高中数学 有关圆锥曲线的经典结论
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 假设000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=〔a ＞b ＞0〕的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，那么焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.〔内切：P 在右支；外切：P 在左支〕5. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a＞0,b ＞0〕上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 假设000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=〔a＞0,b ＞0〕外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，那么切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，那么双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞o 〕的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=〔a ＞0,b ＞0〕的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高中数学有关圆锥曲线的经典结论
⾼中数学有关圆锥曲线的经典结论有关解析⼏何的经典结论⼀、椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan 2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y yx y a b a b+=+. ⼆、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）00022a b 0线的切线⽅程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t 2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。
高中数学圆锥曲线常用98条结论
高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。
3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。
4. 椭圆的面积为πab。
5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。
6. 椭圆的离心率为e=c/a。
7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。
8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。
9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。
10. 双曲线的面积为πab。
11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
12. 双曲线的离心率为e=c/a。
13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。
14. 抛物线的标准方程为y=4ax。
15. 抛物线的焦距等于a。
16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。
17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。
18. 抛物线的准线方程为y=-a。
19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。
20. 圆的直径为圆心的两倍半径。
21. 圆的周长为2πr。
22. 圆的面积为πr。
23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。
24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。
25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。
26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。
27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。
28. 抛物线的切线方程为y=2ax。
29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。
30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。
31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。
32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。
33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。
34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。
(完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
圆锥曲线二级推论椭圆Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭 1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦 点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以 圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于 两点 P 、Q, A 1、 A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q3. 4. 5. 6.长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离.以焦点半径 PF 1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 2 若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a 的椭圆的切线方程是 2 yb 2x 0x 2a2yb 21上，则过P 0 y 0y1. b 02 1.1外 ，则过2若P 0(x 0, y 0) 在椭圆 x2 a Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2， P 1P 2 的直线方程是 则切点弦x 0x y 0y22 ab 2 椭圆 x 2a 分别为 F 1， 点 F 1PF 2 积为 S F 1PF 222椭圆 x 2y 式：|MF 1 | a ex 0,|MF 2 | a ex 0 ( F 1( c,0) , F 2 (c,0) M (x 0,y 0)).1. 7. 8.交于点 N ，则 MF ⊥NF. 2y2 1的不平行于对称轴 b2 yb 2 1 (a >b > 0)的左右焦点 F2，点 P 为椭圆上任意一 ，则椭圆的焦点角形的面 b 2 tan . 22 1(a > b >0)的焦半径公 ab9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、2 11.AB 是椭圆 x2 a的弦， M (x 0,y 0)为 AB 的中点，则k OM k AB即 KABb 22， ab 2 x 02。
