出 k b值，当给定三点的坐标时，可以利用克莱姆法，把原始的三点坐标转换为两个一元二次方程，求解得到斜率 k截距b 。
如果以三维直角坐标系为例，参数方程标准式用如下公式表示：直线方程为 z=ax+by+c，其中， a单位向量 $vec{i}$系数，b单位向量 $vec{j}$系数，c截距，它们可以由三维坐标系下三点确定。
例如，如果有三点 $(x_1, y_1, z_1)$，$(x_2, y_2, z_2)$ $(x_3, y_3, z_3)$，那么可以使用下面的克莱姆法求出 a，b，c:$$begin{aligned}&vec{i}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)&vec{j}=(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)&vec{k}=vec{i}timesvec{j}&(a,b,c)=vec{k}/|vec{k}|end{aligned}$$根据以上参数方程标准式，当有任意两点或三点坐标值时，就可以求出直线上任意一点的坐标。
直线的参数方程标准式在几何学中有着重要的应用，可以帮助我们求解直线的各种性质，比如直线和其他特征的位置关系，如两直线的相交、平行和垂直等；可以用一阶和二阶微分求解直线的切线方程，可以用它绘制直线图，求解几何特征，如弧长、斜率等。
另外，参数方程标准式也可以用于求解非线性方程，此时可将非线性方程转换为一阶或二阶参数方程，然后根据参数方程标准式对参数进行求解。
直线的参数方程
直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．1．已知直线l 的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，则直线l 的倾斜角为( )A ．65°B ．25°C ．155°D ．115°解析：选D.方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t sin 25°，y ＝2＋t cos 25°(t 为参数)，化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 115°，y ＝2＋t sin 115°(t为参数)，倾斜角为115°.故选D.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：选B.直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，斜率为－1.故选B.3．以t 为参数的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t表示( )A ．过点(1，－2)且倾斜角为π3的直线B ．过点(－1，2)且倾斜角为π3的直线C ．过点(1，－2)且倾斜角为2π3的直线D ．过点(－1，2)且倾斜角为2π3的直线解析：选C.化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)为普通方程得y ＋2＝－3(x －1)．直线过定点(1，－2)，斜率为－3，倾斜角为2π3，故选C.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长是________．解析：由已知焦点F (1，0)，又倾斜角为π3，cos π3＝12，sin π3＝32.所以弦AB 所在直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入抛物线的方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t .整理得3t 2－8t －16＝0.设方程两根分别为t 1，t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝83，t 1·t 2＝－163.由参数t 的几何意义得|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫832＋643＝163.答案：163根据直线的参数方程求直线的倾斜角、斜率已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t sin αy ＝－2＋t cos α，(t 为参数)，其中实数α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.求直线l 的倾斜角． [解] 设直线l 的倾斜角为θ，则由题意知tan θ＝cos αsin α＝1tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α，所以θ＝3π2－α.所以直线l 的倾斜角为3π2－α.由直线的参数方程求倾斜角与斜率的方法已知直线l 的参数方程(1)若是标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则可直接得出倾斜角即方程中的α，否则需化成标准式再求α.(2)若是一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt ，则当a ≠0时，斜率k ＝b a ，再由tan α＝ba 及0≤α<π求出α，当a ＝0时，显然直线与x 轴垂直，倾斜角为α＝π2.(3)若是其他形式，则通过消参化成普通方程，再求斜率及倾斜角．1.若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)，则此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12(－t )y ＝3＋32(－t )，(－t 为参数)． 所以直线的斜率为－ 3.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，(t 为参数)，求直线的斜率．解：法一：把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝1＋t ，消去参数t 得x ＋3y －5＝0， 所以其斜率k ＝－13.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－3ty －1＝t ，所以k ＝y －1x －2＝t －3t ＝－13. 直线参数方程中参数几何意义的应用已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.[解] l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′为参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.因为Δ>0，可设t 1′，t 2′是方程的两根，由根与系数的关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，所以|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝(t 1′＋t 2′)2－4t 1′t 2′＝14.(1)在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：(1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3. 直线参数方程的综合应用已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程．[解] 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，所以0＝2＋t sin α， 即|PA |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|PA |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. 因为90°<α<180°，所以当2α＝270°，即α＝135°时， |PA |·|PB |有最小值．所以直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. 