概率习题解答4-4
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一、选择题：
1、设X 、Y 为随机变量，则等式D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） （A ） E （X+Y ）=E （X ）+E （Y ） （B ） E （XY ）=E （X ）E （Y ）
（C ） X 、Y 独立 （D ） D （XY ）=D （X ）D （Y ）
2、对于任意2个随机变量X 与Y ，若E （XY ）=E （X ）E （Y ），则下列式中错误的是 ）。 (A) Cov(X,Y)=0； (B) D(X ＋Y)＝D(X)+D(Y)； (C) X 和Y 相互独立； (D) X 和Y 不相关。
3、、下面的数学期望与方差都存在，当随机变量ξ、η相互独立时，下列关系式中错误的
是( )。
( A ) E ( ξη ) = E(ξ) E(η) ( B ) D ( ξ ± η ) = D （ξ） + D （η）
( C ) D ( ξη ) = D(ξ) D(η) ( D ) cov ( ξ，η ) = 0
4、两个随机变量的协方差为C ov(ξ，η)=( )。
(A) ()()22
ξξηηE E E --
(B) ()()ηηξξE E E E -- (C)
()()22ηξξηE E E ⋅- (D) ()ηξξηE E E ⋅-
5 ）
( A ) 1≤XY ρ ( B ) 1)(0≤≤x f X ( C ))()(),(Y D X D Y X Cov ≤
( D ) 1)(0≤≤x F X
解：密度函数只要大于等于零即可！
6、设随机变量)2,1(~-N X ，2,1(~N Y ，而X 与Y 不相关.令Y aX U +=和
bY X V +=，且U 与V ）
( A )0==b a ， ( B ) 0≠=b a 0=+b a ( D ) 0=ab 解：由已知)2,1(~-N X ，)2,1(~N Y 得：
,
2)(,2)(,1)(,1)(===-=Y D X D Y E X E ,3)]([)()(22=+=⇒X E X D X E ,3)]([)()(22=+=⇒Y E Y D Y E 而X 与Y 不相关∴1)()()(0-==⇒=Y E X E XY E XY ρ ∵U 与V 也不相关，∴)()()(V E U E UV E =，
)1)(1(3)1(3)()()()()1()()])([()(22=+⇒+-+-=++-⇒=+++=++=b a b a b ab a V E U E Y bE XY E ab X aE bY X Y aX E UV E 二、填空题：
1．设X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=0 ，D （X ）=D （Y ）=1，
则])[(2Y X E +。
解：1)()}({)()(2
22==+=Y E X E X D X E ，
2)()()(2)(])[(222=++=+Y E Y E X E X E Y X E
2．X 服从参数为2的泊松分布，Y =3X －2 ，则E （Y ）；D （Y ）。 解：2)()(==X D X E ，42(3)23()(==-=E X E Y E
18)(9)23()(==-=X D X D Y D
3．随机变量X 的E （X ），D （X ）均存在，且D （X ）>0 , 则 )
()(X D X E X Y -=
的E （Y ） D （Y ）
解：0
)]()([)
(1))()((
)(=-=
-=X E X E X D X D X E X E Y E
1]
)([)())
()((
)(2
==
-=X D X D X D X E X D Y D
4．已知)3,2(~2
N X ，且3
2
-=
X Y
解：9)(,
2)()3,2(~==⇒X D X E N X
5.X 服从泊松分布，且D （X ）=2 ，则 E （X ），
解： 22
22!
22}2{--===e e X P 6.若随机变量X
的概率密度为()1
22
1
-+-=x x
e x
f π
解：由
()2
1)(,1)()21,1(~2
1211
212)1(1
222
=
=⇒⇒⨯
=
=
⨯--
-+-X D X E N X e
e x
f x x x
ππ
7. 设X ，Y 相互独立，且X 服从均值为1，标准差为2的正态分布,而Y
服从标准正态分布,则随机变量32+-=Y X Z 解：1)(,0)(,2)(,1)()1,0(~),2,1(~====⇒Y D Y E X D X E N Y N X ，
9
)(,5)()9,5())()(4,3)()(2(~32==⇒=++-+-=Z D Z E N Y D X D Y E X E N Y X Z ∴(
)92)5(2231⨯--
=
z e z f π
8.现有10张奖券，其中8张面值为贰元，2张为伍元，某人从中随机地无放回地抽取3
解：设抽取2元面值的张数为X, 则此人得奖金额为：)3(52X X Y -+= 又设()3,2,1
=i X i 为第i 次抽取2元面值的张数，则∑=++==
3
1
321i i X X X X X