运筹学课件 图与网络分析
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运筹学课件 第六章图与网络分析(清华大学出版社)
w(P ) = min w(P) 0
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
P
路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）
OR3 12
– 最短路算法
Dijkstra算法 ：有向图 ，wij≥0 一般结论：
vs到 j的 短 v 最 路
vs ,...,vi ,...,vj ⇒ vs ,...,vi
vs到 i的 短 v 最 路
OR3 17
4 ）
标号的点，考察弧（ v 4 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ v 4 , v 6），（ v 4 , v 7）的端点 v 6，v 7： T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [13 , 9 + 9 ] = 13 46 6 6 4 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 , 9 + 7 ] = 14 47 7 7 4 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 13 。 6 6 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 。 6 7）v 为刚得到 P 标号的点，考察弧（ 标号的点，考察弧（ v 6 , v 7），（ v 6 , v 8）的端点 v 7， 8： v 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [14 ,13 + 5 ] = 14 67 7 7 6 T ( v ) = min [T ( v )， P ( v ) + l ] = min [+ ∞ ,13 + 4 ] = 17 68 8 8 6 标号， 最小， 比较所有 T 标号， T ( v ) 最小，所以令 P ( v ) = 14 。 7 7 此时 P 标号的点集 S = { ， ， , v , v , v , v } v1 v 2 v 3 5 4 6 7 。 7
运筹学-7、图与网络分析PPT课件
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终止条件
所有节点都在同一连通分量中， 即生成树形成。
算法思想
从边开始，每次选择权值最小的 边加入，若形成回路则舍去，直 到生成树形成。
算法特点
适用于稀疏图，时间复杂度为 O(eloge)，其中e为边数。
最小生成树问题的应用
通信网络设计
在构建通信网络时，需要在保证所有节点连通的前提下，使得建设 成本最低。最小生成树算法可以用于求解此类问题。
活动时间的估计
对每个活动进行时间估计，包括乐观时间（a）、最 可能时间（m）和悲观时间（b），并计算期望时间 （t=（a+4m+b）/6）。
项目工期的计算
根据活动的逻辑关系和网络结构，计算项目 的期望工期，并确定项目的关键路径。
网络计划技术的应用
项目进度管理
网络计划技术可用于制定详细 的项目进度计划，确保项目按
图与网络的应用背景
图与网络分析的方法
介绍图与网络分析中常用的最短路径 算法、最小生成树算法、最大流算法 等。
阐述图与网络在交通运输、电路设计、 社交网络等领域的应用。
学习目标与要求
学习目标
掌握图与网络分析的基本概念和 常用算法，能够运用所学知识解 决实际问题。
学习要求
熟悉图与网络分析的基本概念和 常用算法，了解相关应用领域， 具备一定的编程能力和数学基础。
算法步骤
初始化距离数组和访问标记数组；从起点开始，选择距离起点最近的未访问节点进行访问 ，并更新其邻居节点的距离；重复上述步骤，直到所有节点都被访问。
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
e2
V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
9
3
v4
7
v5
6
5
2
3
4
v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
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3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学课件 第六章图与网络分析
v 若 eij i , v j ，称 vi , v j 是边 eij 的端 点，反之，称边 eij 为点 v i 或 v j 的关联边。 若点 vi , v j 与同一条边关联，称点 vi v j 相邻； 若边 和 具有公共的端点，称 ei ei ej 和 相邻
e3 e13 v1, v3 v3 , v1 e31
2013-12-3
18
图中有些点和边的交替顺序 0 , e1 , v1 ,...,ek , vk v ，若其中各边 e1 , e2 ,...,ek 互不相同，且对 任意 vt 1 和 vt (2 t k ) 均相邻，称为 链。 上图中 1 v5 , e8 , v3, e3, v1, e2 , v2 , e4 , v3, e7 , v4
27
解
因要使上述村镇全部通上电，村镇之间必 须连通，又图中必不存在圈，否则从图中去掉一 条边图仍连通，就一定不是最短路线，故架设长 度最短的路线就是从上图中寻找一棵最小树。
2013-12-3
28
