线性代数_同济大学(第五版)课件
线性代数1同济大学第五版课件3-3
3 (1 )
1 r3 r2 0 ~ 0
1
1 3
0
3 （ 1 )( 3 )
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( 1 )当 0 且 3时 , R ( A ) R ( B ) 3 , 方程组有唯一解 ;
x 1 b 11 x r 1 b 1 , n r x n d 1 x b x b r ,n r x n d r r r1 r 1 x r 1 x r 1 xn xn
5 x 2 x3 x4 , 1 3 4 x2 2 x3 x4 , 3
( x 3 , x 4 可任意取值
).
令 x 3 c 1 , x 4 c 2，把它写成通常的参数
x1 x2 x 3 x4 2 c1 5 3 c2 , 4 3 c2 ,
无穷多个解
其中 c 1 , , c n r 为任意实数，故方程有
证毕
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把上式的含有 的通解．
n r 个参数的解，称为原线
性方程组
小结 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵， 便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
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例２ 求解非齐次线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1, 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 2, 2 x x 2 x 2 x 3. 1 2 3 4
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
第六章 二次型本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.§1 二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵定义1 关于n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数+++= 2222211121),,,(x a x a x x x f n n n n n n nn x x a x x a x x a x a 1,1313121122222--++++ (1)若取ji ij a a =,则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是(1)式可写成j i nj i ij n x x a x x x f ∑==1,21),,,( (2)称为n 元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.记,212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x21 则二次型),,,(21n x x x f 又表示为Ax x x x x f T n =),,,(21 ,其中A 为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21n x x x f 的矩阵,也把),,,(21n x x x f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩,叫做二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 的秩. 例1 写出二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=的矩阵，并求出二次型的秩.解 写出二次型所对应的对称矩阵为A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A因为二次型的秩就是对称矩阵A 的秩.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=14002202214~6808602212~224242222123321312r r r r r r r r A ∴二次型的秩为3.§2 化二次型为标准型一、二次型合同矩阵二次型),,,(21n x x x f 经过可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 即用(3)代入(1),还是变成二次型. 那么新二次型的矩阵与原二次型的矩阵A 的关系是什么？可逆线性变换 (3),记作Cy x =,其中矩阵)(ij c C =,把可逆的线性变换Cy x =代入二次型Ax x x x x f T n =),,,(21 ,得二次型ACy C y Cy A Cy Ax x x x x f T T T T n ===)()(),,,(21定义 1 两个同阶方阵A B 、,若存在可逆矩阵C ,使B AC C T=,则称矩阵A B 、合同.若A 为对称矩阵,C 为可逆矩阵,且B AC C T=.则B 亦为对称矩阵,且).()(A r B r =证 因为A 是对称矩阵, 即A A T=,所以B AC C C A C AC C B T T T T T T T T ====)()(即B 为对称矩阵. 因为AC C B T =,所以)()()(A r AC r B r ≤≤.因为11)(--=BC C A T ,所以)()()(1B r BC r A r ≤≤-, 故得).()(B r A r = 主要问题：求可逆的线性变换⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 (3) 将二次型(1)化为只含平方项,即用(3)代入(1),能使222221121),,,(nn n y k y k y k x x x f +++= (4) 称(4)为二次型的标准形.也就是说,已知对称矩阵A ,求一个可逆矩阵C 使Λ=AC C T为对角矩阵.定理2 任意二次型j inj i ij x x af ∑==1,)(ji ij a a =,总有正交变换Py x =,使f 化为标准形2222211nn y y y f λλλ+++= ,其中n λλλ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A =的特征值.推论 任给n 元二次型Ax x x f T=)(,总有可逆变换Cz x =使)(Cz f 为规范形.二、二次型的合同标准形1、拉格朗日配方法化二次型成标准型(1) 对有完全平方的二次型,每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方,而使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量.