张量

第二章 张量代数 §2-1 张量定义 零阶张量： 零阶张量： 称函数φ(x 为零阶张量, 称函数 1,x2,x3)为零阶张量, 为零阶张量 假如此函数在坐标变换
x i′ = β i′j x j
下满足
′ ′ ′ ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = ϕ ( x1 , x 2 , x 3 )
不是张量。 ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + x 2 + x 3不是张量。 是张量， 例如ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x i x i 是张量，
[C i1i2 Lin j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in − C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ β j1′ j1 L β jm′ jm ]B j1 j2 L jm = 0
[C i1i2 Lin j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in − C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ β j1′ j1 L β jm′ jm ]B j1 j2 L jm = 0
集合 Ti1′ i2′ Lin 随坐标变换 x i ′ = β i ′j x j 的规律为 ′
Ti1′i2′ Lin = β i1′i1 β i2′ i2 L β inin Ti1i2Lin ′ ′
称其为n阶张量。 称其为 阶张量。 阶张量
§2-2 张量的记法及其意义 1.记法 记法 抽象记法： 抽象记法：
2 2 2 2 0
0 0 1
ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + x 2 + x 3
′ ′ ′ ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = ϕ ( x1 , x 2 , x 3 )
ϕ ( x1′ , x 2′ , x 3′ ) = x1′ + x 2′ + x 3′
Ai1i2Lin = C i1i2Lin j1 j2L jm B j1 j2L jm
例.
x i = δ ij x j
σ ij = E ijkl ε kl
讨论： 是否为张量？ 讨论：eijk是否为张量？
β i ′1 β i ′ 2 β i ′ 3 β 1′1 β 1′2 β 1′3 β j′1 β j′ 2 β j′ 3 = e i′j′k′ β 2′1 β 2′2 β 2′3 = e i′j′k′ ∆ β k ′1 β k ′ 2 β k ′ 3 β 3′1 β 3′2 β 3′3
vv v ˆ =T ee e T ijk i j k
vvv vvv vvv = T111e1e1e1 + T112e1e1e2 + T113e1e1e3 vvv vvv vvv + T121e1e2 e1 + T122e1e2 e2 + T123e1e2 e3 vvv vvv vvv + T131e1e3 e1 + T132e1e3 e2 + T133e1e3 e3 vvv vvv vvv + T211e2 e1e1 + T212 e2 e1e2 + T213e2 e1e3 vvv vvv vvv + T221e2 e2 e1 + T222e2 e2 e2 + T223e2 e2 e3 vvv vvv vvv + T231e1e3 e1 + T232 e2 e3 e2 + T233 e2 e3 e3 vvv vvv vvv + T311e3 e1e1 + T312 e3 e1e2 + T313e3 e1e3 vvv vvv vvv + T321e3 e2 e1 + T322e3 e2 e2 + T323e3 e2 e3 vvv vvv vvv + T331e3 e3 e1 + T332e3 e3 e2 + T333e3 e3 e3
′ ′ ′ ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = ϕ ( x1 , x 2 , x 3 )
不是张量。 ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x1 + x 2 + x 3不是张量。
坐标变换
是张量， 例如ϕ ( x1 , x 2 , x 3 ) = x i x i 是张量，
2 2 − 2 β i ′j = 2 0
C i1i2 Lin j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ β j1′ j1 L β jm′ jm C i1i2 Lin j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in β j1′ j1 L β jm′ jm = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′
Ai1i2 Lin = C i1i2 Lin j1 j2 L jm B j1 j2 L jm
(1)
Ai1′ i2′ Lin′ = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ B j1′ j2′ L jm′ (2)
由(1)
Ai1i2 Lin β i1′ i1 L β in′ in = C i1i2 Lin j1 j2 L jm B j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in
v vv ˆ =H ˆ 的一次收缩。 D e p er el 是H的一次收缩。 pqrql
相当于
v vvv v H pqrkl e p eq er ek el
这两个基 的点积
vv ˆ =T e e T ij i j
① 点积
v vv ˆБайду номын сангаасA e ee A pqr p q r
vv v vv ˆ ˆ•A= T ee • A e e e T ij i j pqr p q r vv v = Tij A jqr ei eq er vv v vv ˆ ˆ ⋅⋅A = T e e ⋅⋅ A e e e T ij i j pqr p q r
bi′ = β i′j b j
称其为一阶张量。 称其为一阶张量。 二阶张量： 二阶张量： 九个变量T 是空间坐标{x 的函数 的函数， 九个变量 ij是空间坐标 i}的函数，它随坐标变换的 规律为
Ti′j′ = β i′m β j′′nTmn
称其为二阶张量。 称其为二阶张量。
n阶张量： 阶张量： 阶张量
2 2 x1′ = x1 + x2 2 2 2 2 x 2′ = − x1 + x2 2 2 x 3′ = x 3
x1′ + x 2′ + x 3′ = 2 x 2 + x 3
≠ x1 + x 2 + x 3
一阶张量（矢量）： 一阶张量（矢量）： 一组变量b 通常为三个 是空间坐标{x 的函数 通常为三个)是空间坐标 的函数， 一组变量 i(通常为三个 是空间坐标 i}的函数，它 随坐标变换的规律为
A pqrl = Arqpl
p、r指标对称 、 指标对称 p、r指标反对称 、 指标反对称
A pqrl = − Arqpl
张量方程: 张量方程
在一个张量方程中，两边做同样的运算操作， 在一个张量方程中，两边做同样的运算操作， 方程等式仍成立。 方程等式仍成立。
如Tij ,k + Bijk = C i , jk 成立
vv ˆ =T ee T ij i j
vv ˆ =Aee A ij i j vv ˆ ˆ + A = A +T e e T ij ij i j
(
)
2. 张量并积
vv ˆ =T e e T ij i j
v vv ˆ=A e ee A pqr p q r
v v vvv ˆT =T A e e e e e ˆ A ij pqr p q r i j
2 2 A1 x12 + A2 x 2 + A3 x 3 + A4 x1 x 2 + A5 x 2 x 3 + A6 x 3 x1 = 1
1 对称。 也同样处理。 不妨取a12 = a21 = A4 , 则aij 对称。ai′j′ 也同样处理。 2
2.
