步步高高中数学 步步高选修2-3 3.2
步步高高中数学 步步高选修2-3 第一章 章末复习课
学习目标 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.2.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.3.能利用计数原理证明二项式定理，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题.1.分类加法计数原理完成一件事有n 类不同的方案，在第一类方案中有m 1种不同的方法，在第二类方案中有m 2种不同的方法，…，在第n 类方案中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝m 1＋m 2＋…＋m n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理完成一件事需要n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N ＝m 1×m 2×…×m n 种不同的方法. 3.排列数与组合数公式及性质4.二项式定理(1)二项式定理的内容.(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n an －k b k ＋…＋C n n b n(n ∈N *). (2)通项公式：T k ＋1＝C k n an －k b k ，k ∈{0,1,2，…，n }. (3)二项式系数的性质.①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；②若n 为偶数，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项和第n ＋12＋1项的二项式系数相等且最大.③C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1.类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用 角度1 分类讨论思想例1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有________个(用数字作答). 答案 60解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，有A 34个； ②只有1和3中的一个时，有2A 24个；③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C 14·C 13个.所以满足条件的三位数共有A 34＋2A 24＋C 14·C 13＝60(个). 反思与感悟 解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想.讨论时，要注意不重复不遗漏，对于本题解答中，“没有数字1和3”这一类容易被遗漏.跟踪训练1 用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方框进行涂色，若要求每个小方格，涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是________.答案 14解析 因为涂成红色的方格数为偶数，即涂成红色的方格数为0或2，3个格涂一种颜色有2种(全黄或全蓝)3个格涂2颜色且涂0个红色时，C 12C 23＝6(种). 3个格涂2颜色且涂2个红色时，C 12C 23＝6(种).根据分类加法计数原理，可得共有2＋6＋6＝14(种). 角度2 “正难则反”思想例2 平面上有9个点，排成三行三列的方阵，以其中的任意3个点为顶点，共可以组成________个三角形(用数字作答). 答案 76解析 正面考虑，需分类且容易出现遗漏或重复.从反面考虑9个点中有3个点共线的情况的种数，问题则较易解决.9个点中有3个点共线的情况，显然是三行、三列和两条对角线上的点，易知共8种，9个点中任取3个点的组合数为C 39，所以共可以组成C 39－8＝76(个)三角形.反思与感悟 对于正面处理较复杂或不易求解的问题，常常从问题的对立面去思考. 跟踪训练2 从甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛，每科至少1人(且每人仅报一科)，若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛，则不同的参赛方案共有________种. 答案 30解析 从4人中选出两个人作为一个元素有C 24种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C 24A 33＝36(种)方案，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一竞赛有A 33种结果， ∴不同的参赛方案共有36－6＝30(种). 类型二 排列与组合的综合应用例3 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒子中不放球，有多少种放法？ (3)恰有2个盒子中不放球，有多少种放法？解 (1)由分步乘法计数原理可知，共有44＝256种放法.(2)先从4个小球中取2个作为一组，有C 24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球(即3组)分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A 34种不同的放法，根据分步乘法计数原理知，共有C 24A 34＝144(种)不同的放法.(3)恰有2个盒子中不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法： 第1类，1个盒子中放3个小球.一个盒子中放1个小球.先把小球分组，有C 34种分法，再放到2个盒子中，有A 24种不同的放法，共有C 34A 24种不同的放法； 第2类，2个盒子中各放2个小球有C 24A 24A 22种放法.故恰有2个盒子中不放球的放法共有C 34A 24＋C 24A 24A 22＝84(种).反思与感悟 排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.跟踪训练3 (1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ (2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？解 (1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案A 48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A 38种方法，所以共有3A 38种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3A 38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A 28种，共有7A 28种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A 48＋3A 38＋3A 38＋7A 28＝4 088(种).(2)①第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A 77＝5 040种方法；第二步再松绑，给4个节目排序，有A 44＝24种方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种).②第一步将6个演唱节目排成一列，(如下图中的“□”)，一共有A 66＝720种方法.×□×□×□×□×□×□×第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即□中“×”的位置)这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A 47＝840种.根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种).③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 1212种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A 1212A 1010＝A 212＝132(种)排列. 类型三 二项式定理的应用例4 已知在⎝⎛⎭⎪⎫x －23x n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.(1)求展开式中的所有有理项； (2)求展开式中系数绝对值最大的项；(3)求n ＋9C 2n ＋81C 3n ＋…＋9n －1C nn 的值. 解 (1)由C 4n (－2)4∶C 2n (－2)2＝56∶3，解得n ＝10，因为通项：T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝⎛⎭⎪⎫－23x r55610(2)C ,rrrx-=-当5－5r6为整数时，r 可取0,6，展开式是常数项，于是有理项为T 1＝x 5和T 7＝13 440. (2)设第r ＋1项系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1， 解得⎩⎨⎧r ≤223，r ≥193，又因为r ∈{1,2,3，…，9}，所以r ＝7，当r ＝7时，56815360,T x -=- 又因为当r ＝0时，T 1＝x 5， 当r ＝10时，1010103311(2)1024,T xx--=-=所以系数绝对值最大的项为56815360.T x -=-(3)原式＝10＋9C 210＋81C 310＋…＋910－1C 1010 ＝9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 10109＝C 010＋9C 110＋92C 210＋93C 310＋…＋910C 1010－19＝(1＋9)10－19＝1010－19.反思与感悟 1.求二项展开式特定项的步骤2.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论. (1)当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 3.展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第r ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，解出r ，即得出系数的最大项.跟踪训练4 (1)(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________.解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34. 答案 1.34 (2)已知二项式⎝⎛⎭⎫5x －1x n展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍. ①求n ；②求展开式中二项式系数最大的项； ③求展开式中所有x 的有理项. 解 ①令x ＝1得二项式⎝⎛⎭⎫5x －1x n展开式中各项系数之和为(5－1)n ＝4n ，各项二项式系数之和为2n ，由题意得，4n ＝16·2n ， 所以2n ＝16，n ＝4.②通项T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 454－r 342r x -展开式中二项式系数最大的项是第3项：T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x .③由②得：4－32r ∈Z (r ＝0,1,2,3,4)，即r ＝0,2,4，所以展开式中所有x 的有理项为T 1＝(－1)0C 0454x 4＝625x 4， T 3＝(－1)2C 2452x ＝150x ， T 5＝(－1)4C 4450x －2＝x －2.类型四 二项式定理的“赋值”问题例5 若(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10. (1)求a 2；(2)求a 1＋a 2＋…＋a 10；(3)求(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2. 解 (1)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5， a 2是展开式中x 2的系数，∴a 2＝C 55(－1)5C 35(－2)3＋C 45(－1)4C 45(－2)4＋C 35(－1)3·C 55(－2)5＝800. (2)令x ＝1，代入已知式可得： a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝0，而令x ＝0得：a 0＝32，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－32. (3)令x ＝－1可得：(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝65 再由(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)＋(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)＝0 把这两个等式相乘可得：(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 7＋a 9)2＝65×0＝0.反思与感悟 与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果.跟踪训练5 (1)已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，那么自然数n 的值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3(2)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 答案 (1)B (2)364 解析 (1)令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋...＋a n ＝2＋22＋ (2)＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.令x ＝0得：a 0＝n ，a n ＝1.a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n ＋1－n －3＝29－n .∴2n ＋1＝32＝25，∴n ＝5.(2)对(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，令x ＝1得：(a 0＋a 2＋…＋a 10＋a 12)＋(a 1＋a 3＋…＋a 9＋a 11)＝36. ① 令x ＝－1得：(a 0＋a 2＋…＋a 10＋a 12)－(a 1＋a 3＋…＋a 9＋a 11)＝1.②由①＋②得：a 0＋a 2＋…＋a 10＋a 12＝36＋12.令x ＝0得：a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.1.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有( )A.24种B.36种C.48种D.60种 答案 D 解析 分两类：第一类：有3名被录用，有A 34＝24种，第二类，4名都被录用，则有一家企业录用2名，有C 13C 24A 22＝36(种).根据分类加法计数原理得：共有24＋36＝60(种).2.(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )9的展开式中x 3项的系数为( ) A.120 B.119 C.210 D.209 答案 D解析 (1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )9展开式中，x 3项的系数为C 34＋C 35＋C 36＋C 37＋C 38＋C 39＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋C 37＋C 38＋C 39－1＝C 410－1＝209.3.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法种数是________. 答案 144解析 先从4位男生选2位捆绑在一起，和剩下的2位男生，插入到2位女生所形成的3个空中，故有A 24A 22A 33＝144(种).4.若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的二项式系数为64，则展开式中的常数项为________. 答案 240解析 由已知得：2n ＝64，∴n ＝6.∴展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r＝C r 6(－2)r x12－3r.令12－3r ＝0，解得：r ＝4. 故展开式中的常数项为240.1.两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列、组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的.正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键.注意有些复杂的问题往往在分步中有分类，分类中有分步，两个原理往往交错使用. 2.排列与组合主要是排列数与组合数计算公式、性质的应用以及排列、组合应用题.排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢.对于应用题，则首先要分清是否有序，是排列问题还是组合问题.有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：(1)元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.组合应用题的难点是与几何图形有关的问题，此时一般要与两个原理结合应用，还要结合图形的实际意义.排列与组合综合应用题中也有很多重点和难点，比如分配问题，一般方法是先分组，后分配，分组问题又要注意均匀分组和不均匀分组的区别，均匀分组在各组逐一满足后还要除以均匀分组组数的全排列；而有公共元素的分配问题，则可以利用图示法求组数，这样可以避免分组中的重复. 3.二项式定理这部分常考知识、题型、主要方法以及注意点大体如下：(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x 的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第k ＋1项的通项公式是T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1，…，n )，其中二项式系数是C k n ，而不是C k ＋1n ，这是一个极易错点.(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果，在求各项系数的绝对值的和时，则要先根据绝对值里面数的符号赋值求解.一、选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) A.10种 B.20种 C.25种 D.32种答案 D解析 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，选D.2.若A 2n ＝4C 2n －1，则n 的值为( )A.7B.6C.5D.4 答案 D解析 ∵A 2n ＝4C 2n －1，∴n (n －1)＝4×(n －1)(n －2)2×1，n ＝4，∴n 的值为4.故选D. 3.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A.(C 126)2A 410个B.A 226A 410个 C.(C 126)104个D.A 226104个答案 A解析 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(C 126)2A 410个，选A.4.把座位编号为1,2,3,4,5,6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同分法种数为( ) A.240 B.144 C.196 D.288解析 根据题意，分2步进行分析：①先将票分为符合条件的4份；由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，易得在5个空位插3个板子，共有C 35＝10种情况，但其中有四种是1人3张票的，故有10－4＝6(种)情况符合题意，②将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A 44＝24种情况；则共有6×24＝144(种)情况.故选B.5.用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为( )A.99 000B.99 002C.99 004D.99 005答案 C解析 9.985＝(10－0.02)5＝105－C 15×104×0.02＋C 25×103×(0.02)2－C 35×102×(0.02)3＋…＝105－103＋4－0.08＋…≈99 004.6.已知⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 5的展开式中各项系数之和为1，则该展开式中含1x项的系数为( ) A.－40 B.40 C.－20 D.20答案 A解析 ∵⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 5的展开式中各项系数之和为1，∴当x ＝1时，(2＋a )5＝1，解得a ＝－1； 设⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T r ＋1， 则T r ＋1＝C r 5·(－1)r ·25－r ·x 5－r ·x －r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r ，令5－2r ＝－1，得r ＝3，∴该展开式中含1x项的系数为(－1)3·22·C 35＝－40，故选A. 二、填空题7.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f (x ) ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个.(用数字作答)答案 18 6解析 一个二次函数对应着a 、b 、c (a ≠0)的一组取值，a 的取法有3种，b 的取法有3种，c 的取法有2种，由分步计数原理知共有二次函数3×3×2＝18(个).若二次函数为偶函数，则b ＝0.同上共有3×2＝6(个).8.设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.解析 因为二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6的展开式中x 2的系数为A ＝C 26a 2＝15a 2； 常数项为B ＝－C 36a 3＝－20a 3.因为B ＝4A ，所以－20a 3＝4×15a 2，所以a ＝－3.9.现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种.(用数字作答) 答案 54解析 第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中(2,1,1)，C 24A 33＝36(种)，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A 33C 23＝18(种)，根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种).10.如图，用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有________种.答案 180解析 由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法.∴共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方案.三、解答题11.在一次百米比赛中，甲，乙等6名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道，跑道编号为1至6，每人一条跑道.(1)求甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率；(2)求甲乙之间恰好间隔两人的概率.解 没有限制条件的种数为A 66＝720种，(1)先安排甲，再安排乙，剩下的全排，故有C 12C 13A 44＝144(种)，根据概率公式，故甲在1或2跑道且乙不在5或6跑道的概率P ＝144720＝15. (2)先选2人放在甲乙之间，并捆绑在一起，看作一个复合元素，再和剩下的2人全排，故有A 24A 22A 33＝144(种)，根据概率公式，故甲乙之间恰好间隔两人的概率P ＝144720＝15. 12.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？(3)将(1)中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？解 (1)用间接法，从6个数中，任取4个组成4位数，有A 46种情况，但其中包含0在首位的有A 35种情况，依题意可得，有A 46－A 35＝300，(2)根据题意，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，0在末尾时，有A 35种情况，0不在末尾时，有A 12A 24A 14种情况，由分类加法计数原理，共有A 35＋A 12A 24A 14＝156(个)；(3)千位是1的四位数有A 35＝60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A 24＝24个，∴第85项是2 301.13.已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0，∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，∴T 4的系数＝C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数＝C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数＝C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，可得n ＝12，设T r ＋1项的系数最大.∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1， ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10，∴展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 章末复习课
