运筹学课件 图与网络分析
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e3 的端点是 v2 和 v3 ；
v1 e5
管线图 在许多管线工程技术问题中，专业人 员常用几何线形表示管线，并用节点表示管线 的交接，从而形成有关的管线图。例如交通网、 通讯网、管道网、输电网和电路等。
关系图 用由点及点间的联线构成的图去反映 日常活动中某些人、事或物等对象之间的某种 特定的关系。如人际关系、事物的关联等。
图与网络分析 8 -1-4
欧拉在解决“七桥问题”时，建立了图论中 最初的几个定理，从而使他成为了图论和拓扑学 的创始人。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-17
周游世界
英国学者威廉 • 哈密顿在1859 年发明了一种游戏。 这种游戏是将一个规则的十二面体的二十个顶点标以世 界名城的名称，要求游戏者找一条沿着棱线通过每个顶 点正好一次的闭回路。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-41
图的说明
（1）V 非空，即没有顶点的图不讨论；
（2）E 无非空条件，即允许图没有边；
（3）任一条边必须与一对顶点关联，反
之不然。
（3）条件（2）是指点只在边的端点处相交；
图与网络分析
2013-4-7
8 -1-42
一个无向图的组成要素
图 8.6是一个无向图，记为 G=(V,E) V = { v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } E ={ e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 } e1= [ v1 , v2 ] , e2= [ v1 , v2 ] , e3= [ v3 , v2 ] , e4= [ v3 , v4 ] , e5= [ v1 , v4 ] , e6= [ v1 , v3 ] , e7= [ v4 , v4 ] , e8= [ v3 , v5 ] , p = p (G ) = 6 , q = q (G ) = 8 .
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-40
无向图与有向图
无向图 G (graph )是由有 p (G ) 个点的非空有限集 V 和预先给 定由 q (G ) 个 V 中不同点的无 序对即边构成的一个集 E 组成， 记为 G = ( V , E )。 有向图(digraph )是由一个非空 有限的点集 V 和预先给定的不 同点的有序对的一个集即弧集 A 组成，记为记为 D = ( V , A )。
8.2 图的基本概念
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-39
图及其要素
一个图是由一些点及这些点之间的联线所组成的。
点 ( point , node ) 图中的节点称为（顶）点；点可记为
vi ，图中所有点的集合记为 V。
边 ( edge ) 图中两点之间不带箭头的联线称为边；图中
的边可记为 ei ,所有边的集合记为E，一条联结点vi , vj 的 边可表示为ei = [ vi , vj ] ( 或 [ vi , vj ] )。 弧(arc) 图中两点之间带箭头的联线称为弧, 记为 ai ,所有 弧的集合记为A,一条方向从点vi 指向 vj 的弧记为( vi , vj )。
上述问题的解，称为哈密顿圈。含 密顿圈的图称为哈密顿图。另外，过 中每个顶点恰好一次的链称为哈密顿
与欧拉图的情况不同，目前还不知 哈密顿图的充要条件，寻找这种条件 图论中尚未解决的主要问题之一。
Hale Waihona Puke Baidu
哈 图 链。
道 是
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-19
哈密顿圈与哈密顿链
2013-4-7
图与网络分析
2013-4-7 图与网络分析
v5
v1
v4
v2
v3
v1
v2
8 -1-7
v3
v4
v5
箭线图与竞赛图
上述两个例子中涉及 到的对象之间的“关系” 具有“对称性”或“可逆 性”，但有许多关系不具 有这种对称性。为了反映 这一类不可逆的关系，可 以用带箭头的联线表示。 v1
v5 v4
v2
v3 v5 v4
v1
每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，两个 国家相邻时相应两点用一条线联接。于是，若能用不超 过四种颜色来给这个图的点着色，使邻接的点具有不同 的颜色，四色猜想就证明了。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-29
地图及其导出的可平面图
J K
A D
F G H
B
E C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-20
哈密顿问题的应用
例 一个班级的学生共计选修 A、B、 C、D、E、F 六门课程，其中一部分人同 时选修 D、C、A，一部分人同时选修B、 C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一 部分人同时选修A、B。期终考试要求每天 考一门课，六天内考完。为了减轻学生负 担，要求每人都不会连续参加考试，试设 计一个考试日程表。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-13
七桥问题的沙盘模型
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-14
