数学高二-选修2-2课时作业 3.1.3 函数的极值

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数学高中北师大版选修2-2课后习题：3.1.2 函数的极值

1.2 函数的极值课后训练案巩固提升A 组1.如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d 的大致图像,则x 12+x 22等于( )A.23B.43C.83D.123解析:∵函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d 的图像过点(0,0),(1,0),(2,0),∴d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0.∴b=-3,c=2.∴f'(x )=3x 2+2bx+c=3x 2-6x+2,且x 1,x 2是函数f (x )的两个极值点,即x 1,x 2是方程3x 2-6x+2=0的两根,x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4-43=83.答案:C2.设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f'(x ),且函数f (x )在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x )的图像可能是( )解析:由函数f (x )在x=-2处取得极小值,可知x<-2时f'(x )<0,则xf'(x )>0;x>-2时,f'(x )>0,则当-2<x<0时,xf'(x )<0,当x>0时,xf'(x )>0. 答案:C3.已知函数f (x )=x 3-px 2-qx 的图像与x 轴切于点(1,0),则f (x )有( )A.极大值为427,极小值为0 B.极大值为0,极小值为427C.极小值为-427,极大值为0D.极大值为-427,极小值为0解析:∵f'(x )=3x 2-2px-q ,∴f'(1)=3-2p-q=0.① 又f (1)=1-p-q=0, ②由①②解得p=2,q=-1, 即f (x )=x 3-2x 2+x ,f'(x )=3x 2-4x+1, 令3x 2-4x+1=0,解得x 1=13,x 2=1. 当x<13时,f'(x )>0; 当13<x<1时,f'(x )<0; 当x>1时,f'(x )>0.∴当x=13时,f (x )有极大值427,当x=1时,f (x )有极小值0.答案:A4.若函数f (x )=sin x-kx 存在极值,则实数k 的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[0,1) C.(1,+∞)D.(-∞,-1)解析:f'(x )=cos x-k ,当k ≥1时,f'(x )≤0,此时f (x )在定义域上是减少的,无极值,当k ≤-1时,f'(x )≥0,此时f (x )在定义域上是增加的,也无极值;当-1<k<1时,令f'(x )=0,得cos x=k ,从而可以确定x 的值,使f (x )在定义域内存在极值,因此实数k 的取值范围是(-1,1). 答案:A5.若函数f (x )=x 3-6x 2+9x-10-a 有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-10) B.(-6,+∞)C.(-10,-6)D.(-∞,-10)∪(-6,+∞)解析:令f (x )=0,得x 3-6x 2+9x-10=a ,令g (x )=x 3-6x 2+9x-10,则g'(x )=3x 2-12x+9=3(x-1)(x-3).由g'(x )=0,得x=1或x=3.当x<1或x>3时,g'(x )>0,g (x )是增加的;当1<x<3时,g'(x )<0,g (x )是减少的.所以g (x )的极大值为g (1)=-6,g (x )的极小值为g (3)=-10.作出函数g (x )的大致图像如图所示.函数f (x )有三个零点,即直线y=a 与函数g (x )的图像有三个交点,所以-10<a<-6,故选C . 答案:C6.函数f (x )=-ln x+x 的极小值等于 . 解析:f'(x )=1-1x,令f'(x )=0,则x=1.当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表所示:故f (x )的极小值是f (1)=1. 答案:17.若函数f (x )=x 3+x 2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a 的取值范围是 .解析:由题意知,f'(x )=3x 2+2x-a ,则f'(-1)·f'(1)<0,即(1-a )(5-a )<0,解得1<a<5,当a=1时,函数f (x )=x 3+x 2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,当a=5时,函数f (x )=x 3+x 2-5x-4在区间(-1,1)上没有极值点. 答案:[1,5)8.如图是y=f (x )导数的图像,对于下列四种说法:①f (x )在[-2,-1]上是增加的; ②x=-1是f (x )的极小值点;③f (x )在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的; ④x=3是f (x )的极小值点.其中正确的是 .解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断. 答案:②③9.设函数f (x )=a 3x 3+bx 2+cx+d (a>0),且f'(x )-9x=0的两根分别为1,4. (1)当a=3且曲线y=f (x )的图像过原点时,求f (x )的解析式; (2)若f (x )在(-∞,+∞)内无极值点,求a 的取值范围. 解(1)由f (x )=a 3x 3+bx 2+cx+d ,得f'(x )=ax 2+2bx+c.∵f'(x )-9x=ax 2+2bx+c-9x=0的两根为1,4,∴{a +2b +c -9=0,16a +8b +c -36=0,a =3. ∴{a =3,b =-3,c =12.又f (x )=a 3x 3+bx 2+cx+d 过原点,∴d=0.∴f (x )=x 3-3x 2+12x.(2)∵a>0,∴f (x )=a 3x 3+bx 2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点等价于f'(x )=ax 2+2bx+c ≥0在(-∞,+∞)内恒成立. 由(1)知a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0,∴2b=9-5a ,c=4a.∵f'(x )≥0在(-∞,+∞)内恒成立, ∴Δ=(2b )2-4ac=(9-5a )2-16a 2=9(a-1)(a-9)≤0.∴a ∈[1,9],即a 的取值范围为[1,9].10.导学号88184036已知函数f (x )=x-a ln x (a ∈R ).(1)当a=2时,求曲线y=f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值.解函数f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=1-a x .(1)当a=2时,f (x )=x-2ln x ,f'(x )=1-2x(x>0),∴f (1)=1,f'(1)=-1.∴y=f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x )=1-a x=x -ax,x>0,可知 ①当a ≤0时,f'(x )>0,函数f (x )在(0,+∞)上是增加的,函数f (x )无极值.②当a>0时,由f'(x )=0,解得x=a ,∵x ∈(0,a )时,f'(x )<0,x ∈(a ,+∞)时,f'(x )>0, ∴f (x )在x=a 处取得极小值,且极小值为f (a )=a-a ln a ,无极大值.综上可知,当a ≤0时,函数f (x )无极值,当a>0时,函数f (x )在x=a 处取极小值a-a ln a ,无极大值.B 组1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ,其导函数图像如图所示,则函数f (x )的极小值是( ) A.a+b+c B.8a+4b+c C.3a+2b D.c解析:由导函数的图像可知,f (x )在(-∞,0)上是减少的,在(0,2)上是增加的,所以f (x )在x=0时取得极小值为c. 答案:D2.设函数f (x )=x 3-4x+a ,0<a<2,若f (x )的三个零点为x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,则( )A.x 1>-1B.x 2<0C.x 2>0D.x 3>2解析:∵函数f (x )=x 3-4x+a ,0<a<2,∴f'(x )=3x 2-4.令f'(x )=0,得x=±2√33, ∵在x ∈(-∞,-2√33)上,f'(x )>0;在x ∈(-2√33,2√33)上,f'(x )<0; 在x ∈(2√33,+∞)上,f'(x )>0. ∴f (-2√33)是极大值,f (2√33)是极小值.又∵f (x )的三个零点为x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,可得x 1<-2√33,-2√33<x 2<2√33,x 3>2√33,根据f (0)=a>0,且f (2√33)=a-16√39<0,可得2√33>x 2>0. 答案:C3.已知f (x )=x 3-6x 2+9x-abc ,a<b<c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0,现给出如下结论:①f (0)·f (1)>0;②f (0)·f (1)<0;③f (0)·f (3)>0;④f (0)·f (3)<0.其中正确的结论序号为 .解析:设g (x )=x 3-6x 2+9x=0,则x 1=0,x 2=x 3=3,其图像如图(1).图(1)要使f (x )=x 3-6x 2+9x-abc 有3个零点, 须将g (x )的图像向下平移,如图(2).图(2)又f'(x )=3x 2-12x+9=0时,x 1=1,x 2=3,即得f (1)是极大值,f (3)是极小值,所以f (0)·f (1)<0,f (0)·f (3)>0. 答案:②③ 4.导学号88184037已知函数f (x )=13x 3+12(a-1)x 2+ax (a ∈R ).(1)若f (x )在x=2处取得极值,求f (x )的递增区间.(2)若f (x )在区间(0,1)内有极大值和极小值,求实数a 的取值范围. 解f'(x )=x 2+(a-1)x+a(1)因为f (x )在x=2处取得极值,所以f'(2)=0. 所以4+2(a-1)+a=0.所以a=-23. 所以f'(x )=x 2-53x-23=(x +13)(x-2). 令f'(x )>0,则(x +13)(x-2)>0, 所以x>2或x<-13.所以函数f (x )的递增区间为(-∞,-13),(2,+∞).(2)因为f (x )在区间(0,1)内有极大值和极小值,所以f'(x )=0在(0,1)内有两个不等实根,对称轴为x=-a -12,所以{ Δ>0,0<-a -12<1,f '(0)>0,f '(1)>0,即{Δ=(a -1)2-4a >0,-1<a <1,a >0,1+a -1+a >0,所以0<a<3-2√2. 5.导学号88184038已知函数f (x )=a ln x-bx 2图像上一点P (2,f (2))处的切线方程为y=-3x+2ln 2+2.(1)求a ,b 的值;(2)若方程f (x )+m=0在区间[1e,e]内有两个不等实根,求m 的取值范围.解(1)∵f'(x )=a x-2bx ,f'(2)=a 2-4b ,f (2)=a ln 2-4b ,∴a 2-4b=-3,且a ln 2-4b=-6+2ln 2+2,解得a=2,b=1.(2)f (x )=2ln x-x 2,设h (x )=f (x )+m=2ln x-x 2+m , 则h'(x )=2x-2x=2(1-x 2)x, 令h'(x )=0,得x=1(x=-1舍去). 当x ∈[1e,1)时,h'(x )>0,h (x )是增加的; 当x ∈(1,e]时,h'(x )<0,h (x )是减少的.则方程h (x )=0在[1e,e]内有两个不等实根的充要条件是{ℎ(1e )≤0,ℎ(1)>0,ℎ(e )≤0.解得1<m ≤1e2+2.由Ruize 收集整理。