所以x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二：将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，① 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0. 故可设t 1，t 2是①式的两个实根． 所以t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. 所以t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，所以由t 的几何意义，得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．对直线参数方程标准形式中参数t 的理解从参数方程推导的过程中可知参数t 应理解为直线l 上有向线段M 0M →的数量，它的几何意义可以与数轴上点A 的坐标的几何意义作类比，|t |＝|M 0M →|代表有向线段M 0M →的长度．另外，将直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)改写成y －y 0sin α＝x －x 0cos α，其中k ＝tan α，α为直线倾斜角，则t ＝y －y 0sin α＝x －x 0cos α，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α，从中不难看出直线的普通方程(点斜式)与参数方程(标准式)的联系．2．化直线的参数方程一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (t 为参数)为标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt 变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋a a 2＋b 2·a 2＋b 2ty ＝y 0＋b a 2＋b2·a 2＋b 2t，令cos α＝aa 2＋b2，sin α＝b a 2＋b2，t ′＝a 2＋b 2 t ，则可得标准式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ′cos αy ＝y 0＋t ′sin α(t ′为参数)，其中α为直线的倾斜角，k ＝tan α＝ba 为直线的斜率．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α，(α为参数，0≤α<π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1，2)C ．(－2，1)D ．(2，－1)解析：选A.由参数方程可知该直线是过定点(1，－2)，倾斜角为α的直线．2．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t ，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：523．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，则直线l与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85.答案：85[A 基础达标]1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B ．10C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0)， 所以d ＝(2－5)2＋(－1－0)2＝10.2．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( )A ．λ＝5tB ．λ＝－5tC ．t ＝5λD ．t ＝－5λ解析：选C.由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ.3．经过点M (1，5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5－32t(t 为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－12t ，y ＝5－32t(t 为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)解析：选D.该直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，选D.4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t ，y ＝－12＋at (t 为参数)的斜率为y ＋12x ＝－a2，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－s ，y ＝1＋s (s 为参数)的斜率为y －1x －1＝－1，由两直线垂直得－a2×(－1)＝－1得a ＝－2.故选D. 5．对于参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°y ＝2＋t sin 30°和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°y ＝2－t sin 30°，下列结论正确的是( )A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150°的两重合直线C ．是两条垂直相交于点(1，2)的直线D ．是两条不垂直相交于点(1，2)的直线 解析：选B.因为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t cos 30°，y ＝2＋t sin 30°可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 150°，y ＝2＋t sin 150°，所以其倾斜角为150°.同理，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos 30°，y ＝2－t sin 30°，可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋(－t )cos 150°，y ＝2＋(－t )sin 150°，所以其倾斜角也为150°.又因为两直线都过点(1，2)，故两直线重合．6．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t ，(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．解析：由直线的参数方程可得直线的斜率为－32，由题意得直线4x ＋ky ＝1的斜率为－4k ，故－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案：－67．已知直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，以M 0M →的数量t 为参数，则直线l 的参数方程为____________．解析：因为直线的斜率为－1， 所以直线的倾斜角α＝135°. 所以cos α＝－22，sin α＝22. 所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)8．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2，0)，对应极坐标为(2，π)．答案：(2，π)9．已知曲线C ：ρ＝2cos θ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t ，y ＝32＋34t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，(α是参数)．直线l 的普通方程为3x ＋4y －12＝0.(2)曲线C 上任意一点P (1＋cos α，sin α)到l 的距离为d ＝15|3cos α＋4sin α－9|，则|PA |＝d sin 45°＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin(α＋φ)－95，且tan φ＝34. 