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椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
有关圆锥曲线的结论
有关圆锥曲线(d e)结论公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]★说明:圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式）,将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用,不要过分纠结于此有关解析几何(de)经典结论一、椭 圆1. 点P 处(de)切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)外角,则焦点在直线PT 上(de)射影H 点(de)轨迹是以长轴为直径(de)圆,除去长轴(de)两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径(de)圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径(de)圆必与以长轴为直径(de)圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P (de)椭圆(de)切线方程是00221x x y ya b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆(de)两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2(de)直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)(de)左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆(de)焦点角形(de)面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F(de)椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F(de)直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上(de)顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆221a b+=(de)不平行于对称轴(de)弦,M ),(00y x 为AB(de)中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po 所平分(de)中点弦(de)方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po(de)弦中点(de)轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处(de)切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处(de)内角,则焦点在直线PT 上(de)射影H点(de)轨迹是以长轴为直径(de)圆,除去长轴(de)两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径(de)圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径(de)圆必与以实轴为直径(de)圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P (de)双曲线(de)切线方程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线(de)两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2(de)直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线221a b-=（a ＞0,b ＞o ）(de)左右焦点分别为F 1,F 2,点P为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线(de)焦点角形(de)面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）(de)焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F(de)双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F(de)直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上(de)顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M,A 2P 和A 1Q 交于点N,则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)不平行于对称轴(de)弦,M ),(00y x 为AB(de)中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分(de)中点弦(de)方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po(de)弦中点(de)轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.椭圆与双曲线(de)对偶性质--（会推导(de)经典结论）椭 圆1. 椭圆221a b+=（a ＞b ＞o ）(de)两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y轴平行(de)直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点(de)轨迹方程是22221x y a b-=. 2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补(de)直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且202BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点(de)任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当0＜e 1时,可在椭圆上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2(de)比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点(de)充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2(de)最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆(de)最小值是2222a b a b+.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）(de)右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN(de)垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）,A 、B 、是椭圆上(de)两点,线段AB(de)垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<.11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点(de)任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）(de)长轴两端点,P 是椭圆上(de)一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆(de)半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）(de)右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F (de)直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF (de)中点.14. 