苏教版数学高二数学苏教版选修2-2知识必备1.3.3最大值与最小值

1.3.3 最大值与最小值知识梳理1.函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的.函数的极值可以有____________,但最大(小)值只有____________;极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值的不一定有最值,有最值的未必有极值;极值可能成为最值.2.在闭区间［a ，b ］上连续的函数f(x)在［a ，b ］上____________最大值与最小值；在(a ，b)上连续的函数或在［a ，b ］上的不连续函数____________最大值与最小值.3.求f(x)在［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤是：(1) ________________________________________________;(2) ________________________________________________.知识导学通过前面的学习,我们知道函数的极值是在定义域内的某个区域内的特征,是一局部概念,极大值不一定比极小值大,极小值也不一定比极大值小；在现实生活和社会实践中,为了发挥最大的经济效益,常常会遇到如何使用料最省、产量最高、效益最大、成本最低等问题.解决这些问题常常需转化为求导函数最大值和最小值问题,函数在什么条件下有最大和最小值，它们和函数极值的关系如何等来处理.求函数f(x)在［a,b ］内的最大值与最小值的步骤:(1)首先确定函数f(x)在［a,b ］内连续,在(a,b)内可导;(2)求函数f(x)在开区间(a,b)内的极值;(3)求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);(4)将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值,最小的是最小值. 疑难突破本节的难点在于搞清函数的最大、最小值与函数极值的关系.函数的最大值、最小值与函数的极值之间有怎样的关系?求最值的过程体现了数学中的哪些数学思想?剖析:函数的极值是在局部范围内讨论问题,是局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是一个整体性概念.闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.函数在其定义区间最大值和最小值最多各有一个,而函数的极值则可能有多个,也可能没有.求函数的最值实质上是实现新问题向旧问题、复杂问题向简单问题的转化过程.导数具有丰富多彩的性质和特性,这些特性为我们解决问题提供了“肥沃”的等价转化的“土壤”，只要我们认真梳理知识,夯实基础,善于利用等价转化、数形结合的数学思想方法,定能不断提高解题的能力.典题精讲【例1】求下列函数的最值.(1)f(x)=3x-x 3,3-≤x≤3;(2)f(x)=6-12x+x 3,x ∈［31-,1］. 思路分析:利用求最值的一般步骤,要注意应用适当的计算方法,保证运算的准确性.解:(1)f′(x)=3-3x 2,令f′(x )=0,得x=±1.∴f(1)=2,f(-1)=-2，f(3-)=0,f(3)=-18.∴f(x)max =2,f(x)min =-18.(2)f′(x)=-12+3x 2=0，∴x=±2.当x ∈(-∞,-2)时，f′(x)＞0，∴f(x)为增函数；当x ∈(-2,2)时,f′(x)＜0，∴f(x)为减函数;当x ∈［31-,1］时,f(x)为减函数. ∴f(x)min =f(1)=-5,f(x)max =f(-31)=27269. 绿色通道：函数f(x)在给定区间上连续可导,必有最大值和最小值.因此,在求闭区间［a,b ］上函数的最值时,只需求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，然后与端点处的函数值比较即可. 变式训练：求下列函数的最值. (1)f(x)=sin2x-x(-2π≤x≤2π); (2)f(x)=xb x a -+122(0＜x ＜1,a ＞0,b ＞0). 解:(1)f′(x)=2cos2x-1,令f′(x)=0，得x=±6π. ∴f(6π)=623π-,f(-6π)=623π+-. 又f(2π)=-2π,f(-2π)=2π, ∴［f(x)］max =2π,［f(x)］min =2π-. (2)f′(x)=2222222222)1()1()1(x x x a x b x b x a ---=-+-. 令f′(x)=0,即b 2x 2-a 2(1-x)2=0,解得x=b a a +. 当0＜x ＜b a a +时,f′(x)＜0,当ba a +＜x ＜1时,f′(x)＞0. ∴函数f(x)在点x=b a a +处取得极小值,也是最小值为f(ba a +)=(a+b)2,即［f(x)］min =(a+b)2. 【例2】设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x ∈［-1,0)时,f(x)=x 3-ax(a ∈R ).(1)当x ∈(0,1］时，求f(x)的解析式；(2)若a ＞3，试判断f(x)在(0，1］上的单调性，并证明你的结论;(3)是否存在a ，使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.思路分析:此题具有较强的综合性,应注意知识之间的相互转化和相互联系.解:(1)∵x ∈(0,1］时,-x ∈［-1,0),∴f(-x)=(-x)3-a(-x)=ax-x 3.又f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x 3.(2)f′(x)=-3x 2+a.∵x ∈(0,1］,∴x 2∈(0,1］.∴-3x 2≥-3.∵a ＞3,∴-3x 2+a ＞0.故f(x)在(0,1］上为增函数.(3)假设存在a,使得当x ∈(0,1］时,f(x)有最大值1.∴f′(x)=a -3x 2;令f′(x)=0,∴-3x 2+a=0,即a ＞0时,x=±33a .又∵x ∈(0,1］,∴x=33a 且33a ＜1.∴f′(x)在(0, 33a )上大于0，在(33a ,1)上不小于0. ∴f(x)极大值=f(33a )=19329333==-a a a a a a . ∴a=2233时，f(x)有最大值1. 绿色通道：关于存在性问题,处理的方法可以先假设存在,再寻找所得的结论.变式训练：求f(x)=322)2(x x -在［-1，3］上的最大值及最小值.解:对f(x)求导得f′(x)=3)2(134--x x x . 在定义域内不可导点为x 1=0,x 2=2.令f′(x)=0，得x=1.又f(-1)=39,f(0)=0, f(1)=1,f(2)=0,f(3)=39,∴在x=-1点和x=3点，y 有最大值f(-1)=f(3)=39.∴在x=0点和x=2点,y 有最小值f(0)=f(2)=0.【例3】已知x 、y 为正实数,且满足关系式x 2-2x+4y 2=0,求x·y 的最大值.思路分析:题中有两个变量x 和y,首先应选择一下主要变量,将x 、y 表示为某一个变量(x 或y 或其他变量)的函数关系,实现问题的转化.同时根据题设条件确定变量的取值范围,再利用导数(或均值不等式等)求函数的最大值.解:方法一:4y 2=2x-x 2,∵y ＞0,∴y=2221x x -. ∴x·y=21x·22x x -.由⎩⎨⎧≥->,02,02x x x 解得0＜x≤2. 设f(x)=xy=2221x x x -(0＜x≤2). 当0＜x ＜2时,f′(x)=21［222)1(2x x x x x x --+-］=222)23(x x x x --.令f′(x)=0，得x=23或x=0(舍)， ∴f(23)=833.又f(2)=0,∴函数f(x)的最大值为833,即x·y 的最大值为833. 方法二:由x 2-2x+4y 2=0,得(x-1)2+4y 2=1(x ＞0,y ＞0).设x-1=cos α,y=21sin α(0＜α＜π), ∴x·y=21sin α(1+cos α). 设f(α)=21sin α(1+cos α), 则f′(α)=21［-sin 2α+(1+cos α)·cos α］ =21(2cos 2α+cos α-1)=(cos α+1)(cos α-21). 令f′(α)=0,得cos α=-1或cos α=21. ∵0＜α＜π,∴α=3π,此时x=23,y=43. ∴f(3π)=833. ∴［f(3π)］max =833, 即当x=23,y=43时,［x·y ］max =833. 绿色通道：明确解决问题的策略、指向和思考方法需要抓住问题的本质,领悟真谛,巧施转化.在实现转化的过程中,关键是要注意变量的取值范围必须满足题设条件以免解题时陷于困境,功亏一篑.变式训练：已知动点M 在抛物线y 2=2px(p ＞0)上,问M 在何位置时到定点P(p,p)的距离最短.解:设M(p y 22,y),则d=|MP|2=(py 22-p)2+(y-p)2, d′=2(p y 22-p)·p y +2(y-p)=23py -2y+2y-2p. 由d′=0,得y=p 32.此时M(p p 332,21)为所求.问题探究问题：怎样理解在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值?导思:主要区分闭区间和开区间上连续函数是否有最值的关系.探究:给定函数的区间必须是闭区间,即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值.在闭区间上的每一点必须连续,即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值.。

【教学参考】高二北师大版数学选修2-2同步作业：第3章函数的极值 Word版含答案[ 高考]

函数的极值同步练习1. 已知函数)1ln(2x y +-=的极值情况是（）A. 有极小值B. 有极大值C. 既有极大值又有极小值D. 无极值2. 函数223+--=x x y 的极值情况是（）A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既无极大值也无极小值D. 既有极大值又有极小值3. 三次函数当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（）A. x x x y 9623++=B. x x x y 9623+-=C. x x x y 9623--=D. x x x y 9623-+=4. 函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 时有极值10，则b a ,的值分别为（）A. 3,3- 或 11,4B. 1,4- 或 11,4-C. 5,1-D. 以上都不对5. 下列函数存在极值的是（） A. x y 2= B. 32x y = C. x y 2= D. 33x y =6. 函数)1()2(2-+=x x y 的极大值点为（） A. 54- B. 1 C. 1- D. 2-7. 求函数a x x y +-=63的极值。

8. 函数3)2(33)(23++++=a ax x x f 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围。