一笔画问题
在这个问题中，陆地的大小和方位以及桥梁 的长短曲直都是无关紧要的；而重要的是两块陆 地之间是否有桥梁连接以及有几座桥梁连接。 在研究七桥问题时，欧拉根据上述特点将每 块陆地用一个点来代替，将一座桥用连接相应两 个点的一条线表示，从而得到了一张图。至此， 七桥问题就变成通常所说的一笔画问题。 欧拉不仅解决了七桥问题，还给出了一个普 遍的评定法则：一个图要一笔画出来又回到原处 必须满足两个条件，一是所有点要连成一片、二 是每个点都与偶数条线相联。
v2
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-8
v3
统治图(家谱)与树形图
有一种结构特殊的 图可以用不带箭头的联 线明确表示出对象之间
部长 子辈 愚公 总统
的非对称性关系。这种
图象棵树，因此称之为
局长 孙辈
树形图。例如统治图、
家谱都属于这种图。
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-9
《红楼梦》中贾府人物之间的血统关系 树
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-21
建模与求解
解 以每门课程为一个顶点，同时被 选修的课程之间用边相连，可得一图解。 按题意，相邻顶点对应的课程不能连续考
试，不相邻顶点对应课程允许相继考试，
因此，作图的补图。问题是在补图中寻找
一条哈密顿链，如C—E—A—F—D—B，
就是一个符合要求的考试日程表。
v5
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-28
v5
四色猜想
图论中，有一个与“哥德巴赫猜想”和“费马大定 理” 齐名的问题，这就是著名的“四色猜想”。
四色猜想 在一个平面或球面上的任何地图 能够只用四种颜色来着色，使得任意两个相邻的 国家具有不同的颜色。每个国家必须是一个连通 区域，两个国家相邻是指两者有一段公共的边界 （而不仅仅只有一个公共点）。
8 图与网络分析
背景与发现 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-1
概
图论是运筹学的重要分支。
述
图论在物理学、化学、生命科学、信息科学、计算机 技术、电气和工程技术、经济学、心理学、社会学、人类 学和语言学的某些领域都有应用。事实上，图论为任何一 个包含二元关系的系统提供了一个数学模型。这个理论也 与数学本身的许多其他分支密切相关，这些分支包括群论、 矩阵论、数值分析、概率论、拓扑学和组合学等。 随着科技发展和计算机应用，二十世纪五十年代图论 得到进一步的发展。将庞大复杂的系统工程问题用图描述， 可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-22
图解模型
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-23
补图
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-24
哈密顿链
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-25
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-27
第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪
中叶，图论处于萌芽阶段。当时多数问 题围绕游戏而产生，最具有代表性的工 作是所谓的哥尼斯堡七桥问题，即Euler 一笔画问题。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-35
历程(续1)
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪
中叶。这段时期有关图论问题大量出现， 如Hamilton问题，地图染色的四色问题 以及可平面性问题等。这时也可听到关 于图论解决实际问题的议论，如 Cayley 把树应用于化学领域，Kirchhoff 用树去 研究电网络等。
8 -1-31
只用四种颜色来着色
J K
A D
F G H
B
E C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-32
相邻的国家具有不同的颜色
J K
A
D B
E
F
G
H
C
I
M
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-34
历程
图论是一门古老的新兴科学，它经历 了一个漫长的形成和发展过程。它有两百 多年历史，大体可划分为三个阶段：
2013-4-7
例8.1 铁路干线图
北京
济南
西安
上海
郑州
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-5
徐州
对阵图
v5 v1
v4
v2
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-6
v3
图的同构
图是反映对象之间关系的 一种工具，在一般情况下， 图中点的相对位置如何， 联线的长短曲直都是无关 紧要的。 一个图有许多不同的画法， 但它们描述的对象及其关 系是相同的。 设有两个图，若它们的点 及其邻接有一一对应的等 价关系，则称这两个图是 同构的。
（宁国府）
贾演
（荣国府）
贾源
贾代化 贾放 贾敷 贾珍 贾琏 贾赦
贾代善 贾政
贾宝玉 贾环
贾珠
贾蓉
2013-4-7 图与网络分析
贾兰
8 -1-10
