人教版B版高中数学选修3-1(B版)伯努利家族的贡献
人教版B版高中数学选修3-1(B版)我将撬动地球
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阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的 面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何 体的表面积和体积的计算方法。在推演这些 公式的过程中，他进一步发展了欧多克斯发 明的“穷竭法”，即用内接和外切的直边图 形不断地逼近曲边形以用来解决曲面面积问 题，即我们今天所说的逐步近似求极限的方 法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用 圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积 逐渐接近的方法，比较精确的求出了圆周率。
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《抛物线求积法》，研究了曲线图形求积的 问题，并用穷竭法建立了这样的结论：“任 何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形 （即抛物线），其面积都是其同底同高的三 角形面积的三分之四。”他还用力学权重方 法再次验证这个结论，使数学与力学成功地 结合起来。 《平面的平衡》，是关于力学的最早的科学 论著，讲的是确定平面图形和例题图形的重 心问题。
谢 谢！
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当时的欧洲，在工程和日常生活中，经常使 用一些简单机械，譬如：螺丝、滑车、杠杆、 齿轮等，阿基米德花了许多时间去研究，发 现了“杠杆原理”和“力矩”的观念，对于 经常使用工具制作机械的阿基米德而言，将 理论运用到实际的生活上是轻而易举的。他 自己曾说：“给我一个支点和一根足够长的 杠杆，我就能撬动整个地球。”
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阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多 为希腊文手稿。他的著作集中探讨了求积问 题，主要是曲边图形的面积和曲面立方体的 体积，其体例深受欧几里德《几何原本》的 影响，先设立若干定义和假设，再依次证明。
作为数学家，他写出了《论球和圆柱》、 《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺 线》、《论锥体和球体》、《沙的计算》数 学著作。作为力学家，他著有《论图形的平 衡》、《论浮体》、《论杠杆》、《原理》 等力学著作。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)征服黑暗的欧拉
人物简介
他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被 问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的 心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上 学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不 了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。 小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目， 言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的 心目中，这可是个严重的问题。
人物简介
孩子比自己聪明，真会动脑筋，将来一定大 有出息。父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在 是可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个 大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720 年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年， 小欧拉13岁，是这所大学最年轻的大学生。
谢谢欣赏！
人物简介
正打算动工的时候，他发现他的材料只够围 100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米 的羊圈，其周长将是110米（15+15+40+40=110） 父亲感到很为难，若要按原计划建造，就要再添 10米长的材料；要是缩小面积，每头羊的面积就 会小于6平方米。
人物简介
小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用 担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。 父亲不相信小欧拉会有办法，听了没有理他。
人物简介
回家后无事，他就帮助爸爸放羊，成了一个 牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有 不少数学书。
爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来 的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。 他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15 米，他一算，面积正好是600平方米，平均每一头 羊占地6nhard Euler ， 1707年4月15日～1783年9 月18日），瑞士数学家、 自然科学家。1707年4月 15日出生于瑞士的巴塞尔， 1783年9月18日于俄国圣 彼得堡去世。
伯努利家族的贡献
并没有给出这些方程的解。 弹性问题也是促使微分方程迅速发展的一 个重要课题，这一问题最早是在建筑中考虑房 梁在外加荷载下所形成的形状而提出的。这类 问题反映在数学中的形式是悬链线方程、振动 弦的方程、两端固定的弹性振动方程等。 在解决这些问题的过程中，伯努利家族 可以说是风光无限。这个家庭是数学与科学史 上最著名的家族之一，自17世纪以来，产生了 许多著名的数学家和科学家.其中雅各布· 伯努 利（Jacob Bernoulli,1654—1705）和约翰· 伯 努利（John Bernoulli,1667—1745）兄弟最为 著名。早先雅各布研究神学，约翰学医，但当