用避圈法时，先从图中任选一点 S , 令 S V ，其余点 V , V 与 V 间的最 短边为（ S , A) ，将该边加粗，标志它是最小 树内的边。再令 V A V ,V V A 重复上述步骤，一直到所有点连通为止。过程 如下：
如果用点表示研究的对象，用边表示这些 对象之间的联系，则图G可以定义为点与边的集 合，记作 G , E V
V v1 , v2 ,...,vn
E e1 , e2 ,..,em
式V是点的集合，E是边的集合。
2013-12-3 13
注意，上面定义的图G区别于几何学中的图。 几何学中，图中点的位置、线的长度和斜率等都 十分重要，而这里只关心图中有多少个点以及哪 些点之间有线相连。 如果给图中的点和边以具体的含义和权数 （如距离、费用、容量等）。把这样的图称为网 络图，记作N。 图和网络分析的方法已广泛应用于物理、化 学、控制论、信息论、计算机科学和经济管理等 各领域。
运筹学课件 图与网络分析
Pi i = ( v i , v i , … , v i , v i ) ,(r =1~k-1,s =2~k )
r s r r+1 s-1 s
vi
1
vi
2
vi
v
r
ir +1
v
is -1
8 -2-7
vi
v
s
ik-1
vi
k
2018/11/27
8.4.3 最短路算法
2018/11/27
8 -2-8
Dijkstra 算法
适用条件：弧 a = (vi , vj ) 的权 wij≥ 0的赋权有向 图，边 e = [vi , vj ] 的权 wij≥ 0的赋权无向图。在 这种情况下，图中任一条路的权不小于其子路的 权。 求解特点：可以求得某点到其他各点的最短路。 求解技术：图的收缩。
2018/11/27
8 -2-9
引例
v2 2 v1 3 5 1 2 v3
9
8 3 v5 3 v6 8 6 v7
v4
5
2018/11/27 8 -2-10
v2 2 v1 3 5 1 5 11 , v2 4 , v2 v1 3
2018/11/27
2 v3
9
8 3 v5 3
算法的要点
v6 8
最短路的 权 最后一个 中间点
6
v7
v4
最短路的 终点
v2
v3
8 3 5 3
2
v6
8
v1
v7
5 1
6
v4
v5
8 -2-11
最短路的 终点
最短路的 权
最后一个 中间点
v2 v4
11 , v2 4 , v2 v1 5 v3 1 5 8 3 v5
运筹学课件-第六章图与网络分析
运筹学课件-第六章 图与网络分析
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
contents
目录
•的算法 • 图的应用
01
CATALOGUE
图的基本概念
图的定义
总结词
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构。
详细描述
图是由顶点（或节点）和边（或弧） 组成的数据结构，其中顶点表示对象 ，边表示对象之间的关系。根据边的 方向，图可以分为有向图和无向图。
04
CATALOGUE
图的算法
深度优先搜索
要点一
总结词
深度优先搜索是一种用于遍历或搜索树或图的算法。
要点二
详细描述
该算法通过沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深地搜索 树的分支。当节点v的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到 发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发 现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的 节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个 进程反复进行直到所有节点都被访问为止。
物流网络设计的应用
在物流规划、供应链管理、运输优化等领域有广泛应用，例如通过物 流网络设计优化货物运输路径、提高仓储管理效率等。
生物信息学中的图分析
生物信息学中的图分析
利用图论的方法对生物信息进 行建模和分析，以揭示生物系 统的结构和功能。
生物信息学中的节点
代表生物分子、基因、蛋白质 等。
生物信息学中的边
Dijkstra算法
总结词：Dijkstra算法是一种用于在有向图中查找单源 最短路径的算法。
详细描述：Dijkstra算法的基本思想是从源节点开始， 逐步向外扩展，每次找到离源节点最近的节点，并更新 最短路径。该算法使用一个优先级队列来保存待访问的 节点，并将源节点加入队列中。然后，从队列中取出具 有最小优先级的节点进行访问，并将其相邻节点加入队 列中。这一过程一直进行，直到队列为空，即所有可到 达的节点都已被访问。Dijkstra算法的时间复杂度为 O((V+E)logV)，其中V是节点的数量，E是边的数量。
运筹学第六章图与网络分析(ppt文档)
§6.1 图的基本概念和模型
一、概念
（1）图：点V和边E的集合，用以表示对某种现实事物
的抽象。记作 G=｛V,E｝, V=｛v1,v2,···,vn｝, 点：表示所研究的事物对象； E=｛e1,e2,···,em｝
边：表示事物之间的联系。
e0
（2）若边e的两个端点重 合，则称e为环。
（3）多重边：若某两端点之 间多于一条边，则称为多重边。
D 8 64 5 0 15
E 7 53 4 1 0 6
T 14 11 9 10 5 6 0
i
dir（1）
r
drj（1）
j
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短距 离矩阵 D（3）= dij（3）
其中
dij（3）=
min
r
{
dir（2）+
drj（2）
}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 13
