人教a版必修1学案：2.3幂函数(含答案)

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2.3幂函数

n
1 ＜0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线 c3 的 n＝－2，曲线 c4 的 n＝－2，故选 B.
预习导学
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
规律方法
幂函数图象的特征：(1)在第一象限内，直线 x
＝1 的右侧，y＝xα 的图象由上到下，指数 α 由大变小；在第一象限内，直线 x＝1 的左侧，y＝xα 的图象由上到下，指数 α 由小变大．(2)当 α＞0 时，幂函数的图象都经过(0,0)和 (1,1)点，在第一象限内，当 0＜α＜1 时，曲线上凸；当 α＞ 1 时，曲线下凸；当 α＜0 时，幂函数的图象都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．
点，如图所示．根据点低指数大，有 0＜m＜1，n＜－1.
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
要点三比较幂的大小例 3 比较下列各组数中两个数的大小：
11 (1)32 11 与42
－
2－ 3－ 1 ；(2)－3 与－5 1；
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
跟踪演练 3
比较下列各组数的大小：
2 3 0.5 (1)3 与50.5；(2)－3.143 与－π3； 13 (3)24 31 与42
.
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第二章基本初等函数(Ⅰ)
＝10.
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要点二例2 幂函数的图象
第二章基本初等函数(Ⅰ)
如图所示，图中的曲线是幂函数 y＝xn 在第一象限的图象，
1 已知 n 取± 2，± 2四个值，则相应于 c1，c2，c3，c4 的 n 依次为 ( )

高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

【金版学案】2015-2016高中数学幂函数的图像、性质与应用练习新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断．基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增递减 (3)奇函数偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。

【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第二章 2.3 幂函数 Word版含答案[ 高考]

2．3幂函数[学习目标] 1.通过实例，了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数(易混点).2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况(难点).3.能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较(重点)．一、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．二、幂函数的图象与性质1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 3＋2是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过(0，0)和(1，1)这两点．( )(3)指数函数y ＝a x 的定义域为R ，与底数a 无关，幂函数y ＝x α的定义域为R ，与指数也无关．( )【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．下列函数中，不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2【解析】由幂函数定义知y ＝2x 不是幂函数，而是指数函数．【答案】 A3．函数y ＝x 3的图象关于________对称．【解析】函数y ＝x 3为奇函数，其图象关于原点对称．【答案】原点4．若幂函数过(2，2)点，则此函数的解析式为________．【解析】设幂函数为f (x )＝x α，则2＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.【答案】 f (x )＝x 12预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中(2)(2014·宿迁高一检测)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________．(3)函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )的解析式为________．【解析】 (1)∵y ＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数， ∴m 2－4m －4＝1，解得m ＝－1或m ＝5. (2)由题意22＝2α，即2－12＝2α，∴α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.(3)根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.【答案】 (1)－1或5 (2)12(3)f (x )＝x 3判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12D ．2，12，－2，－12(2)若点A (2，2)在幂函数f (x )的图象，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上， ①求f (x )、g (x )的解析式；②求当x 为何值时：(ⅰ)f (x )＞g (x )；(ⅱ)f (x )＝g (x )；(ⅲ)f (x )＜g (x )．【思路探究】 (1)根据幂函数的图象特征及性质确定相应的图象；(2)设出函数解析式f (x )＝x a 、g (x )＝x b ，把A ，B 两点的坐标分别代入求得a ，b 即可．画出相应的函数图象，数形结合求得x 的范围．【解析】 (1)由幂函数的图象与性质，n ＜0时不过原点，故C 3，C 4对应的n 值均为负，C 1，C 2对应的n 值均为正；由增(减)快慢知曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为2，12，－12，－2.【答案】 B(2)①设f (x )＝x a ，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)a ＝2，所以a ＝2，即f (x )＝x 2.