投篮问题建模
数学建模-第四篇-典型案例分析课件
问题
☞ (1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计 划, 使总费用最小（给出总费用).
☞ (2)请就(1)的模型分析: 哪个钢厂钢管的销 价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个 钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总 费用的影响最大，并给出相应的数字结果.
☞ (3)如果要铺设的管道不是一条线, 而是一 个树形图, 铁路、公路和管道构成网络, 请就 这种更一般的情形给出一种解决办法, 并对图 二按(1)的要求给出模型和结果.
§2.4 流量估计 1. 拟合水位~时间函数.
2. 确定流量~时间函数.
3. 一天总用水量的估计.
§2.5 算法设计与编程
1．拟合第1.2时段的水位，并导出流量.
2. 拟合供水时段的流量.
3. 一天总用水量的估计. 4. 流量及总用水量的检验.
Watertower.m
32Biblioteka 302826
24
22
20
★ 空气阻力的影响 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
v(m/s）
8.0 8.5 9.0
h (m)
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1.8 1.9 2.0 2.1
1度
2度
60.7869 61.6100 62.3017 62.9012
43.5424 41.5693 39.7156 37.9433
§1.2 问题的分析 d
d
球心偏前
0
△x
0 D
篮球入框
D
☞不考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心的条件 ☞考虑篮球和篮框大小,讨论球心命中框心且入框条件 ☞保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差 ☞考虑空气阻力的影响
数学建模-投篮最佳角度问题
故得弧OP1方程为
y
x
tan
tan
(S0 R) (H0 (S0 R)2
h0
)
x2.
同理可得弧OP2方程为
y x tan tan (S0 R) (H0 h0 ) x2.
(S0 R)2
解题过程
第三步：
求面积 A( )
A( )
S0 R[x
tan 1 (v2
gs
v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2 ),
其中v2应满足 v4 2v2 (H0 h0 )g g 2S 2 0.
解得 v2 g(H0 h0 (H0 h0 )2 S 2 )
或 v2 g(H0 h0 (H0 h0 )2 S 2 ) （舍）.
2v2
g
cos2
x2.
（1）
设OP1弧的方程为
y
x tan
2v12
g
cos2
x2.
解题过程
即满足初速v1为且与x轴成θ角，又由于弧 OP1过点 P1(S0 R, H 0 h0 ) ，代入后得
g
2v12 cos2
tan (S0 R) (H0
(S0 R)2
h0 ) .
回到运动方程（1）即
y x tan g 2v2 cos2
x2 ,设它过点
(S, H 0 h0 ), S [S0 R, S0 R] ，代入（1）并整理得
g (1 tan2 ) S tan (H0 h0 ) .
2v2
S2
解题过程
这是关于tan θ的一元二次方程，为使问题的 讨论有结果，取其一个较小的根
数学建模——投篮命中率地数学模型
投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普与，篮球比赛中紧X、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。
根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。
本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最优出手角度和最优出手速度，得出一个既能使投篮时不过多消耗体力又能提高投篮命中率的结论。
首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识与运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进展了深入分析。
其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件X围，得出模型的结果。
在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算与分析过程，并得出最终结果。
本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转与球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力与出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。
最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的X围内。
出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。
在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度〔罚球线〕位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
当运动员所站的位置改变时，即投篮出手点到篮框的距离改变时，出手角度和出手速度的增加或减少都影响了投篮的命中率。
投篮模拟问题的程序说明
投篮模拟问题的程序说明一、问题的提出在激烈的篮球比赛中,投篮命中率对于球队获胜起着决定性作用.影响投篮能否命中的因素非常复杂,但投篮时篮球的出手角度和出手速度无疑是两个关键因素。
设p 点表示投篮点,Q 点为篮筐中心,P 和Q 点的水平距离Sm(由程序运行者输入),Q 点高H=3.05m,篮球直径d=24.6㎝,质量M=600g,篮筐直径D=45.0㎝ .根据实际情况,我们分析投篮命中时,篮球的出手角度和速度的大小以及它们的关系.二.问题分析影响篮球在空中运动的因素有很多,在这里我们约定:我们将忽略篮球在空中运动过程中自身旋转的影响,也不讨论篮球碰篮板, 篮筐反弹后落入球筐的情况,并且假设篮球运行的轨迹始终在由篮球出手点和篮筐中心所确定的垂直平面内.三.应用知识根据题意,我们需要列出球的运行轨迹找到篮球出手角度和速度的关系,因此,需要用到质点轨迹运动方程.四.模型建立1.模型的假设假设不考虑篮球的大小,把篮球看作集中在篮球球心的一个质点,讨论篮球球心命中球筐中心的条件.假设不考虑空气阻力对投篮的影响.2.符号说明S:投篮点与篮筐中心的水平距离;H:篮筐中心高度;d: 篮球直径;M:篮球质量;r:篮筐直径;h:出手高度;v:出手速度;θ:出手角度3.建模及解答:不考虑篮球和篮筐大小的简单情况,相当于将篮球视为质点的斜抛运动.建立坐标。