当sin(α＋φ)＝－1时，|PA |取得最大值1425； 当sin(α＋φ)＝1时，|PA |取得最小值425. 10．(2016·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为153或－153. [B 能力提升]11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选C.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a . 椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1. 又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.12．给出两条直线l 1和l 2，斜率存在且不为0，如果满足斜率互为相反数，且在y 轴上的截距相等，那么直线l 1和l 2叫做“孪生直线”．现在给出4条直线的参数方程如下：l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2t ，y ＝－4－2t (t 为参数)； l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝4－22t (t 为参数)； l 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1－t (t 为参数)； l 4：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋22t ，y ＝8＋22t (t 为参数)． 其中能构成“孪生直线”的是________．解析：根据条件，两条直线构成“孪生直线”意味着它们的斜率存在且不为0，且互为相反数，且在y 轴上的截距相等，也就是在y 轴上交于同一点．对于本题，首先可以判断出其斜率分别为－1，1，－1，1，斜率互为相反数条件很明显．再判断在y 轴上的截距，令x ＝0得出相应的t 值，代入y 可得只有直线l 3和直线l 4在y 轴上的截距相等，而其斜率又恰好互为相反数，可以构成“孪生直线”．答案：直线l 3和直线l 413．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ；直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得 t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1.14．(选做题)以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x . (2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α， 所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α， 当α＝π2时，|AB |取得最小值2.。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是平面几何中的基本图形之一，它具有许多重要的性质和应用。
在直角坐标系中，直线的方程有多种表示形式，其中标准参数方程是一种常用的形式。
本文将介绍直线的标准参数方程的定义、推导方法和应用示例。
一、定义。
直线的标准参数方程是指用参数形式表示直线的方程。
设直线L上有一点P(x, y)，则点P到直线L上某一固定点A的距离与点P到直线L的方向垂直的距离成比例。
这里引入参数t，点P的坐标可以表示为x=x0+mt，y=y0+nt，其中m和n是常数，称为参数。
二、推导方法。
1. 已知直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求直线的标准参数方程。
设直线上任一点P(x, y)，则向量AP=(x-x1, y-y1)，向量AB=(x2-x1, y2-y1)。
由于向量AP与向量AB垂直，根据向量的垂直条件可得(x-x1, y-y1)·(x2-x1, y2-y1)=0，展开得到(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0，整理可得直线的标准参数方程。
2. 已知直线的斜率k和截距b，求直线的标准参数方程。
直线的斜率k定义为k=(y2-y1)/(x2-x1)，截距b定义为y=kx+b。
将y=kx+b代入直线方程中，整理可得x=(x1-kt)/(1-k)，y=(y1-kt)/(1-k)，即为直线的标准参数方程。
三、应用示例。
1. 求直线通过两点A(1, 2)和B(3, 4)的标准参数方程。
根据推导方法1，代入已知点的坐标得到(x-1)(3-1)+(y-2)(4-2)=0，整理得到直线的标准参数方程。
2. 求直线的斜率为2，截距为3的标准参数方程。
根据推导方法2，代入已知斜率和截距得到x=(1-2t)/(1-2)，y=(2-2t)/(1-2)，即为直线的标准参数方程。
综上所述，直线的标准参数方程是一种常用的表示形式，通过已知直线上的点或斜率和截距可以求得直线的标准参数方程。
在实际问题中，标准参数方程可以方便地描述直线的性质和运动规律，具有重要的应用价值。
直线的标准参数方程
直线的标准参数方程直线是我们在几何学中经常接触到的一种基本图形，而直线的参数方程是描述直线的一种重要方式。
在本文中，我们将详细介绍直线的标准参数方程及其应用。
首先，我们来看一下直线的标准参数方程是如何定义的。
对于直线上的任意一点P(x, y)，我们可以用参数t来表示其坐标，即P(x, y) = P(x(t), y(t))。
而直线的标准参数方程可以表示为：x(t) = x1 + at。
y(t) = y1 + bt。
其中，(x1, y1)是直线上的一点，而a和b分别是直线的方向向量。
这样，我们就可以用参数t来表示直线上的任意一点，这就是直线的标准参数方程。
接下来，我们来看一下直线的标准参数方程的应用。
首先，我们可以通过参数方程方便地表示直线上的点。
当我们知道直线上的一点和方向向量时，直接代入参数t就可以得到直线上的任意一点的坐标。
这在计算直线上的点的坐标时非常方便。
其次，直线的标准参数方程还可以用于表示直线的方程。
我们知道，一般情况下直线的方程可以表示为Ax + By + C = 0，而通过参数方程我们也可以将直线的方程表示为x = x1 + at, y = y1 + bt的形式。
这样，我们就可以用参数方程来表示直线的方程，这对于一些特定问题的求解非常有用。
此外，直线的标准参数方程还可以用于表示直线的向量方程。
我们知道，直线的向量方程可以表示为r = a + tb，其中r是直线上的一点的位置向量，a是直线上的一点的位置向量，b是直线的方向向量。
而直线的标准参数方程正是直线的向量方程的一种特殊形式，通过参数方程我们也可以方便地得到直线的向量方程。
综上所述，直线的标准参数方程是描述直线的一种重要方式，它可以用于表示直线上的点、直线的方程以及直线的向量方程。
通过参数方程，我们可以更方便地进行直线相关问题的求解，这对于我们理解直线的性质和应用也非常有帮助。
总之，直线的标准参数方程是我们在几何学中经常接触到的一个重要概念，它有着广泛的应用价值。
直线的参数方程
3
直线参数方程可以用于解决一些与直线相关的 解析几何问题，如交点、距离等。
在物理中的应用
在力学中，直线参数方程可以用于描述物体的运 动轨迹。
在电磁学中，直线参数方程可以用于描述电流和 电压的关系。
在光学中，直线参数方程可以用于描述光的传播 路径。
在计算机图形学中的应用
在计算机图形学中 ，直线参数方程可 以用于绘制直线和 曲线。
在计算机图形学中，直线的参数方程可以用来描述物体的形状和轮廓。例如，在 绘制一条直线时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便地表 示出直线的方向和位置，并且可以方便地进行绘制和控制。
直线参数方程与三维建模
在三维建模中，直线的参数方程可以用来描述物体的表面和边缘。例如，在创建 一个立方体或球体时，可以使用直线的参数方程来表示。这种方程形式可以方便 地表示出物体的形状和轮廓，并且可以方便地进行修改和控制。
THANK YOU.