dir（0）
r i
drj（0）
j
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达的最短距 离矩阵 D（2）= dij（2）
其中
dij（2）=
min
r
{
dir（1）+
drj（1）}
SABCDET
S 0 2 4 4 8 7 14
A 2 0 2 3 6 5 11
B 4 20 1 43 9 D（2）= C 4 3 1 0 5 4 10
2. 破圈法：
⑴ 任取一圈，去掉其中一条最长的边， ⑵ 重复，至图中不存在任何的圈为止。
2. 破圈法
A
S
5 × B 5× D 5 T
C
4× E
最小部分树长Lmin=14
运筹学图与网络分析.pptx
{a12,a14,a34}
{a26,a46 } φ
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+3,0+2,0+5}=2= l1+W13 min{l1+W12, l1+W13, l3+W34}= min{0+3,0+5,2+1}=3= l1+W12, l3+W34 min{l2+W26, l4+W46}= min{3+7,3+5}=8= l4+W46
{ a57,a68 }
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+2,0+6,0+3}=2= l1+W12 min{l1+W13, l1+W14, l2+W23, l2+W26}= min{0+6,0+3,2+3, 2+7}=3= l1+W14 min{l1+W13,l2+W23, l2+W26, l4+W45}= min{0+6,2+3,2+7,3+6}=5= l2+W23 min{l2+W26, l3+W35, l3+W36, l4+W45}= min{2+7,5+3,5+7,3+6}=8= l3+W35 min{l2+W26, l3+W36, l5+W56, l5+W57}= min{2+7,5+7,8+1,8+6}=9= l2+W26, l5+W56 min{ l5+W57, l6+W68}= min{8+6,9+4}=13= l6+W68
{a26,a46 } φ
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+3,0+2,0+5}=2= l1+W13 min{l1+W12, l1+W13, l3+W34}= min{0+3,0+5,2+1}=3= l1+W12, l3+W34 min{l2+W26, l4+W46}= min{3+7,3+5}=8= l4+W46
{ a57,a68 }
min{ li Wij | Vj J } lh Whk
iI
min{l1+W12, l1+W13, l1+W14}= min{0+2,0+6,0+3}=2= l1+W12 min{l1+W13, l1+W14, l2+W23, l2+W26}= min{0+6,0+3,2+3, 2+7}=3= l1+W14 min{l1+W13,l2+W23, l2+W26, l4+W45}= min{0+6,2+3,2+7,3+6}=5= l2+W23 min{l2+W26, l3+W35, l3+W36, l4+W45}= min{2+7,5+3,5+7,3+6}=8= l3+W35 min{l2+W26, l3+W36, l5+W56, l5+W57}= min{2+7,5+7,8+1,8+6}=9= l2+W26, l5+W56 min{ l5+W57, l6+W68}= min{8+6,9+4}=13= l6+W68
运筹学8图与网络分析PPT课件
v2
[v3 ,v4],[v1 ,v4],
[v2 ,v4], [v3 ,v3]}
v3 v4
图8.4
第12页/共166页
图8.5 是一个有向图D=（V，A）
其中V={v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7}
A={(v1,v2),(v1,v3),(v3 ,v2)(v3 ,v4),(v2 ,v4),(v4 ,v5),
定理8.1 所有顶点度数之和等于所有边数
的2倍。
证明：因为在计算各个点的度时，每条边
被它的两个端点个用了一次。
第18页/共166页
定理8.2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 证明：设 V1，V2 分别是图G中奇点和偶点的
集合，由定理8.1 ，有
d(v) d(v) d(v) 2q
vV1
随着科学技术的进步，特别是电子计算 机技术的发展，图论的理论获得了更进一步 的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程 系统和管理问题用图的理论加以描述，可以 解决许多工程项目和管理决策的最优问题。 因此，图论越来越受到工程技术人员和经营 管理人员的重视。
关于图的第一篇论文是瑞士数学家欧拉 （E. Euler）在1736年发表的解决“哥尼
(v4 ,v6),(v5 ,v3),(v5 ,v4), (v5 ,v6),(v6 ,v7)}
v3
v5
v7
v1 v6
v2
v4
图8.5
第13页/共166页
下面介绍一些常用的名词：
一 个 图 G 或 有 向 图 D 中 的 点 数 , 记 作 P(G) 或 P(D),简记作P,边数或者弧数,记作q(G)或者q(D), 简记作q 。
简单链：链中所含的边均不相同；
初等链：链中所含的点均不相同, 也称通路； 圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称 为闭链或回路或圈；
运筹学课件第八章 图与网络分析
2
3
3
2 4
运筹学
2
1
