圆锥曲线公式大全

圆锥曲线公式大全

1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

2、判断椭圆是 x 型还是y 型只要看2

x 对应的分母大还是2

y 对应的分母大，若2

x 对应的分母大则x 型，若2

y 对应的分母大则y 型.

3、求椭圆方程一般先判定椭圆是x 型还是y 型，若为x 型则可设为122

22=+b y a x ，若为y

型则可设为12222=+b

x a y ，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：22

1mx ny +=

4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

双曲线定义

若M 为双曲线上任意一点，则有12MF MF 2a -=(2a<2c)

若12MF MF 2a -==2c,则点M 的轨迹为两条射线 若12MF MF 2a -=>2c, 则点M 无轨迹

焦点位置

x 轴

y 轴

图形

标准方程 122

22=-b

y a x 122

22=-b

x a y 焦点坐标 F 1(-c, 0 ), F 2( c, 0 )

F 1(0, -c, ), F 2( 0, c )

焦距 |F 1F 2| = 2c

顶点坐标 (±a , 0 )

(0, ±a )

a ,

b ,

c 的关系式

椭圆形状长的像a,所以a 是老大，a 2 = b 2 + c 2；

双曲线形状长的像c,所以c 是老大，c 2 = a 2 + b 2 实轴、虚轴 实轴长=2a , 虚轴长=2b ，实半轴长=a , 虚半轴长=b 无论双曲线是x 型还是y 型，双曲线的焦点总是落在实轴上

对称轴 关于x 轴、y 轴和原点对称

离心率 a

c

e =

( e >1) 范围 ,a x a y R ≤≤-∈或x a y a ≤≤-或y ,x R ∈

渐近线

b y x a

=±

a y x b

=±

2、判断双曲线是 x 型还是y 型只要看2

x 前的符号是正还是2

y 前的符号是正，若2

x 前的符号为正则x 型，若2

y 前的符号为正则y 型，同样的，哪个分母前的符号为正，则哪个分母就为2

a

3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x 型还是y 型，若为x 型则可设为122

22=-b

y a x ，若

为y 型则可设为122

22=-b x a y ，若不知什么型且双曲线过两点，则设为稀里糊涂型：

221(0)mx ny mn -=<

6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程y mx =，则可设双曲线方程为

222(0)y m x λλ-=≠，而后把点坐标代入求解

7、椭圆、双曲线、抛物线与直线:l y kx b =+的弦长公式：

AB ==8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法 9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：

（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y 或x (2)求出判别式，并设点使用伟大定理 （3）使用弦长公式

1、抛物线的定义：平面内有一定点F 及一定直线l (F 不在l 上)P 点是该平面内一动点，当且仅当点P 到F 的距离与点P 到直线l 距离相等时，那么P 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的一条抛物线.————见距离想定义！！！

2、（1）抛物线标准方程左边一定是x 或y 的平方（系数为1），右边一定是关于x 和y 的一次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！

（2）抛物线的一次项为x 即为x 型，一次项为y 即为y 型!

(3)抛物线的焦点坐标为一次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为x ，则准线为”x=多少”， 一次项为y ，则准线为”y=多少”!

(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着正半轴，一次项为负，则开口朝着负半轴！

（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！

3、求抛物线方程，如果只知x 型，则设它为2

y ax = (0)a ≠,a>o,开口朝右；a<0,开口朝左； 如果只知y 型，则设它为2

(0)x ay a =≠,a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。 4、抛物线简单的几何性质：

（尤其对称性的性质要认真研究应用，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜在条件！） 1、 抛物线的焦点弦，设1,12,2P(x ),Q(x )y y ，且P,Q 为抛物线2

2y px =经过焦点的一条弦：

（1）1,12,2P(x ),Q(x )y y 两点坐标的关系：22

1212,4

p y y p x x =-=

（2）焦点弦长公式：12()PQ x x p =++=

2

2sin p

α

（其中α为直线PQ 的倾斜角大小） （3）垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2p 5、（1）直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。

（2）直线与双曲线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切；第二种是直线与双曲线的渐近线平行。

（3）直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切；第二种是直线与抛物线的对称轴平行。

（4）直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不同两点>0⇔∆；直线与抛物线交于一点0⇔∆= （相切）或直线平行于抛物线的对称轴； 直线与抛物线不相交0⇔∆<

6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外，等于线上，小于线内。

7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点

00(,)x y 时，往往设为点斜式：00()y y k x x -=-，但是尤其要注意讨论斜率不存在的情

况！！！斜率不存在则设为0x x =.

11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联立消去y 求出判别式，检验判别式如果小于0，则直线不存在！！！