九年级数学韦达定理应用复习
九年级数学韦达定理应用复习
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](教学课件201909)
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如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
1.设x1、x2是方程2x
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
九年级数学韦达定理应用复习
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一;mx-
m-2=0；当m
时，有两
个互为相反数的实根；当m
时，有一个根为零.
6.若关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
； 红色培训/ ；
整一宿,最后白重炙却再也没有出现,这让她对白重炙の信任度无限飙射.爱丽丝四人望着白重炙目光中の暧昧之色,潘多拉看到了.她确定白重炙是一些幸运取向正常の人,那夜都没有对自己露出狰狞の獠牙,这说明,他真の是
初中数学 一元二次方程的韦达定理有什么应用
初中数学一元二次方程的韦达定理有什么应用一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算一元二次方程根的和与积的方法。
韦达定理在实际生活中有着广泛的应用，下面将详细介绍一些常见的应用场景。
1. 判定方程根的性质：韦达定理可以用来判定方程的根的性质。
通过计算根的和与积，我们可以得到关于根的一些信息。
例如，当根的和与根的积都为正数时，说明方程的两个根都是正数；当根的和为负数而根的积为正数时，说明方程的两个根一个为正数一个为负数。
这种信息对于解决实际问题非常有用，可以帮助我们了解方程的解的情况。
2. 求解方程的根：韦达定理可以用于求解一元二次方程的根。
通过将方程的系数带入韦达定理的公式，我们可以计算出方程的根的和与积。
进一步求解根的具体数值，可以使用一些代数方法，如配方法、因式分解或求根公式。
韦达定理为我们提供了一个快速计算根的和与积的方法，从而更方便地解决一元二次方程。
3. 拟合数据：韦达定理可以用于数据的拟合。
通过找到满足给定数据点的一元二次方程，我们可以使用韦达定理计算方程的根的和与积。
根的和与积可以提供关于数据的整体趋势和特征的信息。
这种方法在统计学和数据分析中非常有用，可以帮助我们找到最佳拟合曲线并预测未知数据的值。
4. 解决实际问题：韦达定理在解决实际问题中起到重要的作用。
例如，在物理学中，我们可以使用韦达定理来计算自由落体运动中物体的最大高度和落地时间；在经济学中，韦达定理可以用来分析成本和收益之间的关系，帮助我们做出合理的决策；在工程学中，韦达定理可以用于计算电路中的电流和电压，从而设计合适的电路。
总结：一元二次方程的韦达定理是数学中一个重要的定理，它提供了一种快速计算方程根的和与积的方法。
韦达定理在判定方程根的性质、求解方程的根、拟合数据以及解决实际问题等方面有着广泛的应用。
了解韦达定理及其应用可以帮助我们更好地理解和解决一元二次方程相关的数学问题，同时也可以在实际生活中应用这些知识来解决各种问题。
九年级数学韦达定理应用复习
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2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。
九年级数学韦达定理应用复习
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[单选]参加教师资格证考试有作弊行为的，其考试成绩作废，（）年内不得再次参加教师资格考试。A．2B．3C．4D．5 [单选]对于手工切割编织袋的长度确定，要从（）点开始测量，在规定的长度处划线标记。A.切割B.调整C.校验D.试验 [单选]具有设计任务书和总体设计，经济上实行独立核算，行政上具有独立组织形式的工程被称为()。A.单位工程B.建设项目C.分部工程D.分项工程 [单选]建筑内部因采用大量可燃材料装修、使用可燃家具，将（）。A、延长轰燃出现的时间B、增加火灾荷载C、降低耐火等级D、影响防火间距 [单选]生油气层主要有暗色的（）和富含有机质的碳酸盐岩。A.生物灰岩B.沉积岩类C.礁块灰岩D.碎屑岩 [单选]对个人购买自用普通住房发放的按揭贷款最长不得超过（）年。A.30B.35C.40D.45 [问答题,简答题]地方政府的类型 [问答题,简答题]在什么情况下需要同时启动两台膨胀机，操作时应该注意什么？ [填空题]国内外普遍使用的罐藏容器为（）、（）、（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]理中丸证若见渴欲得水者，当作如下的化裁：（）A.加重白术用量至四两半B.去术，加桂四两C.加茯苓二两D.加天花粉三两E.加人参至四两半 [问答题,简答题]口罩的应用指征 [单选]Inmarsat通信系统主要是以（）为通信对象。