9. 函数3231)1(x x y -=的单调区间，并求极值。

10. 函数x bx ax y 223-+=在1,2=-=x x 处取得极值，求函数解析式和极值。

参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：B ；验证0)3(,4)1(==f f 即可。

4. 答案：A ；由0)1(,10)1(='=f f 可得。

5. 答案：D6. 答案：D7. 解析：0632=-='x y 得2±=x ，可求得得极大值为24)2(+=-a f ，极小值为24)2(-=a f 。

8. 解析：由题意知0)2(3632=+++='a ax x y 有两个不等实根，既0>∆，解得2>a 或1-<a 。

北师大版数学高二-(北师大)选修2-2 作业函数的极值

1.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：导数由负到正为极小值点，则由图像可知极小值点有一个．答案：A2．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：因为y ＝2x 3－3x 2，所以y ′＝6x 2－6x ＝6x (x －1)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝1.令y ＝f (x )，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗32当x ＝1时，函数y ＝2x 3－3x 2取得极小值－1. 答案：C3．函数y ＝ax ＋ln(1－x )在x ＝0时取极值，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．不存在解析：y ′＝a ＋－11－x ＝ax －a ＋1x －1(x <1)，由题意得x ＝0时y ′＝0，即a ＝1.检验：当a ＝1时y ′＝xx －1，当x <0时y ′>0，当0<x <1时y ′<0，符合题意．答案：B4．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极值，则( ) A ．00D ．b <12解析：f ′(x )＝3x 2－3b .因f (x )在(0,1)内有极值，所以f ′(x )＝0有解，∴x ＝±b ，∴00得x <0或x >2，由f ′(x )<0得0<x <2.∴f (x )在x ＝2处取得极小值．答案：26．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图像可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．答案：②③④7．求下列函数的极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4；(2)f (x )＝x 3e x .解：(1)∵f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化，如表所示： ↗↘↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点． ∴f (x )极大值＝f (－1)＝173，f (x )极小值＝f (3)＝－5.(2)f ′(x )＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x ·x 2(x ＋3)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－3.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化如表所示： ↘↗由表可知x ＝－3是f (x )的极小值点． f (x )极小值＝f (－3)＝－27e －3，函数无极大值．8．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a ，若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)，由于当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0；所以，当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ；当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ；故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.故a 的取值范围是(－∞，2)∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.。

高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练(十一) 函数的极值 Word版含解析

课时跟踪训练(十一) 函数的极值．函数＝－的极值情况为( )．在＝处取得极大值，但无极小值．在＝处取得极小值－，但无极大值．在＝处取得极大值，在＝处取得极小值－．以上都不对．函数＝＋(－)在＝时取极值，则的值为( )．．．－．不存在．函数()＝－＋在()内有极值，则( )．<．<<．<．>．设三次函数()的导函数为′()，函数＝′()的图像的一部分如图所示，则正确的是()．()的极大值为()，极小值为(－)．()的极大值为(－)，极小值为()．()的极大值为(－)，极小值为()．()的极大值为()，极小值为(－)．若函数()＝在＝处取得极值，则＝.．已知函数()＝＋＋，其导函数＝′()的图像经过点()，()，如图所示，则下列说法中正确的是．①当＝时函数取得极小值；②()有两个极值点；③当＝时函数取得极小值；④当＝时函数取得极大值．．求下列函数的极值．()()＝－－＋；()()＝.．已知函数()＝－＋－，其中≠，求()的极值．答案．选因为＝－，所以′＝－＝(－)．令′＝，解得＝或＝.令＝()，当变化时，′()，()的变化情况如下表：当＝时，函数＝－取得极小值－.．选′＝＋＝(<)，由题意得＝时′＝，即＝.检验：当＝时′＝，当<时′>，当<<时′<，符合题意．．选′()＝－.因()在()内有极值，所以′()＝有解，∴＝±，∴<<，∴<<.．选由题图可知，当∈(－∞，－)时，′()>，即′()<；当∈(－)时，′()<，即′()>；当∈()时，′()>，即′()>；当∈(，＋∞)时，′()<，即′()<.故函数()在＝－处取得极小值，在＝处取得极大值．．解析：′()＝＝，由题意得′()＝＝，解得＝.经检验，＝符合题意．答案：．解析：由图像可知，当∈(－∞，)时，′()>；当∈()时，′()<；。

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课时素养评价 3.1.2 函数的极值

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课时素养评价十四函数的极值(20分钟·50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图是导函数y=f′(x)的图像，在图中标记的点处，函数y=f(x)有极大值的是( )A.x2B.x3C.x1D.x4【解析】选B.观察图像可知在点x3左侧f′(x)>0，f(x)是增加的，在点x3右侧f′(x)<0，f(x)是减少的，所以点x3是极大值点.2.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( )A.极大值5，极小值-27B.极大值5，极小值-11C.极大值5，无极小值D.极小值-27，无极大值【解析】选C.y′=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1)，因为-2<x<2，所以令y′>0得-2<x<-1，令y′<0得-1<x<2，所以函数在(-2，-1)上递增，在(-1，2)上递减，所以当x=-1时，f(x)取极大值，f(-1)=-1-3+9=5.f(x)无极小值.3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是( )A.存在x∈R，使得f(x)=0B.若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0【解析】选C.由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2)，则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，故C项错误；D项正确.4.设a∈R，若函数y=e x-2ax，x∈R有大于0的极值点，则( )A.a<B.a>C.a>D.a<【解析】选C.函数y=e x-2ax，x∈R的导数为y′=e x-2a，函数y=e x-2ax，x∈R有大于0的极值点，即e x-2a=0有大于0的实根，所以函数y=e x 与函数y=2a的图像在y轴右侧有交点，所以2a>1⇒a>.二、填空题(每小题5分，共10分)5.函数f(x)=x3-6x+a的极大值为_________，极小值为_________. 【解析】f′(x)=3x2-6，令f′(x)=0，得x=-或x=.所以[f(x)]极大值=f(-)=a+4，[f(x)]极小值=f()=a-4.答案：a+4a-46.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax+b在x=2处取得极值9，则a+2b=_________.【解析】f′(x)=3ax2+6x-6a，因为f(x)在x=2处取得极值9，所以即解得所以a+2b=-24.答案：-24三、解答题(每小题10分，共20分)7.求函数f(x)=x3-12x的极值.【解析】函数f(x)的定义域为R.f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).令f′(x)=0，得x=-2或x=2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (-∞，-2 (-2，2) 2 (2，+∞)-2)f′(x)+ 0 - 0 +f(x) ↗极大值16 ↘极小值-16 ↗所以当x=-2时，函数有极大值16，当x=2时，函数有极小值-16.8.设函数y=x3+ax2+bx+c的图像如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为-4.(1)求a，b，c的值.(2)求函数的递减区间.【解析】(1)因为函数的图像经过点(0，0)，易得c=0.又图像与x轴相切于点(0，0)，且y′=3x2+2ax+b，故0=3×02+2a×0+b，解得b=0.所以y=x3+ax2，则y′=3x2+2ax.令y′=0，解得x=0或x=-a，即x=0和x=-a是极值点.由图像知函数在x=0处取极大值，在x=-a时取极小值.当x=-a时，函数有极小值-4，所以+a=-4，整理得a3=-27，解得a=-3.故a=-3，b=0，c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2，则y′=3x2-6x，令y′<0，即y′=3x2-6x<0，解得0<x<2，所以，函数的递减区间是(0，2).(15分钟·30分)1.(5分)函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立，且f(1)=e，则下列判断一定正确的是( )A.f(0)<1B. f(-1)<f(0)C. f(0)>0D. f(-1)>0【解析】选A.令函数F(x)=，则F′(x)=，因为f′(x)>f(x)，所以F′(x)>0，故函数F(x)是定义在R上的增函数，所以F(1)>F(0)，即>，故有f(0)<1.2.(5分)设函数f(x)=x-ln x(x>0)，则y=f(x) ( )A.在区间，(1，e)内均有零点B.在区间，(1，e)内均无零点C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】选D.由题意，得f′(x)=-=，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；令f′(x)=0，得x=3，故函数f(x)在区间(0，3)上是减少的，在区间(3，+∞)上是增加的，在x=3处有极小值1-ln 3<0；又f(1)=>0，f(e)=-1<0，f=+1>0，综合各选项知D符合.3.(5分)直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有三个相异的交点，则a 的取值范围是_________.【解析】f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0，得x=1或x=-1.因为f(1)=-2，f(-1)=2，所以-2<a<2.答案：(-2，2)4.(5分)设函数f(x)=ln x-ax2-bx，若x=1是f(x)的极大值点，则a 的取值范围为_________.【解析】因为f(x)=ln x-ax2-bx，所以x>0，f′(x)=-ax-b，由f′(1)=0，得b=1-a，所以f′(x)=-ax+a-1=-.①若a≥0，则由f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减.所以x=1是f(x)的极大值点.②若a<0，则由f′(x)=0，得x=1或x=-.因为x=1是f(x)的极大值点，所以->1，解得-1<a<0.综合①②得，a的取值范围是(-1，+∞).答案：(-1，+∞)5.(10分)设a为实数，函数f(x)=x3-x2-x+a.(1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点？【解析】(1)f′(x)=3x2-2x-1.令f′(x)=0，则x=-或x=1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x - 1 (1，+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极大值是f=+a，极小值是f(1)=a-1.(2)函数f(x)=x3-x2-x+a=(x-1)2(x+1)+a-1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线y=f(x)与x轴至少有一个交点.由(1)知f(x)极大值=f=+a，f(x)极小值=f(1)=a-1.因为曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点，所以f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即+a<0或a-1>0，所以a<-或a>1，所以当a∈∪(1，+∞)时，曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.1.已知函数f(x)=-ln x-x2+bx存在极小值，则实数b的取值范围为( )A.(2，+∞)B.[2，+∞)C.(0，2)D.(0，2]【解析】选A.f′(x)=--x+b=，因为f(x)存在极小值，所以方程-x2+bx-1=0有两个不等的正根，设为x1，x2.故⇒b>2，所以b的取值范围为(2，+∞).2.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明：a>0.(2)求z=a+2b的取值范围.【解析】(1)由函数f(x)在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，知x1，x2是f′(x)=0的两个根.由题意，得f′(x)=ax2-2bx+2-b，所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2).由题意，知在x=x1的左侧有f′(x)>0.由x-x1<0，x-x2<0，得a>0.(2)由题意，得0<x1<1<x2<2等价于即整理，得此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线2-b=0，a-3b+2=0，4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部，如图所示.△ABC的三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).由(1)知a>0，则z=a+2b分别在A，C(4，2)处取得最小值和最大值8.即z=a+2b的取值范围为.关闭Word文档返回原板块。