将坐标系原点O 取在篮球出手瞬间篮球球心的位置,水平方向为X 轴,竖直方向为Y 轴,篮球球心的坐标(x,y),列出关于x,y 的方程,就能得到篮球球心的运动轨迹.篮球球心命中球筐中心Q,意味着点Q 在篮球球心运动的轨迹上,由此可以推导出篮球出手角度和速度的关系.设时间从篮球出手的瞬间开始计算,此时t=0.在t=0时以出手速度v,出手角度θ投出篮球,篮球出手后在空中飞行时,沿水平方向是一个速度为θcos 0v 的匀速运动,沿竖直方向是一个初速度为θsin 0v 的上抛运动,因而t 时刻的方程 θcos 0v v x =gt v v y -=θsin 0g 是重力加速度,t 时刻球心位置(x(t),y(t))为: t v x ⋅=θcos2021sin gt t v y -⋅=θ消去t 得运动轨迹方程:2220cos 2tan x v gx y θθ-⋅=因为运动员的出手角度是一个自己的习惯问题，所以在此程序中，我采用的是让程序运行者输入一个自己习惯的出手角度，然后程序给运行者三个反馈：分别是能使球入筐的出手的大速度和最小速度即篮球出手的力量，以及两条投篮模拟曲线。
投篮问题的数学建模
摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。
把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。
综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小，但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。
在出手高度为1.8~2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。
入射角度一般需要大于33.1。
分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小，而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一定时，出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。
关键词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式——罚球。
我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心看成质点，只是简单的讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下，讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板；③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的分析与模型的建立①问题1)的分析与模型的建立不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
数学建模投篮命中率的数学模型
数学建模投篮命中率的数学模型Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】投篮命中率的数学模型摘要随着篮球运动的普及，篮球比赛中紧张、激烈的气氛和更加具有攻击性的防守等因素导致投篮命中率大大降低。
根据研究显示，影响投篮命中率有两个关键因素：出手角度和出手速度。
本文主要运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮框中心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮框中心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论。
首先，本文将三角函数、导数、微分等数学知识及运动学、力学等物理知识相互结合，在罚球投篮这一具体问题的相应具体情境下对此进行了深入分析。
其次，本文建立了与之相关的数学模型，通过不同投篮情况的图表分析归纳出对应的公式，在多重公式的累加条件下最后整理得到满足要求的最终条件范围，得出模型的结果。
在求解过程中，本文使用了MathType数学软件对所用的数学符号作了系统的整理，借此列出了各组公式，同时给出了详细的计算及分析过程，并得出最终结果。
本文在第一问中所设定的不考虑球出手后自身的旋转及球碰篮板或篮框的情况，即在只针对空心球的情况下又限制变量，分别讨论篮框大小、篮球大小、空气阻力及出手角度和速度的最大偏差这四个不同变量下命中率受到的的影响，给出公式，计算出结果。
最终，本文探讨出提高罚球命中率的方法是控制投篮时的出手角度和出手速度，使之分别限制在一定的范围内。
出手角度和速度的过高或过低都会使罚球命中率不能保持在较高水平。
在第二问中本文针对篮球擦板后进篮的情况，假定篮球在碰撞过程中没有能量损耗的理想情况，讨论出了分别在限制区边线距篮框中心30度、45度、90度（罚球线）位置上这三种不同情境下出手角度、出手速度与投篮的命中率之间的关系。
投篮角度问题
这样我们就基本完成了投篮问题模型的建立。
二、 各种情况以及解答
1．最简单情况，不考虑球与篮筐大小，把两者皆看成质点。
解方程 y = H ，得到小球入筐的出手角度条件：
tan α
=
v2
⋅ [1 ±
gL
1−
2
g v2
(H
−
h
+
gL2 2v 2
)]
v 2 ≥ g ⋅ (H − h + (H − h)2 + L2 )
这时，我们必须要考虑到入射角，要求入射角不能太小，否则会打到篮筐。
入射角度 β
=
dy dx
x=L
，可以得到：
tan β = tanα − 2(H − h) L
对应于不同的α，有不同的β，相应设为 β1 和 β 2 。
如图，在投篮时，可以近似地认为篮球是以直线进入篮筐，那么，根据三角函数关系，
我们可以很容易可以得到入射角的限制为 sin β > d = 33.1° 。当然在实际上球在入筐时的 D
轨迹并不是直线，而是抛物线，但是由于是在很小的范围内，而且入筐时抛物线是凸的，所 以这样的简化并不会影响结果。
我们重新填写之前的表格，当 β < 33.1° 时将相应的α删除：
α1,α2 v=8.0 v=8.5 v=9.0
h=1.8 62.41，40.79 67.70，37.50 71.07，34.13
α1,α2 v=8.0
h=1.8 62.41，40.79
v=8.5
67.70，37.50
v=9.0
71.07，34.13
源程序如下：
h=1.95 63.43，40.02 68.19，35.26 71.37，32.08
投篮问题--数学建模论文
摘 要本文针对投篮问题进行研究，根据物理运动学原理分析投篮方式的关键因素及特点，建立层次模型对增加观赏度和个人表现力进行分析。
问题一要求分析罚球、两分球及三分球投篮方式的特点及各自提高命中率的关键因素，并为投篮训练和竞赛策略提供建议。
