(完整版)函数奇偶性的归纳总结
函数的奇偶性、对称性与周期性总结-史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
《分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f/函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= "7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2=8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
(完整版)函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数． 答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． 答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )． 答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝ －x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以 －h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )． 又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组 能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与周期性函数是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的关系。
在初中数学中，我们学习了函数的奇偶性与周期性的概念。
本文将对这两个概念进行归纳总结，并提供相关的例子，以帮助大家更好地理解和应用这些知识。
一、函数的奇偶性1. 定义一个函数f(x)，若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
2. 性质（1）偶函数的图像关于y轴对称，即关于原点中心对称；奇函数的图像关于坐标原点对称。
（2）偶函数的奇点（f(x) = 0的点）关于y轴对称，奇函数的奇点关于原点对称。
（3）偶函数与偶函数的和、差、积仍为偶函数；奇函数与奇函数的和、差为偶函数，积为奇函数。
（4）若函数可以表示为偶函数与奇函数的和，那么该函数为任意函数。
3. 举例（1）常见的偶函数：f(x) = x^2、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的奇函数：f(x) = x、f(x) = sin(x)等。
二、函数的周期性1. 定义一个函数f(x)，若存在正数T，对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
2. 性质（1）周期函数的图像在每一个周期内完全重复。
（2）一个函数的周期不唯一，只要存在一个T使得f(x+T) = f(x)，那么T的所有倍数也是f(x)的周期。
（3）若f(x)和g(x)都是周期为T的周期函数，那么f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)也是周期为T的周期函数。
3. 举例（1）常见的周期函数：f(x) = sin(x)、f(x) = cos(x)等。
（2）常见的非周期函数：f(x) = x^2、f(x) = e^x等。
三、奇偶性与周期性的关系1. 性质（1）对于一个函数f(x)，若它既是奇函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍。
（2）对于一个函数f(x)，若它既是偶函数又是周期函数，那么它的周期必须是2π的整数倍且f(0)为其最小正周期。
高三函数奇偶性知识点归纳
高三函数奇偶性知识点归纳高三是每个学生都经历的重要阶段，而数学作为一门核心学科，也是高三学习中不可或缺的一部分。
在数学中，函数是一个非常重要的概念，而在函数的研究中，函数的奇偶性也是一个重要的知识点。
下面，我将对高三函数的奇偶性知识点进行归纳和总结。
首先，我们需要明确什么是奇函数和偶函数。
在数学中，我们定义一个关于y轴对称的函数为偶函数，式子可以表示为f(x)=f(-x)，其中x为实数。
偶函数的特点是其图像关于y轴对称。
而关于原点对称的函数则称为奇函数，式子可以表示为f(x)=-f(-x)，其中x为实数。
奇函数的特点是其图像关于原点对称。
在判断一个函数的奇偶性时，我们可以先观察函数的表达式中是否存在一些特定的形式。
比如，对于多项式函数来说，奇次幂的项对应奇函数，偶次幂的项对应偶函数。
当函数的表达式中不存在奇次幂的项时，则函数为偶函数。
举个例子来说明。
对于函数f(x)=x^3+x^2，我们可以观察到其中存在x^3这一奇次幂的项，而没有偶次幂的项。
所以，这个函数就是一个奇函数。
相反，对于函数g(x)=x^4+x^2，其中只存在偶次幂的项，没有奇次幂的项。
所以，这个函数就是一个偶函数。
除了观察函数表达式之外，我们也可以通过图像来判断函数的奇偶性。
对于一个奇函数，我们只需要观察其图像是否关于原点对称即可。
而对于一个偶函数，则只需要观察其图像是否关于y轴对称即可。
在高三数学中，我们经常会遇到一些复合函数的奇偶性问题。
对于复合函数来说，我们可以通过分解函数的形式来判断其奇偶性。
比如，对于两个奇函数的复合，其结果一定是奇函数。
因为两个奇函数的复合仍然具有关于原点对称的特点。
而两个偶函数的复合，则一定是偶函数。
因为两个偶函数的复合具有关于y轴对称的特点。
除了奇偶函数的基本性质之外，我们还可以通过一些具体的定理来判断函数的奇偶性。
比如，如果函数f(x)在区间(-a,a)内为奇函数，并且在区间(-b,b)内有定义，其中0通过以上的归纳总结，我们可以更加明确和深入地理解高三函数的奇偶性知识点。
函数的奇偶性的经典总结归纳
函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。
常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。
2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。
常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。
3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。
若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。
4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。
通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。
在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。
注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。
在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。
总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。
(完整版)函数奇偶性知识点,推荐文档
函数的奇偶性知识点总结一、函数奇偶性的概念：①设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 且()()f x f x -=-，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出()00f =）②设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈， 若()()g x g x -=，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。
也就是说当x 在其定义域内时，x -也应在其定义域内有意义。
③图像特征如果一个函数是奇函数⇔这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数⇔这个函数的图象关于y 轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对概念的理解：(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。
(2))(x f 与)(x f -的关系：当)()(x f x f =-或0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f 时为偶函数； 当)()(x f x f -=-或0)()(=+-x f x f 或1)()(-=-x f x f 时为奇函数。
二、函数的奇偶性与图象间的关系：①偶函数的图象关于y 轴成轴对称，反之也成立；②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论：①若)f= f是奇函数且在0(x=x处有意义，则(0)0②偶函数±偶函数=偶函数；奇函数±奇函数=奇函数；偶函数⨯偶函数=偶函数；奇函数⨯奇函数=偶函数；偶函数⨯奇函数=奇函数③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.。
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则这个函数叫奇函数 .（ 2）偶函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则这个函数叫做偶函数 .（3）奇偶性：若是函数 f ( x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x)拥有奇偶性 .（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ 1）奇函数若在 x 0 时有定义，则 f (0)0 ．（ 2）若f ( x)0 且 f ( x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数．2．奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法○1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若 f(－ x) = f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－ x) = －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．例题精讲2【例 1】若函数 f ( x)ax bx 是偶函数，求b的值.∴f(－x)＝ f(x)．∴ ax2＋bx= ax2-bx.∴2bx=0. ∴ b＝ 0.