设g (x )＝x b，因为点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，所以(－2)b ＝14，所以b ＝－2，即g (x )＝x －2.②令f (x )＝g (x )，解得x ＝±1.在同一坐标系下画出函数f (x )和g (x )的图象，如图：由图象可知，f (x )，g (x )的图象均过点(1，1)和(－1，1)．所以(i)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (ⅱ)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (ⅲ)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．1．幂函数的图象有以下特点： (1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．(2)当α＞0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是增函数；当α＜0时，幂函数的图象在(0，＋∞)上都是减函数．(3)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． 2．幂函数y ＝x α在第一象限内图象的画法 (1)当α＜0时，其图象可以类似y ＝x －1画出； (2)当0＜α＜1时，其图象可以类似y ＝x 12画出；(3)当α＞1时，其图象可以类似y ＝x 2画出．本例(2)中若定义h (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）＞g （x ），求函数h (x )的最大值及单调区间．【解】由题意h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＜－1或x ＞1，x 2，－1≤x ＜0或0＜x ≤1，根据图象可知函数h (x )的最大值为1，单调递增区间为(－∞，－1]，(0，1]，单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞)．(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978；(3)4.125，3.8－23和(－1.9)－35.【思路探究】比较两个幂值的大小，可借助幂函数的单调性或取中间量进行比较．对于(1)，(2)可利用同指数或转化为同指数的幂函数进行比较，而(3)可找中间量进行比较．【解】 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978，从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978.(3)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；(－1.9)－35<0，所以(－1.9)－35<3.8－23<4.125.幂值大小比较常用的方法要比较的两个幂值，若指数相同，底数不同，则考虑应用幂函数的单调性；若底数相同，指数不同，则考虑应用指数函数的单调性；若底数，指数均不相同，则考虑借助中间量“1”“0”“－1”进行比较．比较大小，说明理由． (1)0.9513与0.9613；(2)0.95－35与0.95－23.【解】 (1)∵函数y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数，且0.95＜0.96，∴0.9513＜0.9613.(2)∵函数y ＝0.95x 在R 上是减函数，且－35＞－23，∴0.95－35＜0.95－23.1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．幂函数与指数函数形同而实异，幂函数的自变量在底数位置上，指数函数的自变量在指数位置上．2．已知幂函数的图象和性质求解析式时，常用待定系数法．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征．(1)当α＞1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x2；(2)当0＜α＜1时，图象过点(0，0)，(1，1)，递增，如y＝x 12；(3)当α＜0时，图象过点(1，1)，递减，且以两坐标轴为渐近线，如y＝x－1，y＝x－12等．4．比较大小．(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数．分类讨论思想在幂函数中的应用(5分)若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【思路探究】以a －1，3－2a 是否在幂函数的同一单调区间为标准分类求解．【满分样板】考查幂函数y ＝x －13，类比y ＝x －1的单调性，可得：若x －13＜y －13，则有x ＜0＜y ，y ＜x ＜0或0＜y ＜x 三种情况．因此，若(a －1)－13＜(3－2a )－13，则有如下三种可能：⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，3－2a ＜0，a －1＞3－2a ，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，3－2a ＞0，a －1＞3－2a ，解得a ＜1或43＜a ＜32.故实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，32.【答案】C1．欲利用幂函数y ＝x －13的性质求参数的值，可类比幂函数y ＝x －1的性质，y ＝x －1有两个单调递减区间(－∞，0)，(0，＋∞)，又当x ＜0时，y ＜0；当x ＞0时，y ＞0.2．本题以a －1，3－2a 是否在幂函数y ＝x －13的同一单调区间为标准分类，可分为两类，而在同一单调区间时，又分两种情况，从而做到不重不漏．——[类题尝试]—————————————————(2014·济南高一检测)已知函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 23－1为幂函数，求其解析式，并讨论函数的单调性和奇偶性．【解】由题意得m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0. ∴m ＝1或m ＝2.当m ＝2时，y ＝x 13，定义域为R ，y ＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数且是奇函数．当m ＝1时，y ＝x －23，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．由于y ＝x －23＝1x 23＝13x 2，∴函数y ＝x －23为偶函数．又－23<0，∴y ＝x －23在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。