在篮球投射出去时是做斜抛运动，结合运动学原理来分析三种投篮方式。
投射罚球和两分球时距离较近，则忽略空气阻力的影响，得到运动轨迹方程如下：222tan 2cos gy x x v αα=⋅- 对于关键因素和特点可用篮球飞行过程中的运行区域的面积表示命中率，在选手最小速度运球的情况下对几个变量求偏导数，根据系数大小找出前两个关键因素，其中对于三分球采用入射角度限制的方法进行分析，得出以下结论：二分球的特点是定点投篮，关键因素有出手高度、出手速度、出手角度度；罚球的特点是投射距离固定，关键因素有出手速度和出手角度；三分球的特点是选择跳投的方式，关键因素有出手速度、出手角度和投篮距离。
综合对三种投篮方式的分析，建议队员投射前应适当的调整投射距离的位置和出手角度这主要跟平时的训练有关，在训练时尽可能的控制手腕力量，加强对力量控制方面的练习。
问题二要求分析新规定能否增加篮球竞赛的观赏程度以及体现球员的个人表现力。
分析规则修改前后的数据找出影响观赏度和个人表现力的重要指标，利用层次分析法确定权重，找出影响的最主要指标，为了提高指标体系的可靠性，利用模糊综合评价模型进行进一步的完善，得知助攻、失误和个人能力是决定增加观赏度和提高个人表现力的关键因素。
关键词 命中率 控制变量 运动学 AHP -模糊综合评价模型一、问题背景与重述1.1问题背景投篮是在比赛中，队员运用各种专门、合理的动作将球投进对方球篮的方法。
投篮是篮球运动中一项关键性技术，是唯一的得分手段。
进攻队运用各种技术、战术的目的，都是为了创造更多更好的投篮机会并力求投中得分；防守队积极防御都是为了阻挠对方投篮得分。
随着篮球运动的发展，运动员身高、身体素质及技术水平的提高，促使投篮技术不断发展：出手部位由低到高，出手速度由慢到快，投篮方式越来越多，命中率不断提高。
有关投篮命中率的理论与应用模型
有关投篮命中率的理论与应用模型摘要本模型为分析三种投篮方式命中率的提高方式，从最简单的罚篮模型出发，且先在理想情况下进行讨论，将变量控制为出射角度、水平距离、出手高度三的个因素。
考虑到其中较容易训练的是出射角度，球员的出手高度由身体情况也可基本确定，出手力度却在不同状态下变化较大，模型要考虑的便具体为根据球员情况寻找一最佳出射角度，使出手速度可变范围较大。
再将投球位置推广至平面任意一点寻找该点最佳出射角，并分析直接瞄准篮筐与打板的胜算，找出最佳投篮角度范围，并与实际比赛统计数据比较加以验证。
最后根据模型中投篮方案，考虑场地变化对队员得分的影响，并由比赛数据找到其他能够影响比赛观赏性与球员表现力的因素。
关键词投篮命中率多因素规划场地规则改变一、问题重述投篮作为篮球运动中的一项关键性技术，是比赛中得分的重要手段。
投篮的方式主要分为三种，即“罚篮”、“两分球”和“三分球”，为了能够提高投篮的命中率，我们必须对各种投篮方式的相关因素进行分析，以便为投篮训练及竞赛策略提出科学的建议。
题中给出了标准的篮球场地以及最新的篮球规则变更，问题是需要我们通过分析给出提高各种投篮方式下提高投篮命中率的建议，并分析最新篮球规则的更改对竞赛观赏度和球员个人表现力的影响。
二、构建模型1.罚篮模型对于投篮的三种方式来说，罚篮时运动员处于固定位置、不受防守队员的干扰、投篮过程稳定，而其他两种方式皆可看作是在罚篮基础上的推广和改进，故首先选择罚篮为基本模型进行分析。
构建模型之前有以下假设：①运动员在投篮时发挥稳定，不受偶然因素的影响；②球的飞行过程暂时不计空气阻力，不考虑球的旋转，即将其视为理想的抛体运动；③假设球心的轨迹与篮框中心共面。
符号规定：L1——罚球点与篮框左边缘A的水平距离L2——罚球点与篮框右边缘B的水平距离d——篮框的直径H——篮框的竖直高度v0——球的初速度θ——v0与水平方向的夹角h——球的出手高度r——篮球的半径R——三分线的半径根据题意及相关数据，如图1所示，可知L与H为常量（均以改变后的规则为标准）：L1=4.375m，L2=4.825m，d=0.450m，H=3.050m，r=0.123m，球心轨迹方程由v0、θ和h确定。
投篮问题
投篮问题一、问题的提出激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球我们建立数学模型研究以下数学问题：1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮框的入射角度β；2) 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3）为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。
讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；二、模型的假设1、假设球出手后不考虑自身的旋转2、不考虑篮球碰篮板或篮框入框3、不考虑空气阻力对篮球的影响三、符号设定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm.四、问题的分析与模型的建立1.问题1）的分析与模型的建立：不考虑篮球和篮框的大小的简单情况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。
将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直）方向的运动方程，就可以得到球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件可以表示为 出手角度与 出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不同的出手速度，出手高度，计算出手角度和入射角度。
由于不考虑篮球和篮筐的大小,不考虑空气阻力的影响,从未出手时的球心 p 为坐标原点, x 轴为水平方向, y 轴为竖直方向,篮球在 t =0时以出手速度 v 和出手角度α 投出,可视为质点(球心)的斜抛运动,其运动方程 是我们熟知的。
(1)其中 g 是重力加速度.由此可得球心运动轨迹为如下抛物线(2) 以x=L,y=H-h 代入 （2）式,就得到球心命中框心的条件(3)可以看出,给定出手速度 v 和出手高度h ,有两个出手角度 α满足这个条件。
数学建模实例-投篮
问题的提出
• 篮球运动员在中距离投篮训练时
被告之: 为提高投篮命中率, 应
以 投球 . 试从数学的角度分
析其合理性.
模型假设
• 1) 忽略空气阻力; • 2) 只考虑不接触篮板投篮的情况; • 3) 防守队员的防守不影响投篮的命中率; • 4) 运动员投篮的水平距离S<10m; • 5) 投篮的运动曲线和篮圈中心在同一个平面内.
设运动方程
过点
,则 :
模型应用
THE END
谢 谢 !
• 于是, 曲线OP1方程为:
曲线OP2方程为:
2) 直线OP1, OP2的方程分别为:
3) 达式可以看出, 当 越大,
越大. 但事实上由于投篮初速度v只可能在某
一范围内变化, 所以
内变化. 为求 达到最大, 把
也只能在某一范围
在所给定的范围内使 化为初速度v的函数求解.