然后对剩下的不是完全平方的部分再按照此处理,直到全部配成完全平方为止,这样做,是为了保证所得的线性变换是非异的.如果不这样做,最后就需要检验所得的线性变换是否非异.例2 用配方法化二此型32312123222132182292),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=为标准形.解 由于f 中含变量型1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得32312123222182292x x x x x x x x x f +++++=322322232168)(x x x x x x x +++++=上式右端除第一项外已不再含1x .继续配方，可得232322321)3()(x x x x x x f -++++= 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3332232113x y x x y x x x y 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321132y x y y x y y y x 就把f 化成标准形（规范形）,232221y y y f -+=所用的变换矩阵为).0(100310211≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C C(2) 如果所给的二次型全由混合项组成,而没有平方项,例如133221321),,(x x x x x x x x x f ++=,则需要先做类似于⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211y x y y x y y x 之类的非异线性变换,使变换后的二次型由平方项,再按(1)处理.二次型经非异线性变换化为标准型后,还可以再作非异线性变换,化为标准形.例3化二次型3231212x x x x x x f -+=成标准型，并求所用的变换矩阵.解 由于所给二次型中无平方项，所以令 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=33212211yx y y x y y x 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321100011011y y y x x x 代入3231212x x x x x x f -+=得323122213y y y y y y f ++-=在配方,得.2)23()21(23232231y y y y y f +--+= 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=333223113332231123212321z y z z y z z y y z y y z y y z即.10023102101321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z y y y得2322212z z z f +-= 所用变换矩阵为.10011121110023102101100011011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C )02(≠=C2、正交变换化二次型成标准型寻求正交变换,化二次型为标准型,其步骤如下： (1) 写出二次型的矩阵A ,求0-=A E λ的所有相异的根n λλλ,,,21 (n s ≤,n 为A 的阶数)；(2) 对每个i λ(s ,,2,1 =i )求齐次线性方程组0)(=-x A E i λ的基础解系.如果i λ,基础解系只含1个解向量,则单位化.如果i λ,基础解系含有多于1个的解向量,则规范化,这样,总共得到n 个两两正交的单位向量.(3) 以所得的n 个两两正交的列向量得到矩阵P ,则P 为正交矩阵,正交变换Py x =化二次型Ax x T为标准形y y TΛ为对角阵,主对角线上第i ),,2,1(n i =个元素是P 的第i 个列向量所对应的特征值(k 重特征值出现k 次).经正交变换得到的标准形后,还可以再作非异的线性变换将标准后,还可以再作非异的线性变换将标准形化为规范形.但这一变换已不再是正交变换了.换言之,经正交变换,二次型一定可以化为标准型,但未必能化规范形.例4求一个正交变换Py x =，化二次型32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=为标准形.解 (1)写出二次型f 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=242422221A (2) 求矩阵A 的特征值,写出特征多项式λλλλλλλλλλ------=-------=-------204622412204222212424222212)2)(7(6241)2(λλλλλ-+-=------=故特征值为2,7321==-=λλλ(3) 求矩阵A 的特征值所对应的特征向量 ①当71-=λ时, 解方程0)7(=+x E A ,由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+0001102101~5424522287r E A 得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2211ξ.②当232==λλ时, 解方程0)2(=-x E A ,由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000000221~4424422212r E A得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102,01232ξξ.(4) 将32,ξξ正交化：取22ξη=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=5425101254102],[],[2223233ηηηξηξη(5) 将321,,ηηξ单位化,得,22131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ξξp ,01251222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ηηp .542531333⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ηηp(5) 可得正交矩阵P.53503253451325325231),,(321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==p p p P 若令Py x =则Ax x x x x x x x x x x x x x f T =++---=32312123222132184422),,(233222211y y y APy P y T T λλλ++== 2322212271y y y ++-= 注 用正交变换法化二次型成标准型后,其平方项的系数就是矩阵A的特征值.