2
2 3
2
5
2018/10/22
四、一笔划问题
1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的 次，记为d(V)。 2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两 倍，即设q边数，则Σd(vi)=2q ，其中viV 3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。 4、任一图中，奇点的个数为偶数。 5、一笔划： 可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形 如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。 两个奇次点：分别选为起点和终点。
二、连通图
1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列 (vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足 eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k-1)，则称为一条联结vi1和 vik的链，称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。 2、圈：链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一 个圈。 3、简单链：若链(vi1,vi2,…,vik)中，点 vi1,vi2,…,vik都是不同的，则称之为简单链。 4、连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一 条链。
定理1 可行流f*是最大流的充要条件是不存 在关于f*的最大流。 若f*是最大流，则网络中必存在一个截集 (V1*,V1*)，使得 v(f*)= C(V1*,V1*) 定理2 任一网络D中，从vs到vt的最大流的流 量等于分离vs，vt的最小截集的截量。
2018/10/22 运筹学
3）求最小树的方法：
方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取 的边不构成圈。 方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。 在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为 止，这时的图便是最小树。 例 用破圈法求下图的最小树 4 3 2 1 2
运筹学课件ch10图与网络分析
链(chain)的概念
v1
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v3
v4
e1
e2
e3
e4
e5
e6
e7
e8
v5
v6
v7
{ v1, e1, v3, e4, v4 }
μ：
链
初等链
简单链
不是链
{ v1, e1, v2, e3, v3 , e6 , v1 }
圈
初等圈
间单圈
圈一定是链，链不一定是圈
路PATH
路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。 若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致，则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同，则称为回路。 连通性: 点i和j点是连通的：G中存在一条（i，j）路 G是连通的：G中任意两点都是连通的
5 部分树及最小树
2 点的概念及性质
3 链的概念及性质
1 图的概念及性质
如何寻找 “支撑树” 呢？
—— 图G’＝(V’，E’)的点集与图G＝(V，E)的点集相同，V’＝V，但图G’＝(V’，E’) 的边集仅是图G＝(V，E)的子集E’ E。
特点——边少、点不少。
1 最小树定义
如果T＝(V，E’)是 G 的一个支撑树，称 T 中所有边的权之和为支撑树T的权， 记为W（T），即：
A队三胜一负
B队一胜一负
C队两胜一负
D队三战三负
E队一胜一负
从图中可以看出各球队之间比赛情况：
A
B
C
D
E
那么，这种胜负关系该如何用图来描述呢？
10.1 图的基本概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，即图是由点及点之间的联线所组成。其中:
v1
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v3
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{ v1, e1, v3, e4, v4 }
μ：
链
初等链
简单链
不是链
{ v1, e1, v2, e3, v3 , e6 , v1 }
圈
初等圈
间单圈
圈一定是链，链不一定是圈
路PATH
路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。 若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致，则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同，则称为回路。 连通性: 点i和j点是连通的：G中存在一条（i，j）路 G是连通的：G中任意两点都是连通的
5 部分树及最小树
2 点的概念及性质
3 链的概念及性质
1 图的概念及性质
如何寻找 “支撑树” 呢？
