初一上学期数学竞赛的试题(含答案)16开定稿-2018.1

初一上学期数学竞赛试题
2018.1
一、填空题I （每小题3分，共30分）
1、已知数轴上从左到右依次有A ，B ，C 三个不同的点，点A 表示的数为0，AB =4，BC =8，P 点为AC 的中点，则P
点表示的数为 .
2、方程|x +1|=2的其中一个解是方程mx +1=0的解，则m 的值等于 .
3、已知2=x 是方程063=++bx ax 的解，则593-+b a 的值为 .
4、若⎩⎨⎧==12
y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+57cy bx by ax 的解，请用含a 的代数式表示c 为 ．
5、桌面上摆着一些相同的小正方体木块，从正南方向看如图a ，从正西方向看如图b ，那么桌面上至少有 块这样的小正方体木块.
6、 如图，它是一个正方体的展开图，若此正方体的相对面上的数互为相反数，则a -（b -c ）= .
7、如图，把一副三角板叠合在一起，使直角顶点重合于O ，∠AOD =20°,则∠AOC +∠AOD = ．
8、如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.可求得c =_______，第2013个格子中的数为_________.
第5题图
第6题图
2
a
b
7
-1 c
B
D
C
O
A 第7题图
9、如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨
水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的 .
10、图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 .
二、填空题II （每小题3分，共48分）
11、已知｜x ｜＝1，｜y ｜＝2，且｜x +y ｜=x +y ，则x ＋y 的值等于________. 12、已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，一只蜗牛从点A 出发沿数轴运动，它的速度为4个单位/秒.当这只蜗牛到A 、B 、C 的距离和为40个单位时所用的时间为 .
13、在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下：
(1)对任意实数a 、b ，有a *b =(a +1)·(b -1)； (2)对任意实数a ，有a *2=a *a . 当x =2时，[3*(x *2)]-2*x +1的值为 ．
14、给出四个自然数a 、b 、c 、d ，其中每三个数之和分别是180、197、208、222，则a 、b 、c 、d 中最大的数是 ．
15、有理数均不为零，且，设，则代数式
x 19-99x+2013的值为 ．
c b a 、、0=++c b a b
a c a
c b c
b a x ++
++
+
=图3
图2
图1
不考虑瓶子的厚度.
16、观察表l ，找规律．表2是从表l 中截取的一部分，则++的值为 ． 表1 表2
17、有一个运算程序，可以使：a b n ⊕=(n 为常数)时，得(1a +)1b n ⊕=-,
(1)2a b n ⊕+=-．现在已知112⊕=，那么2013⊕2013= ．
18、自然数a 2是一个完全平方数，那么与a 2之差最小且比a 2大的一个完全平方数是 ．
19、已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为 ．
20、如果不论k 为何值，x =-1总是关于x 的方程 kx+a 2
−
2x−bk 3
=1 的解，则a =___，
b = .
21、对于有理数y x 、定义一种运算“Δ”：x Δy =ax +by +c ，其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算．已知3Δ5＝15，4Δ7＝28，则1Δ1的值为 ． 22、如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q
p n m ，那么，
q p n m +++等于________.
23、一个角可以将平面分成2部分，3个角最多可以将平面分成______个部分. 24、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2
c b a .
25、甲，乙二人分别从A ，B 两地同时出发匀速相向而行，出发后8小时两人相遇，若两人每小
时都多走2千米，则出发后6小时两人就相遇在距离AB 中点3千米的地方，已知甲比乙行得快.甲原来每小时行____ ____千米.
a b c
26、读一读：式子“12345100+++++
+”表示1开始的100个连续自然数的和．由
于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”
表示为100
1
n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999+++++
+，即从1开始的100
以内的连续奇数的和，可表示为50
1
21n n =-∑（）
；又如333333333312345678910+++++++++可表示为10
31
n n =∑．