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用；3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题；4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题；5.通过实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.1.条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).2.相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)·P(A2)·…·P(A n).(2)对于事件A与B及它们的和事件与积事件有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).3.二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生.(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.4.均值与方差的性质(1)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，且E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.(2)D(aξ＋b)＝a2D(ξ).(3)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.5.正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4. (3)P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.类型一 条件概率的求法例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？ 解 记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球.(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个， 所以P (A )＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个， 所以P (AB )＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式， 可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35.反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.一般地，计算条件概率常有两种方法： (1)P (B |A )＝P (AB )P (A )；(2)P (B |A )＝n (AB )n (A ).在古典概型下，n (AB )指事件A 与事件B 同时发生的基本事件个数；n (A )是指事件A 发生的基本事件个数.跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗了掷出6点”为事件B ，方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝336636＝12.方法二 “第一颗骰掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共6种.∴n (B )＝6.“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)共3种，即n (AB )＝3.∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝36＝12.类型二 求相互独立事件的概率例2 在某次1 500米体能测试中，甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为25，34，13，求：(1)3人都通过体能测试的概率； (2)恰有2人通过体能测试的概率； (3)恰有1人通过体能测试的概率.解 设A 表示事件“甲通过体能测试”，B 表示事件“乙通过体能测试”，C 表示事件“丙通过体能测试”.由题意有：P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)设M 1表示事件“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M 1＝ABC . 由事件A ，B ，C 相互独立，可得：P (M 1)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)设M 2表示事件“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则M 2＝AB C ＋A B C ＋A BC ，由于事件A ，B ，C 彼此相互独立，则A ，B ，C 也相互独立，并且事件AB C ，A B C ，A BC 互斥，因此所求概率为P (M 2)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360. (3)设M 3表示事件“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则 M 3＝A B C ＋A B C ＋A B C由于事件，A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件A B C ，A B C ，A B C 两两互斥，因此所求概率为P (M 3)＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋ P (A )P (B )P (C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512. 反思与感悟 (1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系. (3)公式“P (A ＋B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 跟踪训练2 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响，求前三局比赛甲队领先的概率.解 单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4， 记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则： P (A )＝0.63＝0.216；P (B )＝C 23×0.62×0.4＝0.432，∴前三局比赛甲队领先的概率为 P (A )＋P (B )＝0.648.类型三 离散型随机变量的分布列、均值和方差例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列.(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E (ξ)，D (ξ). 解 (1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：P (η0＝1)＝16，P (η0＝2)＝13，P (η0＝3)＝12，所以P (η＝2)＝16×16＝136，P (η＝3)＝2×16×13＝19，P (η＝4)＝2×16×12＋13×13＝518，P (η＝5)＝2×13×12＝13，P (η＝6)＝12×12＝14.故η的分布列为(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p ，由(1)知，p ＝14.因为随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫10，14， 所以E (ξ)＝np ＝10×14＝52，D (ξ)＝np (1－p )＝10×14×34＝158.反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤跟踪训练3 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (1)求X 的分布列；(2)记“函数f (x )＝x 2－3Xx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A 发生的概率. 解 (1)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A 1，A 2，A 3.已知A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1) ＝0.4， P (A 2) ＝0.5，P (A 3)＝0.6.客人游览的景点数的可能取值为0,1,2,3.相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3,2,1,0，所以X 的可能取值为1,3. P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24. P (X ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以X 的分布列为：(2)因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －32X 2＋1－94X 2， 所以函数f (x )＝x 2－3Xx ＋1在区间⎣⎡⎭⎫32X ，＋∞上单调递增，要使f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，当且仅当32X ≤2，即X ≤43.从而P (A )＝P ⎝⎛⎭⎫X ≤43＝P (X ＝1)＝0.76. 类型四 正态分布例4 某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N (500,502)，请您判断考生成绩X 在550～600分的人数.解 ∵考生成绩X ～N (500,502 )，∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人).反思与感悟 (1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题. 跟踪训练4 设ξ～N (1,4)，试求P (3<ξ<5). 解 因为ξ～N (1,4)，所以μ＝1，σ＝2， P (3<ξ<5)＝P (－3<ξ<－1)，则P (3<ξ<5)＝12[P (－3<ξ<5)－P (－1<ξ<3)]＝12[P (1－4<ξ<1＋4)－P (1－2<ξ<1＋2)] ＝12[P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 类型五 分类讨论思想例5 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分.如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和数学期望； (2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率. 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分). 三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分). 三个问题一对两错，包括两种情况： ①前两个问题一对一错，第三个问题错， 得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分). 三个问题两对一错，也包括两种情况： ①前两个问题对，第三个问题错， 得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个问题对，前两个问题一对一错，得20＋10＋0＝30(分). 故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40. P (ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016； P (ξ＝0)＝C 12×0.2×0.8×0.4＝0.128； P (ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256； P (ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024； P (ξ＝30)＝C 12×0.8×0.2×0.6＝0.192； P (ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384. 所以ξ的分布列为：E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24. (2)这位挑战者总得分不为负分的概率为： P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决.转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想. 跟踪训练5 某地有A ，B ，C ，D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区，B 肯定是受A 感染，对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12.同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13.在这种假定之下，B 、C 、D中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量.写出X 的分布列(不要求写出计算过程).解 (1)A 直接感染一个人有2种情况分别是A －B －C －D 和A －B －⎣⎢⎡C D，概率是12×13＋12×13＝13； (2)A 直接感染二个人有3种情况分别是A －⎣⎢⎡ B －C D ，A —⎣⎢⎡ B －D C ，A —⎣⎢⎡BC －D ，概率是12×13＋12×13＋12×13＝12； (3)A 直接感染三个人只有一种情况，概率是12×13＝16.∴随机变量X 的分布列是1.已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)的值是 . 答案 0.8解析 由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.2.在5道题中有3道理科题和2道文科题.事件A 为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B 为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P (B |A )＝ . 答案 23解析 由题意得P (A )＝C 25－C 22C 25＝910， P (AB )＝P (B )＝C 13C 12C 25＝35，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35910＝23.3.某家公司有三台机器A 1，A 2，A 3生产同一种产品，生产量分别占总产量的12，13，16，且其产品的不良率分别各占其产量的 2.0%,1.2%,1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为 ，若已知此产品为不良品，则此产品由A 1所生产出的概率为 .答案473 000 3047解析 令A ，B ，C 分别表示A 1，A 2，A 3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝12×2.0%＋13×1.2%＋16×1.0%＝473 000.令D 表示任取一件为不良品，则 P (A |D )＝P (AD )P (D )＝12×2.0%473 000＝3047.4.盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差. 解 取出白球个数ξ可能取值为0,1,2. ξ＝0时表示取出的两个球都为黑球， P (ξ＝0)＝C 22C 25＝110，ξ＝1表示取出的两个球一个黑球，一个白球，P (ξ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，ξ＝2表示取出的两个球均为白球， P (ξ＝2)＝C 23C 25＝310，于是E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2，方法一 D (ξ)＝(0－1.2)2×110＋(1－1.2)2×35＋(2－1.2)2×310＝0.36.方法二 E (ξ2)＝02×110＋12×35＋22×310＝1.8，D (ξ)＝E (ξ2)－(E (ξ))2＝1.8－1.22＝0.36.1.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P (A )，P (B )，P (AB )，利用P (A |B )＝P (AB )P (B )⎝⎛⎭⎫或P (B |A )＝P (AB )P (A )求解.(2)缩小样本空间法：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求解. 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题.2.求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P (AB )＝P (A )P (B )”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”、“至少”、“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系.(3)公式“P (A ∪B )＝1－P (A B )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率. 3.求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.对于正态分布问题，新课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率.一、选择题1.袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( ) A.25 B.10 C.9 D.5 答案 C解析 “有放回”地取和“不放回”地取是不同的，故X 的所有可能取值有2、3、4、5、6、7、8、9、10共9种.2.将一枚骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )A.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫563B.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫564C.C 36⎝⎛⎭⎫163⎝⎛⎭⎫560D.C 36⎝⎛⎭⎫165 答案 A解析 每次抛掷出现6点的概率为16，由二项分布的知识，可知选A.3.已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977答案 C解析 由ξ～N (0，σ2)知：P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.4.如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )A.0.504B.0.994C.0.496D.0.06答案 B解析 1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C ) ＝1－0.1×0.2×0.3 ＝1－0.006＝0.994.5.设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )＝( ) A.25 B.34 C.12 D.18 答案 C解析 ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝12.6.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量X ＝“|a －b |的取值”，则X 的均值E (X )为( ) A.89 B.35 C.25 D.13 答案 A解析 对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126(条)，X 可取的值有0,1,2，P (X ＝0)＝6×7126＝13，P (X ＝1)＝8×7126＝49，P (X ＝2)＝4×7126＝29，E (X )＝0×13＋1×49＋2×29＝89.二、填空题7.甲、乙同时炮击一架敌机，己知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为 . 答案 0.8解析 P (敌机被击中)＝1－P (甲未击中敌机)P (乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)×(1－0.5)＝ 1－0.2＝0.8.8.如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝ ，σ＝ . 答案 3 1解析 ∵ξ～N (μ，σ)，∴E (ξ)＝μ＝3，D (ξ)＝σ2＝1，∴σ＝1.9.某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合先出现红灯闪烁的概率是12，两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为16，则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下，第二次出现红灯闪烁的概率是 . 答案 13解析 第一次闭合出现红灯闪烁记为事件A ，第二次闭合出现红灯闪烁记为事件B ，则P (A )＝12，P (AB )＝16，所以P (B |A )＝1612＝13. 10.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 . 答案 0.128解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以.因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 三、解答题11.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽2件，求： (1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率. 解 设第一次抽到次品为事件A ，第二次抽到次品为事件B . (1)第一次抽到次品的概率P (A )＝520＝14.(2)P (AB )＝P (A )P (B )＝119.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P (B |A )＝119÷14＝419.12.一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球， 求第3次取到黑球的概率；(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； (3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.解 设事件A 为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B 为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，(1)P (A )＝C 14(C 16C 15＋C 13C 16)C 14A 29＝23. (2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响， 所以P (C )＝610＝35.(3)设事件D 为“取一次球，取到白球”， 则P (D )＝25，P (D )＝35，这3次取出球互不影响，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25， 所以P (ξ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫25k ⎝⎛⎭⎫353－k(k ＝0,1,2,3)， E (ξ)＝3×25＝65.13.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列和均值(数学期望).解 (1)第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为P ＝25×34＝310.(2)由题意可知X 的可能取值为200,300,400， 则P (X ＝200)＝2×15×4＝110；P (X ＝300)＝3×25×4×3＋2×3×25×4×3＝310；P (X ＝400)＝2×3×2×35×4×3×2＋3×2×2×35×4×3×2＝35.所以X 的分布列如下表所示：所以E (X )＝200×110＋300×310＋400×35＝350.。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第一章 计数原理
