信号与线性系统_习题答案(有错版)

即
（ k , m 为整数）
N1 m N1' gcd( N1 , N 2 ) N1' = = = ' ' N2 k N2 gcd( N1 , N 2 ) N 2
j (π t −1)
(b) x(n) cos(8π n / 7 + 2) = (d) x(n) = e
j ( n / 8 −π )
m=0
∑ [δ (n − 3m) − δ (n − 1 − 3m)]
(g) = x(n) cos(n / 4) × cos(nπ / 4) (i) = x(t ) Ev [ cos(2π t + π / 4) × u (t ) ]
s (t + T0 ) = x(t + T0 ) + y (t + T0 ) = x(t ) + y (t ) = f (t ) ∴ T0 = kT1 = lT2
即
T1 l = ，其中 k , l 为整数。 T2 k T1 是有理数， x(t ) + y (t ) 就一定是周期的。 T2
这表明：只要 x(t ) 和 y (t ) 的周期之比
3
h( n)
x ( n)
1 −1 0 1 2 3 4 1 2 −4 −1 1 − −1 2 −2
图 P2.3 解：(1) 各信号波形图如下图所示：
− 3 2
1 1 2
3 2 2
n
01 2 3 4
n
(a)
(b)

1/ 2
1
x(4 − n)

ˆ ( n) x
n
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 (a)
2π 。 3 8π (b) x(n) cos(8π n / 7 + 2) ，周期信号， Ω 0 = ，∴ N = 7 = 7
(c) x(t ) = e
j (π t −1)
，周期信号， T = 2 。 ，非周期信号，因为 Ω 0 / 2π 是无理数。
(d) x(n) = e (e)= x ( n)
j ( n / 8 −π )
x(n / 2), n偶 (2) 由 y1 (n) x= = (2n), y2 (n) 0, n奇
(a) 正确。设 x(n) 的周期为 N 。如果 N 为偶数，则 y1 (n) 的周期为 N / 2 ；如果 N 为奇数， 则必须有 2 N 0 = 2 N ， 才能保证周期性， 此时 y1 (n) 的周期为 N 0 = N 。 (b) 不正确。设 x = (n) g (n) + h(n) ，其中 g (n) = sin
x(n / 2), n偶 0, n奇
(a) 若 x(n) 是周期的，则 y1 (n) 也是周期的。 (b) 若 y1 (n) 是周期的，则 x(n) 也是周期的。 (c) 若 x(n) 是周期的，则 y2 (n) 也是周期的。 (d) 若 y2 (n) 是周期的，则 x(n) 也是周期的。 解：(1) (a) 正确。若 x(t ) 的周期为 T ，则 x(2t ) 的周期为 T / 2 。 (b) 正确。若 x(2t ) 的周期为 T ，则 x(t ) 的周期为 2T 。 (c) 正确。若 x(t ) 的周期为 T ，则 x(t / 2) 的周期为 2T 。 (d) 正确。若 x(t / 2) 的周期为 T ，则 x(t ) 的周期为 T / 2 。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x(t )
1
0 1 2 (a)
x(t )
1
t
− 2 −1 0 1 (b)
t
图 P2.4 解：(a)
Eu { x(t )} 1 2 −2 −1
0
Ο d { x(t )}
t
1 2
−2
−1
1 2
0
t
1 1 2 2 −
(b)
5
Eu { x(t )}
1 2
Ο d { x(t )}
1 2
1
− 2−1 0 1 2
1
x(2n + 1)
1 n −1 0 1 2 3
n

−2 −1 0 1 2 3

(b)
(c)
(2) 各信号波形图如下图所示：
−6

−2
1/ 2 3 −5 − 4 −3 −2 −1 0 1 2
h(n + 2) + h(−1 − n)
n

(c)
−2
(3) 各信号波形如下图所示：
4
x( n + 2) h(1 − 2n) 3/ 2
n

− 1/ 2
1/ 2
1/ 2
n
− 1/ 2
− 1/ 2
−3/ 2
2.5
已知 x(n) 如图 P2.5 所示，设：
y1 (n) = x(2n) x(n / 2), n偶 y2 ( n ) = 0 , n奇
画出 y1 (n) 和 y2 (n) 的波形图。
x (n)
2

−4
解：
1

−1 0 1 2 3 4
∞
(f) = x(t ) co s2π t × u (t ) (h) x(t ) Ev [ co s2π t × u (t ) ] =
(j) x(n)= 2 cos(π n / 4) + sin(π n / 8) − 2sin(π n / 2 + π / 6) 解：(a) = x(t ) 2 cos(3t + π / 4) ，周期信号， T =
显然， x(n) 是周期信号，其周期为
∞
x (= n + 3k )
N = 3。
m = −∞
∑ δ ( n − 3l ) − δ ( n − 1 − 3l )
(f) = x(t ) co s2π t × u (t ) ，非周期信号。
8
(g) cos
n 是非周期的，∴ x(n) 是非周期信号。 4 1 (h) = x(t ) Ev [ cos 2π t = × u (t ) ] [(cos 2π t ) × u (t ) + (cos 2π t ) × u (−t )] ，周期的，周期 2 T = 1。
图 P2.5
n
6
2.6 判断下列说法是否正确？如果正确， 则求出每个信号基波周期之前的关系， 如果不正确， 则举出一个反例。 (1) (a) 若 x(t ) 是周期的，则 x(2t ) 也是周期的。 (b) 若 x(2t ) 是周期的，则 x(t ) 也是周期的。 (c) 若 x(t ) 是周期的，则 x(t / 2) 也是周期的。 (d) 若 x(t / 2) 是周期的，则 x(t ) 也是周期的。 (2) 定义 y1 (n) x= = (2n), y2 (n)
其基波周期 T0 是 T1 , T2 的最小公倍数。 (b) x(n) 和 y ( n) 是周期的， x(n + = N1 ) x(n), y (n + N = y ( n) 2) 令 f= (n) x(n) + y (n) ，欲使 f (n) 是周期的，必须有
= N 0 kN = mN 2 1
x(n) + y (n) 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？
解： (a) x(t ) ， y (t ) 是周期的， x(t + kT1 ) = x(t ) ， y (t + kT2 ) = y (t ) 令 f= (t ) x(t ) + y (t ) ，欲使 f (t ) 是周期的，必须有
πn
4
，对所有 n ，
7
1 n , n奇 显然 x(n) 是非周期的，但 y1 (n) 是周期的。 h(n) = 3 0, n偶
(c) 正确。若 x(n) 的周期为 N ，则 y2 (n) 的周期为 2 N 。 (d) 正确。若 y2 (n) 的周期为 N ，则 N 只能是偶数。 x(n) 的周期为 N / 2 。 2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。 (a) = x(t ) 2 cos(3t + π / 4) (c) x(t ) = e (e) = x ( n)
x (1 − n)h (n + 4) 2 3/ 2 1