人教新课标版数学高二-A版选修2-2课时作业 1-3-2函数的极值与导数

课时作业(八)一、选择题1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()答案 A解析考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.2．下面的命题中，正确的是()A．可导的奇函数的导函数仍是奇函数B．可导的偶函数的导函数仍是偶函数C．可导的周期函数的导函数仍是周期函数D．可导的单调函数的导函数仍是单调函数答案 C解析排除法．对于A，取y＝x3可验证其错误；对于B，取y ＝x2可验证其错误；对于D取y＝x3可验证其错误．3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x答案 B4．f (x )＝5x 2－2x 的单调增区间为( ) A ．(15，＋∞) B ．(－∞，15) C ．(－15，＋∞) D ．(－∞，－15)答案 A5．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)答案 B解析令k ≤0，得x 0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．6．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2.7．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )－f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a g (b )，即f (a )a >f (b )b ，即af (b )<bf (a )．若g (x )＝f (x )x 是常数函数，则g ′(x )＝0恒成立．故g (a )＝g (b )，即f (a )a ＝f (b )b ，即af (b )＝bf (a )，综上af (b )≤bf (a )．二、填空题8．函数f (x )＝lg(4x －x 2)的增区间是________．答案 (0,2)解析 ∵函数的定义域为4x －x 2>0， ∴0<x <4.又∵f ′(x )＝4－2x4x －x 2lg e ，令f ′(x )>0， ∴4－2x >0，∴x <2.∴0<x <2，∴增区间为(0,2)．9．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为________．答案 [2，＋∞)解析 ∵y ′＝a －1x ，∴在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12，得1x <2. 要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2. 10．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．答案 a <12解析 ∵f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2且函数f (x )在(－2，＋∞)上单调递减，∴f ′(x )≤0在(－2，＋∞)上恒成立．∴a ≤12.当a ＝12时，f ′(x )＝0恒成立，不合题意，应舍去． ∴a <12. 三、解答题11．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间．解析由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1. 于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，x ＝3π2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)和(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)．12．已知函数f (x )＝ax －ax －2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，只需f ′(x )在(0，＋∞)内恒大于0或恒小于0. 当a ＝0时，f ′(x )＝－2x <0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，∴a －1a ≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或a ＝0. 13．设函数f (x )＝x e kx (k ≠0)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增，求k 的取值范围．解析 (1)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx ＝0，得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈(－∞，－1k )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(－1k ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．若k <0，则当x ∈(－∞，－1k )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－1k ，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．(2)由(1)知，若k >0，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增；若k <0，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f (x )在区间(－1,1)内单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．14．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，(1)是否存在a ，使f (x )的单调减区间是(－1,1)； (2)若f (x )在R 上是增函数，求a 的取值范围．解析 f ′(x )＝3x 2－a ，(1)∵f (x )的单调减区间是(－1,1)， ∴－1<x <1是f ′(x )<0的解．∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.。

高中数学选修2-2课时作业22：1.3.3 函数的最大(小)值与导数

1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值 2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A ．f (1)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (1)，f (5) D ．f (5)，f (2) 3．函数y ＝xex 在[0,2]上的最大值是( )A ．当x ＝1时，y ＝1eB ．当x ＝2时，y ＝2e 2C ．当x ＝0时，y ＝0D ．当x ＝12，y ＝12e4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．－1 D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－32二、填空题7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．三、解答题10．求下列各函数的最值． (1)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11.已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的[解析]式； (2)对(1)中的φ(a )和任意的a >0，b >0，证明： φ′(a ＋b 2)≤φ′(a )＋φ′(b )2≤φ′(2aba ＋b)．——★ 参考答案 ★——1．D[解析]函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值． 2．D[解析]f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6. ∴最大值为f (5)，最小值为f (2)． 3．A[解析]y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－xe x ，令y ′＝0得x ＝1.∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2，∴最大值为1e (x ＝1时取得)．4．A [解析]y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12.又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0，所以y max ＝12＋ 1－12＝ 2. 5．B[解析]∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4. 6．C[解析]y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．7．－1[解析]f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，122e π[解析]∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤122e π9．20[解析]f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)． ∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20. 10．解：(1)因为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，所以f ′(x )＝11＋x －12x ＝－x 2－x ＋22(1＋x )＝－(x ＋2)(x －1)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表]∴当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 2－14，又∵ln 3－1>0，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值0.即f (x )在[0,2]上的最大值为ln 2－14，最小值为0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 11．解：由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)． 12．解：(1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝e x2x (x ＋2)．由e x2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间，由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－3,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2， ∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．13．(1)解由条件知h (x )＝x －a ln x (x >0)，∴h ′(x )＝12x －ax＝x －2a 2x .①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2， ∴当0<x <4a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0,4a 2)上递减；当x >4a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．∴x ＝4a 2是h (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值点．∴最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln 4a 2 ＝2a (1－ln 2a )． ②当a ≤0时，h ′(x )＝x －2a2x>0，h (x )在(0，＋∞)上递增，无最小值．故h (x )的最小值φ(a )的[解析]式为 φ(a )＝2a (1－ln 2a )(a >0)． (2)证明由(1)知φ′(a )＝－2ln 2a ，对任意的a >0，b >0，φ′(a )＋φ′(b )2＝－2ln 2a ＋2ln 2b2＝－ln 4ab ，①φ′(a＋b2)＝－2ln(2·a＋b2)＝－ln(a＋b)2≤－ln 4ab，②φ′(2aba＋b)＝－2ln(2·2aba＋b)≥－2ln4ab2ab＝－ln 4ab，③故由①②③得φ′(a＋b2)≤φ′(a)＋φ′(b)2≤φ′(2aba＋b)．。

3月2日高二数学选修2-2第1.3.2函数极值与导数课后作业(1)

1.3.2 函数的极值与导数课后练习一、知识回顾1.极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，且____，在点x ＝a 附近的左侧____，右侧______，则a 叫做极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，且______，在点x ＝b 附近的左侧______，右侧_______，则b 叫做极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为_______；(2)极大值与极小值统称为_____．4．求函数y ＝f (x )的极值的方法解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧_____，右侧______，那么f (x 0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧______，右侧______0，那么f (x 0)是极小值.二、课后检测一、选择题1．下面说法正确的是( )A ．可导函数必有极值B ．函数在极值点一定有定义C ．函数的极小值不会超过极大值D ．以上都不正确2．当函数y ＝x ·e x 取极小值时，x ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－13．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e4．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( )A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为( ) A ．21 B ．－21 C ．27 D ．－276．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是( )7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9二、填空题8．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点为________． 9．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.10．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________.11．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既无极大值又无极小值，则实数a 的取值范围是________．12．若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f (x )的极小值为________．三、解答题13．求出下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－3x 2－2；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a ，b ，c 的值．(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．三、能力测试15.设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)若a ＝4，过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的几条不同的切线？16．已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋32(a ∈R )．若f (x )恰有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)．(1)求a 的取值范围；(2)求证：f (x 2)<f (x 1)<0.参考答案1.解析：一次函数可导，但没有极值，A 不正确；B 显然正确；函数的极大值和极小值没有准确的大小关系，C 不正确；D 不正确，故选B.答案：B2.解析：y ′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，∴函数y ＝x e x 单调递减；当x ∈(－1，＋∞)时，y ′>0，∴函数y ＝x e x 单调递增，∴x ＝－1时，函数y ＝x e x 取极小值，故选D.答案：D3.解析：y ′＝e x ＋a ，令y ′＝0，得e x ＝－a ，∴x ＝ln(－a )，∵x >0，∴ln(－a )>0，解得a <－1，故选A.答案：A4.解析：由y ＝x 3－3x 2－9x ，得y ′＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)，由y ′＝0，得x ＝－1或x ＝3，当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，y ′>0；当x ∈(－1,3)时，y ′<0，∴当x ＝－1时，函数有极大值5；而3∉(－2,2)，∴函数无极小值，故选C.答案：C5.解析：依题意，x ＝－2与x ＝4是f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋4＝－2a 3，－2×4＝b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24，∴a －b ＝(－3)－(－24)＝21，故选A. 6.解.析：∵函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴x <－2时，f ′(x )<0，x >－2时，f ′(x )>0，∴当x <－2时，xf ′(x )>0；当－2<x <0时，xf ′(x )<0；当x >0时，xf ′(x )>0，∴函数y ＝x ·f ′(x )的图象可能是C 选项．7.解析：∵f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，等号成立，∴ab 的最大值等于9，故选D.8.解析：∵f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(x )<0，∴x ＝π6时，f (x )取极大值． 9.解析：f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，∵函数f (x )在x ＝－1时有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3m －n ＋m 2＝0，3－6m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，当m ＝1，n ＝3时，f (x )＝x 3＋3x 2＋3x ＋1，∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，∴函数f (x )在R 上单调递增，函数无极值，舍去，∴m ＋n ＝2＋9＝11.10.解析：∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝10，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 经检验，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，时，f ′(x )≥0，不符合题意，舍去，∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (－1)＝30.11.解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，因为函数f (x )既无极大值又无极小值，所以Δ＝36a 2－36(a ＋2)≤0，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.答案：[－1,2]12.解析：∵f (x )＝(x 2＋ax －1)e x ，∴f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x ，∵－2是f (x )的极值点，∴f ′(－2)＝0，即[4－2(a ＋2)＋a －1]e －2＝0，解得a ＝－1，∴f (x )＝(x 2－x －1)e x ，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x ，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，∴x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (1)＝－e.答案：－e13.解析：(1)函数定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：Z ] Z f (x )取得极小值f (2)＝－6.(2)函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：] Z 由上表可知，当f (x )没有极大值．14.解析：(1)由已知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(－1)＝f ′(1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0,3a －2b ＋c ＝0.又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.所以a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.15.解析：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，又由f ′(0)＝b ，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0.故b ＝0，c ＝1.(2)a ＝4时，f (x )＝13x 3－2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－4x ，点(0,2)不在f (x )的图象上，设切点为(x 0，y 0)，则切线斜率k ＝x 20－4x 0，所以⎩⎨⎧y 0－2x 0－0＝x 20－4x 0，y 0＝13x 30－2x 20＋1⇒23x 30－2x 20＋1＝0，上式有几个解，过(0,2)就能作出f (x )的几条切线．令g (x )＝23x 3－2x 2＋1，则g ′(x )＝2x 2－4x ＝2x (x －2)，g (x )，g ′(x )随x 变化的情况如下：Z ] Z g (x )极大值＝g (0)＝1>0，g (x )极小值＝g (2)＝－53<0，所以g (x )有三个零点，即过(0,2)可作出f (x )的3条不同的切线．16.解析：(1)∵f ′(x )＝1x ＋x －a ，x >0，f ′(x )＝1x ＋x －a ≥21x ·x －a ＝2－a ，当a ≤2时，f ′(x )≥2－a ≥0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )无极值，不合题意，舍去．当a >2时，令f ′(x )＝0，得x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42(0<x 1<x 2)， f ′(x )>0⇔0<x <x 1或x >x 2；f ′(x )<0⇔x 1<x <x 2，∴f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，∴f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，符合题意，故a 的取值范围是(2，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，∴f (x 2)<f (x 1)，且a ＝1x 1＋x 1，由f ′(x )＝0得x 2－ax ＋1＝0，∴x 1x 2＝1，又x 1<x 2，∴0<x 1<1，∴f (x 1)＝ln x 1＋12x 21－ax 1＋32＝ln x 1＋12x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋x 1x 1＋32＝ln x 1－12x 21＋12，方法一：下面证明ln x <x －1(0<x <1)，令g (x )＝ln x －x ＋1(0<x <1)，g ′(x )＝1x －1＝1－xx >0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，g (x )<g (1)＝0，即ln x <x －1(0<x <1)，∴f (x 1)<x 1－1－12x 21＋12＝－12x 21＋x 1－12＝－12(x 1－1)2<0，综上f (x 2)<f (x 1)<0，方法二：令g (x )＝ln x －12x 2＋12(0<x <1)，则g ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x >0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴g (x )<g (1)＝0，即f (x 1)<0，综上f(x2)<f(x1)<0.。