出相当于纬度改变一度的长度，再利用某一理 论和相应的g值，就可确定再地球的形状。事 实上，牛顿根据观察到的摆周期随地球表面不 同地点的变化推断出：地球在赤道上是鼓起的， 地球的赤道半径超过极半径1/230。为了对牛 顿的推断加以核实，许多科学家着手进行实测， 可能是测量工具不太精确，出现两种截然不同 的结论。然而此时的牛顿却更深入到天文学中 的“三体问题”中去了。所谓三体问题是指在 太阳和地球引力作用下月球的状态，这正是研 究行星及其卫星在太阳引力和所有别的星体的 相互吸引下的运动的开端。这个问题导致了牛 顿对二阶微分方程级的探讨，不过，牛顿
9.1.2 欧拉
如果说17世纪的微分方程仍然是微积分 的一部分的话，18世纪则是微分方程形成自身 独特理论体系的全新时代，而在这一时代尤以 欧拉的工作最为杰出。 欧拉（L.Euler,1707—1783）生于瑞士的 巴塞尔（Basel）。父亲保罗· 欧拉是一位牧师， 喜欢数学，所以欧拉从小就受到这方面的熏陶。 但父亲却执意让他攻读神学，以便将来接他的 班。幸运的是，欧拉并没有走父亲为他安排好 的路。父亲曾在巴塞尔大学上过学，与
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第一章 灿烂的古希腊数学
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第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
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第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
第一章 灿烂的古希腊数学
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数学世家伯努利家族的贡献 (3)
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一四届）题目：数学世家伯努利家族的贡献院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：夏玲玲学号08100439指导教师：马云南京师范大学泰州学院教务处制摘要：在18世纪的世界科学史上，瑞士伯努利家族发出了耀眼的光辉，创造了这样一个神话，在一个家族跨世纪的几代人中，连续出过十余位科学家，堪称科学史上的一个奇迹。
伯努利家族在力学、数学、天文学、生理学、领域里具有根本性的贡献，伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位,而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。
伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。
最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中。
在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。
关键词：伯努利家族；数学；成就；物理学；Abstract:In eighteenth Century the world history of science, the Swiss family Bernoulli issued a dazzling brilliance, created such a myth, in a family of several generations century, continuous over-dozen scientists, called the history of science a miracle. the Bernoulli family, in mechanics, mathematics, astronomy, physiology, in the field of fundamental contribution to the Bernoulli family of three generations of people had eight scientists, at least three outstanding; while in their generations many descendants, at least half have become outstanding figures. Bernoulli family, the descendants of not less than 120 had been systematically traced them in math, science, technology, engineering and even legal, management, literature, art, etc. enjoy fame, some even prominent. The most incredible is that there are two generations of this family, most of them mathematicians, math is not intended as a career choice, but it drunkenly indulging in mathematics among. Scientific community in the whole world plays the past and open up a new era of science role.Keywords: the Bernoulli family; mathematics; achievement;physics;目录1 绪论 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究意义 (3)1.3本课题的研究现状 (3)1.4本文解决的主要问题 (4)2 介绍伯努利家族 (5)2.1伯努利家族概况 (5)2.2伯努利家族的传奇和轶事 (6)2.3伯努利家族主要成员介绍 (6)3 伯努利家族在数学中的贡献 (8)3.1伯努利微分方程 (8)3.2伯努利概型 (10)3.3伯努利大数定理 (11)3.4伯努利不等式 (14)4 伯努利在科学界的贡献 (16)4.2伯努利在物理中的应用 (16)4.2伯努利在医学中的应用 (19)总结 (20)谢辞 (21)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景瑞士的伯努利家族是科学史上著名的科学家族之一，其家族成员天资聪明，在科学上颇有建树。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)两千年的孕育
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十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、 物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、 笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有 建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