过椭圆焦半径(de)端点作椭圆(de)切线,与以长轴为直径(de)圆相交,则相应交点与相应焦点(de)连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径(de)端点作椭圆(de)切线交相应准线于一点,则该点与焦点(de)连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点(de)距离与以该焦点为端点(de)焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点(de)内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心(de)比例中项.双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行(de)直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点(de)轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补(de)直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外(de)任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)两个焦点为F 1、F 2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L,则当1＜e 1时,可在双曲线上求一点P,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2(de)比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点(de)充要条件是22222A a B b C -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2(de)最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ∆(de)最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)右焦点F 作直线交该双曲线(de)右支于M,N 两点,弦MN(de)垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上(de)两点,线段AB(de)垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点(de)任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)长轴两端点,P是双曲线上(de)一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e分别是双曲线(de)半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）(de)右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F (de)直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF (de)中点.14. 过双曲线焦半径(de)端点作双曲线(de)切线,与以长轴为直径(de)圆相交,则相应交点与相应焦点(de)连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径(de)端点作双曲线(de)切线交相应准线于一点,则该点与焦点(de)连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点(de)距离与以该焦点为端点(de)焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点(de)内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对(de)旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心(de)比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点(de)线段称为圆锥曲线(de)弦,利用方程(de)根与系数关系来计算弦长,常用(de)弦长公式：212122111AB k x x y y k=+-=+- 2、直线(de)一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)(de)形式.3、知直线横截距,常设其方程为(它不适用于斜率为0(de)直线) 与直线垂直(de)直线可表示为.4、两平行线间(de)距离为.5、若直线与直线平行则 （斜率）且（在轴上截距） （充要条件）6、圆(de)一般方程：,特别提醒：只有当时,方程才表示圆心为,半径为(de)圆.二元二次方程表示圆(de)充要条件是且且.7、圆(de)参数方程：（为参数）,其中圆心为,半径为.圆(de)参数方程(de)主要应用是三角换元：解析几何专题·经典结论·常用技巧；8、为直径端点(de)圆方程切线长：过圆（）外一点所引圆(de)切线(de)长为（）9、弦长问题：①圆(de)弦长(de)计算：常用弦心距,弦长一半及圆(de)半径所构成(de)直角三角形来解：；②过两圆、交点(de)圆(公共弦)系为,当时,方程为两圆公共弦所在直线方程..。
(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P 处的外角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25 .假设P o(X o, y o)在椭圆与yY 1上,那么过P0 a b的椭圆的切线方程是警缪1. a b2 26 .假设P0(X o, y o)在椭圆占4 1外,那么过a bP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 那么切点弦P1P2的直线方程是x o x y o y-2~ ~2~1.a b2 27.椭圆\ 4 1 (a>b>0)的左右焦点a b分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2 ,那么椭圆的焦点角形的面积为S F PF b2 tan-. 1 222 28 .椭圆=yr 1 (a>b>0)的焦半径公a b式：IMF I | a ex0,|MF2 | a e%(F1( c,0),F2(C,0) M(x0,y.)).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点,那么MF XNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A I、A2为椭圆长轴上的顶点,A I P和A2Q交于点M, A2P和A I Q交于点N,那么MFXNF.2 211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴a b的弦,M(x°,y°)为AB的中点,那么b2k OM k AB _2,a即K AB整.a V.双曲线1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的内角, 那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2 25 .假设P o(%,y.)在双曲线与3 1 (a>a b0,b>0〕上,那么过B的双曲线的切为AB 的中点,那么K OM K AB 线方程是粤.当1.a b2 26.假设R〔X°,y.〕在双曲线与匕ab 1 (a>0,b>0〕外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P「P2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0X y0 y 1.