A.航空电台B.海岸电台C.MESD.LES [单选]某医疗设备公司保存有大量设备档案，秘书应根据设备档案的特点，选择（）进行档案分类结构的是（）。A、壳体B、支座C、开孔接管D、封头 [单选]公民、法人或其他组织对具体行政行为在法定期限内不提起诉讼又不履行的，行政机关可以申请人民法院强制执行其具体行政行为，由下列（）法院受理执行。A.申请人所在地的基层人民法院B.被执行人所在地的基层人民法院C.一审人民法院D.终审人民法院 [单选]沿绝缘子串进入法只适用于（）kV及以上电压等级的输电线路。A、110B、220C、330D、500 [填空题]客运经营者在旅客运输途中擅自变更运输车辆或者将旅客移交他人运输的，由（）责令改正，处1000元以上3000元以下的罚款；情节严重的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [单选]公路隧道围岩分为()级。A.3B.4C.5D.6 [单选]招标采购合同规划的主要目的是（）。A.确定招标合同单元，完成招标方案的编制，从而指导整个招标采购实践活动B.将项目分成若干个最小合同单位进行招标，从而最大程度节约时间C.确定各个招标合同单元，完成招标方案的编制，从而计算出整个项目的资金预算D.约定合同有效期，以 [单选]（）是指由业主向物业服务企业支付固定物业服务费用，盈余或者亏损均由物业服务企业享有或者承担的物业服务计费方式。A.包干制和酬金制B.物业管理费用包干制C.物业服务费用包干制D.物业管理费用酬金制 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者右面神经周围性瘫，双眼不能向右侧凝视，左侧偏瘫，左侧Babinski征阳性，病变在（）。A.左侧内囊B.右侧内囊C.左侧脑桥D.右侧脑桥E.内囊病变延及桥脑 [单选]（）是一种由此及彼，由已知到未知或未来的研究方法。通过它可以对事物获得新的认识。A、比较B、分析与综合法C、推理D、数据整合方法 [单选]支气管扩张时，下列哪两个并发症最为多见（）A.脓胸及肺脓肿B.肺脓肿及肺纤维化C.肺气肿及肺脓肿D.肺源性心脏病及肺纤维化E.脑膜炎及肾炎 [多选]某项目，建设单位甲公司在银行办理了在建工程抵押，银行同时要求建设单位提供保证人。保证方式没有约定。工程竣工后，甲建设单位无力偿还贷款5000万元，则银行有权（）。A．直接与甲建设单位协议折价B．向法院起诉拍卖该工程项目后优先受偿C．直接变卖该工程项目D．直接转移 [单选]下列情形中，适合采取卖出套期保值策略的是（）。A．加工制造企业为了防止日后购进原材料时价格上涨的情况B．供货方已签订供货合同，但尚未购进货源，担心日后购进货源时价格上涨C．需求方仓库已满，不能买入现货，担心日后购进现货时价格上涨D．储运商手头有库存现货尚未出 [单选]体的压力、密度<ρ>、温度<T>三者之间的变化关系是（）.A、ρ=PRTB、T=PRρC、P=Rρ/TD、P=RρT [单选,A1型题]肝颈静脉回流征阳性主要见于（）。A.左心衰B.肝硬化C.心包积液D.急性心肌梗死E.肾功能不全 [单选]下列哪项不是CT模拟定位技术的优势（）A.有更高的精度和更广的应用范围B.经济、可靠，时间短C.其图像有较高的组织对比度D.可在三维空间上清楚显示靶区与周围器官之间的关系E.可以更精确勾画靶区及正常组织和器官 [多选]通航安全水上水下施工作业涉及的范围包括（）。A.设置、拆除水上水下设施B.架设桥梁、索道，构筑水下隧道C.救助遇难船泊，或紧急清除水面污染物、水下污染源D.渔船捕捞作业E.清除水面垃圾 [填空题]PN结的单向导电性就是：加正向电压时，PN结（）；加反向电压时，PN结（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]急性粒细胞白血病的骨髓象不具有下列哪些改变（）A.原始粒细胞胞浆中有Auer小体B.有白血病裂孔现象C.过氧化酶染色呈阳性反应D.常有Ph染色体E.非特异性酯酶染色阳性不可被氟化钠所抑制 [单选]当边际产量大于平均产量时（）A.平均产量增加；B.平均产量减少；C.平均产量不变；D.平均产量达到最低点。 [单选]（）是实现旅游发展目的的环境支撑。A.充分利用旅游地资源B.满足旅游者的利益C.满足旅游地居民的利益D.满足当地政府和开发商的利益 [单选]人体内的循环系统包括（）.A.血液循环系统和体循环系统B.血液循环系统和淋巴系统C.淋巴系统和体循环系统 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 [单选]车站装车前，要认真核对待装货物品名、件数，检查标志、标签和（）。A、货物质量B、货物体积C、货物形状D、货物状态 [单选]1：500比例尺地形图上0.2mm，在实地为（）。A、10米B、10分米C、10厘米 [填空题]表面处理的对象可分为两大类：（）和（）。 [单选,B1型题]常用来评估个体维生素D营养状况的是（）A.麦角骨化醇B.胆骨化醇C.维生素DD.25-（OH）DE.1，25-（OH）D [问答题,简答题]离心机开车准备如何操作？