8.1.2 发现
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-11
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-12
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（曾一度改名加里宁格勒） 是欧洲的一个美丽的旅游城市，普莱格尔 (Pregel ) 河从城中穿过，河中有两个小岛。 十八世纪时，河两岸及小岛之间共有七座 桥。当时那里的居民热衷这样一个问题： 一个旅游者能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，然后回到原地。 后来，大数学家欧拉下了断言：此路 不通。换句话说，这个问题没有解。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-37
一位可敬的老人
一位学者引用下面一段话来描述图论的奇特 发展历程。
当我是个十四岁的孩子时，我的父亲 是如此愚昧无知，使我简直不能和他呆在 一起。但待我长地二十一岁时，却十分惊 讶地发现，这位老人在七年内竟然学到了 那么多的东西。 — 马克 • 吐温—
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-38
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-36
历程(续2)
第三阶段是二十世纪中叶以后。由生产
管理、军事、交通、运输、计算机网络 和系统工程等方面提出实际问题，特别 是以Ford 和 Fulkerson 建立的网络流理 论与线性规划、动态规划等优化理论和 方法相互渗透，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，促进了图论对 实际问题的应用。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-2
8.1 背景与发现
有一种图不屑特定的美学法则，也不 是按比例和图例绘制。这种图是由点和线 组成的图解或图构，可以用来描述研究对 象之间的本质关系，从而达到由表及里、 去伪存真的效果。
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-3
8.1.1 背景
在实际生活中，为了反映一些人事关系人们 常常用点和线画出各种各样的示意图。
2013-4-7 图与网络分析
e1
v1
e5 v4 e7 v6
e2
e6
v2
e3 v3
e4
e8
v5
图 8.6
8 -1-43
端点与关联边
考察无向图G = ( V , E )。
端点与关联边 若 ei = [vi , vj ]E， 则称 vi , vj 是 ei 的端点，並称 ei 是 点 vi ( 及点 vj ) 的关联边 。 例如：
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-15
A
千 言 万 语 不 及 一 张 图
C B
A
Ｄ
C B
Ｄ
起点 先出后进 中间点 先进后出
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-16
欧拉图
欧拉1739年成功解决这个一度令人神魂颠倒 的难题的绝招就是用了这种点线图，这正是“千 言万语不及一张图”。后来，人们把能够一笔画 出来的图称为“欧拉图”。 “欧拉图”在实际中有不少应用，比如邮递 员送信的问题。
v1 e5
管线图 在许多管线工程技术问题中，专业人 员常用几何线形表示管线，并用节点表示管线 的交接，从而形成有关的管线图。例如交通网、 通讯网、管道网、输电网和电路等。
关系图 用由点及点间的联线构成的图去反映 日常活动中某些人、事或物等对象之间的某种 特定的关系。如人际关系、事物的关联等。
图与网络分析 8 -1-4
欧拉在解决“七桥问题”时，建立了图论中 最初的几个定理，从而使他成为了图论和拓扑学 的创始人。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-17
周游世界
英国学者威廉 • 哈密顿在1859 年发明了一种游戏。 这种游戏是将一个规则的十二面体的二十个顶点标以世 界名城的名称，要求游戏者找一条沿着棱线通过每个顶 点正好一次的闭回路。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-41
图的说明
（1）V 非空，即没有顶点的图不讨论；
（2）E 无非空条件，即允许图没有边；
（3）任一条边必须与一对顶点关联，反
之不然。
（3）条件（2）是指点只在边的端点处相交；
图与网络分析
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8 -1-42
一个无向图的组成要素
图 8.6是一个无向图，记为 G=(V,E) V = { v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } E ={ e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 } e1= [ v1 , v2 ] , e2= [ v1 , v2 ] , e3= [ v3 , v2 ] , e4= [ v3 , v4 ] , e5= [ v1 , v4 ] , e6= [ v1 , v3 ] , e7= [ v4 , v4 ] , e8= [ v3 , v5 ] , p = p (G ) = 6 , q = q (G ) = 8 .