即K ABb2X.-20a y.212.右P Q〔X.,y.〕在双曲线—2ab2X.-2 )a y.1 (a>0,b>0〕内,那么被Po所平分的中点弦的方程是2 2X Q X y°y X0 y2 27.双曲线 : 〕a b 右焦点分别为线上任意一点1 〔a>0,b>o〕的左F 2,点P为双曲F1PF2 ,那么双曲线2 . 2 2aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线—ab2 yb7 1(a>的焦点角形的面积为S2 2 F1PF2b2cot—.20,b>0〕内,那么过Po的弦中点的轨2 2迹方程是3线誓岑.a2b2a2b28 .双曲线: I 1 〔a>0,b>o〕的焦a b半径公式：〔F1〔 c,0〕, F2〔c,0〕当M〔X0,y°〕在右支上时,|MF1| ex0 a ,| MF2 | ex0 a.当M〔X0, y°〕在左支上时,|MF1| eX0 a,|MF2| eX0 a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q, A「A2为双曲线2 2椭圆三-yy 1 〔a>b>o〕的两个顶 a b 点为A〔 a,0〕,A2〔a,0〕,与y轴平行的直线交椭圆于P r P2时A1P1与A2P22 2交点的轨迹方程是3多1. a b2 2过椭圆与与1 〔a> 0, b>0〕上任 a b 一点A〔X0,y.〕任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc骆〔常数〕.a y.2 2假设P为椭圆33 1 〔a>b>0〕上 a b实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦M, A2P和A1Q交于点N,那么MF点, PFE PF2F1±NF.tan — cot —.2 11. AB是双曲线三a2纭 1 (a> 0,b> 0) b 4. 设椭圆得a24 1 (a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,M 〔X., y°〕焦点为F I、F2,P 〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点,在△ PF1F2中, 记F1PF2 ,PF1F2 , F i F2P ,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝E|MN |210.椭圆与ae.22yb21 ( a> b>0)sin c --- ----- e.sin sin a ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a 2 y_b21 (a> b>0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为L,2 .2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX2 ,2a baa> b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PF i是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆二与1 (a>b>0)上任a b 上异于长轴端点的任一点,F i、F2 为其焦点记F1PF2 ,那么八2b21) 1P削0、一点,F i,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2) S PF1F2 b2tan-.1 2 2212.设A、B是椭圆与a 1 ( a> b2a |AF2 11PA | | PF i | 2a |AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PAB ,PBA , BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有2 27.椭圆区舁1与直线a bAx By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0 By0 C)2.2 28.椭圆一4 1 (a>b>0), O a b为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP OQ .(1)|PA|tan tanS PAB2 . .2ab |cos |2a2bb213.椭圆9. 1)2)3)2 2c cos1 e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21 ( a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E ,过椭圆1 1 1 1 .| OP |2|OQ |2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为2 2S OPQ的最小值是告红a b右焦点F的直线与椭圆相交于A、B2 24a2b2 .~~2 ,a b2冬i (a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线2 21 .双曲线二4 1 (a>0,b>0) a b的两个顶点为A( a,0) , A2(a,0), 与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x2 4 1.a b2 22 .过双曲线与4 1 (a>0,b>o)a b上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc 辂(常数).a V.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1,那么c-a tan—cot—(或c a 2 2c a x----- tan—cot —7.c a 2 22 24.设双曲线与与1 (a>0,b>0) a b的两个焦点为F「F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记F1PF2 ,PF1F2 , \F2P ,那么有sin c--------------------- --- e.(sin sin ) a2 25 .假设双曲线-2 -V2- 1 (a>0,b>0) a b的左、右焦点分别为F「F2,左准线为L,那么当1<ew V2 1时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 2 26 . P为双曲线与4 1 (a>0,b> a b2£ 1( a> 0,b0)上任一点,F I,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,那么2 ,SPF1F2b COt二.22 212.设A、B是双曲线与与a b 1 (aIAF2I 2a |PA| |PF i|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABA,F2,P三点共线且P和A, F2在y PBA , BPA , C、e 分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有2 7.双曲线x2 a与直线Ax2y2 1 (a> 0,b> 0) b By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.2 28.双曲线tI 1 (b>a >a b0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP OQ .1)2)3)2 . .2ab | cos ||PA|「2-N | a c cos |2tan tan 1 e .SPAB2, 22a b ,2一 2 cotb a 213.双曲线占a2j 1 (a> 0,b>(1)| OP |2|OQ I2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) S OPQ的最小值是-2巴b2a2 2 4a b . ~22 ；b a2 29.