【例 3】已知函数 f (x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象. x题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断以下函数的奇偶性. （ 1）f ( x)| x |( x21) ；（ 2）f ( x)x 1 ；x（ 3） f ( x) | x 1| | x 1| ； （ 4） f (x) x 22 x ；（ 5） f ( x) 1 x 2x 2 1（ 6） f ( x)x 2 x , x0 xx 2 , x解：（ 1） f ( x) | x | ( x 2 1) 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f ( x) | x |[( x)2 1] | x | ( x 2 1) f ( x)∴ f ( x)f (x) ，即 f ( x) 是偶函数． （2） f ( x)x1的定义域为 { x | x 0}x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（3） f ( x)| x 1| | x 1| 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f(－ x)＝|－ x ＋1|－ |－x －1|＝|x － 1|－ |x ＋1|＝－ (|x ＋1|－|x －1|)＝－ f(x)，∴ f(x)＝ |x ＋ 1|－|x －1|是奇函数．（4） f ( x)x 22 x 的定义域为 {2} ，由于定义域关于原点不对称， 故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（5） f ( x)1 x 2x 2 1 的定义域为 {1 ，－ 1} ，由 f (1) 0 且 f ( 1) 0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，－ x<0，f(－x)＝x 2－x ＝－ (x －x 2)；当 x<0 时，－ x>0，f(－x)＝－ x － x 2＝－ (x 2＋x)．即 f ( x)( x 2 x) , x 0 ( x x 2 ) , x 0即 f ( x)f ( x)∴ f ( x) 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3)＝ 2，求 f(－ 3)和 f(0)的值 .解：∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f (－3)＝－ f(3)＝－ 2，f(0)＝0.【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－1)＝4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f ( x)f (x) ， g( x) g( x)所以 － f(1)＋ g(1)＝2 ①f(1)＋ g(1)＝4 ②由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数剖析式【例 6】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求 f(x)的剖析式 .解：当 x 0 时，有 x所以 f ( x) ( x)3 ( x)2 x 3 x 2又由于 f (x) 在 R 上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x 3 x 2所以当 x 0 时， f ( x)x 3 x 2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x) g( x) e x ，求 g ( x) .解：由于 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ，g ( x)g(x)由于 f ( x) g( x) e x①所以 f ( x) g ( x) e x所以 f ( x)g (x)e x②由①②式消去 f (x) ，得 g( x)e x e x.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1. 函数 f (x)x 11 x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数2. 已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x) x21，则 f ( 1) （）x3. f(x)为偶函数，且当 x ≥0 时， f(x) ≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f(x) ≤ 2B ．f(x) ≥ 2C ．f(x) ≤－2D.f(x) ∈R4. 已知函数 y=f （x ）是偶函数， y=f （x －2）在［ 0，2］上是单调减函数，则（）（0）＜ f （－ 1）＜ f （ 2） （－ 1）＜ f （ 0）＜ f （ 2）（－ 1）＜ f （2）＜ f （0） （2）＜ f （－ 1）＜ f （0）5. 已知函数 f （ x ） =ax 2＋ bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋ bx 2＋ cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，又 f （－ 3）=0，则不等式 xf （x ）＜0 的解集为（）A.（－ 3，0）∪（0，3）B.（－ ∞，－ 3）∪（3，+∞）C.（－ 3，0）∪（3，+∞）D.（－ ∞，－ 3）∪（ 0， 3）7. 若 f(x) 在[ －5,5] 上是奇函数，且f(3)<f(1) ，则以下各式中必然成立的是()A ．f( － 1)<f( － 3)B ． f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ． f( －3)<f(5)8. 设 f(x) 在[ －2，－ 1] 上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x) 在[1,2] 上( )A ．为减函数，最大值为 3B ．为减函数，最小值为－ 3C ．为增函数，最大值为－ 3D ．为增函数，最小值为 39. 以下四个函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋ ∞)上为增函数的是 ()A ．y ＝x^3B ．y ＝－ x^2 ＋ 1C ．y ＝|x| ＋1D ．y ＝2－|x|10. 若函数 f(x) ＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则 a ＝( )A ．1B ．－ 1C ．0D ．不存在11. 偶函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝ 0 的所有根之和为 ．12. 如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较 f (1) 与 f (3)的大小 .y13. 已知函数 f ( x) xp2m( p 0) 是奇函数，求 m 的值 .x14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝ x 2＋x －2，求 f(x) ，g(x)的表达式．–3–1x215. 定义在 ( －1,1) 上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1 －a)＋ f(1－ a )<0 ，求实O 数 a 的取值范围．1216. 函数 f(x)＝ 1＋ x 2 是定义在 (－ 1,1)上的奇函数，且 f 2 ＝5，求函数 f(x)的剖析式ax ＋b17. 判断函数 f (x)(1 x)1x的奇偶性.1 x。
函数奇偶性总结
函数奇偶性总结一、函数的奇偶性概念在数学中，我们经常研究函数的性质，其中一个重要的性质就是奇偶性。
函数的奇偶性描述了函数的对称性质。
一个函数$f(x)$被称为奇函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。
换句话说，奇函数在原点处对称，图像关于坐标原点对称。
一个函数$f(x)$被称为偶函数，如果对于任意实数$x$，有$f(-x)=f(x)$成立。
换句话说，偶函数在原点处对称，图像关于$y$轴对称。
二、判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性有以下几种方法：1. 使用函数表达式对于多项式函数或已知函数表达式，可以通过观察函数表达式中的各项系数来快速判断函数的奇偶性。
- 对于多项式函数，如果函数的各项次数都是偶数，则函数是偶函数；如果函数的各项次数都是奇数，则函数是奇函数。
- 对于已知函数表达式，如果函数表达式中只包含偶数次幂或只包含奇数次幂的项，则函数是奇函数或偶函数。
2. 使用图像对称性通过观察函数的图像可以判断函数的奇偶性。
- 如果函数图像关于$y$轴对称，则函数是偶函数。
- 如果函数图像关于原点对称，则函数是奇函数。
3. 使用微积分方法利用微积分的性质可以判断函数的奇偶性。
- 奇函数的导函数是偶函数。
- 偶函数的导函数是奇函数。
通过求导函数，可以判断函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的应用函数的奇偶性在数学和物理中具有广泛的应用。
- 在函数的图像对称性的研究中，奇函数和偶函数是常见的对象。
- 在积分计算中，奇函数在对称区间上的积分为零，只需要计算一个半区间的积分即可。
- 在物理学中，奇函数和偶函数经常用于描述对称性问题，如电荷分布的对称性等。
四、总结函数的奇偶性是函数的重要性质，可以通过函数表达式、图像对称性和微积分方法等多种方法来判断函数的奇偶性。
了解函数的奇偶性对于解决数学问题和物理问题都具有重要的意义。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
奇偶性知识点总结
函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数()0)(2≠=a ax x f 和()0)(2≠+=a c ax x f 都是偶函数;（2）正比例函数()0)(≠=k kx x f 和反比例函数()0)(≠=k xkx f 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的x 的任意性,如果函数)(x f 的定义域中存在0x ,有)()(00x f x f ≠-,或)()(00x f x f -≠-,则函数)(x f 不是偶函数或奇函数.（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与)(x f 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数)(x f 是偶函数,则0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(=-x f x f ;如果函数)(x f 是奇函数,则0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f ,则还有1)()(-=-x f x f . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即0)(=x f ,∈x D ,且D 关于原点对称. （6）偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,图象关于y 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数)(x f 是偶函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a -也在函数)(x f 的图象上,点())(,a f a 与点())(,a f a -关于y 轴对称;若函数)(x f 是奇函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即())(,a f a --也在函数)(x f 的图象上.点())(,a f a 与点())(,a f a --关于原点对称.