—— 图G’＝(V’，E’)的点集与图G＝(V，E)的点集相同，V’＝V，但图G’＝(V’，E’) 的边集仅是图G＝(V，E)的子集E’ E。
特点——边少、点不少。
1 最小树定义
如果T＝(V，E’)是 G 的一个支撑树，称 T 中所有边的权之和为支撑树T的权， 记为W（T），即：
A队三胜一负
B队一胜一负
C队两胜一负
D队三战三负
E队一胜一负
从图中可以看出各球队之间比赛情况：
A
B
C
D
E
那么，这种胜负关系该如何用图来描述呢？
10.1 图的基本概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，即图是由点及点之间的联线所组成。其中:
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v5
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-28
v5
四色猜想
图论中，有一个与“哥德巴赫猜想”和“费马大定 理” 齐名的问题，这就是著名的“四色猜想”。
四色猜想 在一个平面或球面上的任何地图 能够只用四种颜色来着色，使得任意两个相邻的 国家具有不同的颜色。每个国家必须是一个连通 区域，两个国家相邻是指两者有一段公共的边界 （而不仅仅只有一个公共点）。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-2
8.1 背景与发现
有一种图不屑特定的美学法则，也不 是按比例和图例绘制。这种图是由点和线 组成的图解或图构，可以用来描述研究对 象之间的本质关系，从而达到由表及里、 去伪存真的效果。
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-3
8.1.1 背景
在实际生活中，为了反映一些人事关系人们 常常用点和线画出各种各样的示意图。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-21
建模与求解
解 以每门课程为一个顶点，同时被 选修的课程之间用边相连，可得一图解。 按题意，相邻顶点对应的课程不能连续考
试，不相邻顶点对应课程允许相继考试，
因此，作图的补图。问题是在补图中寻找
一条哈密顿链，如C—E—A—F—D—B，
就是一个符合要求的考试日程表。
第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪
中叶，图论处于萌芽阶段。当时多数问 题围绕游戏而产生，最具有代表性的工 作是所谓的哥尼斯堡七桥问题，即Euler 一笔画问题。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-35
历程(续1)
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪
中叶。这段时期有关图论问题大量出现， 如Hamilton问题，地图染色的四色问题 以及可平面性问题等。这时也可听到关 于图论解决实际问题的议论，如 Cayley 把树应用于化学领域，Kirchhoff 用树去 研究电网络等。
8 -1-20
哈密顿问题的应用
例 一个班级的学生共计选修 A、B、 C、D、E、F 六门课程，其中一部分人同 时选修 D、C、A，一部分人同时选修B、 C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一 部分人同时选修A、B。期终考试要求每天 考一门课，六天内考完。为了减轻学生负 担，要求每人都不会连续参加考试，试设 计一个考试日程表。
8 -1-31
只用四种颜色来着色
J K
A D
F G H
B
E C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-32
相邻的国家具有不同的颜色
J K
A
D B
E
F
G
H
C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-34
历程
图论是一门古老的新兴科学，它经历 了一个漫长的形成和发展过程。它有两百 多年历史，大体可划分为三个阶段：
v2
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-8
v3
统治图(家谱)与树形图
有一种结构特殊的 图可以用不带箭头的联 线明确表示出对象之间
部长 子辈 愚公 总统
的非对称性关系。这种
图象棵树，因此称之为
局长 孙辈
树形图。例如统治图、
家谱都属于这种图。
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-9
《红楼梦》中贾府人物之间的血统关系 树
（宁国府）
贾演
（荣国府）
贾源
贾代化 贾放 贾敷 贾珍 贾琏 贾赦
贾代善 贾政
贾宝玉 贾环
贾珠
贾蓉
2013-4-7 图与网络分析
贾兰
8 -1-10
8.1.2 发现
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-11
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-12
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（曾一度改名加里宁格勒） 是欧洲的一个美丽的旅游城市，普莱格尔 (Pregel ) 河从城中穿过，河中有两个小岛。 十八世纪时，河两岸及小岛之间共有七座 桥。当时那里的居民热衷这样一个问题： 一个旅游者能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，然后回到原地。 后来，大数学家欧拉下了断言：此路 不通。换句话说，这个问题没有解。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-22