用点斜式推导直线参数方程
总结词
利用点斜式的直线方程，推导出直线参数方程的表达式 。
详细描述
已知直线通过点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$ 和斜率为 $k$， 则直线的点斜式方程为 $y - y_{1} = k(x - x_{1})$。为 了将其转化为参数方程形式，引入参数 $t$ 并令 $y y_{1} = t$，则 $x = x_{1} + \frac{t}{k}$
直线参数方程的特殊形式包括
当 θ = π/2 时，直线垂直于 y 轴 ，t 为任意实数；
直线参数方程的性质还包括：通 过改变 t 的值可以得到直线上不 同的点，t 的取值范围为全体实数 。
02
直线参数方程的应用
在解析几何中的应用
参数方程直线
参数方程直线在数学中，直线是一种基本的几何图形，它是由无数个点组成的，这些点在同一条直线上。
直线可以用不同的方式表示，其中一种方式是使用参数方程。
参数方程是一种用参数表示函数的方式。
在直线的参数方程中，我们使用两个参数来表示直线上的点。
这两个参数通常被称为t和s。
t表示直线上的点在x轴上的位置，s表示直线上的点在y轴上的位置。
例如，如果我们想要表示一条直线，它从点(1,2)开始，向右倾斜45度，那么我们可以使用以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + t在这个参数方程中，t表示直线上的点在x轴上的位置。
因此，当t=0时，我们得到的点是(1,2)。
当t=1时，我们得到的点是(2,3)。
当t=-1时，我们得到的点是(0,1)。
这个参数方程表示的直线是一条从点(1,2)开始，向右倾斜45度的直线。
参数方程直线的优点是它可以很容易地表示斜率。
斜率是直线上的两个点之间的垂直距离除以它们之间的水平距离。
在参数方程中，斜率可以表示为dy/dx。
因此，如果我们有以下参数方程：x = 1 + ty = 2 + 2t那么这条直线的斜率就是2。
这意味着这条直线向上倾斜，并且每向右移动一个单位，它向上移动两个单位。
在实际应用中，参数方程直线可以用于描述物体的运动轨迹。
例如，如果我们想要描述一个物体在空中飞行的轨迹，我们可以使用参数方程直线来表示它的位置。
这个参数方程可以包括物体的速度和加速度，从而更准确地描述物体的运动。
参数方程直线是一种非常有用的数学工具，它可以用于描述直线的位置、斜率和运动轨迹。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中得到广泛应用。
直线的参数方程
1.运动(一般)式：
x y
x0 y0
vx vy
t t
(t为参数) (t为时间)
vy
M(x,y)
vx
M0(x0,y0)
2.数量(标准)式：
(t为参数) M0(x0,y0)
(t为数量)
M(x,y)
x
注1.区分： 运动特例数量式 非负为1平方和
运动(一般)式
x y
x0 y0
at bt
数量(标准)式 a2 b2 1
x y
1 2t at 2 .
,(t为为参参数
,aa∈ R
)) ,且点M(5,4)在C
则常数a=__1_____
(4)若曲线M:
x
y
sin cos 2
A.(2,7)
B. (1 , 1) 32
(θ为参数) ,则在M上的点是
C. (1 , 1) 22
【C】 D.(1,0)
二、直线的参数方程
一、以焦点F为极点，以对称轴为极轴的极坐标系：
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
M(ρ,θ)
ep
F
x
1 e cos
注1：椭圆(双曲线)的焦参数 p b2c注2：若AB为焦源自弦，则|AB|
2ep
1 e2 cos2
;
1 1 2 | AF | | BF | ep
二、以直角坐标系的x正半轴为极轴的极坐标系：
cos 20
数形结合巧转化 类比三角辅助角
除以振幅正余弦 同＋异－纵为正
(7)将直线的普通方程 x 3y 1 0 改写成参数方程
析①
：直线的参数方程为
x
y
x0 y0
t t
直线的参数方程
b2
1时，
t才具有此几何意义
其它情况不能用。
直线非标准参数方程的标准化
x y
x0 y0
at bt
(t为参数）
x 1t
y
3
3t
x
x0
y
y0
a ( a2 b2t) a2 b2
b ( a2 b2t) a2 b2
x
1
1 12 (
( 12 ( 3)2 t) 3)2
y 3
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
（2） 直 线x
y
1
x
0的 一 个 参 数 方 程 是 y
1 2
2
2 2
t
t （t为参数）
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
2
2
2
2
则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
2
2
2
2
3 5 3 5 4 2
例2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
由韦达定理得： t1 t2 2，t1 t2 2
3
( 12 ( 3)2 t)
12 ( 3)2
x
x0
y
y0
a t a2 b2
b t a2 b2
x 1
y
3
1 t 2 3 t 2
直线的参数方程
t t ( t t ) 4t t
' 1 ' 2 ' 1 ' 2 2 ' ' 1 2
4 17
.