人教A版精编数学必修1学案：2.3幂函数课堂导学案(含答案)

2.3 幂函数课堂导学三点剖析一、幂函数的概念【例1】请在下列的各幂函数与各图象之间建立能符合实际情况的一一对应.（1）y=32x ;(2)y=x -2; (3)y=21x ;(4)y=x -1; (5)y=31x ;(6)y=23x ; (7)y=34x ;(8)y=25x .解析：由幂函数的图象规律可得（1）⇔⑤；（2）⇔③；（3）⇔①；（4）⇔⑦；（5）⇔②；（6）⇔⑨；（7）⇔④；（8）⇔⑥.温馨提示幂函数图象比较复杂，可从如下几个方面去考虑作其草图：（1）在第一象限的图象大致形状与位置：当n<0，其图象为双曲型，过点（1，1），但不过（0，0）点.其形状如图①所示;当0<n<1时，其图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点,其形状如图②所示；当n=1时，其图象为直线.如图③所示；当n>1时图象为抛物线型，过（0，0），（1，1）两点，其形状如图④所示.（2）图象在第一象限的排队情况，在x=1的右侧，沿箭头的方向，幂指数逐渐减小.如图：【例2】比较大小：（1）535.1____________537.1;(2)0.71.5_____________________0.61.5; (3)322.2-_____________328.1-;(4)0.15-1.2_____________0.17-1.2; (5)0.20.6_____________________0.30.4; (6)879-_______________76)98(. 解析：（1）—（4）可直接应用幂函数的单调性比较大小.（1）<;(2)>;(3)<;(4)>.由于（5）（6）中的两数的底数和指数均不相同，需借助“中间量”，同时利用幂函数和指数函数的单调性比较大小. （5）0.20.6<0.30.6<0.30.4;(6)879-=87)91(<76)91(<76)98(. 答案：（1）< (2)> (3)< (4)> (5)< (6)<温馨提示利用幂函数的单调性比较两个函数值的大小一般有如下三种情况：（1）同指数，不同底，可用幂函数的单调性直接比较大小.（2）同底不同指数的，可用幂函数图象的排队情况进行比较.（3）不同底，不同指数的，有时需要引入“中间量”进行比较.二、幂函数的图象和性质【例3】函数f(x)=(m 2-m-1)322--m m x 是幂函数,且在x ∈(0,+∞)上是减函数,则实数m 的取值集合是( )A.{m|m=-1或m=2}B.{m|-1<m<3}C.{2}D.{-1}思路分析:由幂函数定义,只有具有y=x α形式的函数才是幂函数,因此所给函数为幂函数,必须有m 2-m-1=1.又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则有m 2-2m-3<0,由此确定m 的取值.解:由条件知⎪⎩⎪⎨⎧<--=--,032,1122m m m m 解得m=2.答案:C【例4】若幂函数的图象经过点(4,21),则f(161)=____________________. 思路分析:根据图象上的点求解析式的思路就是解方程确定α.解:设幂函数为y=x α,点(4,21)满足解析式,则21=4α,即2-1=22α, ∴α=-21. ∴f(x)=21-x ,f(161)=21)161(-=(41)-1=4. 温馨提示本题是利用待定系数法确定解析式.各个击破类题演练1幂函数y=x a 在第一象限的图象如下图所示，a 取2,-2,21,-21四个值，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为（）A.-2，-21，21，2B.2，21，-21，-2C.-21，-2，2，21D.2，21，-2，-21 解析：由上面的图象规律可知应选B.答案：B变式提升1(1)如下图，曲线C 1与C 2分别是函数y=x m 和y=x n 在第一象限的图象，则下列结论正确的是（）A.n<m<0B.m<n<0C.n>m>0D.m>n>0解析：由幂函数的图象规律可知n<0,且m<0，再根据其排队情况可知:n<m<0,故选A. 答案：A(2)若幂函数y=x α(α∈R)的图象在0<x<1时，位于直线y=x 的上方，则α的范围是______.解析：由图象可知0<α<1，α=0，α<0三种情况都符合条件，故α<1.答案：α<1类题演练2将下列各组数从小到大排列起来，并说明理由.（1）325.2,32)4.1(-,31)31(-； (2)525.4,328.3,53)9.1(-； (3)4316.0-,235.0-,8325.6.解析：（1）∵32)4.1(-=324.1>0,31)31(-<0,又y=32x 在（0,+∞）上单调递增, ∴31)31(-<32)4.1(-<325.2. (2)∵525.4>1,0<328.3-<1,53)9.1(-<0, ∴53)9.1(-<328.3-<525.4. (3)4316.0-=234.0-,8325.6=435.2=23)4.0(-, ∵y=23-x 在（0，+∞）上单调递减.又4.0>0.5>0.4∴8325.6<235.0-<4316.0-. 变式提升2函数f(x)=(a-b)3a x +b-3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小.解析：∵函数f(x)是幂函数，∴⎩⎨⎧=-=-,1,03b a b 解得⎩⎨⎧==,3,4b a ∴f(x)=34x . ∵函数f(x)=34x 在第一象限内是增函数，且a>b>0,∴f(a)>f(b).类题演练3如果幂函数y=(m 2-3m+3)22--m m x 的图象不过原点,则m 的取值范围为( )A.-1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=1解析：⎪⎩⎪⎨⎧<--=+-,02,13322m m m m 解得m=1. 答案：D变式提升3已知幂函数y=322--m m x (m∈Z)在区间（0，+∞）上是减函数.求y 的解析式并讨论单调性和奇偶性.解析：由幂函数的性质知：m 2-2m-3<0，即-1<m<3,又m∈Z∴m=0,1,2.当m=0时，y=x -3，定义域为（-∞,0）∪(0,+∞).此时函数在（0，+∞）和(-∞，0）上都是单调递减函数，又（-x ）-3=-x -3，∴函数y=x -3是奇函数.当m=1时，y=x -4,定义域为（-∞,0)∪(0,+∞).此时函数在（-∞,0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，又（-x ）-4=x -4.故为偶函数.当m=2时，y=x -3同m=0时的结论.类题演练4若幂函数图象上有一点为(9,3),求f(64).解析：设y=x α，则3=9α，∴α=21, ∴y=21x ,∴f(64)=8.答案：8变式提升4m 为何值,y=(m 2+2m)12-+m m x 为反比例函数. 解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+≠+,11,0222m m m m 解得m=-1或m=0(舍去).答案：-1。

2018版高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案 (11)