模型建立
• 如图, 设P1P2为篮圈横截面, 篮圈高为H0, 半径为
R, 投篮出手点到篮圈中心水平距离为S0, 与地
面距离为h0. 则投篮角度问题就转化为求一个角
度(范围), 使阴影部分面积最大, 即:
1) 确定曲线OP1, OP2的运动方程. 由动力学知识可
知其方程为一般性运动轨道方程, 方程式为:
数学模型投篮出手角度问题
投篮的出手角度问题摘要本文建立了一个反映投篮的出手角度问题的数学模型，该模型以在给定的条件研究投篮出手角度，入射角度以及它们的最大偏差，出手速度和球心命中篮筐的条件，出手的高度、角度、速度是影响投篮命中率的主要因素。
用建立数学模型的方法计算出相关的数据，使三者紧密联系。
研究目的是分析出出手速度、角度和高度之间的关系，在实际操作中用此科学数据为参考依据，进行有针对性的练习，以求达到快速提高投篮命中率的目的，最后，对一个给定的实例作出了详细的结果分析，进而，从整体上基本解决该模型。
在激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
在此讨论比赛中最简单、但对于胜负又很重要的一种投篮方式——罚球，并且球出手后不考虑球的旋转不考虑球碰篮板或篮框的情形。
关键词：数学模型；投篮；出手角度、速度、高度；入射角度；允许的最大偏差；空气阻力；篮筐及篮球的直径；一、问题的重述图1为过罚球点P和篮框中心Q、且垂直于地面的平面示意图。
按标准尺寸，P和Q点的水平距离L=4.60m，Q点的高度H=3.05m，篮球直径d=24.6cm，篮框直径D=45.0cm。
不妨假定篮球运动员的出手高度h为1.8~2.0m，出手速度v 为8.0~9.0m/s。
试建立数学模型研究以下问题：1．不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中篮框心的条件，并求出在出手高度一定时(h分别为1.8和2.0m时)，球心命中篮框心的最小的出手速度以及相应的出手角度α和入射角度β。
2．考虑篮球和篮框的大小（图2），讨论球心命中篮框心且球入框的条件，并检查上面得到的出手角度α和入射角度β是否满足条件。
3．考虑篮球和篮框的大小，为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（见图3）。
讨论保证球入框的条件下，出手角度和出手速度允许的最大偏差（以h分别为1.8、2.0m，v为8.0m/s来计算）。
4．考虑空气阻力的影响（只考虑水平方向上的阻力），设阻力与速度成正比，比例系数为k，讨论不考虑篮球和篮框的大小时，球心命中篮框心的条件。
投篮问题建模
数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。
本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。
我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。
首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。
在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s, 这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz 之间。
并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。
其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h，因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。
我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。
因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。
接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。
最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。
最后，运用我们所建立的模型分析得出2012 年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差．问题的重述1.图2.篮球场地示意图规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图二．问题分析1) 在研究罚篮时， 由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决 定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需， 分别给 定一个出手速度 v 和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和 速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。
投篮角度问题
投篮角度的选择问题一、问题的重述篮球运动员在中距离投篮训练时背告之：为提高投篮的命中率，应以45ο角投球，请建立数学模型说明这其中的原理。
如果情况为远距离投篮时，模型还能使用吗？二、模型的假设（1）忽略空气的阻力。
（2）只考虑不接触篮板的情况，即不考虑擦板球。
（3）防守队员的防守不影响投篮的命中率。
（4）运动员投球的水平距离小于10m。
（5）投篮的运动曲线和篮圈中心在同一平面内。
三、符号约定注：中距离投篮时：010s m<。
四、问题的分析本题要求我们在已经给出的假设条件下给出篮球能够进球的命中率较高时的投射角度的选择。
我在通过构建在精确进球时求解投射角度的模型，并根据现实生活中的客观数据来进行分析，最后得到最佳投射角。
五、模型的建立与求解5.1模型的建立我们把球的初速度分解到水平和垂直两个方向上去。
得：sin cos x y v v v v θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩按照图中的坐标系,我们可以列出篮球运动轨迹的参数方程 ：212x y x v t y v t gt =⎧⎪⎨=-⎪⎩消去t 后我们的就得到篮球的轨迹方程 ：22221()tan 22cos y xxv x gxy x g x v v v θθ=-=-（1）现在该运动方程的过点000(,)s H h -。
当00y H h =-时我们可以求解出θ：20200tan [1(v gs v g H h θ⎧=±⎪⎪⎨⎪≥-+⎪⎩其中速度v 的限制主要是由于球要入筐，必须有足够的速度飞到篮筐处。
而对于同一个初速度v ，可以有两个出手角度满足要求，设其为12,αα，且12αα>。
当200(v g H h =-+时只有一个符合要求的出手角度0α。
5.2模型的求解为了讨论出12,αα（或者为0α）的合适大小，我们需要给出一些比较客观的数据：篮架高0 3.05H m =，投篮人出手点高0 1.8~2.1h m =，出手点距离篮筐中心0 4.6s m =，篮筐直径245R cm=，出手速度8~9/v m s =，重力常数为29.8/g m s =。
投篮问题
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：篮球投篮与比赛规则问题摘要本文建立了投篮运动学模型和基于改进TOPSIS的观赏性评价模型，研究了影响两分球，三分球，罚球三种投篮方式的关键因素并提出了训练建议。
根据题目所给的篮球规则，分析了规则改变前后比赛观赏程性的变化情况。
针对问题一，本文从运动员的出手高度，出手速度，投篮距离，出手角度四个方面出发，考虑空气阻力，建立了投篮运动学模型，分析了篮球空心入网的条件，结合题目建立了命中率与出手角度的关系，确定出手高度，出手速度，投篮距离的变化对运动员命中率的影响。
发现，两分球的命中率随着出手速度增加而增加，在投篮距离变化时，命中率先增加后减小，在投篮距离为3.95m附近达到峰值，而且两分球命中率与出手高度也有较大关系，建议运动员进行多点的，系统的训练；三分命中率与投篮距离和出手速度呈负相关关系，建议运动员尽量靠近三分线投篮并稍微降低出手力度以更好地控制篮球的运动轨迹；罚球一般情况下只与运动员的出手速度即力度有关，建议运动员平时注重对力量的控制练习。
投篮问题（数学建模）
投篮问题（数学建模）
投篮问题
激烈的篮球比赛中，提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。
这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式--------罚球
我们建立数学模型研究以下数学问题：
1) 先不考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心的条件。
对不同的出手高度h和出手速度v，确定出手角度α和篮框的入射角度β；
2) 考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。
检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；
3）为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后（这里暂不讨论偏左或偏右）。
讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差，和出手速度允许的最大偏差；。
防守状态下投篮运动的数学建模
篮球 轨 迹 水 平 方 向 上 的 !' =(
距离
!$
出手 点 "离 d点 的 水 平距离
篮球 轨 迹 竖 直 方 向 上 的 #' =(
距离
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"点离 ;点的水平距离 ' 即投篮距离(
d 防守者起跳点
G 跳投的起跳点
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篮筐中心垂直于地面的 J
投影点
G" 球从地面到出手高度
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投球出 手 点 到 篮 筐 中 心 的
投射速度方向与水平方向的
K
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水平距离
夹角' 投篮出手角(
二 问题有人防守 时如 何 重 新 选 择 空 心 投 篮 的 最 佳 投 篮点及投篮角度
考虑到有人防守的情况下"对模型进行改进"例如后卫可 以采取干拔跳投的方式"增加垂直高度"在速度不变的情况下 使投篮的最佳角度减小"提高命中率,采取后仰跳投的方式"延 长水平距离"增大投篮角度"从而提高命中率$
盖"使防守者触及不到球"可得!