1两个计数原理的灵活应用计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.下面通过典例来说明.1.列举法例1某公司电脑采购员计划用不超过300元的资金购买单价分别为20元、40元的鼠标和键盘，根据需要，鼠标至少买5个，键盘至少买3个，则不同的选购方式共有()A.7种B.8种C.9种D.10种解析依据选购鼠标和键盘的不同个数分类列举求解.若买5个鼠标，则可买键盘3、4、5个；若买6个鼠标，则可买键盘3、4个；若买7个鼠标，则可买键盘3、4个；若买8个鼠标，则可买键盘3个；若买9个鼠标，则可买键盘3个.根据分类加法计数原理，不同的选购方式共有3＋2＋2＋1＋1＝9种.故选C.答案 C点评本题背景中的数量不少，要找出关键数字，通过恰当分类和列举可得.列举看似简单，但在解决问题中显示出其实用性，并且我们还可以通过列举的方法去寻求问题中的规律.2.树形图法例2甲、乙、丙三人传球，从甲开始传出，并记为第一次，经过5次传球，球恰好回到甲手中，则不同的传球方法的种数是()A.6B.8C.10D.15解析本题数字不大，可用树形图法，结果一目了然.如图，易知选C.答案 C点评应用两个计数原理时，如果涉及的问题较抽象，且数量不太多时，可以用树状结构直观体现.3.列表法例3四个人各写一张贺年卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺年卡，共有多少种不同的取法？解把四个人分别编号①、②、③、④，他们写的4张贺年卡的各种方法全部列举出来，如下表：由表格可知，共有9种不同的方法.点评本题是一个错排问题，难以直接运用两个计数原理计算.借助表格，把各种情况一一列出，使问题直观解决.4.直接法例4已知某容器中，H有3种同位素，Cl有2种同位素，Na有3种同位素，O有4种同位素，请问共可组成多少种HCl和NaOH?解因为HCl分子由两种元素构成，所以分两步完成：第1步，选择氢元素，共有3种；第2步，选择氯元素，共有2种.由分步乘法计数原理得出有6种HCl.同理，对于NaOH而言，分三步完成：第1步，选择钠元素，有3种选法；第2步，选择氧元素，有4种选法；第3步，选择氢元素，有3种选法.由分步乘法计数原理知，共有NaOH种数为3×4×3＝36.点评当问题情景中的规律明显，已符合分类加法计数原理或分步乘法计数原理中的某一类型时，可直接应用公式计算结果，但此法的关键是分清是“分类”还是“分步”问题.2排列、组合的破解之术排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用乘法原理、加法原理计算就可.说简单吧，排列、组合却是同学们(包括很多学习很好的同学)最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题；做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路.下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！一、特殊元素——优先法对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑.例1将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a i(i＝1,2，…，6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5，则不同的排列方法有________种(用数字作答).解析由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1<a3<a5.第一步，可以先排a1，a3，a5，只有5种方法；第二步，再排a2，a4，a6，有A33种方法.由乘法原理得，不同的排列方法有5A33＝30(种).答案30二、相邻问题——捆绑法把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列.例2记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A.1 440种B.960种C.720种D.480种解析先将两位老人排在一起有A22种排法，再将5名志愿者排在一起有A55种排法，最后将两位老人插入5名志愿者间的4个空位中有C14种插入方法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有A22·A55·C14＝960(种).答案 B三、不相邻问题——插空法某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.例3 高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( ) A.1 800 B.3 600 C.4 320D.5 040解析 先排4个音乐节目和1个曲艺节目有A 55种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有A 26种放法.所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有A 55·A 26＝3 600(种). 答案 B四、至多至少问题——间接法对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而其反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数.例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种.(用数字作答)解析 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有A 35种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有C 12A 24种，故共有A 35－C 12A 24＝36(种)选法.答案 36五、多类元素组合——分类取出当题目中元素较多，取出的情况也有多种时，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计.例5 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.(用数字作答)解析 如果用两种颜色，则有C 26种颜色可以选择，涂法有2种.如果用3种颜色涂色有C 36种颜色可以选择，涂法有C 13·C 12(C 12＋1)＝18(种).所以，不同涂色种数为C 26·2＋C 36·18＝390(种). 答案 390六、排列、组合混合——先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列.例6 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种.(用数字作答)解析 首先把5个班分成4组，即2,1,1,1，有C 25C 13C 12C 11A 33种方法.然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有A 44种方法.由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有C 25C 13C 12C 11A 33·A 44＝240(种).答案2403正方体中的计数问题在解决关于正方体的排列、组合问题时，要善于利用几何性质，借助图形帮助思考，这对解决问题将起到事半功倍的效果.下面举例说明：例1从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()A.8种B.12种C.16种D.20种解析从正方体的6个面中任取3个面共有C36种不同选法，其中3个面均相邻的选法共有8种(此时三个面共于一个顶点)，故符合题意的选法共有C36－8＝12(种).答案 B变式训练1正方体的一条对角线与它的12条棱组成的异面直线共有________对.答案 6例2以正方体的顶点为顶点的四面体共有()A.70个B.64个C.58个D.52个解析正方体8个点中任取4个点共有C48种，除去4个点共面的情况即可.因为正方体有6个面，对角面也有6个，所以4个顶点共面有12种情况，故共可构成四面体有C48－12＝58(个). 答案 C变式训练2以正方体的顶点为顶点的四棱锥有____个.答案48例3连接正方体任意两个顶点的直线中异面直线有____________对.解析确定一对异面直线需要四个不共面的点，而四个不共面的点可以构成一个四面体，而一个四面体有三对异面直线，因此“异面直线的对数＝3×四面体数”，由于以正方体的顶点为顶点的四面体共有58个，所以共有异面直线3×58＝174(对).答案174变式训练3过三棱柱任意两个顶点的直线共有15条，其中异面直线有()A.18对B.24对C.30对D.36对答案 D例4从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为() A.56 B.52 C.48 D.40解析由于正方体的各个面都是矩形，而1个矩形有4个直角三角形，因此有对应关系“直角三角形数＝4×矩形数”，正方体共有12个矩形的面，所以直角三角形共有4×12＝48(个). 答案 C变式训练4从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中正三角形的个数为________.答案84“隔板法”在计数问题中的妙用“隔板法”在计数问题中有其特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决.下面剖析一下隔板法的适用条件，并选择几个实例来加以说明.一、隔板法的适用条件排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m)，每个对象至少有一个元素.这类问题必须满足三个条件：①小球必须相同；②盒子必须不同；③每个盒子至少有一个小球.当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法.二、隔板法的实际应用应用120个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？解如下图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000在上图中，在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有C219＝171种放法.点评解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可.应用2求方程x1＋x2＋x3＋x4＝20的正整数解有多少个？解该问题转化为：将方程左边的x1、x2、x3、x4看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球.这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有C319＝969种. 点评不定方程x1＋x2＋x3＋…＋x m＝n(n，m∈N*，n≥m)的正整数解个数问题可以转化为“将n个相同元素分给m个不同对象(n≥m)，每个对象至少有一个元素”的模型，进而采用隔板法求解.整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论.结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n－1个间隔中，选出m－1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则.分配方法数N＝C m－1n－1结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m－1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝C m－1.m＋n－1试一试1.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有C36＝20种.(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C310＝120种放入方式.2.某市教委准备在当地的9所重点中学中选派12名优秀青年教师参加在职培训，每所学校至少一个名额，求不同的分配方案的种数.解从结果入手，理解相同元素的分堆问题，设计“隔板法分堆”，将一种分配方法和一个组合建立一一对应，实际问题化归为组合数求解.该事件的实质为将12个相同的元素分成9堆，每一堆至少一个元素，“隔板法分堆”，即在12个相同元素构成的11个空中插入8个隔板，其方法有C811＝165种.5排列、组合中的数学思想方法一分类讨论思想例1如果一个三位正整数形如“a1a2a3”，满足a1<a2，且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(120,363,374等)，那么所有的凸数个数为()A.240B.204C.729D.920解题提示本题中的三位正整数，要求中间一位数字最大，需根据中间数字所有可能的情况分类讨论；另外要注意首位与个位上的数字允许重复.解析由题意知：a1≠0，a2≥2.下面只需对a2＝2，a2＝3，…，a2＝9分别进行讨论，并求其值后求和.当a2＝2时，a1，a3只能从0,1中取，a1只能取1，a3可取0,1，排出“a1a2a3”共有2种；当a2＝3时，a1从1,2中任取一个有C12种，a3从0,1,2中任取一个有C13种，所以共有C12·C13种；当a2＝4时，a1从1,2,3中任取一个有C13种，a3从0,1,2,3中任取一个有C14种，所以共有C13·C14种；…；当a2＝9时，a1从1,2,3，…，8中任取一个有C18种，a3从0,1,2，…，8中任取一个有C19种，共有C18·C19种.综上，可得组合成所有的凸数个数为2＋C12·C13＋C13·C14＋C14·C15＋C15·C16＋C16·C17＋C17·C18＋C18·C19＝240.答案 A点评本题中分类的标准非常明确，即中间数字的取值情况.对于分类标准明确、分类情况多的题目，要有耐心逐个求解，最后求和.正确地进行求解运算也是求解此类题目的一个关键点. 例2 从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不重复的数字分别作为a 、b 、c 的值构成二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c .试问： (1)共可组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数图象中，以y 轴为对称轴的有多少条？经过原点且顶点在第一或第三象限的有多少条？解题提示 二次函数要求a ≠0，可以优先考虑a 的取值；也可以用排除法.结合顶点在第一象限或第三象限对a ，b ，c 的符号要求进行分析是解决第(2)问的关键.解 (1)方法一 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是二次函数，所以a ≠0.因此，可从－3，－2，－1,1,2,3,4中选取一个排在a 的位置上，有C 17种选法.b ，c 的取值没有特殊要求，所以从剩余的6个非零元素加上0共7个元素中选取两个有C 27种选法，再把它们排在b ，c 的位置上有A 22种排法.由分步乘法计数原理共有C 17·C 27·A 22＝7×7×62×2＝294(个)不同的二次函数. 方法二 利用排除法，从所有情况中去掉“0”排在a 位置的情况.C 38·A 33－C 27·A 22＝8×7×63×2×1×3×2×1－7×62×2＝294(个)不同的二次函数.(2)当对称轴为y 轴时，b ＝0，这样的抛物线有A 27＝42(条). 当抛物线过原点时，c ＝0，抛物线的顶点为⎝⎛⎭⎫－b 2a，－b24a . ①当顶点在第一象限时，有⎩⎨⎧－b2a>0，－b24a >0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0，这样的抛物线有A 13·A 14＝12(条)； ②当顶点在第三象限时，有⎩⎨⎧－b2a<0，－b24a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，这样的抛物线有A 24＝12(条). 故经过原点且顶点在第一或第三象限的共有24条.点评 当排列、组合问题与相关数学问题背景联系在一起时，要注意结合数学背景对涉及的字母a ，b ，c 的要求，合理地转化为a ，b ，c 的直接要求，再进行分类.实际问题数学化，文字表述代数化是解决实际背景问题的常规思想方法. 方法二 数形结合思想例3 以圆x 2＋y 2－2x －2y －1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为( )A.76B.78C.81D.84解题提示 将圆的一般方程化为标准方程，画出图形，结合图形从所有情况中去掉三点共线的情况.解析 本题是一个综合问题，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝3.如图，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为C 39－8＝76.答案 A点评 整点个数的计算，三点共线情况的寻找都需要我们在平面直角坐标系下正确画出本题中的圆以及与整点共线有关的8条直线.与几何图形探求有关的组合问题，画出相关图形，结合图形求解是解决此类题目常用的方法. 方法三 转化与化归思想例4 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A.5种 B.6种 C.7种 D.8种解析 设买单片软件x 件，盒装磁盘y 盒，则命题转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，y ≥2(x ，y ∈N )的解的个数，不难求得(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)为其解，所以不同的选购方式共有7种. 答案 C点评 本题若直接列举讨论，情况较复杂；根据题目条件设出相关变量x ，y ，列出不等式组缩小讨论范围，简化了求解过程.例5 如图①，A ，B ，C ，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( )A.8种B.12种C.16种D.20种解析 如图②，构造三棱锥A －BCD ，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁.由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法.从六条棱中任取三条棱的不同取法有C 36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C36－4＝16(种).答案 C点评本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快.6排列、组合问题错误剖析排列、组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文选择一些在教学中学生常见的错误进行正误剖析.一、没有理解两个基本原理出错排列、组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列、组合问题的前提.例1从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有________种.误解因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.错因分析误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C26种方法；第二步是在组装计算机中任意选取3台，有C35种方法，据乘法原理共有C26·C35种方法.同理，完成第二类办法中有C36·C25种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有C26·C35＋C36·C25＝350(种)方法.例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况的种数为()A.A34B.43C.34D.C34误解把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.错因分析误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3＝34(种)，故选C.说明本题还有同学这样误解，甲、乙、丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得43，这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.二、判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解因为是8个小球的全排列，所以共有A88种方法.错因分析误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：C38＝56(种)排法.三、重复计算出错在排列、组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误.例4某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有多少种？误解第一个人先挑选2天，第二个人再挑选2天，剩下的3天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：C27C25A33＝1 260.错因分析这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解C27C25A332＝630(种).四、遗漏某些情况出错在排列、组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况而出错.例5用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的比1 000大的奇数共有()A.36个B.48个C.66个D.72个误解如图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是03个数排中间两个位置有A23种排法，共有2×3×A23＝36(个).错因分析误解只考虑了四位数的情况，而比1 000大的奇数还可能是五位数.正解任一个五位的奇数都符合要求，共有2×3×A33＝36(个)，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.五、忽视题设条件出错在解决排列、组合问题时，一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或漏解.例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种.(以数字作答)误解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有C 13·2·A 22＝12(种)，由乘法原理共有：4×12＝48(种).错因分析 据报道，在高考中有很多考生填了48种.这主要是没有看清题设“有4种颜色可供选择．．”，不一定4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务. 正解 当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有C 34种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有C 34×3×2＝24(种). 综上共有：48＋24＝72(种).例7 已知ax 2－b ＝0是关于x 的一元二次方程，其中a 、b ∈{1,2,3,4}，求解集不同的一元二次方程的个数.误解 从集合{1,2,3,4}中任意取两个元素作为a 、b ，方程有A 24个，当a 、b 取同一个数时方程有1个，共有A 24＋1＝13(个).错因分析 误解中没有注意到题设中：“求解集不同．．．．的……”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4同解、⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝1和⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2同解，故要减去2个.正解 由分析，共有13－2＝11(个)解集不同的一元二次方程.六、未考虑特殊情况出错在排列、组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例8 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是( ) A.1 024种 B.1 023种 C.1 536种D.767种误解 因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有210－1＝1 023(种)，故选B.错因分析 这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有28×3－1＝767(种)，故选D. 七、题意的理解偏差出错例9 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有多少种( ) A.A 36·A 55B.A 88－A 66·A 33 C.A 35·A 33D.A 88－A 46误解 除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有A 55种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有A 36种方法，这样共有A 36·A 55种排法，选A.错因分析 误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻．．．．”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解 在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即A 88－A 66·A 33，故选B.排列、组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方法，即：“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错的地方就能够以不变应万变，把排列、组合学好.7 用五种意识求解二项式问题在历年高考中都有涉及二项式定理的试题，本文总结了五种解题意识，旨在强化同学们解此类问题的目的性及方向性，避免低效性和盲目性，使解题能力得以提高. 一、通项意识凡涉及到展开式的项及其系数问题，常是先写出其通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k ，再根据题意进行求解.因此通项意识是解二项式问题的首选意识.例1 若⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 为________.解析 展开式的通项为T k ＋1＝C k n (2x 3)n －k ⎝⎛⎭⎫1x k ＝C k n·2n －kx 3n －7k 2. 令3n －7k 2＝0，得k ＝6n7，∵k ∈N 且k ≤n ，∴n 必须能被7整除，∴满足条件的最小正整数n＝7. 答案 7。