§3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)．预习教材P86－P88，完成下面问题：知识点1 函数的零点(1)概念：函数f (x )的零点是使f (x )＝0的实数x .(2)函数的零点与函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系：【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2－4x 的零点是________．(2)若2是函数f (x )＝a ·2x －log 2x 的零点，则a ＝________.解析 (1)令f (x )＝0，即x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝4，所以f (x )的零点是0和4. (2)由f (2)＝4a －1＝0得a ＝14.答案 (1)0和4 (2)14知识点2 函数零点的判断(1)条件：①函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线；②f (a )·f (b )<0. (2)结论：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设f (x )＝1x ，由于f (－1)f (1)<0，所以f (x )＝1x 在(－1,1)内有零点( )(2)若函数f (x )在(a ，b )内有零点，则f (a )f (b )<0.( )(3)若函数f (x )的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内只有一个零点．( )提示 (1)× 由于f (x )＝1x 的图象在[－1,1]上不是连续不断的曲线，所以不能得出其有零的结论．(2)× 反例：f (x )＝x 2－2x ，区间为(－1,3)，则f (－1)·f (3)>0.(3)× 反例：f (x )＝x (x －1)(x －2)，区间为(－1,3)，满足条件，但f (x )在(－1,3)内有0,1,2三个零点．题型一函数零点的概念及求法【例1】 (1)函数y ＝1＋1x 的零点是( )A ．(－1,0)B ．x ＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0(2)设函数f (x )＝21－x －4，g (x )＝1－log 2(x ＋3)，则函数f (x )的零点与g (x )的零点之和为________．(3)若3是函数f (x )＝x 2－mx 的一个零点，则m ＝________. 解析 (1)令1＋1x ＝0，解得x ＝－1，故选B ．(2)令f (x )＝21－x －4＝0解得x ＝－1，即f (x )的零点为－1，令g (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，解得x ＝－1，所以函数f (x )的零点与g (x )的零点之和为－2.(3)由f (3)＝32－3m ＝0解得m ＝3. 答案 (1)B (2)－2 (3)3 规律方法函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．【训练1】函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0⇒b ＝－2a ，∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，∵－ax (2x ＋1)＝0⇒x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12. 答案 0，－12题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－34x ＋58；(2)f (x )＝ln x ＋x 2－3.解 (1)由f (x )＝0，即x 2－34x ＋58＝0，得Δ＝⎝⎛⎭⎫－342－4×58＝－3116<0，所以方程x 2－34x ＋58＝0没有实数根，即f (x )零点的个数为0.(2)法一函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而方程ln x ＋x 2－3＝0有一个根，即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点．法二由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f (1)·f (2)<0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，判定它与x 轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y ＝f (x )在(a ，b )上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．【训练2】函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析如图画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，由图知y ＝ln x 与y ＝1x －1(x >0，且x ≠1)的图象有两个交点．故函数f (x )＝ln x －1x －1的零点有2个．答案 C题型三判断函数零点所在的区间【例3】 (1)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：不求a ，A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析 (1)易知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条连续不断的曲线，又f (－3)f (－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f (x )在(－3，－1)内有零点，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax 2＋bx ＋c ＝0在(2,4)内有根．故选A ．(2)∵f (x )＝6x－log 2x ，∴f (x )为(0，＋∞)上的减函数，且f (1)＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－2＝－12<0，由零点存在性定理，可知包含f (x )零点的区间是(2,4)．答案 (1)A (2)C规律方法确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．【训练3】 (1)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)(2)若方程x lg(x ＋2)＝1的实根在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，则k 等于( ) A ．－2B ．1C ．－2或1D ．0解析 (1)∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0， f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0， ∴f (x )在(0,1)内有零点．(2)由题意知，x ≠0，则原方程即为lg(x ＋2)＝1x ，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝lg(x＋2)与y ＝1x 的图象，如图所示，由图象可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k ＝－2或k ＝1.故选C ．答案 (1)C (2)C课堂达标1．函数f (x )＝2x 2－4x －3的零点有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定解析由f (x )＝0，即2x 2－4x －3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x 2－4x －3＝0有两个根，即f (x )有两个零点．答案 C2．函数f (x )＝4x －2x －2的零点是( ) A ．(1,0)B ．1C ．12D ．－1解析由f (x )＝4x －2x －2＝(2x －2)(2x ＋1)＝0得2x ＝2，解得x ＝1. 答案 B3．函数f (x )＝2x －1x 的零点所在的区间是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，1C ．⎝⎛⎭⎫13，12 D ．⎝⎛⎭⎫14，13解析 f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝212－2＝2－2<0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)<0，且f (x )的图象在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.答案 B4．函数f (x )＝x 2－2x 在R 上的零点个数是________．解析由题意可知，函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数，等价于函数y ＝2x ，y ＝x 2的图象交点个数．如图，画出函数y ＝2x ，y ＝x 2的大致图象．由图象可知有3个交点，即f (x )＝x 2－2x 有3个零点．答案 35．若32是函数f (x )＝2x 2－ax ＋3的一个零点，求f (x )的零点．解由f ⎝⎛⎭⎫32＝2×94－32a ＋3＝0得a ＝5，则f (x )＝2x 2－5x ＋3，令f (x )＝0，即2x 2－5x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝1，所以f (x )的零点是32和1.课堂小结1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．。

2018版高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案 (5)

§2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．预习教材P62－P63，完成下面问题：知识点1对数1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2．常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确．知识点2对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1.答案 6 1题型一对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________． (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2,3)∪(3,4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log 5125＝6，得(5)6＝125.规律方法指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．【训练1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝⎛⎭⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3. 解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ；(3)因为⎝⎛⎭⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ；(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.题型二利用指数式与对数式的互化求变量的值【例2】 (1)求下列各式的值．①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值． ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2.答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23 ＝43×(－23 )＝4－2＝116；②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816 ＝23×16 ＝2；③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2；④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2，－x ＝2，x ＝－2. 规律方法对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想．在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法．①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．【训练2】利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x 值． (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12 ＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三利用对数的性质及对数恒等式求值【例3】 (1)71－log75；(2)100⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg 9－lg 2；(3)a log ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0)．解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1(10lg 2)2＝94. (3)原式＝(a log ab )log bc ＝b log bc ＝c .规律方法对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．【训练3】 (1)设3log 3(2x＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1．有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确．答案 B2．使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A ．a >12且a ≠1B ．0<a <12C ．a >0且a ≠1D ．a <12解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3．方程lg(2x －3)＝1的解为________．解析由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324．计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________. 解析原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05．把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)2－3＝18；(2)⎝⎛⎭⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3； (4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝⎛⎭⎫17a＝b 得log 17b ＝a ； (3)由lg11 000＝－3可得10－3＝11 000； (4)ln 10＝x 可得e x ＝10.课堂小结1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log aN ＝N .2．在关系式a x ＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．3．指数式与对数式的互化。