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-40
无向图与有向图
无向图 G (graph )是由有 p (G ) 个点的非空有限集 V 和预先给 定由 q (G ) 个 V 中不同点的无 序对即边构成的一个集 E 组成， 记为 G = ( V , E )。 有向图(digraph )是由一个非空 有限的点集 V 和预先给定的不 同点的有序对的一个集即弧集 A 组成，记为记为 D = ( V , A )。
8.2 图的基本概念
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-39
图及其要素
一个图是由一些点及这些点之间的联线所组成的。
点 ( point , node ) 图中的节点称为（顶）点；点可记为
vi ，图中所有点的集合记为 V。
边 ( edge ) 图中两点之间不带箭头的联线称为边；图中
的边可记为 ei ,所有边的集合记为E，一条联结点vi , vj 的 边可表示为ei = [ vi , vj ] ( 或 [ vi , vj ] )。 弧(arc) 图中两点之间带箭头的联线称为弧, 记为 ai ,所有 弧的集合记为A,一条方向从点vi 指向 vj 的弧记为( vi , vj )。
上述问题的解，称为哈密顿圈。含 密顿圈的图称为哈密顿图。另外，过 中每个顶点恰好一次的链称为哈密顿
与欧拉图的情况不同，目前还不知 哈密顿图的充要条件，寻找这种条件 图论中尚未解决的主要问题之一。
Hale Waihona Puke Baidu
哈 图 链。
道 是
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-19
哈密顿圈与哈密顿链
2013-4-7
图与网络分析
2013-4-7 图与网络分析
v5
v1
v4
v2
v3
v1
v2
8 -1-7
v3
v4
v5
箭线图与竞赛图
上述两个例子中涉及 到的对象之间的“关系” 具有“对称性”或“可逆 性”，但有许多关系不具 有这种对称性。为了反映 这一类不可逆的关系，可 以用带箭头的联线表示。 v1
v5 v4
v2
v3 v5 v4
v1
每个地图可以导出一个图，其中国家都是点，两个 国家相邻时相应两点用一条线联接。于是，若能用不超 过四种颜色来给这个图的点着色，使邻接的点具有不同 的颜色，四色猜想就证明了。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-29
地图及其导出的可平面图
J K
A D
F G H
B
E C
I
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图与网络分析
8 -1-20
哈密顿问题的应用
例 一个班级的学生共计选修 A、B、 C、D、E、F 六门课程，其中一部分人同 时选修 D、C、A，一部分人同时选修B、 C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一 部分人同时选修A、B。期终考试要求每天 考一门课，六天内考完。为了减轻学生负 担，要求每人都不会连续参加考试，试设 计一个考试日程表。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-13
七桥问题的沙盘模型
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-14
一笔画问题
在这个问题中，陆地的大小和方位以及桥梁 的长短曲直都是无关紧要的；而重要的是两块陆 地之间是否有桥梁连接以及有几座桥梁连接。 在研究七桥问题时，欧拉根据上述特点将每 块陆地用一个点来代替，将一座桥用连接相应两 个点的一条线表示，从而得到了一张图。至此， 七桥问题就变成通常所说的一笔画问题。 欧拉不仅解决了七桥问题，还给出了一个普 遍的评定法则：一个图要一笔画出来又回到原处 必须满足两个条件，一是所有点要连成一片、二 是每个点都与偶数条线相联。
v2
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-8
v3
统治图(家谱)与树形图
有一种结构特殊的 图可以用不带箭头的联 线明确表示出对象之间
部长 子辈 愚公 总统
的非对称性关系。这种
图象棵树，因此称之为
局长 孙辈
树形图。例如统治图、
家谱都属于这种图。
2013-4-7
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8 -1-9
《红楼梦》中贾府人物之间的血统关系 树
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-21
建模与求解
解 以每门课程为一个顶点，同时被 选修的课程之间用边相连，可得一图解。 按题意，相邻顶点对应的课程不能连续考
试，不相邻顶点对应课程允许相继考试，
因此，作图的补图。问题是在补图中寻找
一条哈密顿链，如C—E—A—F—D—B，
就是一个符合要求的考试日程表。
v5
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
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四色猜想
图论中，有一个与“哥德巴赫猜想”和“费马大定 理” 齐名的问题，这就是著名的“四色猜想”。
四色猜想 在一个平面或球面上的任何地图 能够只用四种颜色来着色，使得任意两个相邻的 国家具有不同的颜色。每个国家必须是一个连通 区域，两个国家相邻是指两者有一段公共的边界 （而不仅仅只有一个公共点）。
8 图与网络分析
背景与发现 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流问题 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-1
概
图论是运筹学的重要分支。
述
图论在物理学、化学、生命科学、信息科学、计算机 技术、电气和工程技术、经济学、心理学、社会学、人类 学和语言学的某些领域都有应用。事实上，图论为任何一 个包含二元关系的系统提供了一个数学模型。这个理论也 与数学本身的许多其他分支密切相关，这些分支包括群论、 矩阵论、数值分析、概率论、拓扑学和组合学等。 随着科技发展和计算机应用，二十世纪五十年代图论 得到进一步的发展。将庞大复杂的系统工程问题用图描述， 可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-22