aij x i x j = ai′j′ x i′ x j′
ˆ T Tij
v b bi
指标记法： 指标记法：
并矢记法： 并矢记法：
v v b = bi e i vv ˆ =T e e T ij i j
v v b = bi e i
vv ˆ =T e e T ij i j
T11 T12 T13 T T22 T23 21 T31 T32 T33
Ai1i2Lin = C i1i2Lin j1 j2L jm B j1 j2L jm
证明： 证明：
Ai1i2 Lin = C i1i2 Lin j1 j2 L jm B j1 j2 L jm
(1)
Ai1′ i2′ Lin′ = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ B j1′ j2′ L jm′ (2)
由(2)
Ai1′ i2′ Lin′ = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ B j1 j2 L jm β j1 j1′ L β jm jm′
Ai1i2 Lin β i1′ i1 L β in′ in = C i1i2 Lin j1 j2 L jm B j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in
aij x i x j = aij β i′i x i′ β j′j x j′
[b1
b2
b3 ]
v v b = bi e i v v v = b1e1 + b2 e2 + b3 e3 vv ˆ =T e e T ij i j vv vv vv = T11e1e1 + T12e1e2 + T13 e1e3 vv vv vv + T21e2 e1 + T22e2 e2 + T23e2 e3 vv vv vv + T31e3 e1 + T32e3 e2 + T33e3 e3
vvv v v ˆ ˆA = T A e e e e e T ij pqr i j p q r
请注意: 请注意
vv v v v ˆ ˆA = T A e e e e e 中，基的位置不能交换 ， T ij pqr i j p q r 可以交换。 分量Tij 和A pqr 可以交换。
3. 张量收缩
v vvv v ˆ =H H pqrkl e p eq e r e k e l
(
)(
) )
② 串双点积··
(
)(
v = Tij A jir er
交叉） ③ 并双点积 ：（交叉）
vv v vv ˆ ˆ :A= T ee : A e e e T ij i j pqr p q r
(
)(
)
请证明：张量收缩后，仍为张量。 请证明：张量收缩后，仍为张量。
张量的对称性·张量方程 §2-4 张量的对称性 张量方程 对称性: 对称性
Ai1′ i2′ Lin′ = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ B j1 j2 L jm β j1 j1′ L β jm jm′
C i1i2 Lin j1 j2 L jm B j1 j2 L jm β i1′ i1 L β in′ in = C i1′ i2′ Lin′ j1′ j2′ L jm′ B j1 j2 L jm β j1 j1′ L β jm jm′
e ijk β i′i β j′j β k′k
而∆2 = 1
中心位于原点的二次曲面方程a 例．中心位于原点的二次曲面方程 ijxixj=1，在原 ， 点不变的新标架中，其方程为ai`j`xi`xj`=1。证明系 点不变的新标架中，其方程为 。 数构成一个二阶张量。 数构成一个二阶张量。
1. 一般二次曲面方程
请推导： 请推导：
v v bi ′ = β i ′j b j ⇔ bi ′ ei ′ = bi ei Ti ′j′ = β i ′m β j′nTmn
2.意义 意义 在任意坐标变换 张量保持不变。 下，张量保持不变。
v v vv ⇔ Ti ′j′ ei ′ e j′ = Tij ei e j
§2-3 张量代数 1. 张量加法
则Tij , j + Bijj = C i , jj 成立
请问： 请问：
vv Tij ei e j Tij
? ?
vv T ji e j ei T ji
商法则（张量识别定理） §2-5 商法则（张量识别定理） ~ ˆ ˆ 阶张量， ∀m阶张量B，与C作如下操作所得之 A为一个n阶张量， 成立， ˆ 阶张量。 且此形式在任意标架下 成立，则C为m + n阶张量。