2019年步步高资料高中数学选修2-3第三章 §3.2
§3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学习目标 1.了解分类变量的意义.2.了解2×2列联表的意义.3.了解随机变量K2的意义.4.通过对典型案例分析,了解独立性检验的基本思想和方法.知识点一分类变量及2×2列联表思考山东省教育厅大力推行素质教育,增加了高中生的课外活动时间,某校调查了学生的课外活动方式,结果整理成下表：如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”？答案可通过表格与图形进行直观分析,也可通过统计分析定量判断.梳理(1)分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量.(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表,称为列联表.②2×2列联表一般地,假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.知识点二等高条形图1.与表格相比,图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条形图展示列联表数据的频率特征.2.如果通过直接计算或等高条形图发现aa＋b和cc＋d相差很大,就判断两个分类变量之间有关系.知识点三独立性检验1.定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.2.K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d),其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量.3.独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α,然后查表确定临界值k0.(2)利用公式计算随机变量K2的观测值k.(3)k≥k0,就推断“X与Y有关系”,这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.1.列联表中的数据是两个分类变量的频数.(√)2.事件A与B的独立性检验无关,即两个事件互不影响.(×)3.K2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.(√)类型一等高条形图的应用例1为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系,分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查,结果如下：试画出列联表的等高条形图,分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别,铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率.由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比,尿棕色素为阳性的频率差异明显,因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系.反思与感悟在等高条形图中,可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例aa＋b,也可以估计满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例cc＋d.两个比例的值相差越大,X与Y有关系成立的可能性就越大.跟踪训练1网络对现代人的生活影响较大,尤其是对青少年,为了解网络对中学生学习成绩的影响,某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1 000人调查,发现其中经常上网的有200人,这200人中有80人期末考试不及格,而另外800人中有120人不及格.利用图形判断学生经常上网与学习成绩有关吗？考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析解根据题目所给的数据得到如下2×2列联表：得出等高条形图如图所示：比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于经常上网及格的频率,因此可以认为经常上网与学习成绩有关.类型二独立性检验例2某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示：根据表中数据,问是否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2的观测值k＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(60×10－20×10)2 70×30×80×20＝10021≈4.762.因为4.762>3.841,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.反思与感悟(1)独立性检验的关注点在2×2列联表中,如果两个分类变量没有关系,则应满足ad－bc≈0,因此|ad－bc|越小,关系越弱;|ad－bc|越大,关系越强.(2)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定允许推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率的上界α,然后查表确定临界值k0.②利用公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0,推断“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”.跟踪训练2 某省进行高中新课程改革已经四年了,为了解教师对新课程教学模式的使用情况,某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查,共调查了50人,其中有老教师20人,青年教师30人.老教师对新课程教学模式赞同的有10人,不赞同的有10人;青年教师对新课程教学模式赞同的有24人,不赞同的有6人. (1)根据以上数据建立一个2×2列联表;(2)判断是否有99%的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)2×2列联表如下所示：(2)假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”.由公式得K 2＝50×(10×6－24×10)234×16×20×30≈4.963＜6.635,所以没有99%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关. 类型三 独立性检验的综合应用例3 (2017·全国Ⅱ改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位：kg),其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).考点独立性检验思想的应用题点分类变量与统计、概率的综合性问题解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”,由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C),则旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62,故P(B)的估计值为0.62,新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66,故P(C)的估计值为0.66,则事件A的概率估计值为P(A)＝P(B)P(C)＝0.62×0.66＝0.409 2,∴A 发生的概率为0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得到列联表：则K 2＝200×(62×66－38×34)2100×100×96×104≈15.705,由15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 反思与感悟 两个分类变量相关关系的判断(1)等高条形图法：在等高条形图中,可以估计满足条件X ＝x 1的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例a a ＋b ,也可以估计满足条件X ＝x 2的个体中具有Y ＝y 1的个体所占的比例cc ＋d .两个比例的值相差越大,X 与Y 有关系成立的可能性就越大.(2)观测值法：通过2×2列联表,先计算K 2的观测值k ,然后借助k 的含义判断“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度.跟踪训练3 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人,抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整(不用写计算过程);(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由; (3)现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为X ,求X 的分布列与均值. 考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)列联表补充如下：(2)由K 2＝48×(220－60)228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841,所以,能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关. (3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为 P (X ＝0)＝C 210C 220＝938,P (X ＝1)＝C 110C 110C 220＝1019,P (X ＝2)＝C 210C 220＝938,故X 的分布列为X 的均值为E (X )＝0＋1019＋919＝1.1.某机构调查中学生的近视情况,了解到某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A.平均数 B.方差 C.回归分析 D.独立性检验 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想 答案 D2.对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k,下列说法正确的是()A.k越大,“X与Y有关系”的可信程度越小B.k越小,“X与Y有关系”的可信程度越小C.k越接近于0,“X与Y没有关系”的可信程度越小D.k越大,“X与Y没有关系”的可信程度越大考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的思想答案 B解析k越大,“X与Y没有关系”的可信程度越小,则“X与Y有关系”的可信程度越大,k越小,“X与Y有关系”的可信程度越小.3.用等高条形图粗略估计两个分类变量是否相关,观察下列各图,其中两个分类变量关系最强的是()考点定性分析的两类方法题点利用图形定性分析答案 D解析由等高条形图易知,D选项两个分类变量关系最强.4.若在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的,则下列说法中正确的是()A.100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B.1个人吸烟,那么这个人有99%的概率患有肺癌C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有考点独立性检验及其基本思想题点 独立性检验的方法 答案 D解析 独立性检验的结论是一个统计量,统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小,具体到一个个体,则不一定发生.5.高中流行这样一句话“文科就怕数学不好,理科就怕英语不好”.下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据.(1)计算a ,b ,c 的值;(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？ 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 解 (1)由478＋a ＝490,得a ＝12. 由a ＋24＝c ,得c ＝12＋24＝36. 由b ＋c ＝913,得b ＝913－36＝877. (2)计算随机变量K 2的观测值k ＝913×(478×24－399×12)2490×423×877×36≈6.233>5.024,因为P (K 2≥5.024)≈0.025,所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下,认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系.1.列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系,而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异,进而推断它们之间是否具有相关关系. 2.对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法.先假设“两个分类变量没有关系”成立,计算随机变量K 2的值,如果K 2的值很大,说明假设不合理.K 2越大,两个分类变量有关系的可能性越大.一、选择题1.下面是一个2×2列联表：则表中a,b的值分别为()A.94,96B.52,50C.52,60D.54,52考点分类变量与列联表题点求列联表中的数据答案 C2.为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算得K2＝7.01,则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案 C解析易知K2＝7.01>6.635,对照临界值表知,有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系.3.在独立性检验中,两个分类变量“X与Y有关系”的可信度为99%,则随机变量K2的观测值k 的取值范围是()A.[3.841,5.024)B.[5.024,6.635)C.[6.635,7.879)D.[7.879,10.828)考点分类变量与列联表题点求观测值答案 C4.高二第二学期期中考试,按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后,得到如下列联表：则随机变量K 2的观测值约为( ) A.0.600 B.0.828 C.2.712D.6.004考点 分类变量与列联表 题点 求观测值 答案 A解析 根据列联表中的数据,可得随机变量K 2的观测值k ＝90×(11×37－34×8)245×45×19×71≈0.600.故选A.5.在2×2列联表中,两个比值相差越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,那么这两个比值为( ) A.a a ＋b 与c c ＋d B.a c ＋d 与c a ＋b C.a a ＋d 与c b ＋cD.a b ＋d 与c a ＋c考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析 答案 A解析 由题意,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b －c c ＋d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋ad －ac －bc (a ＋b )(c ＋d )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ad －bc (a ＋b )(c ＋d ),因为|ad －bc |的值越大,两个分类变量有关系的可能性就越大,故选A. 6.有两个分类变量X ,Y ,其列联表如下所示,其中a,15－a 均为大于5的整数,若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X ,Y 有关,则a 的值为( ) A.8 B.9 C.8或9D.6或8考点 分类变量与列联表题点 求列联表中的数据 答案 C解析 根据公式,得K 2的观测值 k ＝65×[a (30＋a )－(15－a )(20－a )]220×45×15×50＝13×(13a －60)220×45×3×2>3.841,根据a >5且15－a >5, a ∈Z ,求得当a ＝8或9时满足题意.7.某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查,数据如下表：则推断“学生的性别与认为作业量大有关”这种推断犯错误的概率不超过( ) A.0.01 B.0.025 C.0.005 D.0.001 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 B解析 由公式得K 2的观测值k ＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025,∴犯错误的概率不超过0.025. 二、填空题8.在吸烟与患肺病是否相关的判断中,有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,若某人吸烟,则他有99%的可能患有肺病;③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为吸烟与患肺病有关系时,是指有5%的可能性使得推断错误. 其中说法正确的是________. 考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的思想答案 ③解析 K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量,是相关关系,而不是确定关系,是反映有关和无关的概率,故说法①不正确;说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误;说法③正确.9.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况,具体数据如下表：为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到K 2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844,因为K 2>3.841,所以判定主修统计专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性最大为__________.考点 独立性检验及其基本思想 题点 独立性检验的方法 答案 5%解析 因为K 2>3.841,所以有95%的把握认为主修统计专业与性别有关,出错的可能性为5%. 10.2014年世界杯期间,某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查,对高于40岁的调查了50人,不高于40岁的调查了50人,所得数据制成如下列联表：若工作人员从所有统计结果中任取一个,取到喜欢西班牙队的人的概率为35,则有超过________的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关. 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).考点 独立性检验及其基本思想题点 独立性检验的方法 答案 95%解析 设“从所有人中任意抽取一个,取到喜欢西班牙队的人”为事件A ,由已知得P (A )＝q ＋35100＝35, 所以q ＝25,p ＝25,a ＝40,b ＝60.K 2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4.167>3.841.故有超过95%的把握认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关. 三、解答题11.研究人员选取170名青年男女大学生的样本,对他们进行一种心理测验.发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名,否定的有38名;男生110名在相同的项目上作肯定的有22名,否定的有88名.问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用条形图和独立性检验的方法判断. 考点 定性分析的两类方法 题点 利用图形定性分析解 建立性别与态度的2×2列联表如下：根据列联表中所给的数据,可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0.2,女生中作肯定态度的频率为2260≈0.37.作等高条形图如图,其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率,比较图中深色条形的高可以发现,女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率,因此可以认为性别与态度有关系.根据列联表中的数据得到K 2的观测值k ＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5.622>5.024.因此,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别和态度有关系.12.