过双曲线与匕1 (a>0,b>0)a b的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF | e .|MN | 22 210.双曲线 \ 4 1 (a>0,b>a b0) ,A、B是双曲线上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相2 .2交于点P(x°,0),那么x.a~^或 a2 ,2a b x-- .a2 211.设P点是双曲线与与1 (a>a2b20,b> 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2 ,那么⑴|PF1||PF2|产一.⑵1 cos0)的右准线l与x轴相交于点E , 过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点〕.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A (3, 2), F (2, 0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA| 1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2, F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA| |PF| |PA| |PE| AM -2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p (定值),椭圆中央坐标为M (t, 0) (t为参数) ,叫.2 .b pc pt再设椭圆短轴端点坐标为P (x, y),那么X c ty b ..pt消去t,得轨迹方程y2 px三 .数形结合,直观显示将“数〞与“形〞两者结合起来,充分发挥“数〞的严密性和“形〞的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,y R,且满足方程x2 y2 3(y 0),又m --3 ,求m 范围.解析：m —-的几何意义为,曲线x 3x2 y2 3(y 0)上的点与点(—3, — 3)连线的斜率,如下图四.应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几〞题中的一些图形性质就和“平几〞知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x 3)2 y2 4和直线y mx的交点为P、Q,那么|OP||OQ|的值为.解：OMP ~ OQN|OP||OQ| |OM||ON| 5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y- 1 ,直线l :24 16y12 81, P是l上一点,射线OP交椭圆于六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功 倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要 的解题方法和技巧之一.例6.求经过两圆x 2 y 2 6x 4 0和 22x y 6y 28 0的父点,且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程.点R,点Q 在OP 上且满足|OQ||OP| |OR|2 ,当 点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x 2y 26x 4 (x 2y 26y 28) 0 (1 )x 2 (1)y 2 6x 6 y (284) 0分析：考生见到此题根本上用的都是解析 几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向 量共线的条件便可简便地解出. 解：如图,OQ, OR, OP 共线,设 OR OQ , OP OQ , OQ (x, y),贝U 那么圆心为(」_ , _J_),在直线11x y 4 0 上解得 7故所求的方程为x 2 y 2 x 7y 32 0OR ( x, y) , OP ( x, y) 2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用 点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2 — 1相交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点2的轨迹方程.解：设 P ,(x1,Y I ) , P 2(x 2, y 2),那么2X I 2 X22 Y I2 2Y 2 2|OQ||OP| |OR| <2> —<1> 得(X 2 X I )(X I X 2)1 2(Y 2 Y I )(Y I2Y 2)2 22 |OQ|2 2|OQ|22点R 在椭圆上,P 点在直线l 上 2 222———匕1,三△ 12416 12 8 2 2即士 L 二y241612 8化简整理得点Q 的轨迹方程为： 22 _(x 1) (y 1) 2 … -—广1(直线y — x 上万 5 5 323局部) 即 Y 2 Y I2( X I X 2) X 2 X IY I Y 2设P 1P 2的中点为M(X O , y 0),那么kP 1P 2Y 2 Y Ix 2 X 12xY O又,而P I 、A 、M 、P 2共线k P 1P2k AM,即^X O 2Y O的轨迹方程是2x 2 y 2 4x y 0P 1P 2中点M解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的 知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆, 圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识 的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t 曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB 为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA 垂直且等于AT,使BB 垂直且等于BT , A B 交半圆于P 、Q 两点,建立如图所 示的直角坐标系.⑴写出直线A B 的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标;(3)证实：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线 通过点Q.饼斛：通过I 卖图,看出A , B 点的坐标. 一…' ' .'一 ,.…(1 )显然A 1,1 t , B 1,1 t ,于是直线A B 的方程为ytx 1 ;222(2)由方程组 x y 1,解出 P(0,1)、Q(1/,」^)； y tx 1, 1 t 1 t由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点T 反射,反射光线通 过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l 与椭圆\ J 1(a b 0)有且仅有一个交点Q,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S, a b 求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程,由,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程 b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2,得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2)a 2b 2.化简后,得关于x 的一■兀二次方程 (a 2k 2b 2)x 2 2ka 2mxa 2m 2 a 2b 20.于是其判别式(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2) 4a 2b 2(a 2k 2 b 2 m 2).