微专题1：构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。

近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。

所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。

怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：1．对于()()x g x f ''>，构造()()()x g x f x h -= 若遇到()()0'≠>a a x f ，则可构()()ax x f x h -=2．对于()()0''>+x g x f ，构造()()()x g x f x h += 3．对于'()()0f x f x +>，构造()()x f e x h x=4．对于'()()f x f x > [或'()()0f x f x ->]，构造()()x f x h x e= 5．对于()()0'>+x f x xf ，构造()()x xf x h = 6．对于()()0'>-x f x xf ，构造()()xx f x h =一、构造函数法比较大小例1．已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称,且当(,0),()'()0x f x xf x ∈-∞+<成立，0.20.22(2)a f =，log 3(log 3)b f ππ=，33log 9(log 9)c f =,则,,a b c 的大小关系是 ( ).Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c>> 【解析】因为函数()y f x =关于y 轴对称,所以函数()y xf x =为奇函数.因为[()]'()'()xf x f x xf x =+,所以当(,0)x ∈-∞时,[()]'()'()0xf x f x xf x =+<,函数()y xf x =单调递减, 当(0,)x ∈+∞时,函数()y xf x =单调递减. 因为0.2122<<,0131og π<<,3192og =,所以0.23013219og og π<<<,所以b a c >>,选D.变式: 已知定义域为R 的奇函数()f x 的导函数为'()f x ，当0x ≠时，()'()0f x f x x+>， 若111(),2(2),ln (ln 2)222a fb fc f ==--=，则下列关于,,a b c 的大小关系正确的是（ D ） .Aa b c >> .B a c b >> .C c b a >> .D b a c >>例2．已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有A ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f > B ．2016(2016)(0)e f f -<，2016(2016)(0)f e f < C ．2016(2016)(0)ef f ->，2016(2016)(0)f e f > D ．2016(2016)(0)e f f ->，2016(2016)(0)f e f <【解析】构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()xf xg x e =在R 上单调递减， 所以(2016)(0)(2016)(0)g g g g -><，，即20162016(2016)(2016)(0)(0)f f f f e e--><，， 也就是20162016(2016)(0)(2016)(0)e f f f e f -><，，故选D ．变式: 已知函数()f x 为定义在R 上的可导函数，且()'()f x f x <对于任意x R ∈恒成立，e 为自然对数的底数，则（ C ）2016.(1)(0)(2016)(0)A f e f f e f >⋅<⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)B f e f f e f <⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)C f e f f e f >⋅>⋅、 2016.(1)(0)(2016)(0)D f e f f e f <⋅<⋅、例3．在数列{}n a 中，1()n 1,()n n a n N +*=+∈．则数列{}n a 中的最大项为( )．ABCD ．不存在【解析】由已知1a =2a =，3a =4a 易得12234,......a a a a a <>>>. 猜想当2n ≥时，{}n a 是递减数列 又由11n na n +=+知ln(1)ln 1n n a n +=+，令ln ()x f x x =，则221ln 1ln ()x xx x f x x x⋅--'== ∴当3x ≥时，ln 1x >，则1ln 0x -<，即()0f x '< ∴()f x 在[)3,+∞内为单调递减函数，2n ∴≥时，{}ln n a 是递减数列，即{}n a 是递减数列 又12a a <，∴数列{}n a中的最大项为2a 故选B ． 练习1．已知函数)(x f y =对任意的)22(ππ，-∈x 满足()cos ()sin 0f x x f x x '+>,则（ ）A ．)4(2)0(πf f >B. )3(2)0(π-<f fC. )4()3(2ππf f <D. )4()3(2ππ-<-f f提示：构造函数()()cos f x g x x=，选D ．二、构造函数法解恒成立问题例1．若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()bf b af a < 【解析】由已知()()0xf x f x '+> ∴构造函数 )()(x xf x F =，则()F x '=()()0xf x f x '+>， 从而)(x F 在R 上为增函数。

a b < ∴()()F a F b < 即()()af a bf b <，故选C 。

例2．已知)(x f 是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足)()(x f x f x -'≤0，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（ ）A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a bf b ≤D ．()()bf b af a ≤【解析】x x f x F )()(=，0)()()(2'≤-='x x f x xf x F ，故xx f x F )()(=在（0，+∞）上是减函数， 由b a <，有bb f a a f )()(≥，即 ()()af b bf a ≤。

故选A 。

变式 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()'()f x g x 、分别为()()f x g x 、的导函数，且满足'()()()'()0f x g x f x g x +<，则当a x b <<时，有（ C ） .()()()()A f x g b f b g x > .()()()(B f x g a f a g x > .()()()()C f x g x f b g b > .()()()(D f x g x f b g a> 变式2. 设函数b x a x g x f b a x g x f <<'<'则当且上均可导在),()(,],[)(),( 时，有（ C ） A ．)()(x g x f >B ．)()(x g x f <C ．)()()()(a f x g a g x f +<+D ．)()()()(b f x g b g x f +<+例3．设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x xf x x '+>，下面不等式恒成立的是（ ）A ．0)(>x fB ．0)(<x fC ．x x f >)(D ．x x f <)( 【解析】由已知，首先令0=x 得0)(>x f ，排除B ，D ．令2()()g x x f x =，则[]()2()()g x x f x xf x ''=+，① 当0x >时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒>， 所以函数()g x 单调递增，所以当0x >时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ． ② 当0x <时，有2()2()()()0g x f x xf x x g x x'''+=>⇒<， 所以函数()g x 单调递减，所以当0x <时， ()(0)0g x g >=，从而0)(>x f ． 综上0)(>x f ．故选A ．例4． 如果(1x y =，那么下面的不等式恒成立的是（ ）A ． 0x y ==B ．0x y +=C ．0xy =D ．0x y +>【解析】构造函数()lg(()f x x x R =∈ ，易证()f x 在R 上是奇函数且单调递增(1x y +=()()l g 1)f x f y ∴+=+lg(y +=lg[((x y ++=lg1 = 0()()f x f y ∴=- 即：()()f x f y ∴=-又 ()f x 是增函数 x y ∴=- 即0x y +=。