《应用概率统计》复习题及答案

工程硕士《应用概率统计》复习题

考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ⋃。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ⊂== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P

故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=⋃P B P

2.设随机变量)1(,9

5

)1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。

解：

.

8165

31-1-10)(Y -11)(Y ),3

1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9

5)1(),,2(~422====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（）（而且P P b Y p p p P X P X P p b X

3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其

4．设随机变量Y 服从参数2

1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322

=-++Y Yx x 没有实根的概率。

解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2

2

<+<=∆，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2

<<=<+，而Y 的概率密度

⎪⎩

⎪⎨⎧≤>=0,00

,21f(y)21-y y e y ，从而36221

-621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<<⎰⎰

5．设离散型随机变量X 的可能取值为 -1，0，1，3，相应的概率依次为,16

7

165163161，，， 求概率)2(≤X P 。 解：由题意可知,16

73}P{X ,1651}P{X ,1630}P{X ,161-1}P{X =======

= 所以.16

9

167-

13}P{X -11}P{X 0}P{X -1}P{X 2)|X P(|=====+=+==≤

9. 现有两箱同类产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18

件一等品。现从两箱中任取一箱，再从取出的箱中任取一件产品，求： (1) 取到的产品是一等品的概率；

(2) 已知取到的是一等品，问它来自第一箱的可能性有多大？ 解：设A 表示“这个产品是一等品”，

B 1表示“这个产品来自第一箱”，B 1表示“这个产品来自第一箱”， 则易得 2

1

)P (B )(B ,533018)B |P(A ,515010)B |P(A 2

121======P . (1)由全概率公式有

.5

2

21532151)(B )B |P(A )(B )B |P(A P(A)2211=⨯+⨯=+=P P

（2）由贝叶斯公式有

.41

5

22151(A))P(B )B |P(A A)|P(B 111=⨯

=⋅=P

10. 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

⎩

⎨⎧>>=+-其它，00

,0,),()32(y x ke y x f y x

（1）求常数k 的值；（2）求（X ，Y ）的分布函数F (x ，y )； （3）判断X 与Y 是否相互独立；（4）求)12(≤+Y X P 。

解：（1）利用概率密度的性质

从而得6,k ,6

dxdy ke y)dxdy (x,10

3y -2x ---==

==⎰

⎰

⎰

⎰

+∞

+∞

+∞

∞

+∞

∞

k

f

⎩

⎨

⎧>>=+-其它，00

,0,6),()32(y x e y x f y x . （2）由定义

⎩⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰

∞∞

.

0,

0,y 0,x ),

e -)(1e

-(1.

,0,0,0,

dvdu 6e v)dvdu (u,y)F(x,3y

-2x

-00

3v -2u ---其它其它x y x

y

y x f

（3）（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度分别为

.0,

0,

18-)(,

.0,0,12-)()32()32(⎩

⎨

⎧>=⎩⎨⎧>=+-+-其它

，其它，y e y f x e x f y x y y x x 显然(y))(y)(x ,y x f x f f ≠，所以X 与Y 不相互独立。 （4）（X ，Y ）的取值区域如图所示，

故.5135.04-316y)dxdy f(x,1)2Y P(X 2-10

2

3-

-2-3-2-1

1

2y x ≈+===

≤+⎰

⎰⎰⎰≤+x

y x e

e dy e dx

11. 设 X 1, X 2, …, X n 是取自总体 X 的一个样本，),(~2

σμN X ，6

32ˆ3

211X X X +

+=μ，442ˆ3212X X X ++=μ

，3

33ˆ3213X X

X ++=μ

。 (1) 判断321ˆˆˆμμμ

，，中哪些是μ的无偏估计；