由,得^ 二0 .即a 2k 2 b 2 m 2.①在直线方程y kx m 中,分别令y=0, x=0,求得R ( —,0),S(0,m). k(3) k PTk QT2t1t(it 2昌m I, y x—, k — 令顶点P 的坐标为(x, y), 由,得 k解得 xym.m y.2, 2代入①式并整理,得 a 2 b 2 1,即为所求顶点P 的轨迹方程.x 2 3 y 22. 2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22x y例3双曲线x 2 4 1的离心率e .,过A (a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 —.a 2b 2 32(1)求双曲线的方程；的值.设C(x i ,y i ),D(x 2,y 2),CD 的中点是 E(x o ,y o ),那么2(2)考虑直线l 的斜率的存在性,可分两种情况:解出 e i)当k 存在时,设l 的方程为y k(x c)于是椭圆方程可转化为x 2 2y 2 2c 2 0 ................................. ②(2)直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D 且C, D 都在以B 为圆心的圆上,求k讲解：:( 1) £ a2卡原点到直线AB:二 1的距离dab ■..a 2 1, ab 2■、.ab c、3~2~故所求双曲线方程为x 2 2V y 1.(2)把y kx 5代入x 23y 23中消去y,整理得(12 23k 2)x 230kx 78x .x 1x 22 15 k U y 0kx 05； : । 2 , kBE1 3ky 01x 0x 0 ky 0 k0,即15 k 3k 25 k---------- - k 0,又 k 1 3k 20, k故所求k= ± a.为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程.例4椭圆 C 的中央在原点,焦点F I 、F 2在x 轴上,点P 为椭圆上的一个动点, 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F I 与椭圆交于A 、B 两点,4ABF 2的面积最大值为 且/ 12.F 1PF 2(1)求椭圆C 的离心率; (2)求椭圆C 的方程. 讲解: (D 设IPF I I「I ,|PF 2| "F I F 2|2c ,对PF I F 2,由余弦定理,得cos F 1PF 21 22r 1 r 2 4c2rj 2(.L)22r 1r 2 4c 2 2rj 24a 4c 1------------- 1 1 r 1 r 2 2 2(七壬卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为：x my c (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思 2 2椭圆的方程为：x ^ \ 1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) a b 由e 字得：a 2 2c 2,b 2 c 2,于是椭圆方程可化为: 把①代入②并整理得：(m 2 2)y 2 2mcy c 2 于是y 〞y 2是上述方程的两根. AB 边上的高h 一c1 m 2当且仅当m=0取等号,即S max 收02. 由题意知v2c 2 12,于是b 2 c 2 66,a 2 12V2 .故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上 工12. 262将①代入②,消去y 得 x 2 2k 2(x c)2 2c 20,整理为x 的一元二次方程,得._2、22_2.2、 一(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0.那么x i 、x 2是上述方程的两根.且 | x 2 x i | 2 .. 2c1 k AB 边上的高 h | FR | sin BF 1 F 21 2c |k|,2,1 k2kk 2| x 2 x i |2 2c(1 k 2)；~2,1 2k厂也可这样求解:2c 1cc/1 k 2、 |k | c S -2 2c( 2) |—| 22c212k1 k 212产区| M y 2|2.2c 2.rviki 1 2k 2k 2k 4k 24k 42'2"1 1 42k k,2c 2.c | k | | x ix 2 |ii)当k 不存在时,把直线x c 代入椭圆方程得 y£c ,|AB|由①②知S 的最大值为V2c 2由题意得2c 2 = 12所以c 2 6 2 b 212 2故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上12. 2 2V 1.6 2x 2 2y 2 2c 2 0 .................. (2|AB| \(x 1、2 z、2x ) (y1 m2 | y 2 y 1|1 m2 4m2 2, 2,2c 4c (m 2)2m 2-22 2c(1 m 2)从而 S l|AB|h 二2 2c(1m2)22 m 2 22c221 m22 2c 21m2c(m 2)22 2c 2■ m1 1 122m 212c 2. 1.2 2例5直线y x 1与椭圆之与1〔a b 0〕相交于A、B两点,且线段AB的中点在直 a b 线l :x 2y 0上.〔1〕求此椭圆的离心率；〔2 〕假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y 讲解：〔1〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1,y〕 BM, y?〕.那么由x2-2 a2 2、 2 2 2 2(a b )x 2a x a a,- 4.2如果| AB | ——,求直线MQ的万程；〔2〕求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、… r 4、2讲解：〔1〕由1A Bi可,可得|MP| J MA |2 (LA%2J12(迪)2 1,由射影定理,得2 . 3 3|MB |2|MP | |MQ |,得|MQ | 3,在RtAMOQ 中,|OQ | <| MQ |2 |MO |2、32 2 2 M5 ,故a 盘或a <5 ,所以直线AB方程是2x J5y 2运 0或2x 岛2匹 0; x 1, y2行2_ 1 b2根据韦达定理,得x1 x2与,,y2函 a bX2)2b2a2b2「•线段AB的中点坐标为〔2 .2a b~2 -2 , -2 ~2 a b a b2由得二Ja2b22b-2 a 厂0, a2 2b2 2(a2 c2) 2c2,故椭圆的离心率为〔2〕由〔1〕知 b c,从而椭圆的右焦点坐标为F〔b,0〕,设F〔b,0〕关于直线l:x 2y 0的对称点为(x°, y°),那么也x0 b 2 f 0,解得X. 3 b且y°2 b5 5由得4,3 2(b)52 2(-b)2 4, b24,故所求的椭圆方程为—1 .5 8 4.M:x2(y 2〕2 1,Q是x轴上的动点,QA, QB分别切.M于A, B两点, (DC............ I _ z — I 1............................... ~~z 2 y_2(2)连接MB, MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M, P, Q 在一直线上,得一 -一,(*) a x由射影定理得| MB |2 |MP | | MQ |,即 &一(y 2)2 商—4 1,(**)7 c 1把(*)及(**)洎去a,并注意到y 2,可得x2(y -)2—(y 2).4 16适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙a—例- 如图,在Rt^ABC 中,/CBA=90° , AB=2 , AC=旧.2DO=2 ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程；(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设-DM ,试确定DNDO LAB 于.点,OA=OB ,实数讲解: 的取值范围.