正四面体

正四面体
常用性质：
1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。

它有4个面，6条棱，4个顶点。

正四面体是最简单的正多面体。

2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。

因此，正四面体是特殊的正三棱锥。

3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。

正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。

正四面体的对边相互垂直。

正四面体的对棱相等。

正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值6
3
a。

4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：
高：6
3
a。

（中心把高分为1:3两部分} 表面积：2
3a体积：
3
2
12
a
外接球半径：6
4
a
，内切球半径：
6
12
a
，棱切球半径：
2
4
a
对棱中点的连线段的长：2
2
a
，两邻面夹角满足
1
cos
3
α=。

若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为2
2
a
，其实，正四面体的棱切球
即为次正方体的内切球。

5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a
以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为
其他性质：
正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。

正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。

正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。

正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。

内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。

两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。

这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.
侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3)
正四面体的对棱相等。

具有该性质的四面体符合以下条件：
1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。

2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。

3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。

正四面体键角是109度28分，约为109.47°。