两角和与差的正切公式

第4课时 两角和与差的正切公式

【教学目标】

1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式.

2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值.

3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明.

【教学重点与难点】

重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用.

难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点.

【教学过程】

导入

我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan 75︒.

在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan 75︒的值.

问题引入

两角和、差的正弦公式：

=+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________

两角和、差的余弦公式：

=+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________

构建新知

分子分母同时除以cos cos αβ，得

两角和、差的正切公式：

=+)tan(βα________tan tan 1tan tan αβαβ

+-________________________ 用β-代替β，就可得到

=-)tan(βα___________tan tan 1tan tan αβαβ

-+_____________________ 例题分析

例1 求值

（1）075tan ；（2）0

00043tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00

75tan 175tan 1-+ 解 （1）0tan 75tan(4530)=︒+︒

（2）00

00tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=︒+︒=-

（3）001tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+︒+︒==︒+︒=--︒︒

特殊角的三角函数值

例2 已知7

tan ,5)tan(==-ββα，求αtan . 解 []tan tan ()ααββ=-+

1．填空：

（1）=0105tan

（2）=+-12

tan 125tan 112tan 125tan ππππ

________tan 3π=（3）00

15

tan 115tan 1+-

=_________tan 30︒=______________ （4）=-+115tan 115tan 00

_____00tan1511tan15

+-=-__________________ 2．已知5

3)tan(,23tan =-=βαα，求βtan . 解 []tan tan ()βααβ=--

3．ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，且B A tan ,tan 是方程0282532=+-x x 的两个实根，求角C.

解 因为B A tan ,tan 是方程0282532=+-x x 的两个实根

根据韦达定理 25tan tan 3A B +=，28tan tan 3A B ⋅= 所以4C π

=

课堂小结

本节课后，我们系统的学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，对于公式我们要熟记，用途就是要会求非特殊角的三角函数值。一些问题的解决需要借助一些技巧，如拆角，例2的()ααββ=-+，随堂2的()βααβ=--，这要根据已知条件去选择.