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根据计算斜抛运动的有关公式"可推导出
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2021防守投篮得分影响因素的建模分析范文2
2021防守投篮得分影响因素的建模分析范文 摘要： 对于投篮问题的研究, 往往在无人防守的理想状态下, 对投篮的技术动作、篮球的运动轨迹、投篮角度等方面进行讨论。
而实际比赛中, 后卫往往是对方的重点防守对象, 很难有空位出手的机会, 防守球员一般会用手臂挡住对方视线, 使投篮者起跳后无法看到篮筐, 这就需要我们对无人防守的理想状态下的模型进行改进, 为后卫重新设计一个最佳出手点和出手角度。
本文首先研究投篮运动的普遍规律, 建立数学模型。
然后考虑有人防守的情况下, 对模型进行改进, 从而提高命中率。
关键词： 防守状态;投篮角度; 投篮命中率; 入篮角; Abstract： Theresearch on the shooting problem is often discussed in the ideal condition of undefended, the technical movement of the shot, the track of basketball, the Angle of shooting and so on.The actual competition, the defender is often the other side of the key defense objects, it is difficult to have the chance to shots, defensive players tend to use arm to protect each other's line of sight, make people can't see the basket after takeoff shooting, this needs us to the unmanned defense under the ideal state of model was improved, for the defender to design an optimal point and Angle.This paper first studies the general rule of the shooting movement and establishes the mathematical model.Then, the model is improved to improve the shooting rate when someone is defending. Keyword： ShootingAngle; shooting average; Come in for the Angle; 一、问题分析 问题:有人防守时,如何重新选择空心投篮的最佳投篮点及投篮角度。
篮球罚球投篮模型
篮球罚球投篮模型No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期,2004年12月,篮球罚球投篮模型(1)(2)(3)凌康林黄兰香李灿明1 韶关学院2002数学与应用数学班广东韶关 5120052 韶关学院2001数学与应用数学(,)班广东韶关 5120053 韶关学院2002生物术(,)班广东韶关 512005 [摘要]:本文根据篮球罚球投篮情况(建立投篮的模型,从简单到复杂，层层深化(模型一把篮球、篮框看作质点，根据物理学的斜抛运动，得到篮球球心运动的轨迹方程，由此可得到篮球出手高度与出手角度的关系(模型二在模型一的基础上,进一步深化，考虑篮球和篮框的大小，分析篮球命中篮框时的约束条件，:,x33.1554得到入射角不能小于(模型三分析篮球偏离球心的最大距离，并由此可得篮球出手速度和出手角度的偏差范围(从而使问题一般化，更好的应用于实际(关键词: 出手角度;出手速度;入射角度1 问题提出在大型篮球比赛中，投篮的命中率高低对于球队胜起决定性的作用，而投篮时的出手角度和出手速度是两个关键因素(这里只须讨论比赛中最简单、最常见的一种投篮方式——罚球(mP点表示罚球点，Q为篮球框中心.按照标准尺寸，P和Q点的水平距离L=4.60,Q点高md,24.6cmD,45.0cmvH=3.05，篮球的直径，篮框直径.根据实际情况，出手速度在7.0~9.0m/sh1.8~2.1m之间，出手高度在之间.试讨论篮球的出手角度和出手速度的大小以及关系.2 模型假设篮球运行的轨迹始终在由篮球出手点和球框中心所确定的垂直平面内( 只考虑篮球“穿针”的情况，不考虑篮球碰篮框、篮板反弹后落入球框的情况( 不考虑空气的阻力对篮球的影响(不考虑篮球自身旋转的情况(3 问题分析影响篮球在空中运动的因素很多，必须恰当的分析问题，进一步把抽象的问题简化(hv把篮球、球框看作一个质点，根据不同的出手高度和出手速度，确定此时篮球命中篮框,,时的出手角度和入射角的关系(考虑篮球和球框的大小，讨论篮球刚好不碰到篮框(球心命中框中心且篮球落入球框的条件.由于球框比篮球大，在实际的投篮过程中，篮球球心偏前或偏后一些距离，仍可以保证篮球落入球框内(4 模型建立4.1 模型一O将篮球视为质点的斜抛运动(先建立坐标轴如下:将坐标系原点取在篮球出手瞬间yx,yx球心的位置上，水平方向为轴，竖直方向为轴，列出方程，得到篮球水平运动的轨156第三期,2004年12月, 韶关学院学生数学建模论文集 No.3QQ迹(篮球球心命中球框中心，意味着点在篮球运动的轨迹上，由此可以推导出篮球的出手角度与出手速度的关系(t,0设时间从篮球出手的瞬间开始计算，此时，篮球在空中运动过程中，可以作沿水v*cos,v*sin,t平方向速度为的匀速直线运动与初速度为(向上)的上抛运动，因而在v,vxy时篮球沿两个方向的速度为,v,vcos,x,v,vsin,,gty,t时刻篮球的球心坐标为:,x,vtcos,,12,y,vtsin,,gt,2,t由上述方程消去，得到篮球球心的运动轨迹方程:g2,yxtanx,,222vcos,Q(L,H,h)因为篮球的球心必须命中篮框的中心242222vvgHvghvgL,,2，2,,tan,gL故有:要使该式有意义，必须要满足:422v,2gHv，2ghv,gL,0222v,gH,gh，gH,2Hh，h，L即:vvmin故的最小的出手速度为:222v,gH,gh，gH,2Hh，h，Lminvg,H,Lhhmin由上述得出，因为为常数，最小的出手速度与篮球出手高度有关，随增大157No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期,2004年12月, 