高中数学第3章 1第2课时函数的极值课时作业北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题

【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章 1第2课时函数的极值课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] A[解析] 若导函数f ′(x )在某点两侧的符号为“左负右正”，则该点为极小值点，由图像可知极小值点只有一个．2．函数y ＝x 3－3x ＋2的极大值为m ，极小值为n ，则m ＋n 为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] D[解析] 令y ′＝3x 2－3＝0⇒x ＝1或x ＝－1，经分析知f (－1)为函数y ＝x 3－3x ＋2的极大值，f (1)为函数y ＝x 3－3x ＋2的极小值，故m ＋n ＝f (－1)＋f (1)＝4.3．函数y ＝14x 4－13x 3的极值点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] y ′＝x 3－x 2＝x 2(x －1)，由y ′＝0得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ －0 －0 ＋y无极值极小值4．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为零的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案] D[解析] 对于f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f (x )的极值点，故A 不正确．极小值也可能大于极大值，故B 错，C 显然不对．5．(2014·西川中学高二期中)已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－3或a >6D ．a <－1或a >2[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， ∵f (x )有极大值与极小值， ∴f ′(x )＝0有两不等实根，∴Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，∴a <－3或a >6. 二、填空题6．函数f (x )＝2x 3－3x 2的极大值等于________，极小值等于________． [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝6x (x －1)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：7．函数f (x )＝x －ln x 的极小值等于________． [答案] 1[解析] f ′(x )＝1－1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：∴f (x )8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝____.[答案] 3 [解析] f ′(x )＝2xx ＋1－x 2＋a x ＋12，f ′(1)＝3－a4＝0⇒a ＝3. 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点x 0处取得极小值－5，其导函数y ＝f ′(x )的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a ，b 的值；(2)求x 0及函数f (x )的表达式．[解析] (1)由题设可得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∵f ′(x )的图像过点(0,0)，(2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，12＋4a ＋b ＝0解之得：a ＝－3，b ＝0.(2)由f ′(x )＝3x 2－6x ＞0，得x ＞2或x ＜0；∴当在(－∞，0)上，f ′(x )＞0.在(0,2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f (x )在x ＝2处取得极小值，所以x 0＝2，由f (2)＝－5，得c ＝－1， ∴f (x )＝x 3－3x 2－1.10.设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3A ．因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f 2＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧34－a ＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点．当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．f (x )的增区间(－∞，－a )，(a ，＋∞)，减区间(－a ，a )，此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点.一、选择题1．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数的图像如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c[答案] D[解析] 由f ′(x )的图像可知x ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f ′(x )<0；x ∈(0,2)时，f ′(x )>0∴f (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数． ∴x ＝0时，f (x )取到极小值为f (0)＝c .2．已知函数f (x )＝ax 2＋3x ＋2a ，若不等式f (x )>0的解集为{x |1<x <2}，则函数y ＝xf (x )的极值点的个数为( )A ．1B ．2C ．0D ．不能判断[答案] B[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0－3a＝3，所以a ＝－1，即f (x )＝－x 2＋3x －2.于是y ＝xf (x )＝－x 3＋3x 2－2x ，y ′＝－3x 2＋6x －2，由Δ>0，所以y ′＝0有两个相异实根，故函数y ＝xf (x )有两个极值点．3．下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．①④[答案] B[解析] 对于③，f (x )在原点附近为增函数，∴f ′(x )>0，而图像中当x >0时，f ′(x )<0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x 轴上方，④一定不正确，故选B.4．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．1<a <4 C ．2<a <4 D ．a >4或a <1[答案] B[解析] y ′＝3x 2－3A ．当a ≤ 0，f ′(x )≥0；函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a >0，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析当1<a <4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．二、填空题5．(2014·河北冀州中学期中)若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．[答案] [－1,1][解析] f ′(x )＝1＋a cos x ，由条件知f ′(x )≥0在R 上恒成立，∴1＋a cos x ≥0，a ＝0时显然成立；a >0时，∵－1a ≤cos x 恒成立，∴－1a ≤－1，∴a ≤1，∴0<a ≤1；a <0时，∵－1a≥cos x 恒成立，∴－1a≥1，∴a ≥－1，即－1≤a <0，综上知－1≤a ≤1.6.已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a 0；②f (0)f (1)<0； ③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是________． [答案] ②③[解析] 本题考查了导数工具有研究函数零点方面的应用设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ＝0，则x 1＝0，x 2＝x 3＝3，其图象如图：要使f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc 有3个零点，须将g (x )的图象向下平移，如图所示：又f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝0时，x 1＝1，x 2＝3，即得f (1)是极大值，f (3)是极小值．∴由图象可知f (0)·f (1)<0，f (0)·f (3)>0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图．三、解答题7.设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．[分析] (1)对f (x )求导，运用f ′(1)＝0求出a 的值，(2)由f ′(x )＝0解得x 值，结合函数定义域，讨论在各区间上f ′(x )的符号，从而确定极值．[解析] (1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝3x ＋1x －12x2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[点评] 本题通过对导数的考查，解决了常见的斜率问题，极值问题，题目简单，方法常规，但本题容易忽视函数的定义域，从而导致出错。

高中数学选修2-2课时作业21：1.3.3 函数的最大(小)值与导数

1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1C ．πD ．π＋12．已知函数f (x )＝x ·2x ，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最大值B ．当x ＝1ln 2时，f (x )取最小值 C ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最大值D ．当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值3．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋124．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－15．若对任意的x ＞0，恒有ln x ≤px －1(p ＞0)，则p 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．[1，＋∞)二、填空题6．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________．7．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m ，n ，则m －n ＝________. 8．已知函数f (x )＝a x 2＋2ln x ，若当a ＞0时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题9．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，14上的最大值和最小值．10．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．——★ 参考答案 ★——1．[解析]y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数．当x ＝π时，y max ＝π. [答案]C2．[解析]f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.又∵当x <－1ln 2时，f ′(x )<0；当x >－1ln 2时，f ′(x )>0，∴当x ＝－1ln 2时，f (x )取最小值．[答案]D3．[解析]由f ′(x )＝1x －1x 2＝3221x x -＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. [答案]B4．[解析]f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1.又因为f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. [答案]B5．[解析]原不等式可化为ln x －px ＋1≤0，令f (x )＝ln x －px ＋1，故只需 f (x )max ≤0，由f ′(x )＝1x －p 知f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1p 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1p ，＋∞上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1p ＝－ln p ，即－ln p ≤0，解得p ≥1. [答案]D6．[解析]g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：[答案]－2397．[解析]f ′(x )＝3x 2－3，当x ＞1或x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (1)＝1－3－a ＝－2－a ＝n . 又∵f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，∴f (0)＜f (3)， ∴f (x )max ＝f (3)＝18－a ＝m ， ∴m －n ＝18－a －(－2－a )＝20. [答案]208．[解析]由f (x )＝ax 2＋2ln x ，得f ′(x )＝2(x 2－a )x 3.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝－a (舍去)或x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时， f ′(x )＞0，故x ＝a 是函数f (x )的极小值点，也是最小值点，且f (a )＝ln a ＋1.要使f (x )≥2恒成立，需ln a ＋1≥2恒成立，则a ≥e. [答案][e ，＋∞)9．解：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞. (1)f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3.当－32＜x ＜－1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜－12时，f ′(x )＜0；当x ＞－12时，f ′(x )＞0，从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎫－1，－12上单调递减． (2)由(1)知f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，14上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝ln 2＋14. 又因为f ⎝⎛⎭⎫－34－f ⎝⎛⎭⎫14＝ln 32＋916－ln 72－116 ＝ln 37＋12＝12⎝⎛⎭⎫1－ln 499＜0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－34，14上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫14＝116＋ln 72. 10．解：(1)由题设知f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x，所以g ′(x )＝x －1x2.令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间．因此x ＝1是g (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1. (2)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a ，对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，得0<a <e ，所以实数a 的取值范围为(0，e)．。