而变换矩阵的各列,分别是这些特征值对应的规范正交的特征向量.例 5 已知,1001110101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=a a A 二次型x A A x x x x f T T )(),,(321=的秩为2.(1) 求实数a 的值.(2) 求正交变换Qy x =将f 化为标准型. 解(1),3111101021001110101111010010122⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a a a a a a a a A A T x A A x T T )( 秩为22)()(==∴A r A A r T可得 1-=a .(2) 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==422220202B A A T由0)6)(2(422220202=--=-------=-λλλλλλλE B解之得.6,2,0321===λλλ① 当01=λ时,由0)0(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11-1-1ξ.②当22=λ时,由0)2(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=011-2ξ.③当63=λ时,由0)6(=⋅-x E B ,可解得特征值为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ.将321,,ξξξ单位化,得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==211613,011-212,11-1-313322111ξξξξξξr r r令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==6203161210612131),,(321r r r Q . 则Qy x =时,可得标准型232262y y Bx x f T +==. 例6 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-,若二次型f 的规范形为2212y y +,求a 的值. 解 若二次型f 的规范形为2212y y +,说明f 两个特征值为正,一个为0.当2=a 时,三个特征值为 0,2,3,这时,二次型的规范形为2212y y +.§3 二次型及实对称矩阵的正定性二次型的标准形不是唯一的.标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的.一、惯性定理定理3(惯性定理) 设有实二次型Ax x f T =它的秩是r ,有两个实的可逆变换Cy x =与Pz x =.使)0(,2222211≠+++i r r k y k y k y k 及,2222211r r y z z z +++ λλ)0(≠i λ则r k k k ,,,21 中正数的个数与r λλλ,,,21 中正数的个数相等. 正数的个数称为正惯性指数,负数的个数称为负惯性指数.例7 二次型,2223),,(323121232221321x x x x x x x x x x x x f +++++=求f 的正惯性指数.解：方法一：3231212322213212223),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= 2223212)(x x x x +++= 令⎪⎩⎪⎨⎧==++=33223211xy x y x x x y , 则22212y y f +=.故f 的正惯性指数为2.方法二：f 的正惯性指数为所对应矩阵特征值正数的个数,由于二次型f 对应矩阵.111131111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A所以λλλλλλλλλλλ---=---=---=-211231001111310111131111E A λλλ---=2112310)4)(1(2123---=---=λλλλλλ=0 故4,1,0321===λλλ.故f 的正惯性指数为2. 二、正定性的判别定义10 设有实二次型Ax x f T=如果对于任何0≠x ,都有0)(>x f ,(显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称对称阵A 是正定的.记作0>A ；如果对任何0≠x ,都有0)(<x f ,则称f 为负定二次型,并称对称阵A 是负定的,记作0<A .定理4 实二次型Ax x f T=为正定的充分必要条件是:它的标准形的n 个系数全为正,即f 的正惯性指数为n .证 设可逆变换Cy x =使21)()(ini i yk Cy f x f ∑===.先证充分性：设0>i k ),,2,1(n i =,任给0≠x ,故.0)(21>=∑=i ni i y k x f再证必要性: 用反证法,假设有0≤s k ,则当s e y =(单位坐标向量)时,0)(≤=s s k Ce f ,显然0≠s Ce 这与假设f 正定矛盾,故.0>i k推论 对称阵A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.定理5 对称阵A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正.即011>a ,022211211>a a a a,01111>nnn na a a a ; 对称阵A 为负定的充分必要条件是:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正.即，0)1(1111>-nrn rra a a a ),,2,1(n r =.这个定理称为霍尔维兹定理.注：对于二次型,除了有正定和负定以外,还有半正定和半负定及不定二次型等概念.例8设实二次型312322212x cx ax bx ax f +++=,当该二次型为正定二次型,c b a ,,应满足的条件?解 写出f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c b c a A 0000因为该二次型为正定二次型,所以0)(,0,022>-=>>∴b c a A ab ac b a ,,∴应满足0,>>b c a .定理6实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在可逆矩阵C ,使C C A T =,即矩阵A 与单位矩阵合同.证明 先证充分性：若存在可逆矩阵C ,使C C A T=,任取非零向量x ,则0≠Cx (如果0=Cx ,由C 可逆,则0=x 矛盾),对任取的0≠x ,有0)()()(T >====Cx Cx Cx Cx C x Ax x x f T T T,从而矩阵A 正定.再证必要性：设对称矩阵A 为正定矩阵,因为A 为对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使A 对角化,即),,,(21n T diag AQ Q λλλ =Λ=,其中n λλλ,,,21 为A 的特征值,而A 是正定矩阵,所以0>i λ,记),,,(211n diag λλλ =Λ.则Λ=Λ21,从而T T T Q Q Q Q Q Q A ))((1111ΛΛ=ΛΛ=Λ=令T Q C )(1Λ=,则C 可逆,而且得到C C A T=. 所以可得EC C A T=,故矩阵A 与单位矩阵合同.定理7实二次型Ax x f T =为正定的充分必要条件是:存在正定矩阵B ,使2B A =.证明 因为A 是正定矩阵，所以矩阵A 可以正交相似对角化。