图解模型
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-23
补图
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-24
哈密顿链
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-25
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-27
每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，两个 国家相邻时相应两点用一条线联接。于是，若能用不超 过四种颜色来给这个图的点着色，使邻接的点具有不同 的颜色，四色猜想就证明了。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-29
地图及其导出的可平面图
J K
A D
F G H
B
E C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 图与网络分析
背景与发现 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-1
概
图论是运筹学的重要分支。
述
图论在物理学、化学、生命科学、信息科学、计算机 技术、电气和工程技术、经济学、心理学、社会学、人类 学和语言学的某些领域都有应用。事实上，图论为任何一 个包含二元关系的系统提供了一个数学模型。这个理论也 与数学本身的许多其他分支密切相关，这些分支包括群论、 矩阵论、数值分析、概率论、拓扑学和组合学等。 随着科技发展和计算机应用，二十世纪五十年代图论 得到进一步的发展。将庞大复杂的系统工程问题用图描述， 可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题。
2013-4-7 图与网络分析
v5
v1
v4
v2
v3
v1
v2
8 -1-7
v3
v4
v5
箭线图与竞赛图
上述两个例子中涉及 到的对象之间的“关系” 具有“对称性”或“可逆 性”，但有许多关系不具 有这种对称性。为了反映 这一类不可逆的关系，可 以用带箭头的联线表示。 v1
v5 v4
v2
v3 v5 v4
v1
e3 的端点是 v2 和 v3 ；
v1 e5
2013-4-7 图与网络分析
e1
v1
e5 v4 e7 v6
e2
e6
v2
e3 v3
e4
e8
v5
图 8.6
8 -1-43
端点与关联边
考察无向图G = ( V , E )。
端点与关联边 若 ei = [vi , vj ]E， 则称 vi , vj 是 ei 的端点，並称 ei 是 点 vi ( 及点 vj ) 的关联边 。 例如：
上述问题的解，称为哈密顿圈。含 密顿圈的图称为哈密顿图。另外，过 中每个顶点恰好一次的链称为哈密顿
与欧拉图的情况不同，目前还不知 哈密顿图的充要条件，寻找这种条件 图论中尚未解决的主要问题之一。
哈 图 链。
道 是
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-19
哈密顿圈与哈密顿链
2013-4-7
图与网络分析
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-13
七桥问题的沙盘模型
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-14
一笔画问题
在这个问题中，陆地的大小和方位以及桥梁 的长短曲直都是无关紧要的；而重要的是两块陆 地之间是否有桥梁连接以及有几座桥梁连接。 在研究七桥问题时，欧拉根据上述特点将每 块陆地用一个点来代替，将一座桥用连接相应两 个点的一条线表示，从而得到了一张图。至此， 七桥问题就变成通常所说的一笔画问题。 欧拉不仅解决了七桥问题，还给出了一个普 遍的评定法则：一个图要一笔画出来又回到原处 必须满足两个条件，一是所有点要连成一片、二 是每个点都与偶数条线相联。
欧拉在解决“七桥问题”时，建立了图论中 最初的几个定理，从而使他成为了图论和拓扑学 的创始人。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-17
周游世界
英国学者威廉 • 哈密顿在1859 年发明了一种游戏。 这种游戏是将一个规则的十二面体的二十个顶点标以世 界名城的名称，要求游戏者找一条沿着棱线通过每个顶 点正好一次的闭回路。
管线图 在许多管线工程技术问题中，专业人 员常用几何线形表示管线，并用节点表示管线 的交接，从而形成有关的管线图。例如交通网、 通讯网、管道网、输电网和电路等。
关系图 用由点及点间的联线构成的图去反映 日常活动中某些人、事或物等对象之间的某种 特定的关系。如人际关系、事物的关联等。
图与网络分析 8 -1-4
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-40
无向图与有向图
无向图 G (graph )是由有 p (G ) 个点的非空有限集 V 和预先给 定由 q (G ) 个 V 中不同点的无 序对即边构成的一个集 E 组成， 记为 G = ( V , E )。 有向图(digraph )是由一个非空 有限的点集 V 和预先给定的不 同点的有序对的一个集即弧集 A 组成，记为记为 D = ( V , A )。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-37
一位可敬的老人
一位学者引用下面一段话来描述图论的奇特 发展历程。