★（8）如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.（9）特别说明,若函数)(x f 是偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.下面分别是函数4x y =和函数1+=x y 的图象,它们都是偶函数.奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数xy 2=和对勾函数x x y 4+=的图象,它们都是奇函数.知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数)(x f 是奇函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数)(x f 是偶函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数())(x g f ,若)(x g 为偶函数,则())(x g f 为偶函数;若)(x g 为奇函数,则())(x g f 的奇偶性与)(x f 的奇偶性相同.其中())(x g f 的定义域关于原点对称.题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）1)(23--=x x x x f ; （2）xx x f 1)(-=; （3）22)(+--=x x x f .分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数1)(23--=x x x x f 的定义域为()()+∞∞-,11, ,不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数; （2）函数xx x f 1)(-=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵)(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=- ∴该函数是奇函数;（3）函数22)(+--=x x x f 的定义域为R ,关于原点对称.∵()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=- ∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数xax x f +=2)(（∈a R ）的奇偶性. 分析:该函数的解析式里面含有参数a ,当参数影响到判断)(x f -与)(x f 的关系时,要对参数进行分类讨论.解:函数xax x f +=2)(的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴)(x f 为偶函数; 当0≠a 时,())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-,且xa x x f x f --=-≠-2)()(. ∴函数)(x f 是非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 是非奇非偶函数. 例3. 已知函数1)(2+-+=a x x x f ,∈x R ,a 为实数,判断)(x f 的奇偶性. 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到)(x f -与)(x f 的关系,必要时要对参数进行分类讨论.在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个a ,使)()(a f a f ≠-或)()(a f a f -≠-,则函数)(x f 就不是偶函数或减函数.解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 当0=a 时,11)(22++=+-+=x x a x x x f . ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,∵1)(2+=a a f ,12)(2++=-a a a f ∴)()(a f a f ≠-,且1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数)(x f 为非奇非偶函数.综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时, 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.例4. 已知函数xax x f 1)(2+=,其中a 为实数,判断函数)(x f 的奇偶性. 解:函数xax x f 1)(2+=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,xx f 1)(=,函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,∵()xax x x a x f 11)(22-=-+-=- ∴)()(x f x f ≠-,且)()(x f x f -≠- ∴函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数.综上所述,当0=a 时, 函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数. 例5. 判断函数1111)(22+++-++=x x x x x f 的奇偶性.分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究)(x f -与)(x f 的关系时会比较困难,我们可以研究)(x f -与)(x f 的和、差、商,来进行奇偶性的判断.解:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.解法二:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 当0=x 时,0)(=x f ;当0≠x 时,0)(≠x f∵()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数)(x f 为奇函数.注意:1)()(-=-x f x f 的前提是0)(≠x f . 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有)()(x f x f =-或)(-)(x f x f =-成立,而不能只验证一段解析式. 在判断时,要特别注意x 与x -的范围,然后选择合适的解析式代入.总结 若[]b a x ,∈,则[]a b x --∈-,,把x -代入[]a b --,上的解析式即可得到)(x f -.例6. 判断函数()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 的奇偶性.解:由题意可知,函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(1)(x f x x x f -=+-=-; 当0<x 时,0>-x∴())(1)(x f x x x f -=--=-. 综上所述,函数)(x f 为奇函数.例7. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ,则)(x f 【 】（A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断 解:由题意可知函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x∴())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-; 当0<x 时,0>-x ∴())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-. 综上所述,函数)(x f 是奇函数.选择【 A 】.方法二:（图象法）,函数)(x f 的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.例8. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0>x 时,0<-x∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数)(x f 是奇函数,∴)()(x f x f -=- ∴()x x x x mx x 22222-=+--=- ∴2=m .题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+. 求证:)(x f 为奇函数.分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断)(x f -与)(x f 的关系即可.考虑到0=+-x x ,所以我们可以先求出)0(f 的值.证明:由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0==b a∵对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+ ∴)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f令x b x a =-=,,则0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例10. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数21,x x ,都有:()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++.求证:)(x f 为偶函数.证明: 由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0,21==x x x ,则有)0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+①令x x x ==21,0,则有:)()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+②由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴)()(x f x f =- ∴函数)(x f 为偶函数.例11. 已知)(x f 是定义在()2,2-上的函数,且满足对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=.（1）求)0(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性并证明. （1）解:令0==y x∵对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴()0)0(0)0(=-=f f f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知,函数)(x f 的定义域()2,2-关于原点对称. 令x y -=,则有)(0)()0()(x f x f f x f --=--= ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.例12. 已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对一切y x ,都成立,且0)0(≠f ,试判断)(x f 的奇偶性.