练习
2.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.
y
B
A M（x，y）
0
(t是参数）
M0（x0，y0）
0
O
x •t表示有向线段M0P的数量。|t|=| M0M|
若M 0为中点, t 0 t1＋t 2 0
•t只有在标准式中才有上述几何意义 设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参 数值分别为t1,t2. （1）|AB|＝ t1 t 2
直线的参数方程
直线的参数方程(标准式）
x x 0 t cos 直线的参数方程 ( t为参数) y y 0 t sin
其中(x 0 , y0 )时直线上的定点, 是倾斜角; 其对应的 普通方程为y y0 k ( x x0 )或x x0。 t表示几何意义： M（ （x, y )(不同于点M 0）的 0 x0 , y0 )到直线上的点M 有向线段M 0 P的数量.
（2）M是AB的中点，求M对应的参数
t1 t 2 2
1 x 1 t 2 5.一条直线的参数方程是 (t为参数）， y 5 3 t 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 0, 则两直线的交点 与点（1，-5）间的距离是
4 3
6.动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. x 1 9t (t为参数） y 1 12t
直线的参数方程
02
通过直线的参数方程，可以方便地表示直线上的点，以及与直线平行的向量。
03
直线的参数方程在极坐标系中也可以表示为`r=r0+λcosθ`或`r=r0+λsinθ`，其中`r0`是原点到直线的距离，λ是直线的长度。
直线参数方程在物理中的应用
在物理学中，直线的参数方程可以用来描述质点的运动轨迹。
对于匀速直线运动，其参数方程可以表示为`x=x0+vt, y=y0+vt`，其中`v`是速度，`t`是时间。
斜截式
对于斜截式直线，参数方程可以表示为 `x = ty + c`, `y = ts + b`，其中t为参数，b和c分别为y轴工程中，直线参数方程被广泛应用于机械设计、土木工程等领域。例如，在机械设计中，直线参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
工程应用
在数学建模中，直线参数方程被用来描述和分析直线的性质和特点。例如，在解析几何中，直线参数方程可以帮助我们更好地理解直线的方向、位置和形状等特性。
直线参数方程在解析几何、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。例如，在解析几何中，直线参数方程可以用于求解线段的中点和交点等；在物理学中，直线参数方程可以用于描述粒子的运动轨迹；在工程学中，直线参数方程可以用于绘制复杂的曲线和曲面。
直线参数方程的概念
直线参数方程的优点
直线参数方程的应用
进一步探索直线参数方程的性质
在工程中，直线的参数方程可以用来描述机构的运动轨迹。
直线参数方程的推导
03
03
直线参数方程的意义
直线参数方程将直线的几何形式转化为代数形式，便于对直线进行解析和计算。
使用向量推导直线参数方程
01
向量与参数方程的关系
直线的参数方程
8 由根与系数的关系，t′1＋t′2＝－ ， 5 t′1· t′2＝－4. 根据参数 t′的几何意义． 12 5 |t′1－t2′|＝ t′1＋t′2 －4t′1t′2＝ 5 . 12 5 故直线被圆截得的弦长为 5 .
x x0 at (t为参数） y y0 bt
a 2 2 x x ( a b t) 0 2 2 a b b y y0 ( a 2 b 2 t) 2 2 a b
x 1 t y 3 3 t
1 2 2 x 1 ( 1 ( 3 ) t) 2 2 1 ( 3) 3 y 3 ( 12 ( 3 ) 2 t ) 2 2 1 ( 3 )
【自主解答】
x＝1＋2t， 将参数方程 y＝2＋t
(t 为参数)转化
为直线参数方程的标准形式为 x＝1＋ y＝2＋ 2 t′， 5 1 t′ 5
(t′为参数)
代入圆方程 x2＋y2＝9， 2 1 2 得(1＋ t′) ＋(2＋ t′)2＝9， 5 5 整理，有 5t′2＋8t′－4 5＝0.