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 引言韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常出现在初三的考试中。
它是一种用于解决三角形中的边长和角度关系的工具，通过利用正弦定理和余弦定理来推导出未知量之间的关系。
在本文中，我们将介绍韦达定理的基本概念、推导过程以及常见的应用题型。
2. 韦达定理的定义与推导2.1 定义韦达定理，也称作三角形法则，是指在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：a² = b² + c² - 2bc * cosA b² = a² + c² - 2ac * cosB c² = a² + b² - 2ab * cosC2.2 推导过程我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导出韦达定理。
#### 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc cosB = (a² + c² - b²) / 2ac cosC = (a² + b² - c²) / 2ab通过将正弦定理和余弦定理结合起来，我们可以推导出韦达定理的三个公式。
3. 韦达定理的应用题型3.1 已知两边和夹角，求第三边这是韦达定理最常见的应用题型之一。
当我们已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角时，可以利用韦达定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形ABC，其中AB = 5cm，AC = 8cm，∠BAC = 60°，求BC的长度。
根据韦达定理公式b² = a² + c² - 2ac * cosB，代入已知条件计算得到：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60° BC = √(25 + 64 -80cos60°) BC ≈ √(89 -40) BC ≈ √49 BC ≈ 7cm3.2 已知三边，求夹角另一个常见的应用题型是已知一个三角形的三边长度，求解它们之间的夹角。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 韦达定理的基本概念：韦达定理，也称为乘法定理，是指对于一个多项式函数，如果其两个根分别为a和b，那么可以通过这两个根来表示该多项式的一个因式。
具体而言，如果多项式的根为a和b，那么可以将多项式表示为(x-a)(x-b)的形式。
2. 韦达定理的应用：韦达定理在初三数学中常常用于解多项式方程和因式分解。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
在考试中，常常会给出一个多项式的根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
3. 韦达定理的相关题型：a) 解多项式方程，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求解出该多项式的其他根。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程得到其他根。
b) 因式分解，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后将多项式进行因式分解。
c) 综合运用，考题可能给出一个多项式的两个根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程或进行因式分解。
4. 解题步骤：a) 根据题目给出的已知条件，确定多项式的一个或多个根。
b) 使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式。
c) 根据题目要求，进行方程求解或因式分解，得到其他根或多项式的因式。
总结：韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常在初三的数学考试中出现。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
解题时需要注意题目给出的已知条件，正确运用韦达定理，并根据题目要求进行方程求解或因式分解。
希望以上解答能够帮助到你，如果还有其他问题，请继续提问。
九年级数学韦达定理应用复习
人教九上：专题三--韦达定理的应用(含解析)