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十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英 国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别 在自己的国度里独自研究和完成了微积分的 创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他 们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题 联系在一起，一个是切线问题（微分学的中 心问题），一个是求积问题（积分学的中心 问题）。
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应该指出，这是和历史上任何一项重大理论 的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布 尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷 和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含 糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候 不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能 自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致 了第二次数学危机的产生。
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直到19世纪初，法国科学学院的科学家以柯 西为首，对微积分的理论进行了认真研究， 建立了极限理论，后来又经过德国数学家维 尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成 为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步 的发展开来。
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中国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几 何领域，便是利用微积分的理论来研究几何， 这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥 着巨大的作用，并且这门学科至今仍然很活 跃。前不久由俄罗斯数学家佩雷尔曼完成的 庞加莱猜想便属于这一领域。
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微积分学的创立，极大地推动了数学的发展， 过去很多初等数学束手无策的问题，运用微 积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非 凡威力。
前面已经提到，一门科学的创立决不是某一 个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后， 在积累了大量成果的基础上，最后由某个人 或几个人总结完成的。微积分也是这样。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)站在巨人的肩膀上
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大约从五岁开始，牛顿被送到公立学校读书。 少年时的牛顿并不是神童，他资质平常、成 绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各 种简单机械模型制作方法的读物，并从中受 到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意， 如风车、木钟、折叠式提灯等等。
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牛顿12岁时进了离家不远的格兰瑟姆中学。 牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿 本人却无意于此，而酷爱读书。随着年岁的 增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科 学小实验。他在格兰瑟姆中学读书时，曾经 寄宿在一位药剂师家里，使他受到了化学试 验的熏陶。
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他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理 论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动 都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供 了强有力的理论支持，并推动了科学革命。在 力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理， 提出牛顿运动定律。在光学上，他发明了反射 望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光 谱的观察，发展出了颜色理论。他还系统地表 述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛 顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展 出微积分学的荣誉。
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从1670年到1672年，牛顿负责讲授光学。在 此期间，他研究了光的折射，表明棱镜可以 将白光发散为彩色光谱，而透镜和第二个棱 镜可以将彩色光谱重组为白光。他还通过分 离出单色的光束，并将其照射到不同的物体 上的实验，发现了色光不会改变自身的性质。 牛顿还注意到，无论是反射、散射或发射， 色光都会保持同样的颜色。因此，我们观察 到的颜色是物体与特定有色光相合的结果， 而不是物体产生颜色的结果。
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1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力 及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动 定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨 论。他将自己的成果归结在《物体在轨道中 之运动》一书中，该书中包含有初步的、后 来在《原理》中形成的运动定律。