(θ 为参数)交于 A，
B 两点，求|PA|· |PB|. 【解】 (1)直线 l 的参数方程为
5 3 x＝－3＋tcos6π＝－3－ 2 t， y＝3＋t sin5π＝3＋ t . 6 2
(t 为参数)
(2)把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去，得 4x2＋y2－16 ＝0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程中，得 3 2 1 2 4(－3－ t) ＋(3＋ t) －16＝0. 2 2 即 13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由 t 的几何意义，知 |PA |· |PB |＝|t1· t2|， 116 故|PA |· |PB |＝ |t1· t2|＝ 13 .
直线和圆的参数方程重要知识
1．直线的参数方程
(1)过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝x0＋tcos α y＝y0＋t sin α
(t 为参数)
.
重点辅导
1
2 参数的几何意义 直线的参数方程中参数 t 的几何意义是：
直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值
M• 450 P x
O
的坐标为x, y,根据条件知
台风中心M移动形成的直线
图2 15
l 的方程为
x 300 40t cos1350 ,
y 40t sin1350 ,
t 为参数,t 0
x 300 20 2t ,
即 y 20 2t ,
t 为参数,t 0
重点辅导
18
当点M 300 20 2t,20 2t 在圆O内或在圆O上时,有
t为参数
②
思考 由M 0M te,你能得到直线l的参数 方 程②中 参 数t 的 几 何 意 义 吗?
重点辅导
4
因为e cos,sin ,所以| e | 1.由 M0M
te,得到| M0M || t | .所以,直线上的动点M 到定点M0的距离,等于② 中参数t 的绝对值.
当 0 时,sin 0,所以,直线l的单位
(2)设l与圆 x 2 y2 ＝4相交于两点A，B，求点P
到A，B两点的距离之积．
解：(1)直线的参数方程是
x＝1＋
3 2t
y＝1＋12t
(t 是参数)．
重点辅导
7
(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 A1＋ 23t1，1＋12t1，B1＋ 23t2，1＋21t2. 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4， 整理得到 t2＋( 3＋1)t－2＝0.① 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
直线的参数方程
t1 + t2 B. 2
|t1 −t2 | C. 2
| t1 + t2 | D. 2
小结:
1.直线参数方程
探究:直线的 探究 直线的 参数方程形 x=x0 + t cosα (t是 式是不是唯 参 ） 数 一的 y = y0 + t sinα
x = x0 + at (t为 t才具有此几何意义 参 ） |t|=|M0M| 数 y = y0 + bt
其 情 它 况不 用 能 。
3.注意向量工具的使用.
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离. 2 2
当 + b =1 ， a 时
作业:p41第1题 作业 预习:例2,例3.例4 预习
1 x =1+ 2 t 直线 的参数 方程是 数）， 3.一条 (t为参 y = −5 + 3 t 2 另一条 直线 的方程 是x-y-2 3 = 0,则 两直线 的交 点 与点（ -5） 1， 间的距 离是
x=x0 + t cosα 1.直 线 (t为 数 上 参 分 参 ） 有 数 别 y = y0 + t sin a 为 1和 2对 的 点 和 t t 应 两 A B,则 A,B两 的 离 点 距 为
A.t1 + t2 B. t1 −t2 C. t1 + t2 D. t1 − t2
练习
3 x = 3t + 2 x=2+ 5 t (t为参数） (t为参数） y = 4t +1 y =1+ 4 t 5
x = t cosα x = 4 + 2cosϕ 5.直 线 (t为 数 与 参 ） 圆 y = t sin a y = 2sinϕ (ϕ为 数 相 ， 直 倾 角 为 参 ） 切 则 线 斜 α ( )
直线参数方程标准形式
直线参数方程标准形式直线是我们在数学中经常遇到的一个基本图形，它具有许多特殊的性质和形式。
在平面几何中，我们可以通过不同的方法来描述一条直线，其中之一就是参数方程标准形式。
本文将详细介绍直线参数方程标准形式的概念、推导方法和应用。
一、概念。
直线参数方程标准形式是描述平面上一条直线的一种方式。
它的一般形式为：x = x0 + at。
y = y0 + bt。
其中(x0, y0)是直线上的一点，而a和b是方向向量。
这种形式的参数方程可以清晰地表达直线的位置和方向，是描述直线的一种简洁而有效的方式。
二、推导方法。
我们可以通过直线的一般方程Ax + By + C = 0来推导直线的参数方程标准形式。
假设直线的斜率为k，那么我们可以得到方向向量为(a, b) = (1, k)。
接下来，我们需要找到直线上的一点(x0, y0)来确定参数方程的具体形式。
假设直线上的一点为P(x0, y0)，那么我们可以得到直线的一般方程为Ax0 + By0 + C = 0。
将直线的一般方程与参数方程的形式进行比较，可以得到x0 = -C/A，y0 = -C/B。
将这些信息代入参数方程的一般形式中，就可以得到直线的参数方程标准形式。
三、应用。
直线参数方程标准形式在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，描述质点在直线上运动的轨迹时，参数方程标准形式可以清晰地表达质点的位置随时间的变化规律。
在工程学中，描述直线运动的机械臂或者输送带的运动轨迹时，参数方程标准形式也可以提供简洁而有效的描述。
此外，在计算机图形学中，参数方程标准形式也被广泛应用于描述直线的绘制和计算。
总结。
