微积分-下册-试题及其答案

微积分期末考试题

一、填空题(每小题5分,共25分)

1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2

x z =，则=z .

2、已知=+=)4,3(22|),ln(gradz y x z 求 .

3、求

22

1z x y =++在条件1=+y x 下的极值为 . 4、该级数∑∞

=12

2

n n n 的收敛型为 .

5、已知微分方程x y y +'

='',该方程的通解为 .

二、选择题(每小题5分,共25分)

6、222200

3sin()lim x y x y x y →→++的值为（ ）

A.3

B.0

C.2

D.不存在 7、已知曲线L 为过点)2,1(),1,0(),0,0(点的圆弧，则该曲线积分y y L

xe dx x e I ++=

⎰

)(=

（ ） A.2

e B.212

+e C.2

12

-e D.22e

8

、级数1

n

n ∞

=的收敛区间为（ ） A.)3,1( B.]3,1( C.]3,1[ D.)3,1[

9、已知积分

⎰⎰

D

d x

y σ,其中D 是由直线

x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域，则该

积分为（ ） A.

49 B.94 C.32 D.2

3

10、已知),(y x z z =由

xy e z z

=+确定，求y x z

∂∂∂2为( ) A.49 B.2

)

1(11z z z e xy

e e +-+ C.32 D.23 三、解答题(每小题10分,共50分)

11、求函数322

(,)42f x y x x xy y =-+-的极值.

12、求由于平面1,0,0=+==y x y x 所围成的柱体被平面0=z 抛物面z y x -=+62

2截得的立体体积.

13、若)(x f 为连续函数，且满足[]dt t t f t t x f x

⎰-+

=0

cos )(cos sin 1)(，求函数)(x f .

14、求微分方程

02)1(2

='-''+y x y x 的通解. 15、设)(22y x f y z -=

,其中)(u f 为可导函数, 证明211y z

y z y x z x =

∂∂+∂∂.

微积分期末考试题答案

一.填空题

1、2222x xy y y -++

解析:由题可知,

y

xy y x y x y x y x f x x x f y +-+=---=--==2)()()(,)(,02222则有时

2、

j i 25

8256+ 解析:由题可知,,求偏导有

j i gradz y x y y z y x x x z 25

8256|,2,2)4,3(2222+=∴+=∂∂+=∂∂ 3、

2

3

解析：

222

(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得

12x =

,"40z =>,1

2x =

为极小值点.

故2

2

1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11

(,)

22,极小值为32

4、收敛

解析:由比值判别法有12

1

422)1(22)1(lim

22212<==+=•++∞→n n n n n n n n n ,此时该级数收敛. 5、212)1(2

1

C e C x x +++-

解：令y p '=,p y '='',方程化为x p p +='

,于是

)(1)1()1(C dx e x e p dx

dx +⎰⎰=---⎰)

(1C dx e x e x x +=-⎰

])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= ⇒2121)1(21

])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==⎰⎰

二、选择题 6、 A

解析;由等价无穷小，有2

2

2

2

~)sin(y x y x ++，则该极限为33lim 0

0=→→y x .

7、B

解析：由题可知，该曲线积分与积分路径无关，则作图有

)2,0( 此时， 2

1

)1()(21

2

+=++=++=⎰⎰

⎰e dy e dx x xe dx x e I y y y L )0,1(

8、D.

解析：令2t x =-,幂级数变形为n n ∞

=1lim 1

n t n n n a R a →∞+===.

当1-=t 时,级数为0

(1)n

n ∞

=-∑收敛；

当1=t 时,级数为1n ∞

=.

故1

n

n ∞

=)1,1[-=t I ,

则1

n n ∞

=的收敛区间为[1,3)x I =.

9、A

解析：

221x x D

y

y d dx dy

x x

σ=⎰⎰

⎰⎰.

2139

24xdx =

=⎰

10、B

解析：设

(,,)z

F x y z z e xy =+-，则

x F y

=-，

y F x

=- ，1z

z F e =+