线性代数(第五版)课件
• 想搞软件工程，好，3D游戏的数学基础就 是以图形的矩阵运算为基础；当然，如果 你只想玩3D游戏可以不必掌握线代；想搞 图像处理，大量的图像数据处理更离不开 矩阵这个强大的工具，《阿凡达》中大量 的后期电脑制作没有线代的数学工具简直 难以想象。
• 想搞经济研究。好，知道列昂惕夫（Wassily Leontief）吗？哈佛大学教授，1949年用计 算机计算出了由美国统计局的25万条经济数 据所组成的42个未知数的42个方程的方程组， 他打开了研究经济数学模型的新时代的大门。
这些模型通常都是线性的，也就是说，它们
是用线性方程组来描述的，被称为列昂惕夫 “投入-产出”模型。列昂惕夫因此获得了 1973年的诺贝尔经济学奖。
• 相当领导，好，要会运筹学，运筹学的一 个重要议题是线性规划。许多重要的管理 决策是在线性规划模型的基础上做出的。 线性规划的知识就是线代的知识啊。比如， 航空运输业就使用线性规划来调度航班， 监视飞行及机场的维护运作等；又如，你 作为一个大商场的老板，线性规划可以帮 助你合理的安排各种商品的进货，以达到 最大利润。
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a11a22 a a 12 21 ) x1 b1a22 a12b2
(a11a22 a a 12 21 ) x2 a11b2 b1a21
二、线性代数的课程特点
高度的抽象性和严密逻辑性,并缺乏直观 的思维模型.
开设时间为大一、大二年级. 线性代数课时短, 内容多. 理论多, 例题少.
线性代数同济大学第五版课件5-3
f(A) 与 f(B) 相似.
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三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即 推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
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0 0 1 1 1 x , 问 x 为 何 值 时 ， 例11 设 A 1 0 0 矩 阵A能 对 角 化 ？
第 三 节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念 相似矩阵的性质 矩阵对角化的充要条件
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一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
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可. 推论 A与 阶方阵 A 与对角矩阵 由于 若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列 结论：
1. 若矩阵 A 与 矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
THANK YOU
感谢聆听
05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数课件(完整版)同济大学
b1a22 a12b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12a21
3
第一章 行列式
•
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
a11a23a32a44 和 a11a23a34a42 . 解：
例：计算行列式
a11 0 D1 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 a21 D4 a32 a41
0 0 a32 0
0 a22 a42
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 1 ； 若理解成一阶行列式，则 1 1.
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
思考题
a14 0 0 0
0 0 0 a44
a11 D3 0 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a44
线性代数同济大学第五版5-5
2
2
2
解 设 f = xTAx, 则
1 1 A 2 3 1 3 4 2 2 4 1 0 3 2 0 4
R( A) 4.
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定义 如果一个二次型只含变量的平方项，
则称这个二次型为标准形(或法式) .
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中
取值，则称之为规范形. 对于二次型，我们讨论的主要问题是，寻求 可逆的线性变换 x = Cy，把二次型化为标准形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
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三、合同矩阵
1. 定义 定义 9 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
显然，二次型的秩为 R( A) 2.
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例 23 已知二次型
f ( x1,x2 ,x3 ,x4 ) x 3x x 4 x
2 1 2 2 2 3 2 4
2 x1 x2 4 x1 x3 6 x1 x4 8 x2 x3 4 x2 x4,
写出二次型的矩阵 A ，并求出二次型的秩.
