新必修二 8.5空间直线、平面的平行(教案+练习)

8.5空间直线、平面的平行

【学习目标】

1.掌握直线与平面平行的判定定理；

2.掌握两平面平行的判定定理；

3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．

【要点梳理】

要点一、直线与直线平行

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：//a b ，////b c a c ⇒.

基本事实4说明平行具有传递性，在平面、空间都适用.

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

要点二、直线和平面平行的判定

判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.

要点诠释：

（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a 在平面α外，即a α⊄；

②直线b 在平面α内，即b α⊂；

③直线a ，b 平行，即a ∥b ．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

（2）定理的作用

将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．

要点三、直线和平面平行的性质定理

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.简记为：线面平行则线线平行.

符号语言：若//a α，a β⊂，b α

β=，则//a b .

图形语言：

要点诠释：

直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a ∥α，

αβ⊂，，则a ∥b ．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a 与b 平行

时，必须具备三个条件：

（1）直线a 和平面α平行，即a ∥α；

（2）平面α和β相交，即b αβ=；

（3）直线a 在平面β内，即a β⊂．

三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误．

要点四、两平面平行的判定

判定定理：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

符号语言：若a α⊂、b α⊂，，且//a β、//b β，则//αβ.

要点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．

要点五、平面和平面平行的性质定理

定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

符号语言：若//αβ，a αγ=，b βγ=，则//a b .

图形语言：

要点诠释：

（1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）．

要点六、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：

空间之中两直线，平行相交和异面．

线线平行同方向，等角定理进空间．

判断线和面平行，面中找条平行线；

已知线和面平行，过线作面找交线．

要证面和面平行，面中找出两交线．

线面平行若成立，面面平行不用看．

已知面与面平行，线面平行是必然．

若与三面都相交，则得两条平行线．

【典型例题】

类型一、直线与直线平行

例1．如右图所示，在空间四边形ABCD （不共面的四边形称为空间四边形）中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点．

（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；

（2）如果AC=BD ，求证：四边形EFGH 是菱形．

例2．如右图所示，△ABC 和△'''A B C 的对应顶点的连线AA ＇，BB ＇，CC ＇交于同

一点D ，且2'''3

AO BO CO OA OB OC ===．（1）求证：//''AB A B ，//''AC A C ，//''BC B C ； （2）求

'''ABC A B C S S ∆∆的值．

【总结升华】“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补”推广到空间中就不成立．因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论．

在运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的途径有二：一是判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；二是判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补．

举一反三：

【变式1】 已知E 、E 1分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AD 、A 1D 1的中点．

求证：∠BEC=∠B 1E 1C 1．

类型二、直线与平面平行的判定

例3．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．

【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．

例4．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．

【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．

举一反三：

【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．

【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.

【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．