幂函数(2知识点+6题型+强化训练)(学生版) 2024-2025学年高一数学上学期必修第一册学案

4.1.3 幂函数知识点01幂函数的定义一般地，形如y=x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．注 (1)注意幂函数中x α的系数是1，底数是变量x ，指数α是常数；【即学即练1】下列是幂函数的是()A.y =2xB. y =3x 4C.y =x 2D.y =(x ―1)3知识点02 幂函数图像及其性质(1) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x ―1的图象．(2) 幂函数y =x,y =x 2,y =x 3,y =x 12,y =x ―1的性质y =x y =x 2y =x 3y=x 12y =x ―1图象定义域RR R[0,+∞)x ≠0值域R [0,+∞)R [0,+∞)x ≠0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R 上递增在(―∞,0]上递减在(0,+∞)上递增在R 上递增在[0,+∞)上递增在(―∞,0)上递减在(0,+∞)上递减特殊点(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)(3)性质① 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，并且图象都过点(1 , 1)；② α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0 , +∞ )上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数变化快，图象下凹；当0<α<1时，幂函数变化慢，图象上凸.Eg y =x 12图象上凸，y =x 2图象下凹，在[0 , +∞ )上是增函数．③ α<0时，幂函数的图象在(0 , +∞ )上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．Eg y=x―1=1，x【即学即练2】已知幂函数y=x p3(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则（）A．p为奇数，且p>0B．p为奇数，且p<0 C．p为偶数，且p>0D．p为偶数，且p<0【题型一：判断函数是否是幂函数】例1．现有下列函数：①y=x3；②y=4x2；③y=x5+1；④y=(x―1)2；⑤y=x，其中幂函数的个数为（）A．4B．3C．2D．1变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x―1C．y=(x+1)2D．y=变式1-2．下列函数中，y=1x3，y=2x+1，y=x3+x，y=）A．1B．2C．3D．4【方法技巧与总结】1 幂函数的概念：一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2 注意幂函数中xα的系数是1，底数是变量x，指数α是常数.【题型二：求幂函数的值】例2．已知幂函数f(x)=(m+2)x n的图象经过点(4,2)，则m―n=（）A．―3B．―52C．―2D．―32变式2-1．已知幂函数y=f(x)的图象经过点4,f(2)等于（）A．12B．2C D变式2-2．已知幂函数f(x)=(m―1)x m2―1，则f(―1)=（）A．―1B．1C．―2D．2变式2-3．若幂函数f(x)=xα的图象过点(2,8)，则g(x)=α―x+）A．―∞B．[2,+∞)C+∞D．(―∞,2]【方法技巧与总结】1 求幂函数的解析式，可利用待定系数法；2 已给幂函数解析式形式求参数，注意幂函数的系数为1.【题型三：幂函数的定义域】例3．已知幂函数f(x)=x―m2+2m的定义域为R，且m∈Z，则m的值为（）A．―1B．0C．1D．2变式3-1．下列幂函数中，定义域为(0,+∞)的是（）A．y=x23B．y=x32C．y=x―23D．y=x―32变式3-2．幂函数f(x)图象过点y=f(x)+f(2―|x|)的定义域为（）A．(0,2)B．(0,2]C．[0,2]D．(―2,2)【方法技巧与总结】1 掌握常见幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x―1的图象与性质；2 求非常见幂函数的定义域，常把幂函数的解析式中幂的形式化为根式的形式更好理解；3 所有的幂函数在(0 , +∞ )都有定义，若幂函数f(x)=x a中a<0时定义域内不含0，若幂函数f(x)=x m n=为整数)中n是偶数，则函数定义域不能取(―∞,0)。

2018版高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案 (3)