解:由题意可知函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 令0==y x ,则有)0()0(2)0()0(f f f f =+ ∴)0(2)0(22f f =,()01)0()0(=-f f ∵0)0(≠f ,∴1)0(=f令0=x ,则有)()0(2)()(y f f y f y f =-+ ∴)(2)()(y f y f y f =-+ ∴)()(y f y f =- ∴函数)(x f 为偶函数.注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意b a ,∈R ,都满足)()()(a bf b af ab f +=.（1）求)0(f ,)1(f 的值;（2）判断)(x f 的奇偶性,并证明你的结论.（1）解:令0==b a ,则0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f . 令1==b a ,则)1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=,∴0)1(=f ; （2）函数)(x f 为奇函数.理由如下:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1-==b a ,则有0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f令1,-==b x a ,则有)()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=- ∴函数)(x f 为奇函数.例14. 若函数)(x f 的定义域是R ,且对任意∈y x ,R 都有)()()(y f x f y x f +=+成立.（1）试判断)(x f 的奇偶性;（2）若4)8(=f ,求⎪⎭⎫⎝⎛-21f 的值.解:（1）∵函数)(x f 的定义域是R ∴其定义域关于原点对称.令0==y x ,则有)0(2)0()0()0(f f f f =+= ∴0)0(=f令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数;（2）令y x =,则有)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴2)2()(x f x f =∵4)8(=f ∴2242)8()4(===f f ,1222)4()2(===f f ,212)2()1(==f f ,412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数)(x f 为奇函数∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f例15. 已知函数)(x f ,∈x R 对任意实数b a ,都有)()()(b f a f ab f +=,且当1>x 时,0)(>x f .（1）试判断函数)(x f 的奇偶性;（2）求证:函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.（1）解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1==b a ,则)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f .令1-==b a ,则0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f ,∴0)1(=-f . 令1,-==b x a ,则)()1()()(x f f x f x f =-+=- ∴函数)(x f 为偶函数;（2）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,0)(>x f ,∴012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式; （3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知)(x f 为奇函数,9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ,则=)2(f _________; （2）设函数()11)(22++=x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则=+m M _________.解:（1）∵)(x f 为奇函数,∴)()(x f x f -=- ∵9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ∴6939)2()2(-=-=--=-g f ∴6)2()2(=--=f f .（2）()12112111)(22222++=+++=++=x x x x x x x x f 设12)(2+=x xx g ,其定义域为R ,关于原点对称. ∵)(12)(2x g x xx g -=+-=-∴)(x g 为奇函数∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g∴2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M .重要结论（1） 若函数)(x f 为奇函数,则)(x f 在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即0)()(min max =+x f x f .（2）若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.例17. 已知8)(35-++=bx ax x x f ,且10)2(=-f ,则=)2(f 【 】 （A ）26- （B ）18- （C ）10- （D ）10 解法一:设bx ax x x g ++=35)(,易知函数)(x g 为奇函数. ∴)()(x g x g -=-,8)()(-=x g x f∵10)2(=-f ,∴108)2(=--g ,18)2(=-g . ∴18)2()2(-=--=g g∴268188)2()2(-=--=-=g f .选择【 A 】. 解法二:8222)2(35-++=b a f ①()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ②①+②得:16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f∴261016)2(16)2(-=--=---=f f .例18. 已知1)()(--=x x f x g ,其中)(x g 是偶函数,且1)2(=f ,则=-)2(f 【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3 解:∵)(x g 是偶函数,∴)()(x g x g =-. ∵1)()(--=x x f x g ,∴1)()(++=x x g x f∵13)2(12)2()2(=+=++=g g f ,∴2)2()2(-=-=g g ∴312212)2()2(-=+--=+--=-g f .选择【 C 】.例19. 已知)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在()+∞,0上的最大值为5,则)(x F 在()0,∞-上的最小值为_________. 解:设)()()(x bg x af x G +=,则2)()(+=x G x F ∵)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数∴)()()(x bg x af x G +=也是R 上的奇函数∵当∈x ()+∞,0时,52)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G∴根据奇函数图象的对称性,)(x G 在()0,∞-的最小值为3)()(max min -=-=x G x G ∴1232)()(min min -=+-=+=x G x F .注意:本题利用结论: 若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.可以快速得出结果.例20. 已知⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f 是奇函数,则()=-)3(g f _________.分析:先求出当0<x 时,函数)(x g 的解析式,然后代入求值. 解:当0<x 时,0>-x∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f ,∴3)(2+-=x x g∴()633)3(2-=+--=-g∴()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f .应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到)(x f -的解析式;（3）利用函数)(x f 的奇偶性写出)(x f -或)(x f ,即可得到函数)(x f 的解析式. 注意:若)(x f 是R 上的奇函数时,不要遗漏0=x 的情形.例21. 已知)(x f 是R 上的奇函数,当0>x 时,132)(2++-=x x x f . （1）求)0(f 的值; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵)(x f 是R 上的奇函数 ∴)0()0()0(f f f -==-,0)0(2=f ∴0)0(=f ;（2）当0<x 时,则0>-x∴())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=- ∴132)(2-+=x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f .例22. 若函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数,且11)()(-=+x x g x f ,求函数)(x f 的解析式.解:∵函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数 ∴)()(x f x f =-,)()(x g x g -=-∵11)()(-=+x x g x f ∴11)()(--=-+-x x g x f ,11)()(+-=-x x g x f解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得:11)(2-=x x f .∴函数)(x f 的解析式为11)(2-=x x f . 例23. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且x ≤0时,1)(+-=x x f . （1）求)0(f ,)2(f ; （2）求函数)(x f 的解析式.解:（1）∵当x ≤0时,1)(+-=x x f ,∴1)0(=f .∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,∴31)2()2()2(=+--=-=f f ;（2）当0>x 时,则0<-x ∴()11)(+=+--=-x x x f .∴函数)(x f 的解析式为⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f .例24. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 2)(2-=,则函数)(x f 在R 上的解析式为____________.结论 若奇函数在原点处有定义,则0)0(=f .解:∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数∴0)0(=f . ∵当0>x 时,x x x f 2)(2-=∴当0<x 时,0>-x ,())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=- ∴x x x f 2)(2--=.∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x .例25. 函数1)(2++=x b ax x f 为R 上的奇函数,且5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .（1）求函数)(x f 的解析式;（2）若)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立,求m 的取值范围.解:（1）∵函数1)(2++=x bax x f 为R 上的奇函数∴0)0(==b f ,∴1)(2+=x axx f∵5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴5252121212==+⎪⎭⎫⎝⎛a a,解之得:1=a . ∴函数)(x f 的解析式为1)(2+=x xx f ; （2）∵)(x f ≤532-m 在区间[]4,2上恒成立∴12+x x ≤532-m 恒成立 设1)(2+=x x x g ,只需max )(x g ≤532-m 即可.任取[]4,2,21∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵[]4,2,21∈x x ,且21x x <∴()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴0)()(21>-x g x g ,∴()()21x g x g > ∴函数)(x g 在[]4,2上为减函数 ∴52122)2()(2max =+==g x g ∴52≤532-m ,解之得:m ≥1或m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,11, .例26. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,32)(x x x f +=,求)(x f . 解:∵函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f . ∵当0>x 时,32)(x x x f +=∴当0<x 时,,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-，∴32)(x x x f +-=.∴⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f .应用3 求参数的值例27. 已知函数()b a x b ax x f ++-+=31)(2为偶函数,其定义域为[]a a 2,1-,则b a +的值为_________.结论 如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴021=+-a a ,解之得:31=a . ∴()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122 ∴()11-=--b b ,解之得:1=b ∴34131=+=+b a . 例28. 若函数()()a x x xx f -+=12)(为奇函数,则=a _________.解:∵函数)(x f 为奇函数 ∴)()(x f x f -=-,()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴()()()()a x x a x x -+=--+-1212 展开并整理得:()()x a x a 2112-=- ∴a a 2112-=-,解之得:21=a . 例29. 若函数()()a x x x f -+=1)(为偶函数,则=a _________. 解:∵函数)(x f 为偶函数,∴)()(x f x f =- ∴()()()()a x x a x x -+=--+-11 ∴()()x a x a -=-11 ∴a a -=-11,解之得:1=a .例30. 若函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,则函数)(x f 在区间()3,5--上【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减 （D ）单调递增分析: 结论 对于函数c bx ax y ++=2：（1）当0=b 时,它是偶函数; （2）当0==c a 时,它是奇函数.对于本题,因为函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,所以不难得到0=m . 解:∵函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数∴)()(x f x f =-,()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴m m 22=-,解之得:0=m∴3)(2+-=x x f ,其图象开口向下,对称轴为y 轴. ∵函数)(x f 在区间()3,5--单调递增.选择【 D 】.例31. 设a 为常数,函数34)(2+-=x x x f .若()a x f +为偶函数,则=a _________. 分析:将函数)(x f 的图象向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,即可得到函数()a x f +的图象.偶函数的图象关于y 轴对称.结论 若函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f∴()()122--+=+a x a x f∵()a x f +为偶函数∴其图象的对称轴为y 轴,∴02=-a ,解之得:2=a .解法二:()1234)(22--=+-=x x x x f ,其图象的对称轴为直线2=x .∵()a x f +为偶函数∴)()(a x f a x f +=+-,即)()(x a f x a f +=- ∴函数)(x f 的图象关于直线a x =对称. ∴2=a .例32. 已知()231)(bx x a x f +-=是定义在[]b b +2,上的偶函数,则=+b a _______. 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴02=++b b ,解之得:1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵)()(x f x f =-,∴()()232311x x a x x a --=--- ∴()11-=--a a ,解之得:1=a . ∴=+b a 0.例33. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.解:当0<x 时,0>-x ,∴x x x f 2)(2--=- ∵函数)(x f 是奇函数 ∴)(2)(2x f x x x f -=--=- ∴mx x x x x f +=+=222)(（0<x ） ∴2=m .例34. 已知函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数.（1）求实数t 的值;（2）是否存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22?若存在,请求出b a ,的值;若不存在,请说明理由. 分析:()()21)(x t x x x f -+=,设()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2,因为)(x f 与)(x g 均为偶函数,所以()t x t x x h --+=1)(2也是偶函数,故01=-t ,得到1=t . 解:∵函数()()21)(x t x x x f -+=为偶函数∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴()()()()t x x t x x -+=--+-11∴t t -=-11,解之得:1=t . ∴()()222211111)(x x x x x x x f -=-=-+=; （2）∵0>>a b ∴函数211)(x x f -=在区间[]b a ,上为增函数 ∴2min11)()(a a f x f -==,2max 11)()(bb f x f -==∵函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-bb a a 2211221122,解之得:⎩⎨⎧==11b a∵0>>a b∴不存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22.例35. 已知函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值;（2）判断并用定义法证明函数)(x f y =在()0,∞-上的单调性.解:（1）∵函数211)(xmx x f ++=是R 上的偶函数 ∴)()(x f x f =-,221111x mx x mx ++=++- ∴11+=+-mx mx ,m m =-,解之得:0=m ; （2）由（1）知:211)(x x f +=. 函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数,理由如下: 任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=- ∵()0,,21∞-∈x x ,且21x x <∴()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.例36. 已知函数nmx x x f ++=2)(2是奇函数,且3)1(=f ,其中∈n m ,R .（1）求n m ,的值;（2）判断)(x f 在(]2,-∞-上的单调性,并加以证明. 解:（1）∵3)1(=f ,∴33=+nm ,∴1=+n m . ∵函数)(x f 为奇函数∴)()(x f x f -=-,nmx x n mx x --+=+-+2222∴n n -=,解之得:0=n解方程组⎩⎨⎧==+01n n m 得:⎩⎨⎧==01n m ;（2）由（1）可知:xx x x x f 22)(2+=+=（可见函数)(x f 为对勾函数） 函数)(x f 在(]2,-∞-上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x (]2,-∞-,且21x x <,则有()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=- ∵∈21,x x (]2,-∞-,且21x x < ∴02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若()()0112<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围. 解:∵()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数 ∴()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a ,解之得:0≤1<a .∴实数a 的取值范围是[)1,0.例38. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在[]2,0上单调递减,若()()m f m f <-1,求实数m 的取值范围.