专题三韦达定理的应用1．设x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，求代数式1x1+1x2+k2的值．2．已知关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+3k=0．(1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值；(2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值．3．已知关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2．(1)求k的取值范围；(2)若x1，x2满足x21+x22=1+x1⋅x2，求实数k的值．4．已知关于x的方程x2−2x+m−1=0．有一个实数根是5，求此方程的另一个根以及m的值．5．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0，若方程的一个根x1=2，求k的值和方程的另一个根x2．6．若关于x的一元二次方程x2−bx+2=0有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．7．关于x的一元二次方程x2+2x−3m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m=1时，求方程的根．8．已知x1，x2是关于x的一元二次方程．x2+2x+c=0的两个不相等的实数根．(1)求c的取值范围；(2)若x1x2=−1，直接写出c的值；(3)若x1=−3，直接写出c的值．9．若关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．10．已知3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，求m及t的值．11．若关于x的一元二次方程x2+bx−6=0有一个根是x=2，求b的值及方程的另一个根．12．已知关于x的一元二次方程x2−(m+1)x+m+6=0的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．13．关于x的一元二次方程x2−8x+m=0有一个根是x=3，求m的值及方程的另一个根．14．已知关于x的方程x2−kx+12=0的一个根为3，求k的值及它的另一个根．15．若关于x的一元二次方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．16．关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围：(2)当m=8时，求方程的根．17．已知：关于x的方程x2+mx−8=0有一个根是−4，求另一个根及m的值．18．已知x=−1是一元二次方程x2−2x+c=0的一个根，求c的值及方程另一个根．参考答案1．0【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2=−k，x1x2=2，然后根据分式的加减对原式进行变形，整体代入计算即可求出答案．【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+kx+2=0的两个实数根，∴x1+x2=−k，x1x2=2，又∵边长k>0，∴k=7，综上所述，k的值为5或7．3．(1)k≤1312(2)k=1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2−4ac=0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=b2−4ac<0，则方程没有实数根，若x1，x2是该方程的两个实数根，则x1+x2=−b，x1x2=c a．a（1）根据题意可得Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，再由已知条件和完全平方公式的变形得到(2k−3)2−3(k2−1)=1，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴Δ=(2k−3)2−4(k2−1)≥0，∴4k2−12k+9−4k2+4≥0，∴k≤13；12（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+(2k−3)x+k2−1=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=−(2k−3)，x1⋅x2=k2−1，∵x21+x22=1+x1⋅x2，∴x21+x22−x1⋅x2=1∴(x1+x2)2−3x1x2=1，∴(2k−3)2−3(k2−1)=1，∴4k2−12k+9−3k2+3=1，∴k2−12k+11=0解得：k1=1，k2=11（舍去）∴k=1．4．x2=−3；m=−14．【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入x=5可求出m的值，再利用两根之和等于−b，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．a【详解】解：当x=5时，原方程为52−2×5+m−1=0，解得：m=−14，设方程的另一个实数根为x2，∵5+x2=2，∴x2=−3，∴方程的另一个根为−3，m的值为−14．5．k=8，x2=4【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值．