2.1.2 指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标 1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点)．预习教材P54－P56，完成下面问题：知识点1 指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝－2x 是指数函数．( ) (2)函数y ＝2x ＋1是指数函数．( ) (3)函数y ＝(－3)x 是指数函数．( )提示 (1)× 因为指数幂2x 的系数为－1，所以函数y ＝－2x 不是指数函数； (2)× 因为指数不是x ，所以函数y ＝2x ＋1不是指数函数； (3)× 因为底数小于0，所以函数y ＝(－3)x 不是指数函数．知识点2 指数函数的图象及性质(1)函数y ＝2－x 的图象是( )(2)函数f (x )＝a x ＋1－2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．解析 (1)y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 是(－∞，＋∞)上的单减函数，故选B ．(2)令x ＋1＝0，则x ＝－1，f (－1)＝a 0－2＝－1，则f (x )的图象恒过点(－1，－1)．答案 (1)B (2)(－1，－1)题型一指数函数的概念及应用【例1】 (1)给出下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4(2)已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝525，则f (3)＝________. 解析 (1)①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝a －32 ＝5－32 ，故a ＝5，故f (x )＝5x ，所以f (3)＝53＝125.答案 (1)B (2)125规律方法判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构特征．(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．【训练1】若函数y ＝a 2(2－a )x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或－1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a >0且a ≠1解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，2－a >0，2－a ≠1，解得a ＝－1.答案 C题型二指数函数图象的应用【例2】 (1)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a >0，且a ≠1)的图象恒过的定点是________．(2)已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图象？并画出相应图象． (1)解析因为y ＝a x 的图象过定点(0,1)，所以令x ＋1＝0，即x ＝－1，则f (x )＝－1，故f (x )＝2a x ＋1－3的图象过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1)(2)解 y ＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2＝3－(x ＋1)＋2. 作函数y ＝3x 的图象关于y 轴的对称图象得函数y ＝3－x 的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)＋2＝⎝⎛⎭⎫13x ＋1＋2的图象，如图所示．规律方法处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．【训练2】 (1)函数y ＝2|x |的图象是( )(2)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析 (1)y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥0，⎝⎛⎭⎫12x ，x <0，故选B ．(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0.答案 (1)B (2)D题型三指数型函数的定义域、值域问题【例3】 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________． (3)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为________．解析 (1)由题意得自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0.(2)∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3，∴－89≤⎝⎛⎭⎫13x －1≤2，∴值域为⎣⎡⎦⎤－89，2. (3)函数的定义域为R ，又y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1＝(2x ＋1)2，易知2x >0，故y >1，即函数的值域为(1，＋∞)．答案 (1)A (2)⎣⎡⎦⎤－89，2 (3)(1，＋∞) 规律方法指数型函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法 (1)定义域：函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． (2)值域：①换元，t ＝f (x )． ②求t ＝f (x )的定义域为x ∈D . ③求t ＝f (x )的值域为t ∈M .④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．【训练3】求函数y ＝512x －4的定义域和值域．解由2x －4>0，得x >2，故函数的定义域为{x |x >2}，因为12x －4>0，所以y ＝512x －4>1，故函数的值域为{y |y >1}．课堂达标1．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝2，则f (x )＝( ) A ．(2)x B ．2xC ．⎝⎛⎭⎫12xD ．⎝⎛⎭⎫22x解析由题意，设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，则由f (2)＝a 2＝2，得a ＝2，所以f (x )＝(2)x . 答案 A2．当x ∈[－2,2)时，y ＝3－x －1的值域是( )A ．⎝⎛⎦⎤－89，8B ．⎣⎡⎦⎤－89，8C ．⎝⎛⎭⎫19，9 D ．⎣⎡⎦⎤19，9解析 y ＝3－x －1，x ∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1<y ≤32－1，即－89<y ≤8.答案 A3．已知函数f (x )＝2x ，则f (1－x )的图象为( )解析 f (1－x )＝21－x ＝⎝⎛⎭⎫12x －1是减函数，故排除选项C ，D ，又当x ＝0时，⎝⎛⎭⎫120－1＝2，排除A ，故选B ．答案 B4．函数f (x )＝2·a x －1＋1的图象恒过定点________．解析令x －1＝0，得x ＝1，f (1)＝2×1＋1＝3，所以f (x )的图象恒过定点(1,3)．答案 (1,3)5．函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a 的取值范围．解由题意，当x≤0时，a x≥1，所以0<a<1，故实数a的取值范围是0<a<1.课堂小结1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0<a<1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．4．求函数y＝a f(x)(a>0且a≠1)的值域的关键是求f(x)的值域．。

《幂函数》教案范文

《幂函数》教案目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的'函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．2．幂函数＝x 图象的分布与的关系：对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数的定义域是．（3）已知函数，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．高中数学幂函数教案设计篇二教学目标1. 知识目标：(1)了解幂函数的概念；(2)会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

高一数学必修一幂函数(习题课)

数学·必修1(人教A 版)2.3.2 幂函数(习题课)►基础达标1．设函数y ＝x |x |，x ∈R ，则此函数( )A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数解析：∵y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0. 答案：C答案：B3．函数y ＝x ＋1的递增区间是__________ .答案：[－1，＋∞)4．函数y ＝1x 2的定义域是________，在区间________上是减函数．答案：{x |x ∈R ，x ≠0} (0，＋∞)5．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则这个函数的解析式为________．答案：6．若函数f (x )＝(t ＋2)x t －1是幂函数，则这个函数的解析式为__________．解析：t ＋2＝1，∴t ＝－1，∴f (x )＝x －2.答案：f (x )＝x －27．用描点法作出幂函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象，并说明函数的定义域和单调性．分析：首先作出函数的图象，根据图象研究其性质．解析：五个幂函数的图象如下图所示．(1)y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，在区间(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减．(2)y ＝x 定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．(4)y ＝x 2的定义域为R ，在区间(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．(5)y ＝x 3的定义域为R ，在区间(－∞，＋∞)上单调递增．点评：►巩固提高点评：①②③④⑤9．函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x －1的递减区间是________．(1)指出函数的定义域和值域；(2)判断函数的奇偶性；(3)指出函数的递增区间和递减区间．答案：(1)定义域是R ，值域是[0，＋∞)(2)偶函数(3)[0，＋∞)是递增区间，(－∞，0]是递减区间。