Johann Bernoulli 的经历和贡献
约翰.贝努利（Johann Bernoulli）的经历和贡献摘要在近代科学史上，父子或者兄弟都是科学家的例子并不出奇，但是，在同一个家族跨世纪的几代人中，前前后后共出现过百位科学家的家族可能就寥寥无几，这其中的最著名的可能要算是瑞士的伯努利家族了。
自十七世纪后半期至二十世纪30年代末，这个名门望族的近一百多位族人都是优秀人才，其中有学者、教育家、艺术家、科学家、政治家，分布甚广。
尤其是数学，更是人才辈出，产生了数十位大数学家，他们在发展微积分理论及实际应用上起着重要的作用，极大地推动了近代数学的发展。
17世纪70年代出生的约翰·伯努利（Johann Bernoulli）便来自于这个声名显赫的家族中，他最终也成为了17至18世纪欧洲最有影响的数学家之一。
与他同时代的伯努利家族的科学家有他的哥哥雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli）以及他的次子丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），都是历史上著名的科学家。
一．Johann Bernoulli 的经历1.1 一波三折约翰的父亲尼古拉·伯努利(Nikolaus Bernoulli)不同于伯努利家族的科学家族人，他选择了经商而不是科研，他经营香料事业并且成为了一名成功的商人。
因为长子雅各布一心学习，无心经商，所以尼古拉把希望寄托在了次子约翰的身上，希望约翰能跟他学做生意，这样就可以把家庭的香料事业交托给约翰打理。
但是，约翰和哥哥一样，对做生意提不起丝毫的兴趣，经过多方的劝说，约翰终于得到父亲的同意，准许他进入巴塞尔大学主修医科，但是在大学学习期间，约翰发现自己并不是打心底喜欢医学，受哥哥的影响，约翰开始私下学习数学，并开始研究数学，他对莱布尼兹(Leibniz)的繁杂的微积分产生了浓厚的兴趣，他发现自己从骨子热爱上了这门学术，虽然上天一度让约翰走上他所不喜爱的人生道路，但是，几经辗转，最终他走上了这条最适合他自己的求学之路——研究和发展微积分。
伯努利家族
他对平面曲线的研究，例如悬链线问题，伯努利双纽线，对数螺线。他证明了一个绳子若两头悬挂，他所能采取的形状中，以悬链线的重心最低。这对大跨度的桥梁的拱轴线采用悬链线起了指导作用。证明了对数螺线的渐伸线，渐曲线，垂足曲线，会光纤等均为对数螺线，放大缩小后性质保持不变；
3.2 约翰•伯努利
(1) 成长历程
约翰·伯努利1667年8月6日生于巴塞尔，青年时被父亲送去学经商，后改学习医学．约翰于1690年获医学硕士学位，1694年获得医学博士学位。其论文是关于肌肉的收缩问题．但他发现他骨子里的兴趣是数学，在雅各布指导下在数学上崭露头角。去巴黎留学，留学回来开始讲学。他们最早认识到微积分的巨大威力，约翰与莱布尼茨一人就交换了275封极为有趣的长信，由于其他一百多位学者写了2500封书信，这些信极大丰富了微积分学。1695年，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位—荷兰格罗宁根大学数学教授．10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布接任巴塞尔大学数学教授，在这个职位上工作了43年，直到1748年80岁去世．同他的哥哥一样，他也当选为巴黎科学院外籍院士和柏林科学协会会员．1712、1724和1725年，他还分别当选为英国皇家学会、意大利波伦亚科学院和彼得堡科学院的外籍院士．
伯努利家族的成长历程与科学贡献
xxx（学号：）
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摘要
科学史上最著名的家族应该算居里夫人一家，还有伯努利家族，贝克勒尔家族，达尔文家族，利基家族等，这些科学家族为人类科学技术的进步起到了巨大的推动作用。家族科学家的形成来自于智力遗传、家庭教育、学术环境和知识接力与竞争等几个方面的综合作用。无论是政治领域、产业部门还是在科学事业，家族里的成员对某件事有一定的延续性，继承性，取得成功的机会就会大大增加。然而在近代科学史上最著名的家族之一是瑞士的伯努利家族，他们中间曾经产生过十多位科学家，在力学、数学、天文学、生理学、领域里具有根本性的贡献，在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。其中伯努利家族热情拥护着莱布尼茨的微积分理论，为微积分的推广做出了巨大推动作用。他们在概率论，变分法，流体力学等方面成绩卓著。家族中最著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟约翰·伯努利、约翰的次子丹尼尔·伯努利等。本文要详细介绍的是近代的伯努利家族的成员的成长历程和科学贡献，以及自己从中领悟到的一些知识。
数学世家伯努利家族的贡献 (3)
南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一四届）题目：数学世家伯努利家族的贡献院（系、部）：数学科学与应用学院专业：数学与应用数学姓名：夏玲玲学号08100439指导教师：马云南京师范大学泰州学院教务处制摘要：在18世纪的世界科学史上，瑞士伯努利家族发出了耀眼的光辉，创造了这样一个神话，在一个家族跨世纪的几代人中，连续出过十余位科学家，堪称科学史上的一个奇迹。
伯努利家族在力学、数学、天文学、生理学、领域里具有根本性的贡献，伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出类拔萃的至少有3位,而在他们一代又一代的众多子孙中，至少有一半相继成为杰出人物。
伯努利家族的后裔有不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。
最不可思议的是这个家族中有两代人，他们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职业，然而却忘情地沉溺于数学之中。
在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。