【详解】设另一根为x2，∴2+x2=6，2x2=k，则x2=4，k=8，则6∴1把则7(2)（（【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=4−4×1×(−3m)>0，解得：m>−1，3（2）当m=1时，方程为x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，解得x1=−3，x2=1．8．(1)c<1(2)c=−1(3)c=−3【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ<0，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；（2）利用根与系数的关系，可得出x1x2=c，结合x1x2=−1，即可得出c的值；（3）代入x1=−3，即可求出c的值．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4×1×c>0，解得：c<1，∴c的取值范围是c<1；（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+c=0的两个不相等的实数根，∴x1x2=c，又∵x1x2=−1，∴c=−1；（3）解：将x1=−3代入原方程得9+2×(−3)+c=0，解得：c=−3，∴若x1=−3，则c的值为−3．9．m=5，x1=x2=−2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当Δ=0时，方程有两个相等的实数根求得m 值，进而解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵一元二次方程x2+4x+m−1=0有两个相等的实数根，∴Δ=42−4(m−1)=0，则m=5，∴x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2．10．t=3，m=−6【分析】利用根与系数的关系，建立二元一次方程组进行求解．【详解】解：∵3，t是方程2x2+2mx−3m=0的两个实数根，∴3+t=−2m2，3t=−3m2，3+t=−m①2t=−m②，∴3+t=2t，解得：t=3，∴m=−2×3=−6，答：t=3，m=−6．【点睛】本题考查了根与系数的关系，二元一次方程组，解题的关键是能利用根与系数的关系建立二元一次方程组．11．b=1，方程的另一个根为−3【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将x=2代入x2+bx−6=0求得b的值，然后解方程组即可．【详解】∵x=2是方程x2+bx−6=0有一个根，∴4+2b−6=0，∴b=1当b=1时，原方程为x2+x−6=0，解得x1=2，x2=−3．∴b=1，方程的另一个根为−3．12．m=6，另一个根为4【分析】把x=3代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．【详解】解：把x=3代入x2−(m+1)x+m+6=0，得9−3(m+1)+m+6=0，解得m=6，把m=6代入原方程得x2−7x+12=0，∴(x−3)(x−4)=0，∴x1=3,x2=4，即方程的另一个根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．13．m的值为15，另一根为5【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1x2=ca是解题的关键．【详解】解：设另一根为a，则a+3=8，3a=m，解得：a=5，m=15，∴m的值为15，另一根为5．14．k=7，另一根为4【分析】由于一根为3，把x=3代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．【详解】解：∵方程x2−kx+12=0的一个根为3，∴32−k×3+12=0，解得k=7，设另一根为x，∵3x=12，∴x=4，∴另一根为4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．15．m=1，x1=x2=2【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用以及解一元一次方程，根据Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．【详解】解：∵关于x的方程x2−4x+m+3=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−4)2−4×1×(m+3)=4−4m=0，解得，m=1，∴方程为x2−4x+4=0，∴(x−2)2=0解得：x1=x2=2．16．(1)m>−1(2)x1=−4，x2=2【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式Δ>0时方程有两个不相等的实数根；Δ=0时方程有两个相等的实数根；Δ<0时方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的方法是解题关键．（1）根据方程x2+2x−m=0有两个不相等的实数根可得判别式Δ>0，列不等式求出m的取值范围即可；（2）把m=8代入x2+2x−m=0，利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+2x−m=0有两个不相等实数根，∴Δ=b2−4ac=22−4×1×(−m)>0，解得：m>−1．∴m的取值范围为m>−1．（∴∴x17∴∴18∴1∴c设另一个根为x2，则−1⋅x2=−3，∴x2=3，∴c的值是−3，另一个根是x=3．。