把方程化为标准形
2 ny2 1. mx
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二、二次型的概念
定义 8 称 n 个变量的二次齐次式
f(x1 , x2 , · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · + annxn2 + · · · · 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · + 2an-1,nxn-1xn · · 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
线性代数1同济大学第五版课件3-2
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设 A 经初等列变换变为
B,
则 A
T
经初等行变换变为
T T
B ,
T
R ( A ) R ( B ),
T T
且 R ( A ) R ( A ), R ( B ) R ( B ),
R ( A ) R ( B ).
R ( B ) 3,
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故 B 中必有
3 阶非零子式
. 且共有
4 个.
计算 B 的前三行构成的子式
3 2 3
2 0 2
5
3
2 0 0
5 5 11
5 2 6 6
2
2 6
5 11
16 0 .
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
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例4
1 2 设A 2 3
则 D r D r 0 , 也有 R ( B ) r .
若A经一次初等行变换变为 ，则 R( A ) R( B ). B
由于 B 也可经过一次初等行变 换变为 A ,
故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
对于 A ， 显有 R ( A ) R ( A ).
T T
对 A m n，有 0 R （ A ） min m , n
0，则 R （ A ） s ；
同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型
p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3
线性代数同济大学第五版课件4-2
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由于此方程组的系数行 式 列 1 1 0 0 1 1 1 0 20 1
上页
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证法二 利用矩阵秩的性质证R(B) = 3 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1 (b1 , b2 , b3 ) (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 , 0 1 1
记作 B = AK . 因 |K| = 2 0，知 K 可逆，根据
上章所述
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定理 4 向量组 a1 , a2 , · , am 线性相关的充 · ·
要条件是它所构成的矩阵 A = (a1 , a2 , · , am) 的秩 · · 小于向量的个数 m ; 向量组线性无关的充要条件 是 R(A) = m. 证明 向量组 A 线性相关, 等价于齐次线性 方程组 x1a1 + x2a2 + · + xmam = 0, 即 Ax = 0 · ·
称为 n 维单位坐标向量组 , 试讨论它的线性相关
性.
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下页
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
E = (e1 , e2 , · , en) · ·
是 n 阶单位矩阵. 由 |E| = 1 0, 知 R(E) = n , 即
R(E) 等于向量组中向量的个数, 故由定理 4 向量组
知此向量组线性无关.
解 分析
对 矩 阵 （ 1，a 2，a 3） ， 施 行 初 等 行 变 换 变 a 成 行 阶 梯 形 矩 阵可 同 时 看 出 矩 阵 （1，a 2，a 3） , a 及 （a 1，a 2） 的 秩 ， 利 用 定 理即 可 得 出 结 论 4 .
线性代数同济大学第五版5-1
再把它们单位化，取
1 1 1 5 b1 2 , b2 1 , b3 2 0 3 1 1 1
1 1 b1 e1 2 , 6 b1 1
b3 e3 b3
1 1 b2 e2 1 , 3 b2 1
1 1 0 . 2 1
e1 , e2 , e3即合所求.
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1 例3 已知 a 1 1 , 求一组非零向量a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交.
得
即
eiT a = kieiTei = ki ,
ki = eiT a = [a, ei].
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例1 已知三维向量空间中两个向量
1 1 1, 1
1 2 2 1
正交，试求 3 使 1 , 2 , 3 构成三维空间的一个正交 基. 解 设 3 x1 , x2 , x3 T 0, 且分别与 1 , 2正交. 则有
的 一个规范正交基.
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例2:
1 1 4 设a1 2 , a2 3 , a3 1, 试 用 1 1 0 施 密 特 正 交 化 过 程 把组 向 量 规 范 正 交 化 这 .
定义 3 设 n 维向量 e1 , e2 , · , er 是向量空 · ·
间V( V Rn ) 的一个基, 如果 e1 , · , er 两两正交, · · 且都是单位向量, 则称 e1, · , er 是 V 的一个规范 · ·
正交基.