某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机抽取了55名市民,得到数据如下表所示：(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查,将这6名市民作为一个样本,从中任选2人,求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率.考点 独立性检验思想的应用题点 分类变量与统计、概率的综合性问题解 (1)由公式K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得,观测值k ≈11.978>7.879,所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关.(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个,20岁至40岁的市民有2个,分别记为B 1,B 2,B 3,B 4,C 1,C 2, 从中任选2人的基本事件有(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 1,B 4),(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 2,B 3),(B 2,B 4),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 3,B 4),(B 3,C 1),(B 3,C 2),(B 4,C 1),(B 4,C 2),(C 1,C 2),共15个,其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 3,C 1),(B 3,C 2),(B 4,C 1),(B 4,C 2),共8个,所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为815.四、探究与拓展13.假设有两个分类变量X 和Y ,它们的值域分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2},其中2×2列联表为：对同一样本,以下数据能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组是( ) A.a ＝5,b ＝4,c ＝3,d ＝2 B.a ＝5,b ＝3,c ＝4,d ＝2 C.a ＝2,b ＝3,c ＝4,d ＝5 D.a ＝3,b ＝2,c ＝4,d ＝5 考点 分类变量与列联表 题点 求列联表中的数据 答案 D解析 对于同一样本,|ad －bc |越小,说明x 与y 相关性越弱,而|ad －bc |越大,说明x 与y 相关性越强,通过计算知,对于A,B,C 都有|ad －bc |＝|10－12|＝2.对于选项D,有|ad －bc |＝|15－8|＝7,显然7>2.14.2017年世界第一届轮滑运动会(the first edtion of Roller Games)在南京举行,为了搞好接待工作,组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者.调查发现,男、女志愿者分别有10人和6人喜爱轮滑,其余不喜爱.得到2×2列联表如下.(1)根据2×2列联表,判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱轮滑有关？(2)从女志愿者中抽取2人参加接待工作,若其中喜爱轮滑的人数为ξ,求ξ的分布列和均值. 考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用解 (1)假设：是否喜爱轮滑与性别无关.由已知数据可求得K 2的观测值为 k ＝30×(10×8－6×6)216×14×16×14≈1.157 5＜2.706.因此不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为喜爱轮滑与性别有关.(2)喜爱轮滑的人数ξ的可能取值为0,1,2,则P (ξ＝0)＝C 06C 28C 214＝2891＝413,P (ξ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (ξ＝2)＝C 26C 08C 214＝1591.所以喜爱轮滑的人数ξ的分布列为所以喜爱轮滑的人数ξ的均值为E (ξ)＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.。
步步高高中数学 步步高选修2-3 第二章 习题课 离散型随机变量的均值
学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题.类型一 放回与不放回问题的均值例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： (1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值； (2)放回抽样时，抽取次品数η的均值. 解 (1)方法一 P (ξ＝0)＝C 38C 310＝715；P (ξ＝1)＝C 12C 28C 310＝715；P (ξ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.所以随机变量ξ的分布列为E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.方法二 由题意知P (ξ＝k )＝C k 2C 3－k8C 310(k ＝0,1,2)，∴随机变量ξ服从超几何分布， n ＝3，M ＝2，N ＝10， E (ξ)＝nM N ＝3×210＝35.(2)由题意知1次取到次品的概率为210＝15，随机变量η服从二项分布η～B ⎝⎛⎭⎫3，15，∴E (η)＝3×15＝35.反思与感悟 本题中不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算.跟踪训练1 已知袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球和4个黑球，每次从袋中任取1个球，每次取出黑球不再放回去，直到取出白球为止，求取球次数X 的均值. 解 由题意可知X 所有可能的取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15＝0.2.P (X ＝2)＝45×14＝0.2.P (X ＝3)＝45×34×13＝0.2.P (X ＝4)＝45×34×23×12＝0.2.P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝0.2.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝3. 类型二 与排列、组合有关的分布列的均值例2 如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2，0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1 (0，0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V (如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V ＝0).(1)求V ＝0的概率； (2)求均值E (V ).解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C 36＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有C 13C 34＝12种，因此V ＝0的概率为P (V ＝0)＝1220＝35. (2)V 的所有可能取值为0，16，13，23，43，P (V ＝0)＝35，P (V ＝16)＝C 33C 36＝120，P (V ＝13)＝C 23C 36＝320，P (V ＝23)＝C 23C 36＝320，P (V ＝43)＝C 33C 36＝120.因此V 的分布列为E (V )＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X 取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X 取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到.跟踪训练2 某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答. (1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率； (2)求某选手抽到体育类题目的次数X 的均值.解 从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为C 110C 19C 18.(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为C 16C 14C 13，所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为C 16C 14C 13C 110C 19C 18＝110.(2)由题意可知X 的取值可能为0,1,2.P (X ＝0)＝C 18C 17C 16C 110C 19C 18＝715，P (X ＝1)＝(C 12C 18C 17)C 13C 110C 19C 18＝715，P (X ＝2)＝(C 12C 18)C 13C 110C 19C 18＝115.故X 的分布列为E (X )＝0×715＋1×115＋2×115＝35.类型三 与相互独立事件有关的分布列的均值例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是12，外语考核合格的概率是23，假设每一次考核是否合格互不影响. 假设该生不放弃每一次考核的机会.用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值. 解 ξ的可能取值为0,1,2.设该学生第一次、第二次身体体能考核合格为事件A 1，A 2，第一次、第二次外语考核合格为事件B 1，B 2，P (ξ＝0)＝P (A 1B 1)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2B 1 B 2)＋P (A 1A 2B 1 B 2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×23＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112. 根据分布列的性质，可知P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝712.所以其分布列为E (ξ)＝0×13＋1×712＋2×112＝34.反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率.跟踪训练3 A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分， 设A 队最后所得总分为随机变量X ，求E (X ). 解 由题意知X 的可能取值为3,2,1,0. P (X ＝3)＝23×25×25＝875，P (X ＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P (X ＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P (X ＝0)＝13×35×35＝325.故X 的分布列为E (X )＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215.类型四 均值的实际应用例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元.为保护设备，有以下3种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3 800元.方案2：建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施. 试比较哪一种方案好.解 用X 1, X 2，X 3分别表示方案1,2,3的损失.采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800元，即 X 1＝3 800.采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，损失2 000元，即X 2＝⎩⎪⎨⎪⎧62 000，有大洪水；2 000，无大洪水.同样，采用第3种方案，有 X 3＝⎩⎪⎨⎪⎧60 000，有大洪水；10 000，有小洪水；0，无洪水.于是， E (X 1)＝3 800，E (X 2)＝62 000×P (X 2＝62 000)＋2 000×P (X 2＝2 000) ＝62 000×0.01＋2 000×(1－0.01)＝2 600，E (X 3)＝60 000×P (X 3＝60 000)＋10 000×P (X 3＝10 000)＋0×P (X 3＝0) ＝60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100.采取方案2的平均损失最小，因此可以选择方案2.反思与感悟 值得注意的是，结论是通过比较“平均损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：如果问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小.由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，因此对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.跟踪训练4 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}.由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X 万元，则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615，故所求的分布列为E (X )＝0×215＋100×315＋120×415＋220×615＝300＋480＋1 32015＝2 10015＝140.1.已知随机变量ξ的分布列为若η＝aξ＋3，E (η)＝73，则a ＝________.答案 2解析 由分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，即m ＝16，所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.则E (η)＝E (aξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝73.即－13a ＋3＝73，得a ＝2.2.设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，则查得次品数的数学期望为________. 答案 10解析 设查得的次品数为随机变量X ， 由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫150，115， 所以E (X )＝150×115＝10.3.两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________. 答案 23解析 分布列如下表所示：所以期望E (ξ)＝0×49＋1×49＋2×19＝69＝23.4.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下.游戏规则为：若小球最终落入A 槽，得10张奖票；若落入B 槽，得5张奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次.(1)求投球一次，小球落入B 槽的概率；(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X ，求X 的分布列及均值.解 (1)由题意可知投一次小球，落入B 槽的概率为(12)2＋(12)2＝12.(2)落入A 槽的概率为(12)2＝14，落入B 槽的概率为12，落入C 槽的概率为(12)2＝14.X 的所有可能取值为0,5,10， P (X ＝0)＝(14)3＝164，P (X ＝5)＝12＋14×12＋(14)2×12＝2132.P (X ＝10)＝14＋14×14＋(14)2×14＝2164.所以X 的分布列为E (X )＝0×164＋5×2132＋10×2164＝10516.1.实际问题中的均值问题均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值. (3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.一、选择题1.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.5 答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝620，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得 E (X )＝5.25.2.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取2个，则其中含红球个数的数学期望是( ) A.65 B.25 C.35 D.75 答案 A解析 记X 为同时取出的两个球中含红球的个数，则P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝610，P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝310，E (X )＝0×110＋1×610＋2×310＝65.3.某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，则E (－X )的值为( ) A.14 B.－14C.54D.－54答案 D解析 ∵X ～B ⎝⎛⎭⎫5，14，∴E (X )＝5×14＝54， ∴E (－X )＝－E (X )＝－54.4.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X 表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y 表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X ，Y 的分布列分别是据此判定( ) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量一样 D.无法判定答案 A解析 E (X )＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E (Y )＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.显然E (X )<E (Y )，由数学期望的意义知，甲的质量比乙的质量好.5.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，则E (ξ)等于( ) A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1答案 A解析 ξ的分布列为E (ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48. 二、填空题6.甲、乙两人独立地从6门选修课程中任选3门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E (ξ)＝________. 答案 1.5解析 ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 36C 33C 36C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 16C 25C 23C 36C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 26C 14C 13C 36C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 36C 36C 36＝120，则E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5，7.投掷两个正方体骰子，至少有一个4点或5点出现时，就论这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的数学期望是________. 答案509解析 在一次试验中成功的概率为1－46×46＝59，∵X ～B ⎝⎛⎭⎫10，59， ∴E (X )＝np ＝10×59＝509.8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为______. 答案124解析 由已知可得3a ＋2b ＋0×c ＝1，即3a ＋2b ＝1， ∴ab ＝16·3a ·2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16×⎝⎛⎭⎫122＝124.当且仅当3a ＝2b ＝12时取等号，即ab 的最大值为124.9.一盒子中有10个筹码，其中5个标有2元，5个标有5元，某人从此盒子中随机有放回地抽取3个筹码，若他获得的奖金数等于所抽3个筹码的钱数之和，则他获得奖金数X 的均值为________. 答案212解析 由于有放回地抽取，所以每次取到2元和5元筹码的概率一样，均为12，则获得奖金数X 的分布列如下：∴E (X )＝6×18＋9×38＋12×38＋15×18＝848＝212.三、解答题10.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学来自互不相同的学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.解 (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03C 37C 310＝4960. 所以，选出的3名同学来自互不相同的学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3).所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.11.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3，又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.12.本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时.(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ).解 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则 P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋12×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.。
《步步高 学案导学设计》 高中数学 人教A版选修22【配套备课资源】第三章 3.2.1
3.2.1
跟踪训练2 复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们 在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正
方形的第四个顶点对应的复数．
解 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点
本 分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应
课 时
的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
栏 目 开 关
3.2.1
问题2 当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？
本
课
答 一致．
时
栏
目
开
关
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021 1:18:51 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
目
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关
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 (1)计算2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； (2)计算(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)；
解 (1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.
本 课
(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.