结论:若函数)(x f 为偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.解:∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数∴()()m f m f -=-11,()()m f m f =,[]2,0,1∈-m m . ∵)(x f 在[]2,0上单调递减,()()m f m f <-1 ∴()()m f m f <-1,m m >-1.由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 122212,解之得:1-≤m 21<.∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1.注意:m m >-1的同解不等式为()221m m >-.例39. 定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f ,且在()+∞,0上单调递减,求不等式0)(>x xf 的解集.分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫⎝⎛f∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减 ∴函数)(x f 在()0,∞-上单调递增 ∴当210<<x 时,0)(>x f ;当021<<-x 时,0)(<x f ∴不等式0)(>x xf 的解集为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 .注意:对于奇函数)(x f 的理解,可结合下面的图象.图中0)0(=f .例40. 已知奇函数)(x f y =,∈x ()1,1-是减函数,解不等式0)31()1(<-+-x f x f . 解:∵0)31()1(<-+-x f x f ∴)31()1(x f x f --<- ∵)(x f y =是奇函数∴()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x ,解之得:210<<x .∴不等式0)31()1(<-+-x f x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x . 例41. 已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,()02=f ,若()01>-x f ,则x 的取值范围是__________.解:由题意可得0)(>x f 的解集为()2,2- ∵()01>-x f∴212<-<-x ,解之得:31<<-x ∴x 的取值范围是()3,1-.例42. 已知函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数,且当x ≥0时,)(x f 单调递增,则关于x 的不等式()()a f x f >-1的解集为【 】（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 （D ）随a 的值的变化而变化解:∵函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数 ∴021=+-a a ,解之得:31=a ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵()()a f x f >-1,∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ,∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f∵当x ≥0时,)(x f 单调递增,1-x ≥0∴311>-x . 由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x ,解之得:31≤32<x 或x <34≤35.∴不等式()()a f x f >-1的解集为⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 .选择【 B 】.例43. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增.若实数a 满足()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ,则a 的取值范围是【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, （B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增∴)(x f 在区间[)+∞,0上单调递减,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121f f . ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f∴()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f ,∴211<-a ,解之得:2321<<a .∴a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛23,21.选择【 C 】.☆例44. 已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g 是奇函数.（1）求)(x f 的表达式;（2）若)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1,求值:b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.解:当0>x 时,0<-x∴()x x x g 22-=- ∵)(x g 是奇函数∴()()()x g x x x g -=+--=-22 ∴x x x g 2)(2+-=（0>x ） ∴x x x f 2)(2+-=（0>x ）; （2）证明:由题意可知:0>>a b ∵()112)(22+--=+-=x x x x f ≤1∴a1≤1,∴a ≥1 ∴)(x f 在[]b a ,上单调递减∴()a a f 1=,()bb f 1= ∴b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.例45. 设函数)(x f 对任意∈y x ,R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(<x f ,2)1(-=f . （1）证明:)(x f 为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是减函数;（3）若()()47652>-++x f x f ,求x 的取值范围; （4）求)(x f 在[]3,3-上的最大值与最小值.（1）证明:令0==y x ,则)0(2)0()0()0(f f f f =+=,∴0)0(=f 令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称 ∴函数)(x f 为奇函数;（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,0)(<x f ,∴()012<-x x f∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-()012<-=x x f .∴()()012<-x f x f ,∴()()21x f x f >. ∴)(x f 在R 上是减函数;（3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f令1-==y x ,则4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f∴())2(7652->-++f x x f ,())2(511->-f x f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴2511-<-x ,解之得:513>x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛+∞,513;（4）令1,2-=-=y x ,则624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最大值为6∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最小值为6-.例46. 函数)(x f 对任意∈b a ,R 都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,1)(>x f .（1）判断函数)(x f 是否为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是增函数;（3）解不等式()1232<--m m f .（1）解:令0==b a ,则1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f∴函数)(x f 不是奇函数;（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f∴()()12x f x f >∴)(x f 在R 上是增函数;（3）由（1）可知:1)0(=f∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵)(x f 在R 上是增函数∴0232<--m m ,解之得:132<<-m ∴不等式()1232<--m m f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32. 例47. 设)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数,且满足())()(y f x f xy f +=, 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f . （1）求)1(f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛91f ,)9(f 的值; （2）若2)2()(<--x f x f ,求x 的取值范围.解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ;令31==y x ,则有212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ; ∵01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f∴()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f ;（2）∵2)2()(<--x f x f ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)( ∵)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数 ∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51. ☆例48. 设)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数,且满足()()()y f x f xy f +=,当1>x 时,()0<x f .（1）求)1(f 的值,并证明)(x f 是偶函数;（2）证明函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）若1)3(-=f ,)8()(-+x f x f ≥2-,求x 的取值范围. 