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线性代数课件同济大学第五版
第二章 矩阵及其运算
P47 习题二
§2.1 矩阵:
t1, t2 §2.3 逆矩阵: t10, t11(1)(3) §2.4 矩阵的分块: t27, t28 课后练习：t25,t26
§2.2 矩阵的运算:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
P78 习题三
第一章 行列式
P25 习题一
§1.1 §1.2二阶、三阶行列式, 逆序数:
t2, t4(1)(3) t5,t9 §1.3 行列式的性质: t6(1)(3), t8(1)(2)(5) §1.4 行列式按行(列)展开: t9 §1.5 克莱姆法则: t10
§1.3 n阶行列式:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
t1(1), t2 §3.2 矩阵的秩: t4, t2 课后练习：t3 §3.3 线性方程组的解: t13(1), t14(1), t16 课后练习：t17
§3.1 矩阵的初等变换:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第四章 向量组的线性相关性
P106 习题四
t1 §4.2 向量组的线性相关性: t4 课后练习：t5,t6, t8 §4.3 向量组的秩: t11, t13 课后练习：t12(2) §4.4 线性方程组解的结构: t20(1), t26(1) §4.5 向量空间: t38 课后练习：t37
§4.1 向量组及其线性组合:
线性代数课件(同济大学 第五版)作业与课后练习
第五章 相似矩阵与二次型
P134 习题五
§5.1 向量的内积、长度与正交性:
t1
课后练习：t7,
§5.2 方阵的特征值与特征向量:
线性代数同济大学第五版课件4-3‘
四、定理的不同表现形式
设向量组 A : a1 , a2 , · , am 构成矩阵 · ·
例 9 设齐次线性方程组
x1 2 x2 x3 2 x4 0 , x4 0 , 2 x1 3 x2 x x 5x 7 x 0 2 3 4 1
的全体解向量构成的向量组为 S，求 S 的秩.
解
把系数矩阵A化为行最简形
1 A 2 1
矩阵 B = (a1 , a2 , · , am , b) 的秩. · ·
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的
充要条件是
R (a1 , a2 , · , am) = R (a1 , a2 , · , am , b). · · · ·
注：记号R(a1 , a2 , · , am )既可理解为矩阵的秩，也 · · 可理解成向量组的秩．
B 的最大无关组依次为 A0：a1 , a2 , · , as 和 B0：b1 , b2 , · , bt . · · · · 由于 B0 组能由 B 组表示， B 组能由 A 组表示，
A 组能由 A0 组表示，因此 B0 组能由 A0 组表示,
根据定理3，
有 R(b1,b2, · ,bt) ≤ R(a1,a2, · ,as), · · · ·
1 0 2 (a 1 ,a 2 ,a 3 ) 1 2 4 , 由 R(a1,a2 , a3) =2 1 5 7
由R(a1 , a2) =2, R(a1 , a3) = 2,R(a2 , a3) = 2 可知 a1, a2 与a1, a3 及 a2 , a3 都是a1 , a2 , a3 的最大无关组.
工程数学线性代数同济第五版课件1-4
是否都是六阶行列式中的项. 解 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 下标的逆序数为
t 431265
01 2 2 01 6
所以 a 14 a 23 a 31 a 42 a 56 a 65 是六阶行列式中的项. a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 下标的逆序数为 t 452316 8
所以 a 32 a 43 a 14 a 51 a 25 a 66 不是六阶行列式中的项.
上页 下页
例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.
(1 ) a 23 a 31 a 42 a 56 a 14 a 65 ; (1 ) (2) a 32 a 43 a 14 a 51 a 66 a 25 .
t
( 1) ( 1) 1 ( 1)
t t
r t1
( 1)
r t1
a 1 p1 a j p j a i p i a n p n
上页 下页
上式表明：对换两个元素，行标排列与列标排 列的逆序数之和并不改变奇偶性。 经一次对换是如此，经多次对换还是如此。于 是，经若干次对换后，得到：
列标排列 p1 p 2 p n 变为标准排列（逆 序 数为 0）
行标排列由标准排列变为某个新的排列，设为
q 1 q 2 q n , 其逆 序 数为 s , 则有
（ - 1 a 1 p1 a 2 p 2 a np n ( 1 ) a q1 1 a q 2 2 a q n n ）
a 1 a l ab 1 b m bc 1 c n
现在对换 a 与 b .