2019年步步高资料高中数学选修2-3第二章
1离散型随机变量的分布列的求法对离散型随机变量分布列的考查是概率考查的主要形式,那么准确写出分布列显得至关重要.下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的分布列.一、弄清“随机变量的取值”弄清“随机变量的取值”是第一步.确定随机变量的取值时,要做到准确无误,特别要注意随机变量能否取0的情形.另外,还需注意随机变量是从几开始取值,每种取值对应几种情况.例1从4张编号1,2,3,4的卡片中任意取出两张,若ξ表示这两张卡片之和,请写出ξ的可能取值及指出此时ξ表示的意义.分析从编号1,2,3,4的四张卡片中取两张,ξ表示两张卡之和,则首先弄清共有几种情况,再分别求和.解ξ的可能取值为3,4,5,6,7,其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片.二、弄清事件类型计算概率前要确定事件的类型,同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率.例2以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数Y的分布列.分析由茎叶图可知两组同学的植树棵数,则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学,两同学的植树总棵数的所有可能取值,由古典概型可求概率.解由茎叶图可知,甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学,共有4×4＝16(种)可能的结果,这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“从甲组选出的同学植树9棵,从乙组选出的同学植树8棵”,所以该事件有2种可能的结果, 因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14,P (Y ＝19)＝14,P (Y ＝20)＝14,P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为三、注意验证随机变量的概率之和是否为1通过验证概率之和是否为1,可以检验所求概率是否正确,还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏.例3 盒中装有大小相同的10个小球,编号分别为0,1,2,…,9,从中任取1个小球,规定一个随机变量X ,用“X ＝x 1”表示小球的编号小于5；“X ＝x 2”表示小球的编号等于5；“X ＝x 3”表示小球的编号大于5,求X 的分布列. 解 随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,x 3,且 P (X ＝x 1)＝12,P (X ＝x 2)＝110,P (X ＝x 3)＝25.故X 的分布列为评注 分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础,因此准确写出随机变量的分布列是很重要的,为了保证它的准确性,我们可以利用 i ＝1np i ＝1进行检验.2 独立事件与互斥事件辨析相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念,但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念,而导致错误.下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念.一、把握互斥事件中的“有一个发生”求互斥事件有一个发生的概率,即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生,应用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n).例1某射击运动员射击一次射中10环,9环,8环,7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不超过7环的概率.解记“射中10环”为事件A,“射中9环”为事件B,“射中8环”为事件C,“射中7环”为事件D.则事件A、B、C、D两两互斥,且P(A)＝0.24,P(B)＝0.28,P(C)＝0.19,P(D)＝0.16.(1)∵射中10环或9环为事件A∪B,∴由概率加法公式得,P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.(2)∵至少射中7环的事件为A∪B∪C∪D,∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.(3)记“射中环数不超过7环”为事件E,则事件E的对立事件为A∪B∪C.∵P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71,∴P(E)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.71＝0.29.分析求互斥事件的概率的方法有以下两种：(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算.(2)间接求法：先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)＝1－P(A),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”、“至少”型题目用间接求法更简洁.二、把握相互独立事件中的“同时发生”相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件.求相互独立事件同时发生的概率,应用的是相互独立事件的概率乘法公式P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n).例2甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响.求：(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率.解记“甲第i次试跳成功”为事件A i,“乙第i次试跳成功”为事件B i,i＝1,2,3.依题意得P(A i)＝0.7,P(B i)＝0.6,且A i与B i相互独立.(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A1A2A3,所以P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)＝1－P(A1B1)＝1－P(A1)P(B1)＝1－0.3×0.4＝0.88.所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.点评本题考查事件的独立性,以及互斥事件和对立事件等知识,关键在于理解事件的性质,然后正确运用相应的概率公式加以求解.归纳总结1.对于事件A,B,如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,则称这两个事件为相互独立事件.如甲袋中装有3个白球,2个黑球,乙袋中装有2个白球,2个黑球,从这两个袋中分别摸出一个球,把“从甲袋中摸出1个球,得到白球”记为事件A,把“从乙袋中摸出1个球,得到白球”记为事件B,显然A与B互相独立.2.弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.3.理解并运用相互独立事件的性质.如果事件A与B相互独立,那么事件：A与B,A与B,A与B也都相互独立.4.牢记公式的应用条件,准确、灵活地运用公式.5.认真审题,找准关键字句,提高解题能力.如“至少有一个发生”,“至多有一个发生”,“恰有一个发生”等.3概率易混点剖析概率内容的新概念较多,相近概念容易混淆,本文就学生易犯错误作如下总结：一、“非等可能”与“等可能”混同例1掷两枚骰子,求所得的点数之和为6的概率.错解掷两枚骰子出现的点数之和为2,3,4,…,12共11种基本事件,所以概率为P＝111.剖析以上11种基本事件不是等可能的,如点数和为2只有(1,1),而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种.事实上,掷两枚骰子共有36种基本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为6”的概率为P＝536.二、“互斥”与“对立”混同例2把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上均不对错解 A剖析本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同,要准确解答这类问题,必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别,这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：(1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立；(2)互斥的概念适用于多个事件,但对立的概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生.事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选C.正解 C三、“互斥”与“独立”混同例3甲投篮命中率为0.8,乙投篮命中率为0.7,每人投3次,两人恰好都命中2次的概率是多少？错解设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,则两人都恰好投中两次为事件A＋B,P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C23×0.82×0.2＋C23×0.72×0.3＝0.825.剖析本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑,将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和.正解设“甲恰好投中两次”为事件A,“乙恰好投中两次”为事件B,且A,B相互独立,则两人都恰好投中两次为事件AB,于是P(AB)＝P(A)P(B)＝C23×0.82×0.2×C23×0.72×0.3≈0.169.例4某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为0.1,响第二声时被接的概率为0.3,响第三声时被接的概率为0.4,响第四声时被接的概率为0.1,那么电话在响前4声内被接的概率是多少？错解分别记“电话响第一、二、三、四声时被接”为事件A1,A2,A3,A4,且P(A1)＝0.1,P(A2)＝0.3,P(A3)＝0.4,P(A4)＝0.1,则电话在响前4声内被接的概率为 P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)·P (A 4) ＝0.1×0.3×0.4×0.1＝0.001 2.剖析 本题错解的原因在于把互斥事件当成相互独立同时发生的事件来考虑.根据实际生活中的经验,电话在响前4声内,每一声是否被接彼此互斥.所以,P ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.点评 以上两例错误的原因都在于把两事件互斥与两事件相互独立混同.互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响.它们虽然都描绘了两个事件间的关系,但所描绘的关系是根本不同的. 四、“条件概率P (B |A )”与“积事件的概率P (A ·B )”混同例5 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球,作不放回抽样,每次任取一球,取2次,求第二次才取到黄色球的概率.错解 记“第一次取到白球”为事件A ,“第二次取到黄球”为事件B ,“第二次才取到黄球”为事件C ,所以P (C )＝P (B |A )＝69＝23.剖析 本题错误在于P (AB )与P (B |A )的含义没有弄清,P (AB )表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P (B |A )表示在缩减的样本空间S A 中,作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.正解 P (C )＝P (AB )＝P (A )·P (B |A )＝410×69＝415.4 概率问题与其他知识的综合应用由概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中,这类题目覆盖面广,综合性强,用到的数学思想和方法比较多,对能力要求较高,我们要给予充分关注,并注意总结解题方法. 一、概率与函数例1 在多项飞碟运动中,允许运动员射击两次.运动员每一次射击命中碟靶的概率p 与运动员离碟靶的距离s (米)成反比,且距离s (米)与碟靶飞行时间t (秒)满足s ＝15(t ＋1) (0≤t ≤4).现有一碟靶抛出后,某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中,则迅速调整,在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击,求此运动员命中碟靶的概率.解 设p ＝ks (k 为常数),则p ＝k15(t ＋1)(0≤t ≤4),依题意当t ＝0.5时,p 1＝0.8,则k ＝18, 所以p ＝65(t ＋1),当t ＝1时,p 2＝0.6. 故此人命中碟靶的概率为p ＝p 1＋(1－p 1)p 2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.注 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提),两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件.二、概率与不等式例2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动,球袋中装有10个球,号码为n (1≤n ≤10,n ∈N *)的球的重量为f (n )＝n 2－9n ＋21,现有两种摸球方案：①摸球1个,若球的重量小于该球的号码数,则中奖；②一次摸出两个球,若两球的重量相等,则中奖.试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小.解 方案①,球的重量小于号码数,即n 2－9n ＋21＜n , 解得3＜n ＜7 (n ∈N *),故n 的取值为4,5,6, 中奖概率为p 1＝0.3；方案②,若第n 号球与第m 号球重量相等(n ＜m ),则有n 2－9n ＋21＝m 2－9m ＋21,即(n －m )(m ＋n －9)＝0,故m ＋n ＝9 (n 可取值1,2,3,4),中奖概率为p 2＝4C 210＝445.显然p 1>p 2,即方案①的中奖概率大.注 解决此问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求),再计算中奖概率. 三、概率与递推数列例3 A ,B 两人拿两枚骰子做抛掷游戏,规定：若掷出的点数之和是3的倍数,则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷,第一次由A 开始掷,设第n 次由A 掷的概率为p n ,求p n 的表达式. 解 第n 次由A 掷有两种情况：①第n －1次由A 掷,第n 次继续由A 掷,此时概率为1236p n －1；②第n －1次由B 掷,第n 次由A掷,此时概率为⎝⎛⎭⎫1－1236(1－p n －1). 故有p n ＝1236p n －1＋⎝⎛⎭⎫1－1236(1－p n －1) (n ≥2), 即p n ＝－13p n －1＋23(n ≥2).令p n ＋x ＝－13(p n －1＋x ),整理可得x ＝－12,故p n －12＝－13⎝⎛⎭⎫p n －1－12 (n ≥2), 又p 1＝1,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫p n －12是以12为首项,－13为公比的等比数列,于是p n －12＝12⎝⎛⎭⎫－13n －1,即p n ＝12＋12⎝⎛⎭⎫－13n －1(n ∈N *). 注 弄清p n 与p n －1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键.5 深析超几何分布与二项分布的关系超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布,表面上看,两种分布的概率求取有截然不同的表达式,但看它们的概率分布表,会发现构造上的相似点.课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N 件产品,其中M 件是废品,无放回地任意抽取n 件,则其中恰有的废品件数X 是服从超几何分布的.而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型.若将超几何分布的概率模型改成：若有N 件产品,其中M 件是废品,有放回地任意抽取n 件,则其中恰有的废品件数X 是服从二项分布的.在这里,两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别,只要将概率模型中的“无”改为“有”,或将“有”改为“无”,就可以实现两种分布之间的转化.超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型,许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解.在实际应用中,理解并辨别这两个概率模型是至关重要的.下面通过例子说明一下两者的区别.例1 从6名男生和4名女生中,随机选出3名学生参加一项竞技测试,试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布列.解 由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N ＝10,M ＝4,n ＝3的超几何分布. P (ξ＝0)＝C 36C 310＝20120＝16,P (ξ＝1)＝C 14·C 26C 310＝60120＝12,P (ξ＝2)＝C 24·C 16C 310＝36120＝310,P (ξ＝3)＝C 34C 310＝4120＝130,故ξ的分布列为点评 这是一道超几何分布的题目,学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题,把事件发生的概率看做是0.4.例2甲、乙两人玩秒表游戏,按开始键,然后随机按暂停键,观察秒表最后一位数,若出现0,1,2,3则甲赢,若最后一位出现6,7,8,9则乙赢,若最后一位出现4,5是平局.玩三次,记甲赢的次数为随机变量X,求X的分布列.解由题意得X＝0,1,2,3,P(X＝0)＝C03×0.63＝0.216,P(X＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432,P(X＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288,P(X＝3)＝C33×0.43＝0.064.故X的分布列为点评这是一道二项分布的题目,学生容易看成超几何分布,认为X服从N＝10,M＝4,n＝3的超几何分布.二项分布应满足独立重复试验：①每一次试验中只有两种结果(要么发生,要么不发生).②任何一次试验中发生的概率都一样.③每次试验间是相互独立的互不影响的.6三法求均值数学期望也称均值,是离散型随机变量的一个重要的数字特征,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,期望的求解策略也有多种,下面通过实例来阐述.方法一利用定义求均值根据定义求离散型随机变量的均值,首先要求分布列,然后利用公式E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n求解.例1一接待中心有A,B,C,D四部热线电话.已知某一时刻电话A,B占线的概率为0.5,电话C,D 占线的概率为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线,试求随机变量ξ的分布列和它的均值.分析先判断ξ的所有可能取值,再根据相应知识求概率.解由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09,P(ξ＝1)＝C12×0.52×0.62＋C12×0.4×0.6×0.52＝0.3,P(ξ＝2)＝C22×0.52×0.62＋C12×0.52×C12×0.4×0.6＋C22×0.42×0.52＝0.37,P (ξ＝3)＝C 22×0.52×C 12×0.4×0.6＋C 12×0.52×C 22×0.42＝0.2,P (ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.点评 均值与分布列联系密切,正确地求出随机变量的分布列,是求均值的关键.解题时,确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率,是利用定义求均值的重点. 方法二 利用公式求均值有些离散型随机变量如果归结为两点分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值.其中：(1)若X 服从两点分布,则E (X )＝p (p 为X 的成功概率). (2)若X 服从二项分布,即X ～B (n ,p ),则E (X )＝np . (3)若X 服从超几何分布,则E (X )＝M Nn .例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球,从中任取4个,求其中所含白球个数的均值.解 根据题目可知所含白球数X 服从参数N ＝10,M ＝5,n ＝4的超几何分布,则E (X )＝nMN ＝4×510＝2. 所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球.点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键,再者要弄清公式中参数的含义. 方法三 利用性质求均值对于aX ＋b 型的随机变量一般用性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 来求解.7 正态分布的实际应用正态分布是实际生活中应用十分广泛的一种概率分布,因此,我们要熟练掌握这种概率模型,并能灵活地运用它分析解决实际问题,其中正态曲线的特点以及3σ原则、几个特殊概率P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6,P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4,P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997 4,P (x ＝c )＝0 (c 为常数)应熟练掌握.正态分布重点要掌握正态曲线的性质,熟悉“3σ”原则,会利用“3σ”原则解决简单的问题,特别要注意数形结合思想在求概率中的运用.例1据调查统计,某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174,9),若该市共有高二男生3 000人,试计算该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数.分析根据正态分布和正态曲线的性质分析求解.解因为身高X～N(174,9),所以μ＝174,σ＝3,所以μ－2σ＝174－2×3＝168,μ＋2σ＝174＋2×3＝180,所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.又因为μ＝174.所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等均为0.477 2,故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数约是3 000×0.477 2≈1 432(人).例2已知某车间正常生产某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件,测量得到它们的尺寸如下：27.3427.4927.5527.2327.4027.4627.3827.5827.5427.68请你根据正态分布的3σ原则,帮助质量检验员确定哪些应该判定为非正常状态下生产的.分析正态总体几乎总取值位于区间(μ－3σ,μ＋3σ]之内,所以对落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05]之外的零件可以判定为是非正常状态下生产的.解有两个零件不符合没有落在区间(27.45－3×0.05,27.45＋3×0.05]内,尺寸为27.23和27.68的两个零件,它们就是在非正常状态下生产的.8用独立事件同时发生的概率讲“道理”概率本身就来源于生活,又服务于生活.在日常生活中,我们经常会遇到有理说不清的情况,如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析,通过严密的分析和详实准确的数据,往往不仅能把道理讲清,而且能把道理讲透,讲得让人“心服口服”.