直线参数方程标准形式是描述平面上一条直线的一种简洁而有效的方式。
通过本文的介绍，我们了解了直线参数方程标准形式的概念、推导方法和应用。
它不仅在数学理论中具有重要意义，而且在实际问题中也具有广泛的应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用直线参数方程标准形式。
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01||||2PMQN PF FQ MF FN PQ MNPF MF S PQ MN ⎫⎪⇒⊥⎬⎪⋅=⎭⇒=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r 与共线与共线直线的参数方程一、源于教材课本第二册（上）P 55.设直线l 经过点000(,)P x y ，(,)v a b =v 是直线l 的一个方向向量（如图）。
(,)P x y 是l 上的任一点，Q 向量0P P u u u r 与v r 共线，0P P tv ∴=u u u r r 即00(,)(,)x x y y t a b --= 00()x x ta t y y tb=+⎧∴⎨=+⎩为参数 这就是直线的参数方程。
二、高于教材 参数方程00()x x att y y bt =+⎧⎨=+⎩为参数中的t 的几何意义不代表有向距离，用处不大。
如果直线的方向向量(cos ,sin )v θθ=r来确定，则参数方程为00cos ()sin x x t t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩为参数，这时00（x ,y ）表示定点，t 表示定点到动点的有向距离，（即有方向又有大小）。
t 的意义用处就大了。
三、直线参数方程在高考中的应用 1、（05全国Ⅱ21）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。
已知PF u u u r 与FQ uuu r 共线，MF u u u r 与FN u u u r 共线，且0PF MF ⋅=u u u r u u u r ，求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。
（命题组给出的参考答案）解：如图，由条件知MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ MN ⊥， 直线PQ ，MN 中至少有一 条存在斜率，不妨设PQ 的 斜率为k ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 方程为1y kx =+。
将此式代入椭圆方程得22(2)210k x kx ++-=。
设P 、Q 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则 22122222k k k k x x --+-++= 从而： 亦即222(1)||k PQ += （1） 当0k ≠时，MN 的斜率为1k-，同上可推得， 故四边形面积 222214(1)(1)1||||12(2)(2)k k S PQ MN k k++==++g 222214(2)252k k k k++=++ 令221u k k =+得4(2)12(1)5252u S u u +==-++。
因为221u k k =+，当1k =±时，162,9u S ==。
且S 是以u 为自变量的增函数。
所以1629S ≤<。
（2） 当0k =时，MN 为椭圆长轴，||22,||2MN PQ == 1|||| 2.2S PQ MN =⋅=综合（1）、（2）知，四边形PMQN 面积的最大值为2，最小值为169。
解2： 今设PQ 方程：0cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆，整理得：22121222(1cos )2sin 102sin 1,1cos 1cos t t t t t t θθθθθ++-=--⇒+=⋅=++ 212222sin 422||||()1cos 1cos PQ t t θθθθ-∴=-+++同理：22||MN 2122222412sin 24PMQN S θθθ∴=⨯⋅=+ 答：……2222212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+22122(1())||12()k MN k +-=+-2160sin 21,29S θ≤≤∴≤≤Q2、(07全国卷Ⅰ21) 已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点，过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P（Ⅰ）设P 点的坐标为00(,)x y ，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值。
（命题组给出的参考答案） 证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==， 由AC BD ⊥知点P线段12F F 故22001x y +=，所以，22220000132222y y x x ++=≤（Ⅱ）（ⅰ）当BD 存在且0k ≠时，BD (1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2BD因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k -，所以，)2211132kAC k+=⨯+ 四边形ABCD 的面积22222222224(1)12(32)(23)(1)9625(32)(23)2k S BD AC k k k k k +=⋅=++24+=+++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为 ． 解2：3、(07重庆16）过双曲线422=-y x 的右焦点F 作倾斜角为0105的直线，交双曲线于P 、Q 两点，则|FP|⋅|FQ|的值为__________. （命题组给出的参考答案）利用直线的参数方程00cos105x t y ⎧=⎨=⎩(t 为参数) 代入224x y -= 整理得200120cos210cos10544||||||||cos210t FP FQ t t ++=∴⋅=⋅=命题立意: 本题若用直线的一般方程跟双曲线方程联立, 则运算量很大. 