上页 下页
a 1 a l a b1 bm b c1 c n
线性代数同济大学第五版课件5-2张
~
1 p1 , 1
所以对应于 1 2的全部特征向量为
k1 p1 (k1 0)
上页 下页
当2 4时, 解方程组 A 4 E ) x 0.由 (
3 4 A 4E 1 1 1 3 4 1 1 1
1 A E 4 1
1 3 0
0 0 2 ( 2 ) (1 ) ,
2
所以A的特征值为 1 2, 2 3 1.
当1 2时, 解方程组 A 2 E ) x 0.由 (
上页 下页
1 0 3 1 0 1 2 A 2E 4 32 0 4 1 0 1 0 2 2 1 0 0
~
1 0 0 0 1 0 , 0 0 0
得基础解系
0 p1 0 1
所以对应于 1 2的全部特征向量 .
k1
p (k
1
1
0)
上页
下页
当 2 3 1时, 解方程( A E ) x 0.由
1 0 2 1 0 11 A E 4 31 0 4 2 0 1 0 2 1 1 0 1
一、特征值与特征向量的概念
定 义6
方 非 设 A 是 n 阶 矩 阵, 如 果 数 和 n 维 非 零 阵 零
Ax Ax x x
列 向 量x 使 关 系 式
成 立, 那末, 这样的数 称为方阵 的特征值 (eigenvalue) A
非零向量x 称为 A 的对应于特征值 的 特征向量(eigenvector)
2 2
故 是矩阵A 的特征值, 且 x 是 A 对应于 的特
线性代数同济大学第五版课件4-1
矩阵 Km l ，使 (b1 , · , bl ) = (a1 , · , am )K， 也就 · · · · 组 A 线性表示, 则称向量组 B 能由向量组 A 线 是矩阵方程 性表示. 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示, (a1 , a2 , · , am )X = (b1 , b2 , · , bl ) · · · · 则称这两个向量组等价. 可得 有解. 由上章 定理 6 矩阵方程 AX = B 有解的充要条
上页
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2. 向量组的定义
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如
1 3 2 4 1 2 , 2 4 , 3 1 , 4 6 1 7 5 1
向量组 1, 2, · , n 称为矩阵 A 的列向量组. · ·
上页
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类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 a m 2 a1 n a2n a in a mn
b11 b12 b1n b21 b22 b2 n （c1 , c2 , , cn ) （a1 , a2 , , al ) b kl 2 kl n l1
上页
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1T 1T T T 2 2 同时，记 C , B ， 则C 的行向量组 T T m l 能由 B 的行向量组线性表示 A 为这一表示的系数 , 矩阵：
2. 向量能由向量组线性表示的充要条件
定理 1 向量 b 能由向量组 A 线性表示的充
线性代数同济第五版课件2-1
a 11 a 21 A am1
a 12 a 22 am1
a1n a 2n 系数矩阵 a mn
上页
下页
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 x1 , y2 x2 , yn xn
13 2 2
6 2 2
2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2
5 9
是一个 3 1 矩阵,
2
3
4
是一个 1 4 矩阵,
是一个 1 1 矩阵.
上页 下页
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 A n .
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B
2.（注：第30页例2） 某航 空公司在A,B,C,D四城市之 间开辟了若干航线 ,如图所 示表示了四城市间的航班图, 如果从A到B有航班,则用带 箭头的线连接 A 与B.
A
C
D
上页 下页
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
A A
B
C
D
发站
B
C
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 .
上页
下页
(5)方阵
0 1 1 0 E En O 0 0
0 O 0 1
例如
13 2 2
6 2 2
2i 2 2
是一个3 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 A a 1 , a 2 , , a n ,
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4 6 32 4 8 24 14.
例3
求解方程 1 1
2 3 4 9
1 x 0. x2
解
方程左端
D 3 x 2 4 x 18 9 x 2 x 2 12
x 2 5 x 6,
由 x2 5 x 6 0 得
x 2 或 x 3.
3个不同的元素一共有3! =6种不同的排法
123，132，213，231，312，321 所有6种不同的排法中，只有一种排法 （123）中的数字是按从小到大的自然 顺序排列的，而其他排列中都有大的 数排在小的数之前.
因此大部分的排列都不是“顺序”， 而是“逆序”.
对于n 个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.