高中数学选修2-2课时作业1：1.3.2 函数的极值与导数

1.3.2 函数的极值与导数一、基础过关1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析]当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．2．下列关于函数的极值的说法正确的是()A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数[答案] D[解析]由极值的概念可知只有D正确．3．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于() A．2 B．3 C．6 D．9[答案] D[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2ab，∴2ab≤6，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.4．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值[答案] C[解析]由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x<－1或x>3时，y′>0，当－1<x<3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．5．已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0[答案] C[解析]∵f(x)在x＝1处存在极小值，∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0.6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．1<a<2 B．1<a<4C．2<a<4 D．a>4或a<1[答案] B[解析] y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0，函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去；当a >0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，不难分析，当1<a <2，即1<a <4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值．二、能力提升7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.[答案] 3[解析] ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a x ＋1′＝(x 2＋a )′(x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)′(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又∵函数f (x )在x ＝1处取极值， ∴f ′(1)＝0. ∴1＋2×1－a ＝0， ∴a ＝3.验证知a ＝3符合题意．8．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0) B ．－x 0是f (－x )的极小值点 C ．－x 0是－f (x )的极小值点 D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 [答案] D[解析] A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 正确，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f (－x )的极小值点．9．函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 10．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－22(x －1)2；(2)f (x )＝x 2e －x .解 (1)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)2(x －1)3，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增单调递增并且极大值为f (－1)＝－38，无极小值．(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝⎛⎭⎫1e x ′ ＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减单调递增单调递减当x ＝2时，函数有极大值，且为f (2)＝4e －2.11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1.12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增所以f (x )的极大值是f (－13)＝527＋a ，极小值是f (1)＝a －1. (2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0， x 取足够小的负数时，有f (x )<0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， ∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，∴a <－527或a >1， ∴当a ∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－10＋m ＝0⇒m ＝1，定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1x ＋m ＝e x (x ＋1)－1x ＋1，显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明令g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)．h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1(x ＋2)2>0，所以h (x )是单调递增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，又g ′(－12)＝1e －132<0，g ′(0)＝1－12>0，所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内，设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0，所以，e t ＝1t ＋2⇒t ＋2＝e －t ，当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减；当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1t ＋2＋t ＝(1＋t )2t ＋2>0，当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2) ＝g (x )≥g (x )min >0.。

2019学年高二年级数学北师大版选修2-2课时作业：第3章第2节第2课时最大值、最小值问题(含解析)

第3章 2第2课时最大值、最小值问题课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3，由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52D ．22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小．二、填空题6．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.7．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案] 103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27A ．又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.8.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 三、解答题9.(2019·江西理，18)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间(0，13)上单调递增，求b 的取值范围．[解析] (1)当b ＝4时，f (x )＝(x ＋2)21－2x 的定义域为(－∞，12)，f ′(x )＝－5x x ＋1－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋b －1－2x，因为当x ∈(0，13)时，－x1－2x<0，依题意当x ∈(0，13)时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值范围为(－∞，19]．10.(2019·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.一、选择题1．给出下面四个命题：①函数y ＝x 2－5x ＋4，x ∈[－1,1]的最大值为10，最小值为－94；②函数y ＝2x 2－4x ＋1(2<x <4)的最大值为17，最小值为1；③函数y ＝x 3－12x (－3<x <3)的最大值为16，最小值为－16；④函数y ＝x 3－12x (－2<x <2)无最大值，也无最小值．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ③④正确． 2．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝lne e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e ，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.3.(2019·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适，若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合．(2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin 2θ，故S max ＝25.二、填空题5.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1，1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．6.已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36，当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2. 综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2.三、解答题7.(2019·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． ③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 8.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e.所以a 的取值范围是(0，e)[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。

高中数学新人教版选修2-2课时作业：第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数

∴ c 的取值范围为 ( －∞，－ 1) ∪(9 ，＋∞ ) ．
(2) 由 (1) 知 f ( x)< f (3) ＝ 9＋ 8c， ∴9＋ 8c≤ c2 即 c≤－ 1 或 c≥9，
∴ c 的取值范围为 ( －∞，－ 1] ∪9，＋∞ ) ．
反思与感悟
(1) “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的
(2) 若对任意的 x∈(0,3) ，都有 f ( x)< c2 成立，求 c 的取值范围．
解 (1) ∵ f ′（x) ＝ 6x2－ 18x＋ 12＝ 6( x－ 1)( x－ 2) ．
∴当 x∈(0,1) 时， f ′（x)>0 ；当 x∈(1,2) 时， f ′（x)<0 ；
当 x∈(2,3) 时， f ′（x)>0.
跟踪训练 1 求下列函数的最值：
(1)
f
(
x)
＝
1 x
3－
4x
＋
4，
x∈
0,3]
；
3
(2) f ( x) ＝ ex(3 － x2) ， x∈2,5] ．
解
(1)
∵
f
(
x)
＝
1 x
3
3－
4
x＋
4
，
∴ f ′（x) ＝ x2－ 4.
令 f ′（x) ＝ 0，得 x1＝－ 2， x2＝ 2.
4 ∵ f (2) ＝－ 3， f (0) ＝ 4， f (3) ＝ 1，
2 a
3
＝－ 4 a3. 27
3 － 1－ a， a≤－ 2，
综上所述： f ( x) ＝ max
－
4
a3，－
3 <a<0，2720， a≥0.