如果不信,我们下面就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理.道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行,必有我师焉”.能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？诠释：俗话说：“三百六十行,行行出状元.”我们不妨把一个人的才能分成360个方面.因为孔子是大学问家,我们假设他在每一行的排名都处在前面的可能性为99%,即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件,则在任一行中,这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型,所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中,另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率,所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说,另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说,两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.从上面的分析可知,“三人行,必有我师焉”虽然是孔子自谦的话,但从实际情况来看,这句话是很有道理的.道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里,小强家在顶层,小强坚持认为由于小高层有从底层到顶层的电梯,所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的.可是小明并不这样认为,但是又无法说服小强,只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯,那么也要耽误很多时间,所以乘电梯也不一定很快.我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解 依题意,从底层到顶层停不少于3次,应包括停3次,停4次,停5次,……,直到停9次.这些情况都是互斥关系,电梯每一层停的概率为12,每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题.∴从底层到顶层停不少于3次的概率P ＝C 39⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫126＋C 49⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫125＋C 59⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫124＋…＋C 99⎝⎛⎭⎫129＝(C 39＋C 49＋C 59＋…＋C 99)⎝⎛⎭⎫129 ＝[29－(C 09＋C 19＋C 29)] ⎝⎛⎭⎫129 ＝(29－46)⎝⎛⎭⎫129＝233256.设从底层到顶层停k 次,则其概率为C k 9⎝⎛⎭⎫12k ⎝⎛⎭⎫129－k ＝C k 9⎝⎛⎭⎫129, ∴当k ＝4或k ＝5时,C k 9最大,即C k 9⎝⎛⎭⎫129最大, ∴从底层到顶层停不少于3次的概率为233256,停4次或5次概率最大. 通过上面的详实分析和准确数据,我们发现由于电梯至少停三次的概率较大,而且停4次或5次的可能性最大,因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间,累计起来耽误的时间却是不少,所以小明的观念还是有一定的道理的.生活中像这样的现象很多,表面上看起来都与概率无关,但是对于“数学人”来说,生活中的概率无处不在,关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型,通过数学知识来进行定性和定量分析,达到“以理服人”的效果.9 生活中的概率问题在日益发展的信息社会中,即使一般的劳动者,也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力.在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等中,我们常遇见一些概率问题.下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：一、谁先谁后的问题单位有六台旧麻将机将处理给单位员工,定价300元一台.结果有12位希望买一台.于是单位领导就写了十二张小纸条,其中有六张写着“恭喜购买成功”,另六张写着“谢谢你的配合,你购买不成功！”.再把纸条折好.然后叫十二位员工按先后顺序来抓.请问：这十二位员工拿中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？显然,对于第一个抓纸条的人来说,他从12张纸条中选一张,抽到“恭喜购买成功”的概率为12.对于第二个抓纸条的人来说,可以分两种情况考虑：①第一个人抽中,他抽中的概率,②第一个人没有抽中,他抽中的概率,这两种情况是等概率事件,所以不管第一个人抽中还是没抽中,不影响第二个人抽中的概率.同样对于第三个人来说,他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中,二中,他抽中的概率,②一中,二不中,他抽中的概率,③一不中,二中,他抽中的概率,④一不中,二不中,他抽中的概率,这四种情况是等概率事件,所以也不影响第三个人抽中的概率.由此可以类推,第四个人,第五个人等,抽中的概率都不受影响,所以这种方法是公平的,哪个人先抽,哪个人后抽,对个人来说,没有影响.二、性别问题你隔壁刚刚搬来了新的邻居,透过墙壁,你可以清楚的听到有3个小孩的声音,但是,因为这3个小孩,年龄都很小,所以你不确定他们是男是女.1.基于好奇心,你决定到隔壁敲门,看看他们是男是女,这个时候,一个男孩出来开门,请问,这3个小孩都是男孩的概率是多少？2.当然,你还是没有足够的讯息,确定所有3个小孩的性别.所以,你决定再找个理由,到隔壁敲了第二次门,很幸运的是,这次来开门的是另外的一个男孩,请问,这3个小孩都是男孩的概率是多少？3.如果,你第三次去敲了隔壁邻居的门,请问,你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？ 对于这种问题,我们在平时的言谈中经常会遇到,一下子接触,感觉有点懵.其实这种问题认真分析的话也会感觉其中的乐趣.1.一个男孩开门,那么就会有两个小孩不知道性别,有四种可能,所以全是男孩的概率为14.2.第二次敲门,又有另外一个男孩开门,就只有一个小孩不知道性别,有两种可能,所以全是男孩的概率为12.3.第三次敲门,三个小孩都有可能开门,所以全是男孩的概。
步步高高中数学 步步高选修2-3 3.2
3．2独立性检验的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用；2．理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤．[知识链接]1．举例说明什么是分类变量？答变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等．2．什么是列联表？怎样从列联表判断两个分类变量有无关系？答一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，列出两个变量的频数表，称为列联表(如下图)|ad－bc|越小，说明两个分类变量x，y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量x，y之间的关系越强．[预习导引]1．分类变量和列联表(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.2.等高条形图(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．(2)观察等高条形图发现aa＋b和cc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3．独立性检验(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(2)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.(3)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②利用公式计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.要点一有关“相关的检验”例1某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？解 判断方法如下：假设H 0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H 0成立，则K 2应该很小． ∵a ＝21，b ＝23，c ＝6，d ＝29，n ＝79，∴K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝79×（21×29－23×6）244×35×27×52≈8.106.且P (K 2≥7.879)≈0.005即我们得到的K 2的观测值k ≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．规律方法 (1)利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）求出K 2的观测值k的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．跟踪演练1 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？ 解 由公式得K 2的观测值k ＝189×（64×73－22×30）286×103×95×94≈38.459.∵38.459＞10.828，∴有99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．要点二 有关“无关的检验”例2 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 解 列出2×2列联表代入公式得K 2的观测值k ＝361×（138×52－73×98）2236×125×211×150≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关． 规律方法 运用独立性检验的方法：(1)列出2×2列联表，根据公式计算K 2的观测值k . (2)比较k 与k 0的大小作出结论．跟踪演练2 第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． (1)根据以上数据完成以下2×2列联表：(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？解 (1)(2)假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： K 2＝30×（10×8－6×6）2（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）≈1.157 5＜2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． 要点三 独立性检验的基本思想例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表： 甲厂乙厂(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%. (2)K 2＝1 000×（360×180－320×140）2500×500×680×320≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． 规律方法(1)解答此类题目的关键在于正确利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算k 的值，再用它与临界值k 0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．(2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．跟踪演练3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．解 (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K 2的观测值k ＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以拒绝H 0.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，K 2的观测值k ＝86×（5×22－50×9）214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定.1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )答案D解析观察等高条形图发现x1x1＋y1＝x2x2＋y2相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．2．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为()A．94，96 B．52，50C．52，60 D．54，52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.3．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k>3.841时，我们()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y有关B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y无关C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为X与Y有关D．没有充分理由说明事件X与Y有关系答案A4．根据下表计算：K2的观测值k≈________(保留3位小数)．答案 4.514解析k＝300×（37×143－85×35）2122×178×72×228≈4.514.1．列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．2．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K2的值，如果K2值很大，说明假设不合理．K2越大，两个分类变量有关系的可能性越大.一、基础达标1．下面说法正确的是()A．统计方法的特点是统计推断准确、有效B．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法C．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到D．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关答案B2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值()A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关答案B3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为()A．99% B．99.5%C．99.9% D．无关系答案A解析K2的观测值6.635<k<7.879，所以有99%的把握认为两个变量有关系．4．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.5．如果K2的观测值为6.645，可以认为“x与y无关”的可信度是________．答案1%解析查表可知可信度为1%.6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，有________把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案99.5%解析根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．7．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：(1)根据上述表格完成列联表：(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 解 (1)根据题表中数据可以得到列联表如下：(2)计算可知，午休的考生及格率为P 1＝180＝9，不午休的考生的及格率为P 2＝65200＝1340，则P 1>P 2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．二、能力提升8．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )A.a a ＋b 与d c ＋dB.c a ＋b 与a c ＋dC.a a ＋b 与c c ＋dD.a a ＋b 与c b ＋c答案C解析由等高条形图可知aa＋b与cc＋d的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．9．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：根据以上数据，可得出()A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的答案B解析由K2＝407×（32×213－61×101）293×314×133×274≈0.164<2.706，即没有把握认为种子是否经过处理跟是否生病有关．10．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．答案 4.8825%解析由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．11．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得数据，试问：在出错概率不超过0.025的前提下，能否判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”？解 依题意，计算随机变量K 2的观测值： k ＝913×（478×24－399×12）2490×423×877×36≈6.233>5.024，所以在出错概率不超过0.025的前提下，可以判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．12．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：请问喜欢吃零食与性别是否有关？解 K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），把相关数据代入公式，得K 2的观测值k ＝85×（5×28－40×12）217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．三、探究与创新13．在某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？解 对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量K 21，K 22，K 23.其观测值分别为k 1，k 2，k 3.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表可得k 1＝110×（5×60－25×20）230×80×25×85≈0.863<2.706，同理，k 2＝110×（10×70－20×10）230×80×20×90≈6.366>5.024，k 3＝110×（15×30－15×50）230×80×65×45≈1.410<2.706.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关．。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第三章 3.2.2习题课
应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法 则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．
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跟踪训练 2 已知复数 z 1，z 2 满足 |z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝ 10，求 |z 1＋z 2|的值．
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根据复数相等的充要条件，得
a＝3 3－4a， 2 1 b＝2.
3 i 所以z＝ 2 ＋2.
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3 a＝ 2 ， 解得 b＝1. 2
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小结
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两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数
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z 跟踪训练 1 (1)已知 ＝ 2 ＋i， 1 ＋i 则复数 z 等于 ( B ) A．－1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i
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解析 方法一 z ∵ ＝2＋i， 1＋i
∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i， ∴z＝1－3i.
题型二 复数的几何意义 例 2 已知点集 D＝{ z ||z ＋1＋ 3i| ＝1，z ∈C} ，试求|z |的最小值和 最大值．
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解 点集 D 的图象为以点 C(－1， － 3)为圆心，1 为半径的圆，圆 上任一点 P 对应的复数为 z ，则 → |＝|z |. |OP
由图知，当 OP 过圆心 C(－1，－ 3)时，
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【步步高】高中数学 第3章 习题课名师课件 北师大版选修2-2
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题型一 函数与其导函数之间的关系
例1 已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示(其中
f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图像
大致是
()
研一研·题型解法、解题更高效 解析 当0<x<1时，xf′(x)<0， ∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数， 排除A、B选项． 当1<x<2时，xf′(x)>0，
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跟踪训练1 已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数
的图像如图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可
能是
()
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解析 由导函数y＝f′(x)的图像可知y＝f′(x)在(0，＋∞)单调 递减，说明函数y＝f(x)的图像上任意一点切线的斜率为单调递 减，故可排除A、C. 又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)在点x＝x0处相交，说明y＝f(x) 与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线斜率相同，故可排除B. 答案 D
上单调递增．
试一试·双基题目、基础更牢固
2．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有
A．f(x)>0
B．f(x)<0
(A )
C．f(x)＝0
D．不能确定
解析 因为f(x)在(a，b)上为增函数，
所以f(x)>f(a)≥0.
试一试·双基题目、基础更牢固 3．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为
所以当x＝
33时，g(x)有最小值g
33＝－2
9
3 .