关键词：伯努利家族；数学；成就；物理学；Abstract:In eighteenth Century the world history of science, the Swiss family Bernoulli issued a dazzling brilliance, created such a myth, in a family of several generations century, continuous over-dozen scientists, called the history of science a miracle. the Bernoulli family, in mechanics, mathematics, astronomy, physiology, in the field of fundamental contribution to the Bernoulli family of three generations of people had eight scientists, at least three outstanding; while in their generations many descendants, at least half have become outstanding figures. Bernoulli family, the descendants of not less than 120 had been systematically traced them in math, science, technology, engineering and even legal, management, literature, art, etc. enjoy fame, some even prominent. The most incredible is that there are two generations of this family, most of them mathematicians, math is not intended as a career choice, but it drunkenly indulging in mathematics among. Scientific community in the whole world plays the past and open up a new era of science role.Keywords: the Bernoulli family; mathematics; achievement;physics;目录1 绪论 (3)1.1 研究背景 (3)1.2 研究意义 (3)1.3本课题的研究现状 (3)1.4本文解决的主要问题 (4)2 介绍伯努利家族 (5)2.1伯努利家族概况 (5)2.2伯努利家族的传奇和轶事 (6)2.3伯努利家族主要成员介绍 (6)3 伯努利家族在数学中的贡献 (8)3.1伯努利微分方程 (8)3.2伯努利概型 (10)3.3伯努利大数定理 (11)3.4伯努利不等式 (14)4 伯努利在科学界的贡献 (16)4.2伯努利在物理中的应用 (16)4.2伯努利在医学中的应用 (19)总结 (20)谢辞 (21)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景瑞士的伯努利家族是科学史上著名的科学家族之一，其家族成员天资聪明，在科学上颇有建树。
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第一章 灿烂的古希腊数学 1.2 几何学无王者之路 阅读与欣赏 2.2 ”韩信点兵“与中国剩余定理 阅读与欣赏 3.2 青年数学家阿贝尔和伽罗瓦 3.4 对称的数学 第四章 数与形的完美结合——解析几何的产生 4.1 4.3 业余数学大师 第五章 运动与变化的数学——微积分诞生记 5.1 5.3 万能大师 阅读与欣赏 6.2 数学王子高斯 7.2 新奇的非欧几何世界 7.4 从假设到现实——非欧几何的意义 8.2 伯努利家族的贡献 第九章 中国现代数学两巨星 9.1 传奇数学家——华
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浅谈伯努利家族在科学界贡献
浅谈伯努利家族在科学界贡献作者：王静来源：《青年与社会》2013年第02期摘要：在18世纪的世界科学史上，瑞士伯努利家族发出了耀眼的光辉，创造了这样一个神话，在一个家族跨世纪的几代人中，连续出过十余位科学家，堪称科学史上的一个奇迹。
瑞士伯努利家族，在力学、数学、天文学、生理学、领域里具有根本性的贡献，在整个世界科学界起着承前启后，开辟科学新时代的作用。
关键词：伯努利家族；力学；数学；成就一、伯努利家族介绍伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family，原籍比利时安特卫普，1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。
伯努利家族以雅各布第一·伯努利（Jacob Bernoulli），约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔第一·伯努利（Daniel Bernoulli）这三人的成就最大。
（一）雅各布·伯努利伯（Jacob I Bernoulli）雅各布·伯努利，1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，卒于1705年8月16日。
起初按照父亲的意思学习神学，后来自学了笛卡儿《几何学》、华利斯《无穷小算术》等经典著作，兴趣也由此转向数学。
1676年开始，他先后赴荷兰、德国、英国旅行，结识了莱布尼兹、惠更斯等数学家。
1686年起，担任巴塞尔大学数学教授，直到1705年逝世。
他是莱布尼兹的好朋友，他们两人经常互相通信，交流思想.雅各布受莱布尼兹的影响极深，他专门研究了莱布尼兹的学说，并且进一步发展了莱布尼兹的学说。
（二）约翰·伯努利（Johann I Bernoulli）约翰·伯努利，1667年8月6日生于瑞士巴塞尔，卒于1748年1月1日。
年青时被父亲送去学经商，后又改研医学，于1694年获医学博士学位。
由于受莱布尼兹的影响，又转向数学研究。
他与其兄雅各布都是莱布尼兹的好朋友。
1695年成为荷兰格罗宁根大学数学教授。
8.2伯努利家族的贡献
教学重难点
重点
（1）能够掌握伯努利家族的成员都有 哪些贡献和成就. （2）能够掌握古典概型问题的解决方 法并由此解决实际生活中的古典概型问 题.
难点
（1）能够利用解决古典概型问题的方法 去解决实际的古典概型问题. （2）能够解决数学问题中的古典概型问 题的一般解决方法. （3）总结反思所学内容，同学之间编题 进行互侧互评.
想一想？
解答
(1) 一次试验中，可能出现的结果有限多 个；各种结果发生的可能性相等. 具有以上特 点的试验称为古典概型.
(2)P(A)等于事件A所含的基本事件数m 与所有基本事件总数n的比值.即P(A)=m/n
从上面的讨论 中，我们探讨了哪 些内容？有什么收 获？列举基本事件 时要注意什么呢
求古典概率计算应注意：
不可能发生
从上面的讨论之中，就引发了概率问题.
概率统计发展史：
①概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的 《论赌博的计算》 ②直到十九世纪初，拉普拉斯以《分析概率 论》作了总结，形成了古典的描述性统计学.
那么下面，我们就开始学习一下伯努利家族 的古典概型问题.
小资料
雅各布·伯努利 （Jacob Bernoulli,1645-1705）
知识回顾
必然事件
生活中，有些事件我们事先肯定它一定 会发生，这些事件称为必然事件.