九年级数学韦达定理应用复习
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下列哪项不是腹膜炎术后半卧位的目的()A．有利于脓液局限于盆腔B．有利于改善呼吸和循环C．有利于恢复肠蠕动D．减轻中毒症状E．防止膈下感染 下列代表网格技术的是A、WWWB、PCC、GGGD、IT 医德规范内容有哪些？ 关于流行性乙型脑炎的病理改变，叙述错误的是A.中枢神经系统血管内皮细胞肿胀、坏死、脱落，产生附壁血栓，形成栓塞B.神经细胞变性和坏死，尼氏小体消失，核可溶解，细胞内出现空泡C.脑实质中有大量中性粒细胞浸润，常聚集在血管周围，形成"血管套"D.胶质细胞成弥漫性增生，聚集在 在高含硫、高压地层和区域探井的钻井井口防喷器上安装剪切闸板。A、不必B、不一定C、必须 社会工作专业的功能一般可分为对服务对象的功能和对社会的功能。下列选项中，哪一项属于社会工作对服务对象的功能？A.促进人与社会环境的相互适应B.促进社会环境的和谐稳定C.推动社会的进步和发展D.维持社会秩序，解决人民的问题 中国政府于2001年向国际展览局正式递交了举办2010年上海世界会的申请书。A、5月1日B、5月2日C、5月3日D、5月4日 要对一个正在发生的疾病现状进行调查，应使用哪种调查方法()A．前瞻性词查B．横断面调查C．追踪调查D．回顾性调查E．以上都不是 心底由。A.左、右心房构成B.右心房和右心室构成C.左、右心耳构成D.左心房和左心室构成E.左、右心室构成 下列护理内容属于直接护理项目的是A.处理医嘱B.输液前准备C.交接班D.晨间护理E.书写护理记录 医疗废物管理条例适用于医疗废物的、、、以及监督管理等活动。 学生，16岁，在上课中突然站起、挪动桌椅，边挪边喊叫，别人不能打断他的行为，约持续1分钟自动停止，对当时的情况毫无记忆。近半年发生2次。最可能的诊断A.单纯部分性发作B.复杂部分性发作C.失神发作D.肌阵挛发作E.全面性强直-阵挛发作 《素问·阴阳应象大论》所述阴阳之性是A.阳生阴长B.阳杀阴藏C.阴静阳躁D.阳化气，阴成形E.水为阴，火为阳 电容器柜单列布置时，柜正面与墙面距离不应小于m。A.1B.1.2C.1.5D.2 抗休克治疗中纳洛酮发挥作用主要是通过拮抗A.儿茶酚胺B.血管紧张素C.β－内啡肽D.心肌抑制因子E.前列腺素 患者男，体检时发现肺内结节，行CT检查如下图。应诊为A.结核球B.周围型肺癌C.炎性假瘤D.错构瘤E.钙化灶 患者，女，20岁。溺水，救出时呼吸、心跳已停止，立即由两人行心肺复苏术。口对口人工呼吸的频率为()A．10～12次/分B．12～16次/分C．18～20次/分D．20～24次/分E．30～40次/分 电缆敷设前应做好哪些准备工作？ 评价抗病毒治疗的有效性，最重要的指标是A.艾滋病相关临床症状B.免疫学指标C.HIV-RNAD.耐药基因检测E.HIV抗体 将pH=4.00的强酸溶液与pH=12.00的强碱溶液等体积混合，则混合后溶液的pH为。A.8.00B.9.00C.11.69D.12.00 行为的构成要素包括环境及A.主体、客体、结果、反馈B.主体、客体、手段、结果C.主体、客体、结果、反馈D.机体、行为、结果、反馈E.主体、行为、结果、反馈 高速公路数字通信网是用来传输和交换信息的电信网。A、信息B、数字交换设备C、编码 运动性失语的病灶部位在()A．优势侧颞上回后1/3区域及其周围部分B．优势侧颞枕顶叶结合区C．优势侧额下回后部皮质或皮质下D．颈内动脉或大脑中动脉分布区E．优势侧颞上回前1/3区域 现行《特种设备安全监察条例》最后修改日期？从何时开始施行？ 肛门内测体温的正确方法是A.肛表插入肛门内1～2cm，测温1分钟B.肛表插入肛门内1～2cm，测温2分钟C.肛表插入肛门内2～3cm，测温1分钟D.肛表插入肛门内2～3cm，测温2分钟E.肛表插入肛门内3～4cm，测温2分钟 《素问·阴阳应象大论》中，谷气通于A.肝B.心C.脾D.肺E.肾 关于肿瘤的发生原因，不正确的是。A.一种致癌因素可诱发多种肿瘤B.一种肿瘤可能有多种病因C.大多数肿瘤病因尚不完全清楚D.一种肿瘤对应一种致癌因素E.绝大多数肿瘤是环境因素与细胞的遗传物质相互作用引起的 事务所对质量控制制度承担最终责任。A.注册会计师B.项目合伙人C.副主任会计师D.主任会计师 插入新幻灯片的快捷命令是。A.CTRL+MB.CTRL+ZC.ESCD.CTRL+C 潜伏期是指A.病原体进入机体到死亡的时间B.病原体进入机体到临床症状出现的时间C.病原体进入机体到临床症状恢复的时间D.