通过对以上材料的阅读，请解答下列问题． ⑴ 246810100+++++
+(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示
为 ．
(2)计算5
211n n =-=∑（） ．(填写最后的计算结果)
三、简答题（27-29题每小题4分，30-31题每小题5分，共22分）
27、化简： ；
28、设999727525323124932⨯+
+⨯+⨯+⨯= S ，99
272523148
2++++= T ，计算：T S - ；
29、如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，请描述它们第2013次相遇时，甲的位置.
)2(2)2(223
4++-n n n
30、已知|a+b+1|与(a-2)2互为相反数，且关于x 的方程2(x+a)=3(x-b)的解为m+2.
根据上述条件解决下列问题： （1）求a 、b 、m 的值；
（2）若数轴上点C 的位置如图所示，点C 表示的数c ，请化简下式：
|a-b+c|-|m+a-c|+|b-c-m|；
（3）在（2）的基础上，设y=|a-b+c|-|m+a-c|+|b-c-m|，当50- (c+a+b)2达到最大值
时，求y 的值.
31、已知数轴上有A 、B 、C 三点，分别代表—24，—10，10，甲、乙两只蜗牛分别从A 、C 两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒.
(1)请直接写出：当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时所用的时间；
(2)若乙的速度为6个单位/秒，甲、乙两只蜗牛分别从A 、C 两点同时相向而行，请直接写出：甲、乙在数轴上相遇的点表示的数；
(3)在⑴⑵的条件下，当甲到A 、B 、C 的距离和为40个单位时，甲调头返回.问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由.
b 0 a
C -2
初一上学期数学竞赛试题参考答案
填空题I
1、【解析】根据题意画出数轴，分析得到：点B 表示的数为4，点C 表示的数为12，所以AC 的中点为6.
2、【解析】解方程|x +1|=2得：x=1或-3，代入方程mx +1=0得，m =-1或3
1.
3、【解析】把2=x 代入063=++bx ax 得：2a+6b+6=0,所以a+3b=-3,所以3a+9b-5=-14.
4、【解析】由方程组的解的定义可知：{2a +b =72b +c =5,消元b 得到：4a -c =9，所以c =4a -9.
5、【解析】由已给视图可知至少有6块.
右图给出了由6块小正方体木块组成的满足条件的方案.
6、【解析】由题意得：a=-2,b=-7,c=1,所以，原式=6.
7、【解析】由题意得：∠BOC=∠AOD=20°，所以∠AOC=110°，所以∠AOC+∠AOD=130°. 8、【解析】由题意得：3+a+b=a+b+c=b+c+(-1),得到c=3,a=-1,进一步得到b=2.从而得到三个数3,-1,2循环出现，这样第2013个数为2.
9、【解析】设瓶的下底面面积为S,则根据左侧瓶子得到：墨水的体积为aS ；根据右侧瓶子得到：除去墨水的体积为：bS,所以总体积为：（a+b ）S,从而瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的
b a a
+.
10、【解析】第1个图中有1个，第2个图中有1+1+4=6个，第3个图中有1+(1+4)+(1+4×2)=15个,第4个图中有1+(1+4)+(1+4×2)+ (1+4×3)=28个,第5个图中有28+(1+4×4)=45个，第6个图中有45+(1+4×5)=66个，第7个图中有66+(1+4×6)=91个.
填空题II
11、【解析】由题意得：x=±1,y=±2,而x+y ≥0，所以x+y=1或3.
12、【解析】根据题意画出数轴进行分析，显然这只蜗牛的位置只能在AB 之间或BC 之间，设蜗牛用时x 秒，则蜗牛的位置点表示的数为-24+4x. 当它在AB 之间时：34+(-10)-(-24+4x)=40,解得：x=2； 当它在BC 之间时：34+(-24+4x)-(-10)=40,解得：x=5.
13、【解析】根据规定进行运算：[3*(x *2)]-2*x +1=[3*(2*2)]-2*2+1=8-3+1=6. 14、【解析】由题意得:a+b+c=180；a+b+d=197；a+c+d=208；b+c+d=222.将这四个等式相加得到：3(a+b+c+d)=180+197+208+222,即：a+b+c+d=269,用这个等式分别减去上述四个等式得到：
d=89；c=72；b=61；a=47.所以最大的数为89.
15、【解析】既然，则b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c,所以x=||a|
a +|b|b
+
|c|c
|.又因
为
，且均不为零，所以a,b,c 中必有一个正数两个负数，或两个正数一个负数，所以x=1,所以原式=1915. 【答案】1915.
16、【解析】观察表格，得到：c =24,b =25,a =20,则++的值为69.