图解模型
A B
F
C
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D
8 -1-23
补图
A B
F
C
E
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D
8 -1-24
哈密顿链
A B
F
C
E
2013-4-7 图与网络分析
D
8 -1-25
染色问题
v1 v8 v7 v2 v3 v4
v3
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-27
第一阶段是从十八世纪中叶到十九世纪
中叶，图论处于萌芽阶段。当时多数问 题围绕游戏而产生，最具有代表性的工 作是所谓的哥尼斯堡七桥问题，即Euler 一笔画问题。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-35
历程(续1)
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪
中叶。这段时期有关图论问题大量出现， 如Hamilton问题，地图染色的四色问题 以及可平面性问题等。这时也可听到关 于图论解决实际问题的议论，如 Cayley 把树应用于化学领域，Kirchhoff 用树去 研究电网络等。
8 -1-31
只用四种颜色来着色
J K
A D
F G H
B
E C
I
M
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图与网络分析
8 -1-32
相邻的国家具有不同的颜色
J K
A
D B
E
F
G
H
C
I
M
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图与网络分析
8 -1-34
历程
图论是一门古老的新兴科学，它经历 了一个漫长的形成和发展过程。它有两百 多年历史，大体可划分为三个阶段：
2013-4-7
例8.1 铁路干线图
北京
济南
西安
上海
郑州
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-5
徐州
对阵图
v5 v1
v4
v2
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-6
v3
图的同构
图是反映对象之间关系的 一种工具，在一般情况下， 图中点的相对位置如何， 联线的长短曲直都是无关 紧要的。 一个图有许多不同的画法， 但它们描述的对象及其关 系是相同的。 设有两个图，若它们的点 及其邻接有一一对应的等 价关系，则称这两个图是 同构的。
（宁国府）
贾演
（荣国府）
贾源
贾代化 贾放 贾敷 贾珍 贾琏 贾赦
贾代善 贾政
贾宝玉 贾环
贾珠
贾蓉
2013-4-7 图与网络分析
贾兰
8 -1-10
8.1.2 发现
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-11
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-12
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（曾一度改名加里宁格勒） 是欧洲的一个美丽的旅游城市，普莱格尔 (Pregel ) 河从城中穿过，河中有两个小岛。 十八世纪时，河两岸及小岛之间共有七座 桥。当时那里的居民热衷这样一个问题： 一个旅游者能否从某块陆地出发，经过每 座桥一次且仅一次，然后回到原地。 后来，大数学家欧拉下了断言：此路 不通。换句话说，这个问题没有解。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-37
一位可敬的老人
一位学者引用下面一段话来描述图论的奇特 发展历程。
当我是个十四岁的孩子时，我的父亲 是如此愚昧无知，使我简直不能和他呆在 一起。但待我长地二十一岁时，却十分惊 讶地发现，这位老人在七年内竟然学到了 那么多的东西。 — 马克 • 吐温—
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-38
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-36
历程(续2)
第三阶段是二十世纪中叶以后。由生产
管理、军事、交通、运输、计算机网络 和系统工程等方面提出实际问题，特别 是以Ford 和 Fulkerson 建立的网络流理 论与线性规划、动态规划等优化理论和 方法相互渗透，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，促进了图论对 实际问题的应用。
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-2
8.1 背景与发现
有一种图不屑特定的美学法则，也不 是按比例和图例绘制。这种图是由点和线 组成的图解或图构，可以用来描述研究对 象之间的本质关系，从而达到由表及里、 去伪存真的效果。
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-3
8.1.1 背景
在实际生活中，为了反映一些人事关系人们 常常用点和线画出各种各样的示意图。
2013-4-7 图与网络分析
e1
v1
e5 v4 e7 v6
e2
e6
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e3 v3
e4
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图 8.6
8 -1-43
端点与关联边
考察无向图G = ( V , E )。
端点与关联边 若 ei = [vi , vj ]E， 则称 vi , vj 是 ei 的端点，並称 ei 是 点 vi ( 及点 vj ) 的关联边 。 例如：
2013-4-7 图与网络分析 8 -1-15
A
千 言 万 语 不 及 一 张 图
C B
A
Ｄ
C B
Ｄ
起点 先出后进 中间点 先进后出
2013-4-7
图与网络分析
8 -1-16
欧拉图
欧拉1739年成功解决这个一度令人神魂颠倒 的难题的绝招就是用了这种点线图，这正是“千 言万语不及一张图”。后来，人们把能够一笔画 出来的图称为“欧拉图”。 “欧拉图”在实际中有不少应用，比如邮递 员送信的问题。