高考综合函数综合题的几个热点

高考函数综合题的几个热点

一、以分段函数为主线的热点问题

例1(2005年高考理科)对定义域分别是Df 、Dg 的函数y ＝f(x)、y ＝g(x)，规定：

函数h(x)＝⎩⎨⎧ f(x)·g(x) 当x ∈Df 且x ∈Dg f(x) 当x ∈Df 且x ∈／Dg g(x) 当x ∈／Df 且x ∈Dg

， (1)若函数f(x)＝1x ﹣1

，g(x)＝x2，x ∈R ，写出函数h(x)的解析式； (2)求问题(1)中函数h(x)的值域；

(3)若g(x)＝f(x ＋α)，其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y ＝f(x)，及一个α的值，使得h(x)＝cos4x ，并予以证明.

解：(1)h(x)＝ ⎩⎨⎧ x2

x ﹣1 x ∈(﹣∞,1)∪(1,＋∞)1 x ＝1

. (2) 当x≠1时，h(x)＝x2x ﹣1＝x ﹣1＋1x ﹣1＋2， 若x ＞1时，则h(x)≥4，其中等号当x ＝2时成立，

若x ＜1时，则h(x)≤0，其中等号当x ＝0时成立，

∴函数h(x)的值域是(﹣∞，0]∪{1}∪[4，＋∞)

(3)令f(x)＝sin2x ＋cos2x ，α＝π4，则g(x)＝f(x ＋α)＝sin2(x ＋π4)＋cos2(x ＋π4

)＝cos2x ﹣sin2x, 于是h(x)＝f(x)·f(x ＋α)＝(sin2x ＋co2sx)(cos2x ﹣sin2x)＝cos4x.

二、以抽象函数为主线的热点问题

例2(2005年广东高考题)设函数f(x)在(﹣∞，＋∞)上满足f(2﹣x)＝f(2＋x)，f(7﹣x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.（Ⅰ）试判断函数y ＝f(x)的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.

解：由⎩⎨⎧ f(2﹣x)＝f(2＋x)f(7﹣x)＝f(7＋x)⇒⎩⎨⎧ f(x)＝f(4﹣x)f(x)＝f(14﹣x)

⇒f(4﹣x)＝f(14﹣x)⇒f(x)＝f(x ＋10)， 从而知函数y ＝f(x)的周期为T ＝10.

又因f(3)＝f(1)＝0，∴f(﹣7)＝0，而由已知f(7)≠0，∴f(﹣7)≠±f(7)

故函数y ＝f(x)是非奇非偶函数.

(II)又f(3)＝f(1)＝0，f(11)＝f(13)＝f(﹣7)＝f(﹣9)＝0，

故f(x)在[0，10]和[﹣10，0]上均有两个解,从而可知函数y ＝f(x)在[0，2005]上有402个解，在[﹣2005，0]上有400个解,所以函数y ＝f(x)在[﹣2005,2005]上有802个解.

三、以三次函数为主线的热点问题

例3(2005·重庆高考文科）设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中a ∈R.（1）若f(x)在x=3处取得极值，求常数

a 的值；（2）若f(x)在(-∞,0)上为增函数，求a 的取值范围.

解：（Ⅰ）f '(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1)，

因f(x)在x=3取得极值，所以f '(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3，

经检验知当a=3时，x=3为f(x)为极值点.

（Ⅱ）令f '(x)=6(x-a)(x-1)=0，得x1=a ，x2=1，

当a ＜1时，若x ∈(-∞,a)∪(1,+∞)，则f '(x)＞0，所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数，故当0≤a ＜1时，f(x)在(-∞,0)上为增函数.

当a≥1时，若x ∈(-∞,1)∪(a,+∞)，则f '(x)＞0，所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数，从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.

综上所述，当a ∈[0,+∞)时，f(x)在(-∞,0)上为增函数.

四、以向量知识为背景的函数热点问题

例4(2005年上海·文科)已知函数f(x)=kx ＋b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,→AB ＝2→i ＋2→j ，(→i 、→j 分别

是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)=x2﹣x ﹣6.(1)求k 、b 的值；(2)当x 满足f(x)＞g(x)时,求函数g(x)＋1f(x)

的最小值.

解：(1)由已知得A(﹣b k ，0)，B(0，b)，则→AB ＝{b k ，b}，于是b k

＝2，b ＝2，∴k ＝1，b ＝2. (2)由f(x)＞g(x)，得x ＋2＞x2﹣x ﹣6,即(x ＋2)(x ﹣4)＜0，得﹣2＜x ＜4，

g(x)＋1f(x)＝x2﹣x ﹣5x ＋2＝x+2+1x ＋2

-5， 由于x ＋2＞0，则g(x)＋1f(x)

≥﹣3，其中等号当且仅当x ＋2=1，即x=﹣1时成立， ∴g(x)＋1f(x)

的最小值是﹣3. 五、以创新函数为主线的热点问题

例5(2005年北京·理科)设f(x)是定义在[0，1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上单调递增，在

[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0，1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.

（I ）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x1，

1)为含峰区间；

（II ）对给定的r （0＜r ＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r ，使得由（I ）所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r ；

（III ）选取x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，由（I ）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区