病原体进入机体到临床症状结束的时间E.病原体进入机体到最早临床症状出现的时间 《素问?评热病论》说："邪之所凑，____。"《素问?遗篇?刺法论》说："____，邪不可干。" 在我国，引起咯血的首要原因A.肺炎B.肺脓肿C.肺结核D.肺梗死E.肺寄生虫病 治疗肝经湿热型阴道炎的首选方剂是。A.肾气丸合萆薢渗湿汤B.龙胆泻肝汤C.阳和汤D.仙方活命饮E.归脾汤合二妙散 下列关于白酒最低计税价格核定的表述中，不正确的是。A.白酒生产企业销售给销售单位的白酒，生产企业消费税计税价格低于销售单位对外不含税销售价格70%以下的，税务机关应核定消费税最低计税价格B.白酒生产企业未按规定上报销售单位销售价格的，主管国家税务局应按照销售单位销售 超声心动图测量心输出量时常将左室视为()A．椭圆体B．长方体C．球体D．台形圆锥体E．圆锥体
九年级数学韦达定理应用复习
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
九年级数学韦达定理应用复习
高台缝纫机开机后空转时，注意主动轮应向操作者方向。A、旋转B、转换C、转动D、移动 中年女性，呼吸困难，曾有股骨外伤手术史，胸部CT正常，行99Tcm-MAA肺灌注显像如图，诊断是。A.正常的肺灌注显像B.左肺动脉主干栓塞C.多发肺栓塞D.肺动脉高压E.以上都不是 有关展览会特征，以下说法不正确的是。A.信息高度集中B.交易选择空间小C.涉足行业前沿D.通过一定艺术形式展示产品和技术 探测站主机箱有哪几板模板组成？ 依据工程规模确定工程等别时，中型规模的水利水电的等别为等。A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ 舌弓指A.第一鳃弓B.第一鳃沟C.第二鳃弓D.第二鳃沟E.第三鳃弓 “以人为本，践行宗旨”的行为规范，主要体现在：A.坚持救死扶伤、防病治病的宗旨B.发扬大医精诚理念和人道主义精神C.以病人为中心，全心全意为人民健康服务D.以上都是E.以上都是 [单选,案例分析题]患者男性，78岁，1天前因右腹股沟疝嵌顿手法回纳后，即感腹痛。现因腹痛加剧、腹胀、气促、呕吐而来就诊。查体：神志淡漠，四肢厥冷。脉细速140次/分，血压60/40mmHg，腹胀，全腹压痛、反跳痛、肌紧张，以脐右最为明显，诊断肠坏死穿孔、弥漫性腹膜炎、中毒性休 用电检查工作贯穿于为电力客户服务的，同时，也担负着维护供电企业合法权益的任务。A.售前服务B.全过程C.售后服务D.部分过程 消化性溃疡患者需紧急手术治疗的情况是()A．伴胃酸减少B．年龄较大，病程长，疼痛反复发作C．有反复上消化道出血史，现大便隐血试验又强阳性D．合并幽门梗阻E．大出血停止后，1天内又有大量出血 佛教文化的建筑在我国迅速发展，是我国的建筑出现了建筑标准规范是在阶段。A.夏商到秦汉时期（公元前2000年至公元200年，约2200年）B.从三国两晋南北朝到隋唐五代（公元200年至公元1000年，约800年）C.丛宋辽到金元时期（公元960年至1400
初三数学九年级上《韦达定理》复习
初三数学九年级上《韦达定理》复习一、知识回顾1.一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1.x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---2.能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aac b b 242--- =aac b b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=ab -， x 1x 2=a c 3.韦达定理韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 4.韦达定理前提（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 二、知识学习（1）计算对称式的值 例1. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．举一反三1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝例2．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 例3．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;例4．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;例5.设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2例6．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1（2）构造新方程例7.理论：以两个数为根的一元二次方程是。
九年级数学韦达定理应用复习(PPT)5-4
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
