第十章_重积分测验题答案

高等数学A 第十章重积分测验题答案

一、填空题：（每小题5分，共20分）

1. 交换积分顺序：

2

2

21(,)y y

dy f x y dx +-=⎰⎰

14

1

2

(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+

⎰

⎰

。

2.

2

11

y

x

dx e

dy -=

⎰

⎰11(1)2

e

-

。

3. 设D 是由)0(,3>==x x y x y 所围成的平面区域，则=⎰⎰

D

d x

x σsin )1sin 1(cos 23+-。

4. 设⎰⎰⎰

=

Ω

dxdydz z y x f I ),,(，积分区域0),(3,1:2

22

2

≥+≥

--≤y y x z y x z Ω所确定，

则I 在柱面坐标系下的三次积分为⎰

⎰⎰-2

1321

),sin ,cos (ρρ

π

θρθρρρθdz z f d d 。

二、选择题（每小题5分，共20分）

1．设区域D 是221x y +≤在第一，四象限部分，(,)f x y 在D 上连续，则二重积分

(,)D

f x y d x d y =⎰⎰

（ B ）

（A ）110

1

(,)dx f x y dy -⎰⎰； （B ）11

(,)dy f x y dx -⎰；

（C ）10

2(,)dx f x y dy ⎰； （D ）1

20

2

(,)d f r rdr π

π

θθ-

⎰

⎰。

2．若已知2

(sin )1dx xf y dy π

π

=⎰⎰，则20

(cos )f x dx π

=⎰（ D ）

（A ）

2

π； （B ）

2

π

； （C ）

2

4

π

； （D ）

2

4

π

。

3．设(,)f x y 是所给积分区域上的连续函数，则下列（ B ）等式成立。 （A ）(,)(,)b

d

d b

a

c

c a

dx f x y dy dx f x y dy =

⎰⎰⎰⎰；

（B ）(,)(,)b d

d

b

a

c

c

a

dx f x y dy dy f x y dx =

⎰⎰⎰

⎰；

（C ）()

()()()

(,)(,)b x x b

a x x a

dx f x y dy dy f x y dx

φφϕϕ=

⎰⎰

⎰⎰ （D ）()

()

()

()

(,)(,)b

x b y a

x a

y dx f x y dy dy f x y dx

φφϕϕ=

⎰⎰

⎰

⎰

。

4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则（C ） （A ）1

2

4xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）1

2

4ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；

（C ）1

2

4zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）1

2

4xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

三、计算题（每小题12分，共60分）

1．计算D

xdxdy ⎰⎰，其中D 是以(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，。

解：D

xdxdy ⎰⎰122

312

2

2

1

1

2

2

333(3)2

2

2

x

x

x x

xdx dy xdx dy x dx x x dx -=

+

=

+

-

=

⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰

。

2．计算(||||)D

x y d σ+⎰⎰，其中D 为：||||1x y +≤。

解：1(||||)2||8D

D D x y d x d xd σσσ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1:01,01D x y x ≤≤≤≤-）

1

110

4

88

(1)3

x x d x d y x x d x -==-

=⎰⎰

⎰

。

3．设Ω是由曲线220y z

x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的闭区域，求三重积分

22

()I x y z dv Ω

=

++⎰⎰⎰。

解： 曲线220

y z

x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面方程为222x y z +=，

故Ω在xo y 面上的投影为22

:8xy D x y +≤， 所以

224

2

2

10

2256()()3

r

I r z rdrd dz d r z rdz πθθ

πΩ

=

+=

+=

⎰⎰⎰⎰

⎰

4. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6-2x 2-y 2所围成的立体的体积。

解 由⎩

⎨⎧--=+=2

222262y x z y x z 消去z , 得x 2+2y 2=6-2x 2-y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2

≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以 ⎰⎰+---=D

d y x y x V σ)]2()26[(2222⎰⎰--=D

d y x σ)336(22

⎰

⎰

---=2

20

222

)2(12x dy y x dx π6)2(82

32=-=⎰

dx x .

5. 曲面2224x y az a ++=将球体2224x y z az ++≤分成两部分，求这两部分的体积比。

解：位于抛物面内侧部分的球体记作1V ，其体积为

2

2

1

14()

22

121[2()]a x y a V D

D

V dv dxdy dz a x y dxdy

a

-+=

=

=

+

+⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰

22

3

3

1137[2]2[2]6

d a r rdr ar r dr a a

a

πθπ

π=

+=-

+=

⎰

则位于抛物面外侧的球体的体积3

3

21427(2)3

6

V a V a ππ=

⋅-=

，所以12:37:27V V =。