(1)建立平面直角坐标系,如下图 : | PA |+| PB |=| CA |+|CB | V=得 22 ( 22)22V2「•动点P的轨迹是椭圆;、区b 1,c 1；曲线E的方程是(2)设直线L的方程为y kx 2,代入曲线E的方程x i 2y2 2,得(2k22(8k)2 4(2k 1)8k x2x〔x22 ,2k2 162 .2k 1i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, x2x1 0,.(x〔x2)2x1 x2xx2x2x i1)x2 8kx 0设M1 ( 〞乂), N(x2, y),0,| DM |rDNu由①得DMDNxD X MX D X Nx1x2 x1 0, .,.0< < 1 ,1 2-.(x x2)2x1 x264k226(2k2 1)3213(2 -7)k那抛物线有两个不同的交点,因此l 与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线.此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累,水平在联想中提升 .课本是 高测试题的生长点,复课切忌忘掉课本!1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由 e / 得 a 2 2c 2,b21 .,・•・ 6 3(2-2) 8.■ ■ 432V~ 3(2 -r) k16 ・二 4 16 31,10 32, 1.的取值范围是10 3值得读者注意的是,直线 L 与y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.例8直线l 过抛物线y 22 Px(p 0)的焦点,且与抛物线相交于 A (x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点.(1)求证：4x 1x 2p 2; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (£°). 2,2 …・右l ,x 轴,那么l 的方程为x P 显然x 1x 2 —.右l 不垂直于x2,八〞 4 轴,可设y k(x P),代入抛物线方程整理得 2__ _ 2x 2P(1 ,)x — k 4 0,那么x 1x 2—.综上可知 4X I X 24.2. 2(2)设C(J c) D(L d)且c d ,那么CD 的垂直平分线l 的万程为y Jd 2p' ' 2p' 2c d——(x 2P2 2〞) 4P假设l 过F,那么0,2, 2一3(R c d )整理得 (c d)(2p 2 c 2 d 2) 2p 2 4p2p 2 c 2 d 2 0 ,d 0.这时l 的方程为y=0,从而l 与抛物线y 2 Px 只相交于原点.而l 与。
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。
有关圆锥曲线的经典结论(精选课件)
有关圆锥曲线的经典结论★说明：圆锥曲线我们并未学完,有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此!有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线ＰＴ平分△PF １F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△ＰF 1F ２在点P 处的外角,则焦点在直线P Ｔ上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点....文档交流 仅供参考... 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Ｐo 作椭圆的两条切线切点为P １、P ２，则切点弦Ｐ1Ｐ2的直线方程是00221x x y ya b+=．7. 椭圆22221x y a b+= (ａ〉b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞０）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-（1(,0)F c - ， 2(,0)F c 00(,)M x y ）.9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥N Ｆ....文档交流 仅供参考...10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点Ｐ、Q ， A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1Ｐ和A 2Q 交于点Ｍ，A 2Ｐ和A １Q 交于点N ，则ＭF ⊥NF 。
...文档交流 仅供参考...11. A Ｂ是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,Ｍ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=.12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Ｐo 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+． 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△ＰF 1F 2在点P 处的内角。
(完整word版)高中数学有关圆锥曲线的经典结论
分析几何专题·经典结论·常用技巧Marine相关分析几何的经典结论一、椭圆1.点 P 处的切线 PT均分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2.PT 均分△ PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21上，则过 P0的椭圆的切线方程是x0 x y0 y1.2222a b a b6.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点a2b2弦 P1P2的直线方程是xxy0 y1.椭圆 x2y2a2b27. 1 (a＞ b ＞ 0) 的左右焦点分别为F1， F 2，点P 为椭圆上随意一点a2b2F1 PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F PF2b2 tan .12椭圆 x2y 28.1（a＞b＞0）的焦半径公式：a2b2| MF1 |a ex0,| MF2 |a ex0(F1 ( c,0), F2(c,0)M ( x0 , y0 ) ).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆订交P 、 Q两点， A 为椭圆长轴上一个极点，连接AP 和AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、 A2为椭圆长轴上的极点，A1P 和 A2Q交于点 M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥NF.2111.AB 是椭圆x2y2 1 的不平行于对称轴的弦，M(x0 , y0 ) 为AB的中点，则a2b2k OM k AB b2a2，即 K AB b2 x0。