bБайду номын сангаасa
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
阁会议，参与决策，并担任政府首脑交办的特殊重要事务。 【不管三七二十一】īī不顾一切；不问是非情由。 【不光】〈口〉①副表示超出某个数量或范围； 不止：报名参加的～是他一个人。②连不但：～数量多，质量也不错｜这里～出煤，而且出铁。 【不轨】形指违反法纪或搞叛乱活动：～之徒｜行为～｜图 谋～。 【不过】①副用在形；江苏成考网:/ ；容词性的词组或双音节形容词后面，表示程度最高：再好～｜最快～｜乖巧～的孩子。 ②副指明范围，含有往小里或轻里说的意味；仅仅：当年她参军的时候～十七岁｜他～念错一个字罢了。③连用在后半句的开头儿，表示转折，对上半句话 加以限制或修正，跟“只是”相同：病人精神还不错，～胃口不大好。 【不过意】过意不去：总来打扰您，心里实在～。 【不寒而栗】不寒冷而发抖，形容 非常恐惧。 【不好意思】?①害羞；难为情：他被大伙儿说得～了｜无功受禄，实在～。②碍于情面而不便或不肯：虽然不大情愿，又～回绝。 【不合】① 动不符合：～手续｜～时宜。②〈书〉动不应该：早知如此，当初～叫他去。③形合不来；不和：性格～。 【不和】形不和睦：姑嫂～｜感情～。 【不哼不 哈】不言语（多指该说而不说）：有事情问到他，他总～的，真急人。 【不遑】〈书〉动来不及；没有时间（做某件事）：～顾及。 【不讳】〈书〉动①不 忌讳；无所避讳：直言～。②婉辞，指死亡。 【不惑】〈书〉名《论语?为政》：“四十而不惑。”指年至四十，能明辨是非而不受迷惑。后来用“不惑” 指人四十岁：年届～｜～之年。 【不羁】ī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。 【不及】动①不如；比不上：这个远～那个好｜在刻苦学习方面我～他。 ②来不及：后悔～｜躲闪～｜～细问。 【不即不离】既不亲近也不疏远。 【不计】动不计较；不考虑：～成本｜～个人得失。 【不计其数】无法计算数目， 形容极多。 【不济】〈口〉形不好；不顶用：精力～｜眼神儿～。 【不假思索】ī用不着想，形容说话做事迅速。 【不见】动①不见面：～不散｜这孩子一 年～，竟长得这么高了。②（东西）不在了；找不着（后头必须带“了”）：我的笔刚才还在，怎么转眼就～了？ 【不见得】?副不一定：这雨～下得起 来｜看样子，他～能来。 【不见棺材不落泪】?ɑ比喻不到彻底失败的时候不知痛悔。也说不见棺材不掉泪。 【不见经传】ī经传中没有记载，指人或事物没 有什么名气，也指某种理论缺乏文献上的依据。 【不解之缘】ī不能分开的缘分，指亲密的关系或深厚的感情。 【不禁】ī副抑制不住；禁不
九年级数学韦达定理应用复习
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用
中考复习之韦达定理在二次函数中的运用韦达定理（也称作韦达公式）是二次函数中常用的一种运用方法，它可以帮助我们求解二次方程的根。
一个一般的二次函数可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道二次函数的图像是一个抛物线，它对称于一个垂直于x轴的轴线，称为抛物线的对称轴。
这个对称轴的方程可以表示为：x=-b/2a。
韦达定理提供了通过二次函数的系数求解二次方程根的方法。
对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，设x1和x2是方程的两个根，韦达定理指出：1.根的和等于-b/a，即x1+x2=-b/a。
2.根的积等于c/a，即x1*x2=c/a。
韦达定理可以帮助我们迅速求解二次方程的根。
下面，我们将通过几个具体的例子来说明韦达定理的运用。
例子1：求解二次方程x^2-5x+6=0的根。
根据韦达定理，根的和为-(-5)/1=5，根的积为6/1=6、所以，x1+x2=5，x1*x2=6我们可以通过解这个二次方程来求解x1和x2：(x-2)(x-3)=0由此得到x=2和x=3、所以，二次方程x^2-5x+6=0的根为x1=2和x2=3例子2：求解二次方程2x^2-3x+1=0的根。
根据韦达定理，根的和为-(-3)/2=3/2，根的积为1/2=1/2、所以，x1+x2=3/2，x1*x2=1/2我们可以通过解这个二次方程来求解x1和x2：2x^2-3x+1=0(2x-1)(x-1)=0由此得到x=1/2和x=1、所以，二次方程2x^2-3x+1=0的根为x1=1/2和x2=1通过以上两个例子，我们可以看到韦达定理可以帮助我们迅速求解二次方程的根。
在解题过程中，我们只需要根据韦达定理的公式计算出根的和和根的积，然后用这些结果来进一步解出二次方程的根。
需要注意的是，韦达定理只适用于一般的二次函数，即a不等于0的情况。
当a等于0时，二次函数变成了一次函数，此时韦达定理不再成立。
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
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