用上直线的参数方程能明显减少运算量.四、老题新做4、（课本题）过抛物线22y px =的焦点的直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求证：212y y p ⋅=-证：(,0)2pF Q 设直线的参数方程为(t 为参数)代入抛:222sin 2cos 0t pt p θθ--= Q 直线与抛物线交于两点21220,2sin 0sin p p t t θθθ∴≠≠∴⋅=-1212212sin sin sin y y t t t t pθθθ∴⋅=⋅=⋅=-（想一想这个证法与前面的证法有哪一点是优于前法的？）cos 20sin px t y t θθ⎧⎪=+⎨=+⎪⎩9625XO FY2P 1P3Pl5、（导与练 P66例3）已知直线l 经过点P(2,3)且被两条平行直线12:3470:3480l x y l x y +-=++=和截得的线段长为32，求直线l 的方程。
(x-7y+19=0 7x+y-17=0)五、强化训练6、（07全国1理11文12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是 A ．4 B ．33 C 43 D ．8 7（07山东文9理13）设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r 与x 轴正向的夹角为60o，则OAu u u r 为 （ ） A.214p B21p C.13p D.1336p8、（07重庆文21）如图，倾斜角为a 的直线经过抛物线x y 82=的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。
（Ⅰ）求抛物线的 焦点F 的坐标及准 线l 的方程；（Ⅱ）若a 为锐角， 作线段AB 的垂直平 分线m 交x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定 (8)9、（07重庆理22) 中心在原点O 的椭圆的右焦点为F （3，0），右准线l 的方程为：x = 12。
（1）求椭圆的方程； (3x 2+4y 2=108) （2）在椭圆上任取三个不同点321,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明为定值，并求此定值。
10（07安徽文18）设F 是抛物线G :x 2=4y 的 焦点.(1) 过点P （0，-4）作抛物线G 的切线，求切线方程： (y =±2x-4) (2) 设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0·=FB FA ,延长AF 、BF 分别交抛物线G 于点C ,D ，求四边形ABCD 面积的最小值 .(32)11(06年山东）已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 (32)123111||||||FP FP FP ++12( 06湖南文理）过双曲线M: 的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )13（06福建）已知椭圆2212xy+=的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；()（II理）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。
( 1(,0).2-)（II文）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x+y=0上, 求直线AB的方程. (y=0或x-2y+1=0)14（06年江西）椭圆Q：2222x y1a b＋＝（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，两点，P是线段点(1)求点P的轨迹H的方程(2理) 在Qa2＝1＋cosθ＋sinθ，b2＝sinθ（0<θ≤2π），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？(2文) 在Q的方程中，令a2＝1＋cosθ＋sinθ，b2＝sinθ（0<θ≤2π）. 设轨迹H的最高点和最低点分别为M和N, 当θ为何值时,△MNF为一个正三角形?(b2x2＋a2y2－b2cx＝0; 当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大;)15（06天津理）以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。
过椭圆右焦点()()bccF>0,作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A．连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．（1）证明abc=2，并求直线BF与y轴的交点M的坐标; M(0,a)（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明212OP OQ b⋅=u u u r u u u r．2221yxb-=2219()(.24x y++=()222210yx a ba b+=>>16(06天津文）双曲饯22221(0,0)y x a b ab-=>>的离心率为52,F 1、F 2分别为左、右焦点,M 为左准线与渐近线在弟二象限内的交点,且 121.4F M F M ⋅=-u u u u r u u u u r(1) 求双曲线的方程; (x 2-4y 2=1)(2) 设A(m,0)和B(1m,0)(0<m<1)是x 轴上的两点,过点A 作斜率不为0的直线l ,使得l 交双曲线于C 、D 两点,作直线BC 交双曲线于另一点E,证明直线DE 垂直于X 轴. (22221D E am m a x x m am -+-==-+)17、求经过点P(2,3)且被两平行直线34703430x y x y +-=++=和截得线段长为5的直线方程。