17、【解析】根据规定，且112⊕=，可知：2⊕1=2-1=1，3⊕1=1-1=0，…, 2013⊕1=-2010； 另外，2013⊕1=-2010，2013⊕2=-2010-2×1，2013⊕3=-2010-2×2，…, 2013⊕2013=-2010-2×2012=-6036. 【答案】-6034.
18、【解析】既然a 2是一个完全平方数，则与a 2之差最小且比a 2大的一个完全平方数是(|a |+1)2. 【答案】(|a |+1)2.
19、【解析】设前17个连续整数为a 1,a 2,…,a 17,则紧接后17个数为a 1+17，a 2+17,…,a 17+17,所以和比前者大17×17=289，所以和为595. 【答案】595.
0=++c b a 0=++c b a c b a 、、a b c
20、【解析】将x =-1代入方程得到：
a−k 2+
2+bk 3
=1,无论k 取何值，该式恒成立，从而
得到：(b
3−1
2)k =1−2
3−a
2,所以b
3−1
2=0，1−2
3−a
2=0，解得：a=2
3,b=3
2. 【答案】a=2
3,b=3
2.
21、【解析】由题意得：3a+5b+c=15,4a+7b+c=28,求a+b+c=?.可以用第二个等式减去第一个等式得到：a+2b=13.再在这个等式两边同乘以2得到：2a+4b=26,利用第一个等式减去这个等式，得到：a+b+c=-11. 【答案】-11.
22、【解析】将4分解成四个不同的整数为：-1，1，2，-2，从而7-m,7-n,7-p,7-q 必与-1，1，2，-2四个数中一个相等，从而得到m+n+p+q=28-0=28. 【答案】28.
23、【解析】画出图形，尽量使后画出的角的两边和前面画出的角的边都相交，可得最多可以分成16部分. 【答案】16.
24、【解析】由题意知，a=-1,b=-2,c=-3；或a=1,b=-2,c=-3,所以原式=0或4. 【答案】0或4.
25、【解析】设AB 两地相距2S ，且用V 甲，V 乙表示甲乙的速度，则： 8（V 甲+V 乙）=6（V 甲+V 乙）+24，则V 甲+V 乙=12,所以S=48. 6 V 甲+12=S+3，所以：V 甲=6.5. 【答案】6.5.
26、【解析】(1)原式=2×1+2×2+…+2×50=∑2n 50n=1. (2)原式=（12-1）+（22-1）+（32-1）+（42-1）+（52-1）=50. 【答案】（1）∑2n 50n=1.（2） 50. 27、【解析】由题意化简得：原式=
2n+4−2n+1
2n+4
=
8−18=7
8.
28、【解析】S =1
1−1
3+2×(1
3−1
5)+22×(1
5−1
7)+⋯+248×(1
97−1
99)
S=1
1
+
1
3
+2×
1
5
+22×
1
7
+⋯+247×
1
97
−248×
1
99
S−T=1
1−249×1
99
=
99
2
1
49
.
29、【解析】设正方形的边长为a,当二者第2013次相遇时，二人共行了2a+2012×4a=4050a,而乙的速度是甲的速度的4倍，所以甲行了4050a×1
5
=810a，810a÷4a=202…2，则甲的位置在顶点C处.
30、【解析】(1)由题意得：a=2,b=-3,m=-7.
（2）如图所示，0<c<2,且由（1）知：a=2,b=-3,m=-7，所以：
原式=|2+3+c|-|-7+2-c|+|-3-c+7|=5+c-5-c+4-c=4-c；
（3）由题意得：c=1,
所以y=4-c=3.
31、【解析】如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

此时甲表示的数为—24+4x。

①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14
甲到C的距离为10—（—24+4x）=34—4x
依题意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x
依题意，20+4x=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。

⑵是一个相向而行的相遇问题。

设运动t秒相遇。

依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4 （或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。

而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。

①甲从A向右运动2秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。

甲表示的数为：—24+4×2—4y；乙表示的数为：10—6×2—6y
依题意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇点表示的数为：—24+4×2—4y=—44
（或：10—6×2—6y=—44）
②甲从A向右运动5秒时返回。

设y秒后与乙相遇。

甲表示的数为：—24+4×5—4y；乙表示的数为：10—6×5—6y
依题意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8
（不合题意，舍去）
即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为—44。