而减小，说明矮的运动员比高的运动员需要用更大的速度投篮(,, 在保证篮球能投中篮框的条件下，还必须注意篮球射入篮框时的入射，其中可由g2,yxtanx,,22(x,L)2vcos,抛物线方程在篮框中心处的导数得到(Lgtan,,tan,,2vLg,,,arctan(tan,)2v即:4、2 模型二考虑篮球和篮框的大小，如图，应注意到即使篮球球心命中球框中心，如果篮球入框,时的入射角太小，球会碰到球框的点(如球框上的A点)而不能落入球框内( 篮球在飞行过程中不接触球框的最起码条件为:d/2dsin,,,D/2Dd,24.6cmD,45.0cm将，代入上式，得,,,33.15544、3 模型三因为篮球比球框小，球心不命中球框中心时，也是可以进框的(现在讨论出手角度和出手速度的最大偏差(QC(如右图)其中为篮球球心的运动轨迹方程，轨迹方程d/2A到的距离不能小于(所以篮球偏差的最大距离为:Dd,x,,22sin,CO ((((((((((即为的长度(L,,x,H,h)当篮球命中篮框时，球心的坐标范围在g2(L，,x),(L,,x)tan,，H,h,0222vcos, 故有:利用Matlab编程:见(附录2)v,v,L,x,00 在时，为圆心横坐标的范围，解关于的方程，得到值，即最大的偏差,,,,,,0为:,,,vL,xv00 在时，为圆心横坐标的范围，解关于的方程，得到值，即最大的偏差158第三期,2004年12月, 韶关学院学生数学建模论文集 No.3,v,v,v0为:5 模型求解222v,gH,gh，gH,2Hh，h，Lmin由模型一，根据最小速度 2vtan,,gL和得到不同的身高时出手的最小速度和相应的出手角度:v(m/s),(度)h(m)min1.8 7.6789 52.60101.85 7.6386 52.30981.9 7.5985 52.01851.95 7.5585 51.72382.0 7.5186 51.42932.05 7.4788 51.13142.1 7.4392 50.83387.0m/sv,8.0~9.0m/s由上数据可以得到，最小速度都大于，故只须讨论出手速度1.8~2.1m出手高度在之间(242222vvgHvghvgL,,2，2,,tan,gL再根据公式,详细地对不同的身高和不同的速度,计算篮球心能命中篮框的出手角度:不同身高和不同速度命中篮框的出手角度,(度),(度)v(m)h(m)12 8.0 1.8 62.4095 42.79361.9 63.1177 40.91882.0 63.7288 39.12832.1 64.2671 37.4014 8.5 1.8 67.6972 37.50611.9 68.0289 36.00602.0 68.3367 34.52012.1 68.6245 33.0441 9.0 1.8 71.0697 34.13331.9 71.2747 32.76142.0 71.4701 31.38742.1 71.6561 30.0107Lgtan,,tan,,2v由模型二，根据，可以得到出手角度不同时，有不同的入射角(有下表159No.3 韶关学院学生数学建模论文集第三期,2004年12月, 对应关系:,(,),(,),(,),(,)121262.4095 42.7936 53.8752 20.921863.1177 40.9188 55.8214 20.143163.7288 39.1283 57.4959 19.647564.2671 37.4014 58.9816 19.369767.6972 37.5061 67.8199 19.381468.0289 36.0060 68.6121 19.272268.3367 34.5201 69.3347 19.279568.6245 33.0441 69.9990 19.388671.0697 34.1333 75.1701 19.298771.2747 32.7614 75.5635 19.420271.4701 31.3874 75.9325 19.619171.6561 30.0107 76.2784 19.6191,,,,,,33.155433.155421由上面条件得，因为均小于，故应舍去，出手角度只能是，,2而入射角为(,x,v由模型三，可得到和的最大偏差(v(m/s)h(m),,(,),(,),(,),,(,)8 1.8 62.4095 53.7520 -0.7902 0.05031.9 63.1177 55.8214 -0.7556 0.05402.0 63.7288 57.4959 -0.7268 0.05712.1 64.2671 58.9616 -0.7035 0.05978.5 1.8 67.6972 67.8199 -0.6089 0.06981.9 68.0289 68.6121 -0.5941 0.07132.0 68.3367 69.3343 -0.5805 0.07272.1 68.6245 69.9990 -0.5678 0.07419 1.8 71.0697 75.1701 -0.4920 0.07901.9 71.2747 75.5635 -0.4848 0.07992.0 71.4701 75.9325 -0.4762 0.08082.1 71.6561 76.2784 -0.4689 0.0817 6 模型评价与推广本文的模型通俗易懂，容易为读者所接受，具有一定的实用性(但在投篮的实际情况，篮球碰到篮板反弹的情况是会发生的，空气对篮球运动的影响也是不容忽略的(这是本文没有深入讨论的(也是本文的不足之处(而归根结底，其设计的模型应该是本文的推广，与本文是一致的，所以本文仍有很大的实际意义( 参考文献[1].王沫然.MATLAB6.0与科学计算.电子工业出版社.2001[2].萧树铁.大学数学实验.高等教育出版社.1999[3].姜启源.数学模型(第三版).高等教育出版社.2003160。
投篮角度问题
篮球运动员在中距离投篮训练时被告之，为提高投篮命中率，应以45度投射角投球。
请通过建立数学模型说明其中是否有道理。
理论模型建立：假设：对于职业篮球运动员而言，投篮时出手点与篮筐基本持平，且球能精确地落入篮筐。
设：球出手时的初速率为v （m/s ）；球的出手角度为θ（rad ）； 球与篮筐的水平距离为d （m ）； 球的水平位移为x （m ），竖直位移为y （m ）；投篮示意图由此可知：水平速率为cos x v v θ=；竖直速率为sin y v v θ=。