解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ; ∵)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数∴其定义域关于原点对称.令1-==y x ,则有()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ,∴()01=-f . 令1-=y ,则有()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴)(x f 是偶函数;（2）证明:任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则112>x x ∵当1>x 时,()0<x f ,∴012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >.∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;（3）解:∵1)3(-=f∴令3==y x ,则有2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴)8()(-+x f x f ≥)9(f∴())8(-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 是偶函数∴()()8-x x f ≥)9(f∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减; ∴()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x ,解之得:1-≤x ≤74-或74+≤x ≤9,且0≠x ,8≠x . ∴x 的取值范围是[)(][)(]9,88,7474,00,1 +--. 例49. 若函数1)(++-=bx a x x f 为区间[]1,1-上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.解:∵函数)(x f 为区间[]1,1-上的奇函数∴0)0(=f ,∴0=a ∴1)(+-=bx x x f ∵())1(1f f --,∴1111+=+---b b ,解之得:0=b ∴x x f -=)(,在区间[]1,1-上为减函数 ∴()11)(max =-=f x f .例50. 已知函数32)(2-+-=x x x f .（1）求)(x f 在区间[]2,12-a 上的最小值()a g ;（2）求)(a g 的最大值. 解:（1）由题意可知:212<-a ,解之得:23<a . ()2132)(22---=-+-=x x x x f ,其图象的开口向下,对称轴为直线1=x . 当12212<+-a ,即21<a 时,684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴()6842-+-=a a a g ; 当2212+-a ≥1,即21≤23<a 时,()()32min -==f x f ∴3)(-=a g .综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g ; （2）由（1）可知:3)(max -=a g .。
函数奇偶性的归纳总结
函数奇偶性的归纳总结函数的奇偶性是指函数图像关于一些点或一些线对称的性质。
具体来说，对于函数f(x)，如果对于所有的x，都有f(x)=f(-x)，则称该函数为偶函数；如果对于所有的x，都有f(x)=-f(-x)，则称该函数为奇函数；如果既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质，则称该函数为非奇非偶函数。
奇偶性是函数的一个重要特征，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
下面将对函数奇偶性的归纳总结进行详细介绍。
1.偶函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=f(-x)。
即关于y轴对称。
具体来说，偶函数的图像关于y轴对称，即将y轴作为对称轴进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。
偶函数可以表达为f(x)=f(-x)的形式，其中x和-x的取值范围相同。
2.奇函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=-f(-x)。
即关于原点对称。
具体来说，奇函数的图像关于原点对称，即将原点作为对称点进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。
奇函数可以表达为f(x)=-f(-x)的形式，其中x和-x的取值范围相同。
3.非奇非偶函数的特点：即既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质。
对于非奇非偶函数，其图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称。
它可能存在对称轴，但不是y轴；也可能存在对称点，但不是原点。
非奇非偶函数的图像可以是任意形状，没有特定的对称性。
4.奇偶函数的性质：（1）偶函数与偶函数之和、差仍然是偶函数；（2）奇函数与奇函数之和、差仍然是奇函数；（3）偶函数与奇函数之积仍然是奇函数；（4）奇函数与偶函数之积仍然是偶函数。
以上是根据函数的定义对奇偶性进行的总结，接下来将从数学的角度对函数的奇偶性进行归纳推理。
首先，我们知道任意一个函数f(x)可以表示为其奇部分和偶部分的和或差。
偶函数可以表示为f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是偶函数，h(x)也是偶函数；奇函数可以表示为f(x)=g(x)-h(x)，其中g(x)是奇函数，h(x)也是奇函数。
高中数学函数奇偶性专题复习总结
【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：⑴)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；③可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= （2）2432)(x x x f += (3）1)(23--=x x x x f（4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（7）2211)(x x x f -+-=（8）221()lg lgf x x x =+； （9）xx x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0)(0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +⎧∈⎪⎪≠+⎨⎪⎪⎩⎧∈⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩⎧+≠≠⎪⎨=+≠⎪⎩==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪=±⎪⎪⎩⎩两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。
函数奇偶性总结
函数奇偶性总结
函数的奇偶性是指函数在定义域内是否具有对称性质。
具体来说，奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$，而偶函数则满足 $f(-x)=f(x)$。
通过了解函数的奇偶性，我们可以得到一些有用的信息，帮助我们分析函数的性质和行为。
以下是一些关于函数奇偶性的总结：
1. 奇函数的特点：
- 奇函数在原点处对称，即 $f(0)=0$。
- 奇函数的图像关于原点对称。
- 奇函数的定义域可分为负半轴、原点和正半轴三个部分。
2. 偶函数的特点：
- 偶函数在原点处对称，即 $f(0)=f(-0)$。
- 偶函数的图像关于纵轴对称。
- 偶函数的定义域为整个实数集。
3. 一些常见的奇函数有：
- 正弦函数：$f(x)=\sin(x)$
- 反正弦函数：$f(x)=\arcsin(x)$
- 立方函数：$f(x)=x^3$
4. 一些常见的偶函数有：
- 余弦函数：$f(x)=\cos(x)$
- 平方函数：$f(x)=x^2$
- 绝对值函数：$f(x)=|x|$
了解函数的奇偶性对于分析函数的性质和解决问题非常有帮助。
通过奇偶性，我们可以得到函数在某些特定点的取值信息，并进一
步推导出函数的图像、对称性以及性质的变化。
注意：函数的奇偶性是在定义域内进行考虑的，因此在使用奇
偶性进行分析时，需要注意定义域的范围。
函数的奇偶性是在定义
域内进行考虑的，因此在使用奇偶性进行分析时，需要注意定义域
的范围。
希望上述总结能够帮助您更好地理解和应用函数的奇偶性。
函数中的奇偶性知识点总结
函数中的奇偶性知识点总结一、基本概念1.1 奇数和偶数在整数集中，可以将整数分为奇数和偶数。
奇数是指不能被2整除的整数，偶数则是可以被2整除的整数。
奇数和偶数在日常生活中经常出现，例如我们说1、3、5、7、9等数都是奇数，而2、4、6、8、10等数则是偶数。
1.2 奇偶性的判定判断一个整数的奇偶性，最简单的方法就是看这个数能不能被2整除。
如果能被2整除，那么这个数就是偶数，否则就是奇数。
1.3 奇偶性的性质奇数与奇数相加或相乘得到的结果仍然是奇数；偶数与偶数相加或相乘得到的结果仍然是偶数；奇数与偶数相加得到的结果是奇数，相乘得到的结果是偶数。
1.4 奇偶性的表示方法对于一个整数n，可以用数学符号来表示其奇偶性。
一般用e表示偶数，用o表示奇数，偶数可以表示成2k（k为整数），奇数可以表示成2k+1（k为整数）。
二、奇偶性的应用2.1 奇偶性在数论中的应用在数论中，奇偶性是一个非常重要的概念。
很多数论中的问题都可以通过奇偶性的分析来解决。
比如，确定一个数的因数个数，判断一个数的平方是否是完全平方数等等。
2.2 奇偶性在代数中的应用在代数中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，解不定方程时可以通过奇偶性来得到一些重要结论；计算多项式的值可以通过奇偶性来简化计算等等。
2.3 奇偶性在组合数学中的应用在组合数学中，奇偶性也有着广泛的应用。
比如，在排列组合中，奇偶性可以用来证明一些组合恒等式；在排列组合问题中，奇偶性也可以用来简化问题的求解等等。
2.4 奇偶性在概率论中的应用在概率论中，奇偶性也有着重要的应用。
例如，在求事件概率时可以通过奇偶性来约简问题；在独立事件的概率计算中也可以用奇偶性来简化问题等等。
三、常见问题与定理3.1 奇数的性质奇数与奇数相加的结果是偶数；奇数与偶数相加的结果是奇数；奇数的平方是奇数。
3.2 偶数的性质偶数与偶数相加的结果是偶数；偶数与偶数相乘的结果是偶数；偶数的平方是偶数。
3.3 整数的奇偶性定理整数的奇偶性有许多重要的性质和定理。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
函数奇偶性归纳总结
函数奇偶性归纳总结(总7页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。
教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。
教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。
