实变函数与泛函分析要点说明

实变函数与泛函分析概要

第一章集合基本要求：

1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。

2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。

3、会求已知集合的并、交、差、余集。

4、了解对等的概念及性质。

5、掌握可数集合的概念和性质。

6、会判断己知集合是否是可数集。

7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。

8、了解半序集和Zorn引理。

第二章点集基本要求：

1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。

2、掌握点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。

3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。

4、会求己知集合的开集和导集。

5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。

6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。

7、了解Peano曲线概念。

主要知识点：一、基本结论：

1、聚点性质§2 中T1聚点原则：

P0是E的聚点⇔ P0的任一邻域，至少含有一个属于E而异于P0的点⇔存在E中互异的点列{Pn}，使Pn →P0 （n→∞）

2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3

T2：设A⊂B，则A⊂B，·

Ａ⊂

·

Ｂ，

－

Ａ⊂

－

Ｂ。

T3：（A∪B）′=A′∪ B′.

3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、

4、5）

T1：对任何E⊂Rⁿ，Ė是开集，E´和―

Ｅ都是闭集。（Ė称为开核，

―

Ｅ称为闭包的理由

也在于此）

T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。

T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。

T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，ℳ是一开集族{Ui}iєI它

覆盖了F（即Fс

∪

ｉєＩUi），则ℳ中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样

覆盖了F（即F⊂ｍ∪ Ui）（iєI）

4、开（闭）集类、完备集类。

开集类：Rⁿ，Φ，开区间，邻域、Ė、Pо

闭集类：Rⁿ，Φ，闭区间，有限集，E΄、E、P 完备集类：Rⁿ，Φ，闭区间、P

二、基本方法：1、判断五种点的定义；2、利用性质定理，判断导集、邻域等；3、

判断开集、闭集；4、关于开闭集的证明。

第三章 测度论 基本要求：

1、 理解外测度的概念及其有关性质。

2、 掌握要测集的概念及其有关性质。

3、 掌握零测度集的概念及性质。

4、 熟悉开集、闭集、区间、波雷乐集等可测集，掌握一批可测集的例子。

5、 会利用本章知识计算一些集合的测度。

6、 掌握“判断集合可测性”的方法，会进行有关可测集的证明。

要点归纳：

外测度：①定义：E ⊂R ⁿ Ii （开区间）∞

∪ Ii כE m*（E ）=inf ∑ｉ│Ii │ ②性质：(1) 0≤m*E ≤+∞（非负）

（2）若A сB 则m*A ≤ m*B （单调性）

（3）m* （∞∪Ai ）≤∞

∑m*Ai （次可列可加性）

③可测集：E ⊂R ⁿ 对任意的T єR ⁿ有：m*（T ）= m*（T ∩E ）+ m*（T ∩CE ） 称E 为可测集，记为mE 其性质：

1）T1：E 可测⇔ ∀ A ⊂E B ⊂CE 使m*（A ∪B ）= m*A+ m*B 2）T2：E 可测⇔CE 可测

④运算性质：设S 1、S 2可测⇒S 1∪S 2可测（T3）； 设S 1、S 2可测⇒S 1∩S 2可测 （T4）； 设S 1、S 2可测⇒S 1-S 2可测 （T5）。

⑤ S 1、S 2…Sn 可测⇒ ∪Si 可测 （推论3） ∩Si 可测（T7）

⑥ S 1、S 2…Sn … 可测，S i ∩S j =φ ⇒∪S i 可测 m(∪S i )= ∑m(S i )(T6) ⑦ S i 递增,S 1⊂S2⊂S3⊂…⇒lim(∪S i )=lim mS i =Ms(T8) ⑧ S i 递降可测, S 1כS2כS3כ…当mS1<+∞ ⇒ limm(∩S i )=lim mSn (T9)

⑨可测集类:1)零测度集:可数集、可列点集、Q 、[0，1] ∩Q 、Ф、P 零测度集的子集是~，有限个、可数个零测度集之并是~。 2）区间是可测集 mI=│I │ 3）开集、闭集；

4）Borel 集 定义，设G 可表为一列开集的交集，且称G 为G δ型集 如[-1，1]；设F 可表为一列闭集之并，则称为F σ型集，如[0，1] Borel 集 定义：从开集出发，用取余集、取有限个或可列个集合的并集或交集（不超过可数次）的集合。

T6：设E 是任一可测集，存在G δ 集，使E ⊂G ，且m （G-E ）=0 T7：设E 是任一可测集，存在G σ 集，使F ⊂E ，且m （F-E ）=0 可测集是存在的。

第四章 可测函数 基本要求：

1、 掌握可测函数的概念和主要性质。

2、 掌握点集上的连续函数、简单函数、几乎处处成立（几乎处处相等、几乎处处有限、

几乎处处收敛…）的概念。

3、掌握一批可测函数的例子。

4、掌握判断函数可测性的方法，会进行关于可测函数的证明。

5、理解叶果洛夫定理和鲁金定理。

6、了解依测度收敛的概念及其性质。

7、理解三种收敛之间的关系。

(一)基本概念

1可测函数：ƒ是定义在可测集E⊂Rⁿ上的实函数，任意的α∈R E[ƒ>α]是可测集，称ƒ（x）是E上的可测函数

ƒ可测⇔任意的α∈R E[ƒ≧α]是可测集

⇔任意的α∈R E[ƒ<α]是可测集

⇔任意的α∈R E[ƒ≦α]是可测集

⇔任意的α，β∈R E[α≤ƒ<β]是可测集（│ƒ│<+∞）

几乎处处成立

2连续函数、简单函数

3依测度收敛、收敛、一致收敛

（二）基本结论：可测函数的性质（8个定理）

（1）充要条件（T

1

）4 个等价条件

（2）集合分解T

3（2），ƒ在Ei之并

S

∪E i上，且在Ei上可测=> ƒ在

S

∪E i上可测

（3）（四则运算）ƒ，g在E上可测ƒ+g，ƒg，│ƒ│，1/ ƒ在E上可测。

（4）极限运算 { ƒ

n }是可测函数列，则μ=inf ƒ

n λ（x）=sup

ƒ

n可测（T5）

⇒F=lim ƒn G=──limƒn 可测

（5）与简单函数的关系：ƒ在E上可测⇒ƒ总可以表成一列简单函数{φ

n

}的极

限函数ƒ=lim

n φn，而且可以办到│φ1│≤│φ2│≤│φ3│≤…

2.ЕгopOв定理：mE<+∞ƒ

n 是E上a.e于一个a.e有限的函数

ƒ的可测函数⇒对任意的δ>0 存在子集Eδ⊂E 使得ƒn在Eδ上一致收敛

且m（E-E

δ

）<δ

3Лузин定理：ƒ是E上a.e有限可测函数,任意δ>0 ∃闭子集Eδ⊂E 使得ƒ在Eδ上连续且m（E-Eδ）<δ即在E上a.e有限的可测函数是：“基本上连续”的函数。

4可测函数类：连续函数（T2）、简单函数、R上单调函数、零测度集上函数。

5三种收敛之间的关系：（E⊂Rⁿ mE＜+∞）