球的运动方程为：212x y x v ty v t gt ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 因此，可知：22tan 2cos gx y v x θθ=⋅-令y=0（且x>0），可解得:sin 2vx gθ=. 由于要保证球能投入篮筐，因此必须满足：sin 2v d g θ=，即：sin 2gd v θ= 由实际经验可知，一个人力气越小，投篮就越费力，球就越难以掌控。
因此，为了提高投篮稳定性，必须使人的用力最小，即：球的出手速度尽量小。
因此，整个问题就归结为如下优化模型：2min ()..02f v s t θπθ=≤<因此，原问题就等价于如下优化模型：21min sin 2..02f s t θπθ=≤<容易求得，问题的解为：4πθ=最优。
结论：当投篮角度为45度时，篮球落入篮筐时的状态是最稳定的，因此，以45度角投篮时，可以提高投篮命中率。
改进：一般化的投篮模型一般情形：球员身高较矮，投篮时球的出手点与篮筐的垂直距离为h （m ），求这种一般情形下运动员的最优投篮角度。
投篮示意图一、投篮模型的建立：由之前的讨论可知，篮球的运动方程如下：22tan 2cos gx y v x θθ=⋅- 由于当篮球的水平位移达到投篮距离d 时，篮球必须入筐，因此抛物线过（d ，h ）点。
由此可知球出手时的速率为：222cos sin 2h gd v d θθ+= ----------------------（*）利用一开始时的结论，为了使投篮尽量稳定，就等价于确定如下优化问题的解：2min ()..02f v s t θπθ=≤<其中：222cos ()sin 2h gd v d θθθ+=二、理论模型的计算： 令d=3.5（m ），g=9.8（m/s^2）；结论：从计算结果可以看出，只要高度差小于2米，最优投篮角度都差不多在45°左右。
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数学建模竞赛论文摘要在激烈的篮球比赛运动中，投篮得分是整个比赛中的主要得分方式，因此篮球运动员的投篮命中率的高地一定程度上直接影响了一场比赛的胜负。
本文就是通过对已知数据的计算与整合，并通过建立三种投篮方式的数学模型来分析三种投篮方式的特点和各自提高命中率的关键因素，从而为投篮训练和篮球竞赛策略提供科学的建议。
我们对不同的投篮方式根据其在比赛中的实际效果采用了不同的数学模型使得计算结构更加科学可靠。
首先，在第一模型即罚篮的数学模型中，我们通过建立运动学方程的方法找到影响罚篮的两个关键因素即出投角度，和出球速度。
在这里我们通过对出球角度的研究确定了不同高度时投篮所需的最小速度都小于8m/s,这样合理的假设了运动员的出球速度是在8~9m/sz之间。
并通过罚篮中篮球命中蓝框中心所允许的偏差计算出出投角度所允许的最大偏差明显大于出球速度的最大偏差，也就是说改变出头角度是篮球命中的可能性更大一些，故训练中我们应该着重注意出球的角度。
其次，在第二个二分球投球的模型中，由于出投位置的不确定，增加了距离参数L 和出投高度h,因此，我们用入篮篮球的运行区域的面积大小来刻画命中率。
我们从改变距离和高度对入球角度区间改变量大小上来分析得到，改变出头距离时入球的角度区间明显大于改变出投高度时入球的角度区间。
因此可以看出在投二分球时应该尽量使得出球位置靠近篮框。
接着，在第三模型中，由于出投位置较远，并且球在空中运行时间较长，运行速度偏快，导致空气阻力的影响很大，因此不能够忽略空气阻力，我们在前面模型的基础上加入水平空气阻力，并且由于采用跳投的方式出球高度也适当懂得增加。
最后建立起模型通过给定数据来研究出球高度，和出球角度对命中率的影响问题。
最后，运用我们所建立的模型分析得出2012年出台的篮球新规则的三条改变不仅增加了篮球的观赏性同时也很好的体现了球员个人的表现力关键字：出投角度、高度、速度、命中率、允许的最大偏差.问题的重述图1•投篮示意图i4.JTE'TT ---------h\LH .s wi—m———图2.篮球场地示意图规则改变前的篮球场地示意图规则改变后的篮球场地示意图UL二.问题分析(1) 在研究罚篮时，由于罚篮采用定点投篮方式故出球高度基本有球员身高决定，要研究投篮命中是出球角度和出手速度哪个起主要作用只需，分别给定一个出手速度V和出手角度根据不同的出球高度计算出篮球的角度和速度的最大偏差，取偏差较大的即是增加命中率的主要因素。
(2) 研究二分球投篮问题时，可根据入球区域的最大面积来描述命中率，通过解积分曲线的方法求出入球区域A,根据入球偏差求出所需的角度的范围。
(3) 研究三分球投篮时，由于球速大，考虑加入空气阻力的影响建立模型。
模型假设(1) 模型I ,11中忽略空气阻力。
(2) 模型中不考虑打板入球的情况。
(3) 模型II中不考虑防守队员防守影响命中率的情况(4) 投求的运动曲线和篮框中心在同一平面内。
(5) 出手后不考虑球的自身旋转。
四.符号说明L:篮球出手点到篮框的水平距离，其中在模型I中L=4.6m.模型III中L=6.75m。
H:篮框的高度，H=3.05m.D:篮框的直径，D=45cm.d:篮球的直径，d=24.6cm.h:运动员的出手高。
一般在1.8~2.7m 之间 v :运动员的出球速度，一般在 8~9m/s g:重力加速度，g=9.8m/s A 2a ：篮球的出手角度 B ：篮球的入射角度五. 模型的建立与求解对三种投篮方式进行，建模，1. 考虑罚篮这种头球方式，运用物理中抛射运动的知识。
建立模型：P(A)—(弟)2 水平方向上：s 2Dy (vsin )t -gt 2竖直方向上： 2消去t ，得到.在罚篮中如果只考虑球心正中蓝框中心这种情况：则公式中y=H-h, x=L.带入 整理得：■二［】土 J1 一〃一“十竺叮 解 计 厂 2声(2)这个公式表示了投篮命中所需要的条件。
不难看出投篮命中率主要由h,v,这三点决定。
对于罚篮，采用定点投篮方式，故对于每个篮球运动员h 是确定的，所以命中率 主要取决于出手速度v ,和出手角度•，公式(2)中不难看出给定h ,每一个v 对应两个，并且若要(2)式有意义，则必须满足1 (II 一 h + —―— )^0v* 2v*(3)解得：—力+历+(// —对打这样可此得出给定一个出手高度 h ,必然对应一个最小速度 v 。
并且它是h 的减函数。
带入参数可算出实际罚篮时所需的最小速度。
另外球入篮框的入射角度也可由公式(1)求出：y = x tan a -(1)与（1）式联立得：tan /> = tiin a------------- z、f L（5）以上讨论的均是球心正中蓝心得情况，在实际投篮中由于篮球直径小于篮框直径，故存在一定偏差使得即使球心没有命中蓝心球也能命中，以蓝心为原点，设可允许的偏差最多为，则可以计算出：此时出手高度没变，但是由于入球位置由L变为L+, x成为变量带入（1）式得。