§1
二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组 由消元法，得
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21
简记作 det( aij ) ，
1. n 阶行列式共有 n! 项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 是1, 2, …, n 的某个排列. 4. 当 p1 p2 pn 是偶排列时，对应的项取正号；
其中 a ij为行列式D的(i, j)元
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 anp（正负号除外），其中 p1 p2 pn n
例：写出四阶行列式中含有因子a11a23 的项.
解： a11a23a32a44 和 a11a23 a34 a42 .
例：计算行列式
a11 D1 0 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
0 D2 0 0 a41
a11 D4 a21 a32 a41
0 0 a32 00
0 a23 0 0
a14 0 0 0
( 1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
3 4 6. 其中 t (4321) 0 1 2 3 2
a11 D3 0 0 0
a12 a22 0 0
0 a22 a32 a42
0 a23 0 0
0 0 a33 a43
a14 0 0 0
0 0 0 a44
a11 D3 0 0 0
a12 a22 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a44
解：
a11 D1 0 0 0
0 a22 0 0
0 0 a33 0
0 0 0 a44
a11a22a33a44
2 x1 x2 1
解
因为 D
3 2 2 1
3 ( 4 ) 7 0
D1 D2
12 2 1 1 3 12 2 1
12 ( 2) 14
3 24 21
D2 21 x2 3 D 7
D1 14 2, 所以 x1 D 7
二、三阶行列式
定义 设有9个数排成3行3列的数表
a11 a 21
引进记号 主对角线 副对角线
a12 a 22 a 32
a13 a23 a33
a13 a 23 a 33
原则：横行竖列
a 31
a11 a21 a31 a12 a22 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项． 2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1 p1 a2 p2 a3 p3 （正负号除外），其中 p1 p2 p3
是1、2、3的某个排列. 4. 当 p1 p2 p3 是偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p2 p3 是奇排列时，对应的项取负号.
例1：
解：
求排列 32514 的逆序数.
t (32514) 0 1 0 3 1 5
练习：
求排列 453162 的逆序数.
解：
t9
§3
n 阶行列式的定义
一、概念的引入
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13 a22 a31 a12a21a33 a11a23a32
当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解
b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
所以，三阶行列式可以写成
a11 D a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a11a22a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33 a13 a22 a31 a12a21a33 a11a23a32
p1 p2 p3
( 1)t ( p1 p2 p3 ) a1 p1 a2 p2 a3 p3
二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
其求解公式为
我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.
数表 a
a11
21
a12 a22
记号 a 21
a11
a12 a22
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
表达式 a11a22 a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即
D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12 a21
a 其中， ij ( i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
原则：横行竖列
其中
p1 p2 p3
表示对1、2、3的所有排列求和.
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 D a21 a n1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
p1 p2 pn
( 1)t ( p1 p2 pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？
答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数
等于零，因而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1 p2 pn 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，
并规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1 大的数排在 p1 前面，记为 t 1 ； 再看有多少个比 p2 大的数排在 p2 前面，记为 t 2 ; …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn 前面，记为 t n ; 则此排列的逆序数为 t t1 t 2 t n
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
1
2 -4 1
例2 计算行列式 D -2 2 解 按对角线法则，有
-3 4 -2
D 1 2 ( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4
1 1 4 2 ( 2) ( 2) ( 4) 2 ( 3)
第一章
行列式
内容提要
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
•行列式是线性代 数的一种工具！ •学习行列式主要 就是要能计算行列 式的值.
二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 行列式的概念. n 阶行列式的定义 对换（选学内容） 行列式的性质及计算. 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则 —— 线性方程组的求解.
当 p1 p2 pn 是奇排列时，对应的项取负号.
思考题： 1 1成立吗？ 答：符号 1 可以有两种理解： 若理解成绝对值，则 1 1 ； 若理解成一阶行列式，则 1 1.
注意：当n = 1时，一阶行列式|a| = a，注意不要与
绝对值的记号相混淆. 例如：一阶行列式 1 1 .
a1n D a n1 a2,n1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1 an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 D 0 0
(4)
a12 a1 n a22 a2 n 0 0 ann 0 0
a11a22 ann a11a22 ann
求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.
b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线
a11 a21
a12 a22
副对角线
a11a22 a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2