试一试·双基题目、基础更牢固 4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如
步步高选修2-2第三章3.2.2
3.2.2复数代数形式的乘除运算[学习目标] 1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.知识点一复数的乘法1.复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2.复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有思考写出下列各题的计算结果.(1)(a±b)2＝；(2)(3a＋2b)(3a－2b)＝；(3)(3a＋2b)(－a－3b)＝.答案(1)a2±2ab＋b2；(2)9a2－4b2；(3)－3a2－11ab－6b2.知识点二共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用z表示.即z＝a＋b i，则z＝a－b i.思考判断.(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1，z2∈C，且z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0.()(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.()(4)在复平面内，两个共轭复数的对应点关于实轴对称.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√知识点三复数的除法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(c＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 思考 写出下列各题的计算结果.(1)1i＝. (2)1＋i 1－i＝. (3)1－i 1＋i＝. 答案 (1)－i ；(2)i ；(3)－i.题型一 复数乘除法的运算例1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.反思与感悟 (1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.(2)像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为a ＋b i 和a －b i ，其数值特征为(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2.跟踪训练1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i ；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.例2 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i. 解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝1＋2i 3－4i ＝(1＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－5＋10i 25＝－15＋25i ； (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )226＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 反思与感悟 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)(－1＋i )(2＋i )－i. 解 (1)7＋i 3＋4i ＝(7＋i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－25i 25＝1－i ； (2)(－1＋i )(2＋i )－i ＝－3＋i －i ＝(－3＋i )·i －i·i＝－1－3i. 题型二 共轭复数及应用例3 若f (z )＝2z ＋z －3i ，f (z ＋i)＝6－3i ，求f (－z ). 解 因为f (z )＝2z ＋z －3i ， 所以f (z ＋i)＝2(z ＋i)＋()i z +(z ＋i)－3i＝2z ＋2i ＋z －i －3i ＝2z ＋z －2i.又f (z ＋i)＝6－3i ，所以2z ＋z －2i ＝6－3i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2(a －b i)＋(a ＋b i)＝6－i ，即3a －b i ＝6－i. 由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，－b ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i ，故f (－z )＝2(－2－i)＋(－2＋i)－3i ＝－6－4i.反思与感悟 共轭复数有如下几个性质：(1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝|z |2＝|z |2＝a 2＋b 2.(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数.(3)若z ≠0，且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可以证明一个复数是纯虚数.(4)若干个复数进行加减运算后的共轭复数等于这些复数的共轭复数进行相同的加减运算. 跟踪训练3 已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i.解 将z ·z －3i z ＝1＋3i ，①两边取共轭复数，得z ·z ＋3i z ＝1－3i ，②②－①得z ＝－2－z ，代入①得z 2＋(2－3i)z ＋1－3i ＝0，即(z ＋1)(z ＋1－3i)＝0，∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.复数运算的应用复数的运算在复数开平方运算和分解因式中有广泛应用，下面通过具体的实例加以说明.1.求复数的平方根复数z ＝a ＋b i 开平方，只要令其平方根为x ＋y i ，利用平方根的定义，以及复数相等的充要条件，即可求出未知量，从而得到复数z 的平方根.例4 求8－6i 的平方根.解 设8－6i 的平方根为x ＋y i(x ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝8－6i ，即(x 2－y 2)＋2xy i ＝8－6i ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝8，2xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则8－6i 的平方根为3－i 或－3＋i.2.分解因式由于a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，则很多在实数集内不能分解的因式在复数集内可分解因式. 例5 分解因式：(1)x 2＋2xy ＋y 2＋z 2；(2)x 4－81.解 (1)x 2＋2xy ＋y 2＋z 2＝(x ＋y )2＋z 2＝(x ＋y ＋z i)(x ＋y －z i)；(2)x 4－81＝(x 2＋9)(x 2－9)＝(x ＋3i)(x －3i)(x ＋3)(x －3).1.设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于( ) A.12B.1C.32D.2 答案 B解析 ∵a 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ， 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋i ＋1＋i 2∈R ，∴1－a 2＝0，解得a ＝1. 2.复数53＋4i的共轭复数为( ) A.3＋4iB.3－4iC.35＋45i D.35－45i 答案 C解析 53＋4i 的共轭复数为534i +＝53－4i＝5(3＋4i )25＝35＋45i. 3.设复数z 1＝2－i ，z 2＝1－3i ，则复数i z 1＋z 25的虚部等于. 答案 1解析 ∵i z 1＋z 25＝i 2－i ＋1＋3i 5＝i (2＋i )5＋15＋35i ＝－15＋25i ＋15＋35i ＝i ，∴虚部为1. 4.若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z ＝.答案 i解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－i ，∴z ＝i. 5.计算：⎝⎛⎭⎫22－22i 28＋(10＋i 29)－23－i 1＋23i .解 原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫22－22i 214＋10＋i 29 －(23－i )(1－23i )(1＋23i )(1－23i )＝(－i)14＋10＋i －23－12i －i ＋23i 213 ＝－1＋10＋i ＋i ＝9＋2i.利用复数的代数形式对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )时应先转化形式.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2，据此可将问题实数化，同时根据模的几何意义可将问题转化为平面解析几何问题，如点的轨迹问题.一、选择题1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( )A.－iB.iC.－1D.1 答案 A解析 z ＝1i＝－i. 2.i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( ) A.0B.2iC.－2iD.4i答案 A解析 1i ＝－i ，1i 3＝i ，1i 5＝－i ，1i 7＝i ，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝0. 3.已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于( )A.－3＋4iB.－3－4iC.3＋4iD.3－4i答案 D解析 方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. 4.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋⎝⎛⎭⎫23＋12i ，对应点⎝⎛⎭⎫－32，23＋12在第二象限.5.i 是虚数单位，i 3＋3i 等于( ) A.14－312i B.14＋312i C.12＋36i D.12－36i 答案 B解析 i 3＋3i ＝i (3－3i )(3＋3i )(3－3i )＝3i ＋312＝14＋312i. 6.已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i (2＋i )2，则z 1z 2等于( ) A.－4＋3i B.3＋4iC.3－4iD.4－3i 答案 D解析 z 1z 2＝(2－3i )(2＋i )23＋2i ＝(2－3i )(3－2i )(2＋i )2(3＋2i )(3－2i )＝－13i (3＋4i )13＝4－3i. 二、填空题7.设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是.答案 1解析 由i(z ＋1)＝－3＋2i 得，z ＝－3＋2i i－1＝2＋3i －1＝1＋3i. 8.已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝. 答案 －2i解析 设z ＝b i(b ∈R ，b ≠0)，则z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－b ＋(b ＋2)i 2＝2－b 2＋b ＋22i 是实数，所以b ＋2＝0，b ＝－2，所以z ＝－2i.9.复数z ＝－21＋3i ，则1＋z ＋z 2＝. 答案 0解析 z ＝－21＋3i ＝－2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－1－3i 2 ＝－12＋32i.∴1＋z ＋z 2＝1－12＋32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝1－12＋32i ＋－1－3i 2＝0. 10.若z ∈C ，ω＝3z ＋23z －2为纯虚数，则|z |的值为. 答案 23解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则ω＝3x ＋3y i ＋23x ＋3y i －2＝(3x ＋2)＋3y i (3x －2)＋3y i ＝9x 2－4＋9y 2－12y i (3x －2)2＋9y 2，∵ω是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧9x 2＋9y 2－4＝0，－12y ≠0，∴x 2＋y 2＝49(y ≠0)，故|z |＝x 2＋y 2＝23. 三、解答题11.计算(1＋i )3－(1－i )3(1＋i )2－(1－i )2. 解 方法一 原式＝(1＋i )2(1＋i )－(1－i )2(1－i )2i ＋2i＝2i (1＋i )＋2i (1－i )4i ＝4i 4i＝1. 方法二 原式＝(13＋3·12·i ＋3·1·i 2＋i 3)－[13＋3·12·(－i )＋3·1·(－i )2＋(－i )3](12＋2i ＋i 2)－[12－2·1·i ＋(－i )2]＝(1＋3i －3－i )－(1－3i －3＋i )2i ＋2i＝(2i －2)－(－2i －2)4i ＝4i 4i＝1. 方法三 原式＝[(1＋i )－(1－i )][(1＋i )2＋(1＋i )(1－i )＋(1－i )2][(1＋i )＋(1－i )][(1＋i )－(1－i )]＝2i·(2i ＋2－2i )2·2i ＝4i 4i＝1. 12.已知复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i(a ，b ∈R )，求a ＋b 的值. 解 由z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i， 得z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， 又z 2＋az ＋b ＝1＋i ，∴(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，∴(a ＋b )＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴a ＋b ＝1.13.已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.②由①②联立，解得⎩⎨⎧ a ＝45，b ＝35，或⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35.所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋35i.。
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3．2独立性检验的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用；2．理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中K2的含义及其实施步骤．[知识链接]1．举例说明什么是分类变量？答变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量，分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级等等．2．什么是列联表？怎样从列联表判断两个分类变量有无关系？答一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，列出两个变量的频数表，称为列联表(如下图)|ad－bc|越小，说明两个分类变量x，y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量x，y之间的关系越强．[预习导引]1．分类变量和列联表(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．(2)列联表①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表．②2×2列联表一般地，假设两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.2.等高条形图(1)等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．(2)观察等高条形图发现aa＋b和cc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．3．独立性检验(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．(2)K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.(3)独立性检验的具体做法①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0.②利用公式计算随机变量K2的观测值k.③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.要点一有关“相关的检验”例1某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？解 判断方法如下：假设H 0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，若H 0成立，则K 2应该很小． ∵a ＝21，b ＝23，c ＝6，d ＝29，n ＝79，∴K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝79×（21×29－23×6）244×35×27×52≈8.106.且P (K 2≥7.879)≈0.005即我们得到的K 2的观测值k ≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．规律方法 (1)利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）求出K 2的观测值k的值．再利用临界值的大小来判断假设是否成立．(2)解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，准确进行比较与判断．跟踪演练1 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查得到如下数据：判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？ 解 由公式得K 2的观测值k ＝189×（64×73－22×30）286×103×95×94≈38.459.∵38.459＞10.828，∴有99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．要点二 有关“无关的检验”例2 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？ 解 列出2×2列联表代入公式得K 2的观测值k ＝361×（138×52－73×98）2236×125×211×150≈1.871×10－4.∵1.871×10－4＜2.706，∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关． 规律方法 运用独立性检验的方法：(1)列出2×2列联表，根据公式计算K 2的观测值k . (2)比较k 与k 0的大小作出结论．跟踪演练2 第16届亚运会于2010年11月12日至27日在中国广州进行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． (1)根据以上数据完成以下2×2列联表：(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？解 (1)(2)假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： K 2＝30×（10×8－6×6）2（10＋6）（6＋8）（10＋6）（6＋8）≈1.157 5＜2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． 要点三 独立性检验的基本思想例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表： 甲厂乙厂(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%. (2)K 2＝1 000×（360×180－320×140）2500×500×680×320≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”． 规律方法(1)解答此类题目的关键在于正确利用K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算k 的值，再用它与临界值k 0的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决．(2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．跟踪演练3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．解 (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：K 2的观测值k ＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以拒绝H 0.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，K 2的观测值k ＝86×（5×22－50×9）214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定.1．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )答案D解析观察等高条形图发现x1x1＋y1＝x2x2＋y2相差很大，就判断两个分类变量之量关系最强．2．下面是一个2×2列联表：则表中a，b处的值分别为()A．94，96 B．52，50C．52，60 D．54，52答案C解析∵a＋21＝73，∴a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.3．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k>3.841时，我们()A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y有关B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为X与Y无关C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为X与Y有关D．没有充分理由说明事件X与Y有关系答案A4．根据下表计算：K2的观测值k≈________(保留3位小数)．答案 4.514解析k＝300×（37×143－85×35）2122×178×72×228≈4.514.1．列联表与等高条形图列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．2．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K2的值，如果K2值很大，说明假设不合理．K2越大，两个分类变量有关系的可能性越大.一、基础达标1．下面说法正确的是()A．统计方法的特点是统计推断准确、有效B．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法C．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到D．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关答案B2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值()A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关答案B3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2的观测值k＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为()A．99% B．99.5%C．99.9% D．无关系答案A解析K2的观测值6.635<k<7.879，所以有99%的把握认为两个变量有关系．4．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.5．如果K2的观测值为6.645，可以认为“x与y无关”的可信度是________．答案1%解析查表可知可信度为1%.6．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，有________把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案99.5%解析根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．7．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：(1)根据上述表格完成列联表：(2)根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？ 解 (1)根据题表中数据可以得到列联表如下：(2)计算可知，午休的考生及格率为P 1＝180＝9，不午休的考生的及格率为P 2＝65200＝1340，则P 1>P 2，因此，可以粗略判断午休与考生考试及格有关系，并且午休的及格率高，所以在以后的复习中考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．二、能力提升8．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )A.a a ＋b 与d c ＋dB.c a ＋b 与a c ＋dC.a a ＋b 与c c ＋dD.a a ＋b 与c b ＋c答案C解析由等高条形图可知aa＋b与cc＋d的值相差越大，|ad－bc|就越大，相关性就越强．9．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：根据以上数据，可得出()A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的答案B解析由K2＝407×（32×213－61×101）293×314×133×274≈0.164<2.706，即没有把握认为种子是否经过处理跟是否生病有关．10．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．答案 4.8825%解析由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．11．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得数据，试问：在出错概率不超过0.025的前提下，能否判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”？解 依题意，计算随机变量K 2的观测值： k ＝913×（478×24－399×12）2490×423×877×36≈6.233>5.024，所以在出错概率不超过0.025的前提下，可以判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．12．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：请问喜欢吃零食与性别是否有关？解 K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），把相关数据代入公式，得K 2的观测值k ＝85×（5×28－40×12）217×68×45×40≈4.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．三、探究与创新13．在某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？解 对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量K 21，K 22，K 23.其观测值分别为k 1，k 2，k 3.由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表可得k 1＝110×（5×60－25×20）230×80×25×85≈0.863<2.706，同理，k 2＝110×（10×70－20×10）230×80×20×90≈6.366>5.024，k 3＝110×（15×30－15×50）230×80×65×45≈1.410<2.706.因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为说谎与性别有关，没有充分的证据显示焦虑、懒惰与性别有关．。