x--- ；------- x lan tz+II —方二02粒 * COT a若v是一个确定值，那么可以用x对求导。
dx_ iv + —真£‘ tan ceda gL -心口a cos ct将d x和d用，来替换，整理得：—v* sin Lt cos ctg = ——: ----------- -------- 心(7)同理若确定，上式对v求导并做合理替换可以得到:— v* sin ct coi a AV =-------------------------- :-------------------- t^Ar(8)这样我们可以通过计算角度和速度他们的最大偏差与相对偏差来确定出手角度与出手速度哪一个偏差更大，也就是说通过训练更容易提高命中率。
2. 第二种投篮方式，在投篮距离L为1.25m和6.75m之间的投篮（1.25m内为合理冲撞区，我们认定为在这里投篮命中率为100%。
即得二分的投篮方式。
此时投篮方法多样，可采用跳投，定点投篮，抛投等。
但出手后篮球运动轨迹仍符合力学规律，我们仍可用罚篮中所用的轨迹方程即，公式（1），但此时，出手距离L，与出手高度h,均为变量。
因此投篮命中率我们该用篮球在运动中可允许最大偏差的两条弧线与篮框所围面积的大小来表示。
不放射为A（q）。
两条最大偏差弧线分别为0,0则不难验证，0过点（L-，H-h），0过点（L+，H-h）。
则由公式（1）我们可分别写出0, O的弧线方程：QL 一血x) km ff —H + A(L+△兀)tan cz —H H-- 氐tun b =———"dxx — L(4)2 sin/? ( 6)(9)直线Op 1，的方程分别为:H-丹y = ---------- 工Lr r(L +Ajr)taniZ -H+A 】H-h n}[x tan tz ----------------- : ------ x~ ----------- A VZ V1 (£+心 "% =扣曲"一切244 =，七严一"绻彳—^oPiP ； = m L^x t 日n a厶¥(" —h)由公式（13）可知越大tan 就越大则，就越大由公式（2）知道，由v 唯一确 定，而v不能无限增大，故tan 只能在一定范围内变化。
设曲线过点（L ，H-h ）带入公式 （2）得到：tantz = — （v 2 - J 沪述〜一（14）其中v 满足v 1 — 2Y I H —h)g — gT ： Z 0并且：d tan a _ J J - 2v 2 (7T —片}g —— F 2 — h^g 才 AH(了) gs _ 2*'(H 二 h)g -才寸可见tan 是的减函数，当最小时tan 最大。
由公式(3)的解可知tan 的最大 值为：…w H-h \H-h. y MAX tan a --- -------- r J( -------- ) " +1t-i 1实际中L 的范围是（L+Vx , L-Vx ），为方便计算这里看成是R=Vx ,即假设那 么我们就得到入射角的的范围是：1 .2(11)(⑵(L —AA ) tan — H +7?<L -iA齐 H-hL. —ibV(13)(X — arctanC (15)所以，[箱 tan a— H _h~L~（⑹由此公式我们就可以根据不同的位置与出手高度计算出使篮球命中的入射角 范围。
从而经过比较，得出哪一个因素才是主要因素。
3. 最后建立第三个模型： 三分球的投射中，要考虑空气阻力的影响，在这里我们只考虑水平方向上 的空气阻力影响，因为投篮时对求运动的阻力主要体现在水平方向上。
通常阻力 与速度成正比，设比例系数为k 。
则篮球在水平方向上的运动可由微分方程表示：d 1 2x dx2 k 0 dt dtX （0）=0 dx 【 丨 t =0 =vcosdt用数学分析的方法可以求解得:kt1 e x(t) vcosk通过泰勒展开式并略去e 二次方以上的项（这是由于投篮运动中 k ,与t 较 小）这样得到了更为简单的运动方程。
x(t) vcos t2与模型I 的运动方程相结合，投三分球时求的运动方程为:消去t,得:这就是投三分球时篮球的运动轨迹不难看出，他与出高度和出手速度，和出 手角度有2gt若球心正中蓝心则方程过点（L,H-h ）x(t) VCOSkvcos t 22y(t) vsi n其中L 固定为6.75m 。
方程变为:L v cos tkvcos t 2H h vsi n1 21gt曲呵岂二^ + /(空二纣arctan[^— L-^R \ L + RL-RXi (H h)kvs in cos H h 直cos g vks in2 g(Lg (H h)kvcos ) 2 2 22v cos (g vksin )关系。
4. 计算结果与MATLAB 寸录：取出手高度在1.8~2.1之间运用MATLA 程序结果如下:for h=l. 8:0.1:2.1v=sqr t (g* (H-h^sqrt (L*2-+(H _h) *2)))end计算结果:h m V min m/s1 .8 7.6789 1.9 7.5985 2.0 7.5186 2.17.4392可以看出最小速度v 随着高度的增加而减小，切最大没有超过8m/s,我们在前面 去v=8~9m/s 是合理的。
我们取v=8m/s 是出手高度在1.8m~2.0m 得到出手角度。
在MATLAB^的附录及结果为：H=3.05; g=9.8; L=4.6; v=8;for h=1.8:0.1:2.0=180/pi*actan(v A 2 /g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v A 2*(H-h+g*L A 2/2v A 2)))end计算结果填入下表:v m/sh m8 1.862.4099「 8 1.9 63.117482.063.7281— 最后，我们用v=8m/s 时高度分别为1.8m 和2.0m 时所对应的的角度，利用公式 (7)( 8)算出最大偏差，MATLAB^的附录为： L=4.6 ； V=8; g=9.8; D=0.45/2; D=0.246/2; =62.4099; V=(g*L-vA2*si n( *pi/180)*cos( *pi/180)*(D-d)/(L*(vA2-g*l*ta n( )a*pi/180)))L-4.fi ：Vv =(g*L-v A2*si n( *pi/180)*cos( *pi/180)*v*(D-d))/(g*L)同理算=63.7281.计算结果填入下表：从结果中看到，出手角度的最大偏差明显大于出手速度的偏差，也就是说罚篮时对出手速度的要求更为严格，而出手角度相对允许有较大误差。