教学过程： 一、知识要点： 1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性的经典总结奇函数:一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立。
也就是说，奇函数关于y轴对称。
奇函数的图像通常具有中心对称的特点。
常见的奇函数有：1. 正弦函数：f(x)=sin(x)。
正弦函数在整个定义域上都是奇函数，其图像以原点为中心，关于y轴对称。
2. 正切函数：f(x)=tan(x)。
正切函数在每个周期都具有关于原点对称的特点，在定义域上都是奇函数。
3.x的三次幂：f(x)=x^3、这是一个多项式函数，其图像以原点为中心，关于y轴对称。
奇函数具有以下特点：1.如果f(x)为奇函数，那么f(0)=0。
奇函数的图像一定经过原点。
2.如果f(x)为奇函数，那么f(x)在第一象限和第三象限下的值相同。
奇函数的曲线具有关于原点对称的特点。
3.如果f(x)为奇函数，那么在区间[-a,a]上，f(x)的积分为0。
奇函数的积分在对称区间上的值相互抵消。
偶函数:一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立。
也就是说，偶函数关于y轴对称。
偶函数的图像通常具有左右对称的特点。
常见的偶函数有：1. 余弦函数：f(x)=cos(x)。
余弦函数在整个定义域上都是偶函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。
2. 双曲余弦函数：f(x)=cosh(x)。
双曲余弦函数在整个定义域上都是偶函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。
3.x的二次幂：f(x)=x^2、这是一个多项式函数，其图像以y轴为中心，关于y轴对称。
偶函数具有以下特点：1.如果f(x)为偶函数，那么f(0)为对称轴上的一个点。
偶函数的图像关于对称轴对称。
2.如果f(x)为偶函数，那么f(x)在第二象限和第四象限下的值相同。
偶函数的曲线具有关于y轴对称的特点。
3.如果f(x)为偶函数，那么在区间[-a,a]上，f(x)的积分为2倍的在区间[0,a]上的积分。
偶函数的积分在对称区间上的值是相同的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。
教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。
教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。
教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
③、扣定义，下结论。
⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。
，⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。
二、典例分析1、给出函数解析式判断其奇偶性：分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系.【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x x ++⎧⎫=∈≥⎨⎬-⎩⎭解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。
（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下：由函数2()21f x x x =-+的图象可知，2()21f x x x =-+为偶函数。
说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。
(2) . 解：由303x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞). ∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数.【例2】 判断下列函数的奇偶性：(1). ()f x =(2) . 3()3sin(2);2f x x π=- (3). 021()1x f x x -=-。
解： (1).由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2，则();33f x x x ==+-.∴()();f x f x x-===-.∴()f x =为奇函数.说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。
(2) .函数3()3sin(2)2f x x π=-定义域为R ， ∵3()3sin(2)3cos 22f x x x π=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，∴ 函数3()3sin(2)2f x x π=-为偶函数。
(3). 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，又∵022111()011x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，所以022111()011x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。
【例3】 判断下列函数的奇偶性：(1). 0.5()log (f x x =；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩解：(1) . 定义域为R ，∵220.50.5()()log (()1)log (1)f x f x x x x x -+=-+-++++20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。
说明：给出函数解析式判断其奇偶性，一般是直接找()f x -与()f x 关系，但当直接找()f x -与()f x 关系困难时，可用定义的变形式：()()0=--x f x f ⇔函数f （x ）是偶函数；()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数。
(2) .函数的定义域为R ，当0x >时，0,()()(1)(1)();x f x x x x x f x -<-=--=--=- 当0x =时，0,()0();x f x f x -=-==-当0x <时，[]0,()()1()(1)().x f x x x x x f x ->-=---=-+=-综上可知，对于任意的实数x ，都有()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数。
说明：分段函数判断奇偶性，必分段来判断，只有各段为同一结果时函数才有奇偶性。
分段函数判断奇偶性，也可用图象法。
2、抽象函数判断其奇偶性：【例4】 已知函数()(0),f x x R x ∈≠且对任意的非零实数1,2,x x 恒有1212()()(),f x x f x f x ⋅=+判断函数()(0)f x x R x ∈≠且的奇偶性。
解：函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，令121x x ==，得(1)0f =，令121x x ==-，则2(1)(1),(1)0,f f f -=∴-= 取121,x x x =-=，得()(1)(),f x f f x -=-+()(),f x f x ∴-= 故函数()(0)f x x R x ∈≠且为偶函数。
3、函数奇偶性的应用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，又(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.解：由()()f x f x -=-得()bx c bx c -+=-+，∴0c =。
又(1)2f =得12a b +=，而(2)3f <得4132a b+<，∴4131a a +<+，解得12a -<<。
又a Z ∈，∴0a =或1a =.若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈b =1∈Z .∴1,1,0a b c ===。
说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f (－1)=－f (1)，得c =0。
(2) . 解不等式：【例6】若f (x )是偶函数，当x ∈［0，+∞)时，f (x )=x －1，求f (x －1)＜0的解集。
分析：偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f (x )的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f (x )＜0的解集为 ｛x ｜－1＜x ＜1｝， ∴f (x －1)＜0的解集为｛x ｜0＜x ＜2｝. 答案：｛x ｜0＜x ＜2｝说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f (x )的表达式，再求f (x －1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果. (3) . 求函数解析式：【例7】已知f (x )是R 上的奇函数，且x ∈(－∞，0)时，f (x )=－x lg(2－x )，求f (x ). 分析：先设x ＞0，求f (x )的表达式，再合并. 解：∵f (x )为奇函数，∴f (0)=0.当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )=x lg(2+x )，即－f (x )=x lg(2+x )， ∴f (x )=－x lg(2+x ) (x ＞0). ∴lg(2)(0)()lg(2)(0)x x x f x x x x --<⎧=⎨-+≥⎩。
说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相连。
三、巩固训练： 一、选择题1.若y =f (x )在x ∈［0，+∞)上的表达式为y =x (1－x )，且f (x )为奇函数，则x ∈(－∞，0］时f (x )等于A.－x (1－x )B.x (1+x )C.－x (1+x )D.x (x －1)2.已知四个函数：①21log 1xy x+=-， ②11x x e y e -=+，③ y =3x +3-x ，④ y =lg(3x +3-x ).其中为奇函数的是A.②④B.①③C.①④D.①②3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为 A.－x (x －2) B. x （｜x ｜－2） C.｜x ｜(x －2) D.｜x ｜（｜x ｜－2） 二、填空题4.已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，且定义域为［a －1，2a ］，则a =_____________，b =____________.5.若1()21x f x a =+- (x ∈R 且x ≠0)为奇函数，则a =_______________.6.已知f (x )=ax 7－bx +2且f (－5)=17，则f (5)=_______________.7.已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是_____________三、解答题 8.已知11()()2()G x f x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦且x =ln f (x )，判定G (x )的奇偶性。