2020年高中数学人教A版选修2-2 课时作业《函数的极值与导数》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版选修2-2 课时作业《函数的极值与导数》一、选择题1.已知函数y=f(x)在定义域内可导，则函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件2.设函数f(x)=2x ＋ln x ，则( )A ．x=12为f(x)的极大值点B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为f(x)的极大值点D ．x=2为f(x)的极小值点3.已知函数f(x)=2x 3＋ax 2＋36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A ．(2,3)B ．(3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(-∞，3)4.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′(x)的图象可能是( )5.已知函数f(x)=x 3-px 2-qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为() A.427，0 B ．0，427 C ．- 427，0 D ．0，- 4276.函数f(x)=ax 3＋bx 在x=1处有极值-2，则a ，b 的值分别为( )A ．1，-3B ．1,3C ．-1,3D ．-1，-37.已知f(x)=x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )A ．(-1,2)B ．(-3,6)C ．(-∞，-3)∪(6，＋∞)D ．(-∞，-1)∪(2，＋∞)8.设a ∈R ，若函数y=e x ＋ax(x ∈R)有大于零的极值点，则( )A ．a ＜-1B ．a ＞-1C ．a ＜- 1eD ．a ＞- 1e9.已知函数f(x)=e x (sin x-cos x)，x ∈(0,2 017π)，则函数f(x)的极大值之和为( )A.e 2π1－e 2 018πe 2π－1B.e π1－e 2 016π1－e2π C.e π1－e 1 008π1－e 2π D.e π1－e 1 008π1－eπ二、填空题10.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a=________.11.函数f(x)=ax 2＋bx 在x=1a处有极值，则b 的值为________．12.已知函数f(x)=ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)．如图.则下列说法中不正确的是________．(填序号)①当x=32时，函数f(x)取得最小值； ②f(x)有两个极值点；③当x=2时函数值取得极小值；④当x=1时函数取得极大值．13.若函数y=-x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于______．14.若函数f(x)=x 3＋x 2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为______．三、解答题15.设a 为实数，函数f(x)=e x -2x ＋2a ，x ∈R ，求f(x)的单调区间与极值．16.已知f(x)=ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=-1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．17.已知函数f(x)=e x(ax＋b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．18.已知f(x)=2ln(x＋a)-x2-x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值．(2)若关于x的方程f(x)＋b=0的区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．答案解析1.答案为：B ；解析：根据导数的性质可知，若函数y=f(x)在这点处取得极值，则f′(x)=0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)=x 3在R 上是增函数，f′(x)=3x 2，则f′(0)=0，但在x=0处函数不是极值，即充分性不成立．故函数y=f(x)在某点处的导数值为0是函数y=f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B.2.答案为：D ；解析：由f′(x)=-2x 2＋1x =1x ⎝⎛⎭⎪⎫1－2x =0可得x=2.当0＜x ＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．故x=2为f(x)的极小值点．3.答案为：B ；解析：因为函数f(x)=2x 3＋ax 2＋36x-24在x=2处有极值，又f′(x)=6x 2＋2ax ＋36，所以f′(2)=0解得a=-15.令f′(x)＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4.答案为：C ；解析：由题意可得f′(-2)=0，而且当x ∈(-∞，-2)时， f′(x)＜0，此时xf′(x)＞0；排除B 、D ，当x ∈(-2，＋∞)时，f′(x)＞0，此时若x ∈(-2,0)，xf′(x)＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf′(x)＞0，所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.5.答案为：A ；解析：f′(x)=3x 2-2px-q ，由f′(1)=0，f(1)=0得，⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2，q ＝－1，∴f(x)=x 3-2x 2＋x. 由f′(x)=3x 2-4x ＋1=0得x=13或x=1，易得当x=13时f(x)取极大值427. 当x=1时f(x)取极小值0.6.答案为：A ；解析：∵f′(x )=3ax 2＋b ，由题意知f′(1)=0，f(1)=-2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a=1，b=-3.7.答案为：C ；解析：f′(x)=3x 2＋2ax ＋a ＋6，∵f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)=0有两不等实根，∴Δ=4a 2-12(a ＋6)>0，∴a<-3或a>6.8.答案为：A ；解析：∵y=e x ＋ax ，∴y′=e x ＋a.令y′=e x ＋a=0，则e x =-a ，∴x=ln(-a)．又∵x ＞0，∴-a ＞1，即a ＜-1.9.答案为：B ；解析：f′(x)=2e x sin x ，令f′(x)=0得sin x=0，∴x=kπ，k ∈Z ，当2kπ<x<2kπ＋π时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当 (2k-1)π<x<2kπ时，f′(x)<0，f(x)单调递减，∴当x=(2k ＋1)π时，f(x)取到极大值，∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π， ∴0≤k<1 008，k ∈Z.∴f(x)的极大值之和为S=f(π)＋f(3π)＋f(5π)＋…＋f(2 015π)=e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π=e π[1－e 2π 1 008]1－e 2π=e π1－e 2 016π1－e2π，故选B.一、填空题10.答案为：- 23；解析：∵f′(x)=a x ＋2bx ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0.∴a=-23.11.答案为：-2；解析：f′(x)=2ax＋b ，∵函数f(x)在x=1a 处有极值，∴f′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =2a·1a ＋b=0，即b=-2.12.答案为：①；解析：由图象可知， x=1,2是函数的两极值点，∴②正确；又x ∈(-∞，1)∪(2，＋∞)时，y ＞0；x ∈(1,2)时，y ＜0，∴x=1是极大值点，x=2是极小值点，故③④正确．13.答案为：-19；解析：y′=-3x 2＋12x=-3x(x-4)．由y′=0，得x=0或4.且x ∈(-∞，0)∪(4，＋∞)时，y′＜0；x ∈(0,4)时，y′＞0，∴x=4时取到极大值．故-64＋96＋m=13，解得m=-19.14.答案为：[1,5)；解析：由题意，f′(x)=3x 2＋2x-a ，则f′(-1)f′(1)<0，即(1-a)(5-a)<0，解得1<a<5，另外，当a=1时，函数f(x)=x 3＋x 2-x-4在区间(-1，1)上恰有一个极值点，当a=5时，函数f(x)=x 3＋x 2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点．故实数a 的范围为[1,5)．二、解答题15.解：由f(x)=e x -2x ＋2a ，x ∈R 知f′(x)=e x-2，x ∈R.令f′(x)=0，得x=ln 2.于是当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(-∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)；且f(x)在x=ln 2处取得极小值．极小值为f(ln 2)=2(1-ln 2＋a)，无极大值．16.解：(1)由已知，f′(x)=3ax 2＋2bx ＋c ，且f′(-1)=f′(1)=0，得3a ＋2b ＋c=0,3a-2b ＋c=0.又f(1)=-1，∴a ＋b ＋c=-1.∴a=12，b=0，c=-32. (2)由(1)知f(x)=12x 3-32x ，∴f′(x)=32x 2-32=32(x-1)(x ＋1)．当x<-1或x>1时，f′(x)> 0；当-1<x<1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(-∞，-1)和(1，＋∞)上是增函数，在(-1,1)上为减函数．∴当x=-1时，函数取得极大值f(-1)=1；当x=1时，函数取得极小值f(1)=-1.17.解：(1)f′(x)=e x (ax ＋a ＋b)-2x-4.由已知得f(0)=4，f′(0)=4，故b=4，a ＋b=8.从而a=4，b=4.(2)由(1)知，f(x)=4e x (x ＋1)-x 2-4x ，f′(x)=4e x (x ＋2)-2x-4=4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f′(x)=0得，x=-ln 2或x=-2.从而当x ∈(-∞，-2)∪(-ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x ∈(-2，-ln 2)时，f′(x)<0. 故f(x)在(-∞，-2)，(-ln 2，＋∞)上单调递增，在(-2，-ln 2)上单调递减．当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(-2)=4(1-e -2)．18.解：(1)f′(x)=2x ＋a-2x-1，当x=0时，f(x)取得极值，所以f′(0)=0，解得a=2，检验知a=2符合题意．(2)令g(x)=f(x)＋b=2ln(x ＋2)-x 2-x ＋b ，则g′(x)=2x ＋2-2x-1=-2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52x ＋2(x ＞-2)． g(x)，g′(x)在(-2，＋∞)上的变化状态如下表：由上表可知函数在x=0处取得极大值，极大值为2ln 2＋b.要使f(x)＋b=0在区间[-1,1]上恰有两个不同的实数根，只需⎩⎪⎨⎪⎧ g －1≤0，g 0＞0，g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ b≤0，2ln 2＋b ＞0，2ln 3－2＋b≤0，所以-2ln 2＜b≤2-2ln 3.故实数b 的取值范围是(-2ln 2,2-2ln 3]．。

人教A版选修2-2 函数的极值与导数课时作业

人教A 版选修2-2 函数的极值与导数课时作业1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f【答案】D【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ． 2.函数3211()(21)(1)32f x b x b b x x =-+++在(0,2)内有极小值，则 A ．01b <，函数是增函数；当1b x b <<+时，()0f x '<，函数是减函数；当1x b >+时，()0f x '>，函数是增函数，1x b ∴=+是极小值点，012b ∴<+<，11b ∴-<<，故选C ．3.设函数21()ln 2f x ax bx x =--，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围为 A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞UD ．(0,)+∞【答案】B【解析】21()ln 2f x ax bx x =--的定义域为(0,)+∞，1()f 'ax b x x =--，由题意可知()01f '=，即b -=1，1(1)(1)()1ax x f 'a x xx ax +-∴=-+-=-．①若0≥a ，由()0f 'x =，得1=x ，当10<<x 时，()0f 'x >，此时()f x 单调递增；当1>x 时，()0f 'x <，此时()f x 单调递减，所以1=x 是()f x的极大值点．②若0<a ，则由()0f 'x =，得1=x 或ax 1-=．1=x Θ是函数()f x 的极大值点，11>-∴a，解得01<<-a ．综合①②可得，实数a 的取值范围是(1,)-+∞．故选B ． 4.已知a 为常数，函数l )()n (f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则A ．1()0f x >，2()12f x >-B ．1()0f x <，2()12f x <-C ．1()0f x >，2()12f x <-D ．1()0f x <，2()12f x >-【答案】D【解析】由题可得ln (2)1x x f x 'a =-+，易知ln y x =在点P （1，0）处的切线为1y x =-．当021a <<时，直线21y ax =-与曲线ln y x =交于不同两点（如下图），且121x x <<，111111111(ln )(2))0()1(1f x x x ax x ax ax x ax =-=--=-<，2222222222ln 1ln 1ln111(ln )()(ln )2222x x x x f x x x ax x x +-⋅-=-=-=>=-，易知函数ln y x x x =-在(1,)+∞上单调递增，所以2221222>=-，即2()12f x >-，故选D ．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及函数的零点与方程的根的问题，属于难题．已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象：一是转化为两个函数,()()y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为,()y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题．二、填空题：请将答案填在题中横线上．5.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞U【解析】由题意得2()3260f x x ax a '=+++=有两个不相等的实根，则2(2)43(6)03a a a ∆=-⋅+>⇒<-或6a >，故实数a 的取值范围是(,3)(6,)-∞-+∞U ． 6.已知函数()e x x f ax =-，0a >，则函数()f x 的极小值为________________．【答案】ln a a a -【解析】函数()f x 的定义域为R ，()e x 'a x f =-，令()0f 'x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是(ln ,)a +∞；令()0f 'x <，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(,ln )a -∞，故函数()f x 在ln x a =处取得极小值，所以ln ()(ln )e ln ln af f a a a a a x a ==-=-极小值．7.已知函数22ln ()2f x x x x ax =-+，其中0a >，()g x 是()f x 的导函数，则函数()g x 的极大值为________________．【答案】2a【解析】由题可得2l (n )22(2)g x x x f a 'x =-+=+，则，易得函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()g x 的极大值为2(1)g a =．8.1x =处取得极值43-，则实数b =________________．【解析】由题可得22()x x f 'bx c =-++，因为函数()f x 在1x =处取得极值43-，所以11(2)0b 'c f -++==且3(1)143b c bc f -+++=-=，解得13b c =-⎧⎨=⎩或11b c =⎧⎨=-⎩．当11b c =⎧⎨=-⎩时，2221(1())0f x x x 'x =-+-=--≤，不符合题意；当13b c =-⎧⎨=⎩时，223(3)(1())x x x x x f '=--+=-+-，满足题意．综上，实数1b =-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）20x y +-=；（2）见解析．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1af x x'=-．（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-，故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．（2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值;②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =．当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．12．已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）若0a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 存在极值，且所有极值之和大于15ln 2-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；（2）(4,)+∞．【解析】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0a =时，2()ln f x x x =--，1()20f x x x'=--<恒成立，所以函数()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间．（2）由题可得221()x ax f x x-+'=-，0x >，因为函数()f x 存在极值，所以221()x ax f x x-+'=-在(0,)+∞上存在变号零点，令2()21g x x ax =-+，则函数()g x 在(0,)+∞上存在变号零点，因为(0)10g =>，所以280a ∆=->且022a-->⨯，解得a > 记函数()g x 的两个零点分别为1x ，2x ，21x x <，易得1()()f x f x =极小值，2()()f x f x =极大值，122x a x +=，1212x x =，所以22122211212211()()()(ln ln )1ln 5ln (242)2a a f x f x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-，即216a >，结合a >4a >，故实数a 的取值范围为(4,)+∞． 13.已知函数xxx f ln 1)(+=．（1）求函数)(x f 的极值；（2）求证：当1>x 时，2()1f x x >+．【答案】（1）函数)(x f 的极大值为1，没有极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）由题可得)0(ln )(2>-='x xxx f ，当)1,0(∈x 时0)(>'x f ，)(x f 单调递增；当),1(+∞∈x 时0)(<'x f 时，)(x f 单调递减，所以1=x 是函数)(x f 的极大值点，极大值为(1)1f =，故函数)(x f 的极大值为1，没有极小值．（2）要证2()1f x x >+，即证(1)(1ln )2x x x ++>，令x x x x g )ln 1)(1()(++=，则22ln )1)(ln 1(])1)(ln 1[()(x xx x x x x x x x g -=++-⋅'++='，令x x x h ln )(-=，则xx x x h 111)(-=-='，因为1>x ，所以0)(>'x h ，所以)(x h 在),1(+∞上是增函数，所以01)1()(>=>h x h ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在),1(+∞上是增函数，所以当1>x 时，2)1()(=>g x g ，即(1)(1ln )2x x x ++>，所以当1>x 时，2()1f x x >+．。