a2 y012.若 P0 ( x0 , y0 )x2y 21 内，则被Po在椭圆b2所平分的中点弦的方程是a2x0 x y0 y x02y02 a2b2a2b2.13.若 P ( x, y )在椭圆x2y2 1 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是000a2b2x2y2x0 x y0 ya 22a2b2.b二、双曲线1.点 P 处的切线 PT 均分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2.PT均分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除掉长轴的两个端点 .3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线订交 .4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞ 0）上，则过P0的双曲线的切线方程a2b2是 x0 x y0 y1.a2b26.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线x2y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切a2b2x0 x y0 y线切点为 P 、P ，则切点弦P P 的直线方程是1.1212a2b27.双曲线x2y21（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上随意a2b2一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1 PF2b2co t.28.双曲线x2y21 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1( c,0),F2 (c,0) a2b2当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0a ,| MF2 |ex0 a .当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 |ex0 a , | MF 2 |ex0a9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线订交P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个极点，连接 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M、 N两点，则 MF⊥ NF.10.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点，A P 和 A Q交于点M， A P 和 A Q交于点 N，则 MF⊥ NF.122111.AB 是双曲线x2y 21 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为 AB a2b2b2 x0b2 x0的中点，则 K OM KAB，即 K AB。
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 54：焦点在 轴上的双曲线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
结论 55：焦点在 轴上的抛物线（或焦点在 轴）上三点 ， ， 的焦半径成等差数
列的充要条件为 ， ， 的横坐标（纵坐标）成等差数列．
x0
mx
a2
m
y0
n y
b2
n
1．
结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y n2 2 px m外，过点 M 作抛物线的两条切
线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为
y0 ny n px x0 2m．
结论 16：（补充）点 M
（
x0
，
y0
）在椭圆
x
a
【高中数学】圆锥曲线的相关结论192条
结论 1：过圆 x 2 y 2 2a 2 上任意点 P 作圆 x 2 y 2 a 2 的两条切线，则两条切线垂直．
结论 2：过圆 x 2
y2
a2
b
2
上任意点
P
作椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a
b 0 ）的两条切线，
则两条切线垂直．
结论 3：过圆 x 2
结论 47：椭圆的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 48：双曲线的准线上任一点 处的切点弦 过其相应的焦点 ，且 ⊥ ．
结论 49：抛物线的准线上任一点 处的切点弦 过其焦点 ，且 ⊥ ．
结论 50：椭圆上任一点 处的切线交准线于 ， 与相应的焦点 的连线交椭圆于 ，
则 必与该椭圆相切，且 ⊥ ．
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
1. 圆锥曲线的四个结论
（1）射线定理：从一点到圆锥曲线的任意一点所经过的射线的数量等于该点到曲线的曲线线切线的数量。
（2）弦定理：任意一点到圆锥曲线的弦的长度大于等于这个点到曲线的曲线线切线的长度。
（3）指数定理：圆锥曲线的指数为1/2。
（4）矩定理：圆锥曲线的曲线线切线的长度等于任意一点到圆锥曲线的弦的弧长的平方。
2. 圆锥曲线的曲线线切线
圆锥曲线的曲线线切线的斜率大于等于0，且圆锥曲线的曲线线切线的斜率没有上限。
3. 圆锥曲线的曲线长
圆锥曲线的曲线长是指从曲线的一端到另一端的距离，它等于圆锥曲线的椭圆长度加上圆锥曲线的半径长度。
有关圆锥曲线的经典结论04625
★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
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有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.13. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭 圆1. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2. 过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3. 若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4. 设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.5. 若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.7. 椭圆220022()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8. 已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b a b +.9. 过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=-. 13. 已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线1. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3. 若P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1,F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4. 设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5. 若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e 1时，可在双曲线上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;（3）OPQS ∆的最小值是2222a b b a -.9. 过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =. 10. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.11. 设P 点是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=.12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PABa b S b a γ∆=+. 13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：212122111AB kx x y y k =+-=+- 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成(A,B 不同时为0)的形式。