1/ 2 1 2 −1 0 − 1/ 2 − 3/ 4

n

1/ 4
−1 0 1 2 3
n
(a)
x(n − 1)h(n − 3) 1/ 2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 − 1/ 2 −1 (c) −3/ 2
(b)


n
2.4
画出图 P2.4 所给各信号的奇部和偶部。
t
t
(a)
(b)
0 ∴ x(2 − t / 2)h(t + 4) =
(c)
2.2 已知信号 x(5 − 2t ) 的波形图如图 P2.2 所示，试画出 x(t ) 的波形图，并加以标注。
x(5 − 2t )
1
0
1 3 2 5 3 2 2
图 P2.2
t
解：波形如下图所示：
2
x(5 − 2t ) 1 0 13253
(i) = x(t ) Ev [ cos(2π t + π / 4) × u (t ) ] ，非周期信号。
(j) x(n) 是周期信号，其周期就是 cos
πn πn πn π + 的公共周期。 sin 、 和 sin 4 8 2 6
∴ 周期为 N = 16 。
m = −∞
∑ [δ (n − 3m) − δ (n − 1 − 3m)] ，设周期为 N ，则有
m = −∞
∞
+ N) x(n =
（ k 为整数） ∑ [δ (n + N − 3m) − δ (n + N − 1 − 3m)] ，令 N = 3k ，
∞
则 x( n += 3k )
∞
m = −∞
l 则有 ∑ δ ( n − 3(m − k ) ) − δ ( n − 1 − 3(m − k ) ) ，令 m − k =
(c)
t
−2
t
− 2
−1 0 1 1 2
1
xe (n)
1
xo (n)

−2 −1 0 1 2 3 4
n
− 4 −3 −2 −1
n
0 1 2 3 4

−1
(d)
3/ 2
1
xe (n) 1/ 2
3/ 2
xo (n) 1/ 2
0

1/ 2

−3 − 2 −1 0 1 2 3
− 1/ 2 − 1/ 2
n x( ), n ˆ ( n) = 3 (c) x 0, 其他n
(2) 对图 P2.3(b)所示的信号 h(n) ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。 (a) h(2 − n) (b) h(n + 2) (c) h(n + 2) + h(− n − 1) (3) 根据图 P2.3(a)和(b)所示的 x(n) 和 h(n) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) x(n + 2) h(1 − 2n) (b) x(1 − n) h( n + 4) (c) x(n − 1)h(n − 3)
2
x(5 − t ) 1 t 01 2 3 4 5 6 t
x(5 + t )
1
−6 −5 − 4 −3 − 2 −1 0 t
x (t ) 1
t
2
0 1 2
2.3
(1) 已知离散时间信号 x(n) 如图 P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) x(4 − n) (b) x(2n + 1)
t 2
t 2
图 P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：
1
x(t − 2) 2 1 −1
01 2 3 5
x(1 − t ) 2
x(2t + 2) 2 11 −2 −1
0
t
−2
1 0
t
1 2 −1
2
t
1
(a)
(2) 各信号波形如下图所示：
(b)
(c)
h(t + 3) 1 −5 −4 −3 −2 −1 0
第二章习题答案
2.1 (1) 已知连续时间信号 x(t ) 如图 P2.1(a)所示。试画出下列各信号的波形图，并加以标 注。 (a) x(t − 2) (b) x(1 − t ) (c) x(2t + 2) (2) 根据图 P2.1(b)所示的信号 h(t ) ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) h(t + 3) (b) h( − 2) (c) h(1 − 2t ) (3) 根据图 P2.1(a)和(b)所示的 x(t ) 和 h(t ) ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。 (a) x(t )h(−t ) (b) x(1 − t )h(t − 1) (c) x(2 − ) h(t + 4)
2.8 (a) 设 x(t ) 和 y (t ) 都是周期信号，其基波周期分别为 T1 和 T2 。在什么条件下，和式
x(t ) + y (t ) 是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？
(b) 设 x(n) 和 y ( n) 都是周期信号，其基波周期分别为 N1 和 N 2 。在什么条件下，和式
t h( − 2) 2 1 0 2 4 6 8
h(1 − 2t )
t
t
− 1 2
1 0
1 2
t
1
3 2
(a)
(3) 各信号波形如下图所示：
(b)
x(1 − t )h(t − 1) 2 1
−1 0 1 2
(c)
t x(2 − ) 2 −2 2 1
0 2 4 6 t
x(t )h(−t ) 2 1
−1 0 1 2