高中数学选修2-2课时作业16：1.3.3 函数的最大(小)值与导数(一)

1．3.3 函数的最大(小)值与导数(一)一、选择题1．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)() A．等于0 B．小于0C．等于1 D．不确定考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求导数[答案] A[解析]因为M＝m，所以f(x)为常数函数，故f′(x)＝0，故选A.2．函数f(x)＝x4－4x(|x|<1)()A．有最大值，无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值D．既无最大值，也无最小值考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值存在性问题[答案] D[解析]f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值，故选D.3．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( ) A ．2B ．3 C.174D ．22＋12 考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值[答案] B[解析] 由f ′(x )＝1x －1x2＝32x －1x 2＝0，得x ＝1，且当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴当x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.4．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于( ) A ．2B ．1 C.233D ．0 考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数[答案] A[解析] ∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点．又∵f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝a cos π3＋cos π＝0，解得a ＝2. 5．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值[答案] A[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，∵f ′(x )<g ′(x )，∴F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴F (x )在[a ，b ]上单调递减，∴F (x )max ＝F (a )＝f (a )－g (a )．6．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32B.12 C ．－12D.12或－32 考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数[答案] C[解析] 由题意知a <2，令f ′(x )＝－2x －2＝0，则x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．所以a ＝－12. 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．15B ．－15C ．10D ．－13考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值[答案] D[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3，由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在区间[－1,0)上单调递减，在区间(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图象开口向下，且对称轴为直线x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.二、填空题8．函数f (x )＝4x x 2＋1(x ∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________．考点导数在最值问题中的应用题点最值与极值的综合应用[答案] 2 －2[解析] f ′(x )＝4(x 2＋1)－4x ×2x (x 2＋1)2 ＝4(1－x 2)(x 2＋1)2＝4(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1.由f (－2)＝－85，f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (2)＝85， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－2.9．已知函数f (x )＝－23x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数[答案] 15x －3y －2＝0[解析] ∵f ′(x )＝－2x 2＋4ax ＋3＝－2(x －a )2＋3＋2a 2，∴f ′(x )max ＝3＋2a 2＝5，∵a >0，∴a ＝1.∴f ′(x )＝－2x 2＋4x ＋3，f ′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f (1)＝－23＋2＋3＝133， ∴所求切线方程为y －133＝5(x －1)．即15x －3y －2＝0.10．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12π2e [解析] f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12π2e ，f (x )的最小值为f (0)＝12. 11．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数[答案] 1[解析] 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1.令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a时，f ′(x )>0；当x >1a时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.12．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是__________．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点最值与零点问题[答案] (－∞，2ln 2－2][解析] 由题意知e x －2x ＋a ＝0有根，即a ＝2x －e x ，令g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2.而g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝2ln 2－e ln 2＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2.三、解答题13．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2，a ，b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求a ，b 的值；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值．考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解 (1)f ′(x )＝a x－2bx . 由曲线y ＝f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －2b ＝0，－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)，得f (x )＝ln x －12x 2，定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x. 令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝－12. 四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数[答案] 2[解析] 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ，可得f ′(x )＝x 2－2x －1，令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1±2.当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2. 15．已知函数f (x )＝ln x ＋a x. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．考点导数在最值问题中的应用题点已知最值求参数解函数f (x )＝ln x ＋a x的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， (1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a <1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a <1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当a ＝1时，函数f (x )在[1，e]上单调递增，其最小值为f (1)＝1，同样与最小值是32相矛盾； ③当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e ]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以，函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝ e. ④当a ＝e 时，函数f (x )在[1，e]上有f ′(x )≤0，f (x )单调递减，其最小值为f (e)＝2，这与最小值是32相矛盾； ⑤当a >e 时，显然函数f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e >2，仍与最小值是32相矛盾；综上所述，a 的值为 e.。

高中数学选修2-2课时作业14：1.3.2 函数的极值与导数(一) (1)

1．3.2 函数的极值与导数(一)一、选择题1．下列函数中存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题 [答案] B[解析] 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0. 在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故x ＝0为函数y ＝x －e x 的极大值点．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( ) A ．－e B ．1－e C ．－1D ．0 考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题 [答案] C[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，3)考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数 [答案] B[解析] 因为f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，即24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15，所以f ′(x )＝6x 2－30x ＋36 ＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )>0，得x <2或x >3.4．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝xf ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )极大值为f (－3)，极小值为f (3)C．f(x)极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)极大值为f(3)，极小值为f(－3)考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用[答案] D[解析]当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－3<x<3时，f′(x)≥0；当x>3时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3)．5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的()A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极小值为－427，极大值为0D．极大值为－427，极小值为0考点函数某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题[答案] A[解析]f′(x)＝3x2－2px－q.由函数f(x)的图象与x轴切于点(1,0)，得p＋q＝1，∴q＝1－p，①3－2p－q＝0，②联立①②，解得p＝2，q＝－1，∴函数f(x)＝x3－2x2＋x，则f′(x)＝3x2－4x＋1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝13.当x≤13时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当13<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫13＝427， f (x )极小值＝f (1)＝0.故选A.6．设a <b ，函数y ＝(x －a )2(x －b )的图象可能是( )考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用 [答案] C[解析] y ′＝(x －a )(3x －a －2b )，由y ′＝0得x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3.当x ＝a 时，y 取得极大值0，当x ＝a ＋2b 3时，y 取得极小值且极小值为负，故选C.7．已知函数f (x )＝e x (sin x －cos x )，x ∈(0,2 017π)，则函数f (x )的极大值之和为( ) A.e 2π(1－e 2 018π)e 2π－1B.e π(1－e 2 016π)1－e 2πC.e π(1－e 1 008π)1－e 2πD.e π(1－e 1 008π)1－e π考点函数某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题 [答案] B[解析] f ′(x )＝2e x sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝0， ∴x ＝k π，k ∈Z ，当2k π<x <2k π＋π时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当(2k －1)π<x <2k π时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴当x ＝(2k ＋1)π时，f (x )取到极大值， ∵x ∈(0,2 017π)，∴0<(2k ＋1)π<2 017π， ∴0≤k <1 008，k ∈Z . ∴f (x )的极大值之和为S ＝f (π)＋f (3π)＋f (5π)＋…＋f (2 015π) ＝e π＋e 3π＋e 5π＋…＋e 2 015π＝e π[1－(e 2π)1 008]1－e 2π＝e π(1－e 2 016π)1－e 2π，故选B.二、填空题8．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．考点函数某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题 [答案] y ＝－1e[解析] 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1，∴y ＝－1e，∴在极值点处的切线方程为y ＝－1e.9．若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数[答案]－5[解析]∵函数f(x)＝(x－2)(x2＋c)在x＝2处有极值，∴f′(x)＝(x2＋c)＋(x－2)×2x，令f′(2)＝0，∴(c＋4)＋(2－2)×2×2＝0，∴c＝－4，∴f′(x)＝(x2－4)＋(x－2)×2x.∴函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.10．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1的极值点，则f(x)的极小值为________．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数[答案]－1[解析]函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1，则f′(x)＝(2x＋a)e x－1＋(x2＋ax－1)·e x－1＝e x－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点，得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝e x－1·(x2＋x－2)．由e x－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f(－1)＝________.考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数 [答案] 30[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验知，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30. 三、解答题12．设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数函数求极值解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为单调递减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为单调递增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3.13．已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，得x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )有极大值f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 四、探究与拓展14．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用[答案] C[解析]由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，此时xf′(x)>0；排除B，D，当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)>0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.15．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋a)e x(a≤2，x∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．考点利用导数研究函数的极值题点已知极值(点)求参数解(1)f(x)＝(x2＋x＋1)e x，f′(x)＝(2x＋1)e x＋(x2＋x＋1)e x＝(x2＋3x＋2)e x.当f′(x)>0时，解得x<－2或x>－1，当f′(x)<0时，解得－2<x<－1，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)；单调递减区间为(－2，－1)．(2)令f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax＋a)e x＝[x2＋(2＋a)x＋2a]e x＝(x＋a)(x＋2)e x＝0，得x＝－a或x＝－2.当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，函数无极值，故舍去；当a<2时，－a>－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，f(x)极大值＝f(－2)＝(4－2a＋a)e－2＝3，解得a＝4－3e2<2，所以存在实数a<2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.。