高中数学人教版A版必修一学案：第二单元 §2.3 幂函数 Word版含答案

§2.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x －45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )提示 (1)√ 函数y ＝x－45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：(1)设函数f (x )＝x 53 ，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数(2)3.17－3与3.71－3的大小关系为________．解析 (1)易知f (x )的定义域为R ，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)易知f (x )＝x －3＝1x3在(0，＋∞)上是减函数，又3.17<3.71，所以f (3.17)>f (3.71)，即3.17－3>3.71－3.答案 (1)A (2)3.17－3>3.71－3题型一幂函数的概念【例1】 (1)在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若f (x )＝(m 2－4m －4)x m是幂函数，则m ＝________.解析 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B ．(2)因为f (x )是幂函数，所以m 2－4m －4＝1，即m 2－4m －5＝0，解得m ＝5或m ＝－1. 答案 (1)B (2)5或－1规律方法判断函数为幂函数的方法(1)只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．解析设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13. 答案 13题型二幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )．(1)解析根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12；当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ．答案 B(2)解设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且m n<1 B ．m 是偶数，n 是奇数，且m n >1 C ．m 是偶数，n 是奇数，且m n <1 D ．m 是奇数，n 是偶数，且m n>1解析由图象可知y ＝x m n是偶函数，而m ，n 是互质的，故m 是偶数，n 是奇数，又当x ∈(1，＋∞)时，y ＝x m n的图象在y ＝x 的图象下方，故m n<1.答案 C【例(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的，又25<3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<30.3.即⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解因为y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 >0.325 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>0.325 .规律方法比较幂值大小的三种基本方法【训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 与⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 . 解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫230.5＞⎝ ⎛⎭⎪⎫350.5. (2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1234 ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3412 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1234.课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2解析设幂函数为y ＝x α，∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x－12，∴f (2)＝2－12 ＝22，故选C ．答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析 A 中定义域值域都是R ；B 中定义域值域都是(0，＋∞)；C 中定义域值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R 且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12 的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数．当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A ．答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )解析显然代数表达式“－f (x )＝f (－x )”，说明函数是奇函数．同时由当0<x <1时，x 13 >x ，当x >1时，x 13 <x .答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1878 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78 <－⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫46－23 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23 . 课堂小结1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α＜0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。

人教A版高中数学必修一 2.3 幂函数学案(有答案)

2.3 幂函数（学案）一、学习目标1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点)3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)二、自主学习教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x ∈(0，＋∞)增 x ∈(－∞，0]减增增x ∈(0，＋∞)减 x ∈(－∞，0)减公共点 (1,1)例1.(1)在函数y ＝x －2，y ＝2x 2，y ＝(x ＋1)2，y ＝3x 中，幂函数的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________.【自主解答】(1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x－2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，12m 2＋m <0，∴m ＝－1.【答案】(1)B(2)3(3)－1归纳总结：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.例2. (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为()A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【自主解答】(1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.归纳总结：解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)． 2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．例3.比较下列各组中幂值的大小．(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12， 1.1. 【自主解答】(1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.(3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812.又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13，∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝⎛⎭⎫10912， 1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝⎛⎭⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.归纳总结：比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例33中的1.812.四、学以致用1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________.【解析】设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12log 23＝13. 【答案】132．点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有： (1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )；(2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． 3．比较下列各组数的大小.【解】(1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52. 五、自主小测1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝() A.14 B ．4 C.22D. 2 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 233．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是()A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3 4．函数y ＝x 13的图象是() 5．比较下列各组数的大小：参考答案1.【解析】设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12， ∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2.【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3.【解析】当a ＝－1时，y ＝x－1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4.【解析】显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5.【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。

必修1 2.3 幂函数教案

贵州省石阡民族中学公开课教学设计课题：2.3幂函数班级：2014级（13）班授课教师：易炳江授课时间：2014年11月4日2.3 幂函数教案一、教学目标1、知识与技能理解幂函数的概念，会画幂函数y x =、12y x =、2y x =、1y x -=、3y x =的图象；结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。

2、过程与方法通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力；使学生进一步体会数形结合的思想。

3、情感态度与价值观通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

二、教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质。

难点：从五个具体的幂函数的图象中概括幂函数的性质，体会幂函数的图像的变化规律。

三、教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性。

利用多媒体辅助教学。

四、教学过程1、引入：数学在生活中是无处不在2、问题情境：多媒体显示以下5个问题，每个问题的结论由学生说出。

并思考以上问题中的函数具有什么共同特征?3、提示课题（2.3幂函数）4、幂函数的定义一般地，形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

对于幂函数，我们只讨论1,21,3,2,1-=α时的情形。

幂函数不像指数函数和对数函数，其定义域随α的不同而不同。

5、幂函数与指数函数的对比，判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：看看未知数x 是指数还是底数6、练习反馈（1）判断下列函数哪些是幂函数？①xy 2.0=（ × ） ②21x y =（ √ ） ③ 1-=x y （ √ ）④2-=x y （ √ ） ⑤2x y -=（ × ） ⑥22+=x y （ × ）（2）若幂函数)(x f y =的图象经过点（3,27），则=)2(f ＿ 8＿7、研究幂函数y x =、2y x =、3y x =、12y x =、1y x -=；结合图象，研究性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点的情况等。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

