有限元法第一讲

相连接，具有有限大小、简单而有力学意义的构件集合体
的过程。 • • • 单元：这些构件称为有限单元，简称有限元。 节点：单元与单元之间相连接的点。 所选择的单元类型要能最好的模拟实际的物理性能。
常见的单元类型：
选择位移函数
定义应变位移和应力应变关系
选择每个单元内的位移函数，该函数是用单元的节点值在单元内部 定义得。常用的位移函数有一次、二次和三次多项式。 应力和应变必须通过应力应变关系联系起来，这种关系也叫本构关 系，在推导每个有限单元的方程时需要用到。 比如一维变形和小应变的情况下，x方向的应变 x和位移u关系为
Ke e fe
步骤5 组装单元方程得出总体方程并施加边界条 件 (e) (e)
K k
e 1
N
F f
e 1
N
d1 y 0
d7x 0
d7 y 0
步骤6 解节点位移
步骤7 求单元应力和应变
有限元法第一讲
有限元概述 杆单元的有限元建模
一、有限元概述
• 1.1 有限元法发展概述
• 1.2 有限元法的基本思想
• 1.3 有限元法的一般步骤
• 1.4 有限元法的应用
1.1有限元法发展概述
• 三个阶段
提出：1943年
Courant 发表的数学论文《Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration》使用三角形区 域的多项式函数来求解扭转问题的近似解。
cos 2 cos sin cos 2 cos sin u1 F1 F2 2 2 cos sin sin cos sin sin AE v1 F3 L cos 2 cos sin cos 2 cos sin u 2 2 2 F 4 cos sin sin cos sin sin v2
1.3有限元法的基本步骤
离散和选择单元类型 选择位移函数 定义应变位移和应力应变关系 推导单元刚度矩阵和方程
组装单元方程得出总体方程并引出边界条件
解未知自由度（或广义位移） 求解单元应变和应力 解释结果
有 限 元 结 构 分 析 的 基 本 步 骤
离散和选择单元类型
离散化概念： • 将所分析的物体分解成由有限数目、彼此只在有限点
应力-应变关系：
根据材料力学知：
整理上述三式得：
步骤4 推导单元刚度矩阵和方程
L
x
2
x1 y 2 y1
2
2
AE F1 u 2 u1 cos v 2 v1sin cos L cos 2 cos sin cos 2 cos sin AE 2 sin 2 F2 AE cos u 2 u1sin cos v 2 v1 sin sin cos sin sin Ke L L cos 2 cos sin cos 2 cos sin AE F3 u 2 u1 cos v 2 v1sin 2 cos 2 sin cos sin sin L cos sin AE u 2 u1cos v2 v1sin sin F4 L
求解单元应变和应力
根据上一步求得的位移矩阵，利用位移应变关系及应力应变 关系求解单元应力应变
解释结果
最后的目标是解释和分析用于应力应变分析过程的结果，如 确定结构中位移最大、应力最大的位置。
1.4 有限元方法的应用 有限元方法用于分析结构问题和非结构问题 典型的结构问题： • 应力分析 • 屈曲 • 振动分析 典型的非结构问题： • 热传递 • 流体流动 • 电位或磁位的分布
ˆ 0, u ˆ d1x x ˆ L, u ˆ d2 x x
d1 x d 2 x表示指定端点处的节点位移，则有：
用矩阵的形式表示为：
其中，N1，N2为形函数:
•相关节点处的值为1， 不相关节点处的值为0 •形函数之和恒等于1
沿杆单元长度画出的线性位移函数如图：
步骤3 定义应变-位移和应力-应变关系 应变-位移关系：
二、杆系结构有限元模型的建立
F 0 F 0 M 0
x y
A
E 209 109
L4
d1 0.05
d 2 0.07
步骤1 选择单元类型
将杆每端的节点编号并编上单元号代表一个杆单元
步骤2 选择位移函数
ˆ a1 a 2 x ˆ u
ai 的总60
Clough等在航空科技期刊上发表的一篇采用有限元技 术计算飞机机翼强度的论文，视为有限元法的开端。1960 年《The finite element in plane stress analysis》正式提出有限 元法的概念。
完善: 1961-二十世纪九十年代
70年代后大批数学家的介入，进一步奠定有有限元法 的数学基础，新型单元发展、有限元解的收敛性研究等问 题取得了突出性进展。

du x dx
最简单的应力应变定律虎克定律常用于应变分析当中，关系如下：
x E x
其中， x为x方向的应力。E为材料的弹性模量。

推导单元刚度矩阵和方程
推导单元刚度矩阵和等效节点载荷向量 主要方法： 直接平衡法 功和能量法（虚功原理、最小势能原理） 加权残余法
组装单元方程得出总体方程并引出边界条件
可以用直接刚度法将单元方程叠加在一起得出整个结构的总体方 程，组装后的总体方程写成矩阵的形式为：
F Kd
d 是已知的未知结构节点自由度或广义位移
F是整体节点力矢量，K 是结构总体刚度矩阵
解未知自由度（或广义位移）
在考虑边界条件之后形成一组联立方程组，写成矩阵的形式：
n是未知节点自由度的结构总数。该方程可以用消元法或迭代法求 解
80年代起，有限元软件的开发与应用开始成为产业， 大量的商品化有限元程序开始应用于政府和工业部门，有 限元法成为一种实用的工程方法开始获得广泛应用。
1.2有限元的基本思想
有限元法的基本思想
有限元法的基本思想——分片逼近 例如：要计 算定积分
有限元法是这样的一种方法： 用矩形面积之和作为近似解
①用较简单的问题代替复杂的问题后再 求解 ②求解域看成是由许多有限元的小的互 联子域组成 ③这个解是近似解，不是准确解