高一数学人教A版必修1课后训练：2.3 幂函数 Word版含解析

课后训练基础巩固1．若幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．α＞0B ．α＜0 C ．α＝0D ．不能确定2．下列函数是偶函数，且在(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．13y x =B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －23．已知幂函数f (x )满足f =⎝⎭f (x )的表达式是( ) A ．f (x )＝x －3B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝3－x D ．f (x )＝3x4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝15．幂函数的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)6．函数43y x =的图象是( )7．23112T ⎛⎫=⎪⎝⎭，23215T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13312T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系式正确的是( )A ．T 1＜T 2＜T 3B ．T 3＜T 1＜T 2C ．T 2＜T 3＜T 1D ．T 2＜T 1＜T 38．若249y x αα--=是偶函数，并且在(0，＋∞)上是减函数，则整数α＝__________． 9．设幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，则函数y ＝x α的值域是__________．10．函数y ＝x －3在区间[－4，－2]上的最小值是__________．11．求下列函数的定义域： (1)1132(32)(23) y x x -=-+-；(2)1212x y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭． 12．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，(1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数； (4)f (x )是幂函数．能力提升13．如图所示，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，12±四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，12-，12，2 B ．2，12，12-，－2C ．12-，－2,2，12D ．2，12，－2，12-14．三个数a ＝30.7，b ＝0.73，c ＝log 30.7的大小顺序为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a15．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x＞12x ＞lg x B ．2x＞lg x ＞12x C ．12x ＞2x ＞lg x D ．lg x ＞12x ＞2x 16．(压轴题)已知f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+．(1)求证：f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．错题记录参考答案1．A 点拨：当α＞0时，幂函数f (x )＝x α在(0，＋∞)上是增函数． 2．B 点拨：∵y ＝x 2是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，∴y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数．也可以画图观察，可知选B ．3．A 点拨：设f (x )＝x α，∵由题意知α=⎝⎭132233α-=，∴α＝－3．∴f (x )＝x －3．4．B 点拨：由已知2233120m m m m ⎧-+=⎪⎨--≤⎪⎩，，得m ＝1或m ＝2．5．C 点拨：设幂函数f (x )＝x α，将12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入得α＝－2，所以f (x )＝21x ，易知其单调增区间为(－∞，0)．6．A 点拨：f (－x )＝4433()x x -===＝f (x )，又函数的定义域为R ，故f (x )为偶函数．又43＞1，所以当x ∈(1，＋∞)时，x ＜43x ． 7．D 点拨：构造函数23y x =，此函数在[0，＋∞)上是增函数，则223311>25⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 2＜T 1；构造函数12xy ⎛⎫=⎪⎝⎭，此函数在R 上是减函数，则213311<22⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即T 1＜T 3．故T 2＜T 1＜T 3．8．－1,5,3,1点拨：由函数249y x αα－－＝的图象关于y 轴对称，即f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数，可得α2－4α－9＝2k (k 为负整数)．当k ＝－2时，解得α＝5或α＝－1；当k ＝－6时，解得α＝3或α＝1．故α的值为－1,5,3,1．9．[0，＋∞)点拨：∵幂函数y ＝x α的图象经过点(8,4)，∴8α＝4，则23α=． ∴23y x ==∴函数y ＝x α的值域是[0，＋∞)． 10．18-点拨：∵函数y ＝x －3＝31x 在(－∞，0)上单调递减，∴当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝311(2)8=--． 11．解：(1)要使函数有意义，x 的取值需满足320230.x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得23x >，即所求函数的定义域为2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭． (2)要使函数有意义，x 的取值需满足12x +-＞0，解得x ＜－1，即所求函数的定义域为(－∞，－1)．12．解：(1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得45m =-，此时m 2－m －1≠0，故45m =-． (2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得25m =-，此时m 2－m －1≠0，故25m =-．(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，解得m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1．(4)若f (x )是幂函数，则m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．13．B 点拨：随着α的增大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为曲线C 1，C 2，C 3，C 4，所以对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，12-，－2． 14．C 点拨：由于a ，b ＞0，c ＜0，故c 最小．又30.7＞0.70.7＞0.73，所以a ＞b ．故a ＞b ＞c ．15．A 点拨：易知当x ∈(0,1)时，2x和12x 的值都大于0，lg x 的值小于0，得lg x 最小．在同一坐标系中作出函数y ＝2x与y ＝12x 的图象，如下图所示，由图可知2x＞12x ，故选A ．16．解：(1)证明：函数f (x )的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠0}． ∵f (－x )＝11113333()()55x x x x ------=-＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝11113333112211()()55x x x x -----＝11331211331211()15x x x x ⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0)上也是增函数．(2)f(4)－5f(2)g(2)＝1111111111 3333333333 4422224444555555-------+---⋅⋅=-＝0．同理f(9)－5f(3)g(3)＝0．猜想：f(x2)－5f(x)g(x)＝0．证明：∵f(x2)－5f(x)g(x)＝2211112222 3333333333555555x x x x x x x x x x -------+---⋅⋅=-＝0(x≠0)，∴f(x2)－5f(x)g(x)＝0成立．。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第三章 3.3 幂函数

单调递减.
变式训练4
幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则
m=
.
答案 1
解析
∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,∴3m-5<0,即m<
5
,
3
又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,故
是幂函数,
当m=-1时,函数为y= -1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,
当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.
是幂函
规律方法
幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:
当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上
规律方法
函数y=xα(α为常数)的图象特点
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当
x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象
限内的图象(类似于y=x-1或y=
1
2
,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都上升;当α<0时,幂函数的图象
在区间(0,+∞)上都下降.
变式训练2
如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列