不可能事件
有些事情我们能Βιβλιοθήκη 定它一定不会发生， 这些事件称为不可能事件.
不确定事件
有些事件我们事先无法肯定它会不会发 生，这些事件称为不确定事件.
概率论问题的求解
利用排列组合方法，分析问题的可能 情况，根据分析的情况一一进行讨论、解 决.
概念学习
频率
在相同条件下，进行了n次试验， 在这n次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事 件A发生的频率，并记成fn(A).
伯努利家族的故事以及重要结论
伯努利家族的故事以及重要结论
伯努利家族是一个在数学、物理和工程等领域有着卓越贡献的家族。
以下是一些关于伯努利家族的故事和重要结论：
1. 约翰·伯努利的故事：约翰·伯努利是伯努利家族的创始人，他是一名出色的数学家、物理学家和天文学家。
他的主要贡献在于微积分和概率论方面。
他是微积分学科中最早的先驱之一，也在组合数学、导数理论和微分方程等方面取得了重大的成就。
约翰·伯努利最主要的一个数学公式是幂函数的导数公式。
2. 雅各布·伯努利的故事：雅各布·伯努利是约翰·伯努利的弟弟，是瑞士数学史上最杰出的数学家之一。
他的主要贡献在于开创微积分和概率论的先河。
他将微积分从几何学的角度推广到代数学，并在四次幂理论、对数理论和无穷级数理论等方面做出了开创性工作。
雅各布·伯努利最主要的一个数学公式是伯努利数列的通项公式。
3. 丹尼尔·伯努利的故事：丹尼尔·伯努利是流体力学的奠基人之一，他提出了著名的伯努利原理，对流体力学理论的发展做出了重要贡献。
他的发现为机械设计和工程实践提供了重要的指导，成为工业革命时期工程科学的基础。
丹尼尔·伯努利最主要的一个物理公式是伯努利原理的表达式。
伯努利家族还有其他成员也对数学和物理学做出了重要的贡献，包括丹尼尔·伯努利的儿子约翰·Ⅱ·伯努利等。
他们的许多工作在科学和技术领域中都有广泛的应用，例如在航空航天、流体
动力学、电子工程等领域中都有重要的应用。
微积分中伯努利家族的贡献
微积分中伯努利家族的贡献伯努利家族是17世纪至18世纪期间微积分领域中一位重要的家族，他们的贡献对微积分的发展起到了重要的推动作用。
伯努利家族的成员们在微积分的各个领域都做出了卓越的贡献，对微积分的研究和应用产生了深远的影响。
伯努利家族的首代代表是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)，他是伯努利家族中最早研究微积分的成员。
雅各布·伯努利在微积分的发展中提出了许多重要的概念和定理，其中最为著名的是伯努利数列和伯努利方程。
伯努利数列是指一种特殊的数列，它的通项公式为B_n = -1/n+1 * ∑(k=0 to n) C_n+1/k+1 * B_k，其中C_n+1/k+1表示组合数。
伯努利数列在微积分中有广泛的应用，可以用于求解一些特殊的数列和级数，以及研究数论和代数的问题。
伯努利方程是微积分中的一类常微分方程，具有特殊的形式。
它的通常表达式为y' + P(x)y = Q(x)y^n，其中P(x)和Q(x)是已知的函数，n是常数。
伯努利方程的解析解可以通过变量代换和积分等方法求得，解析解的求解为微积分的理论奠定了重要基础。
除了雅各布·伯努利之外，伯努利家族中的其他成员也都做出了重要的贡献。
尤其是约翰·伯努利(John Bernoulli)和但尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli)兄弟俩，他们在微积分的研究中取得了许多重要的成果。
约翰·伯努利是微积分领域中的杰出数学家和物理学家，他在微积分的研究中提出了伯努利原理和伯努利定理。
伯努利原理是流体力学中的一条基本定律，用于描述沿着流体流动方向的速度和压力之间的关系。
伯努利定理则是在不可压缩流体中，沿着流线的速度和压力之间的关系。
这些定理为流体力学的研究提供了重要的理论基础。
但尼尔·伯努利是一位著名的瑞士数学家和物理学家，他在微积分的发展中做出了许多重要的贡献。
人教版高中选修(B版)3-18.2伯努利家族的贡献课程设计
人教版高中选修(B版)3-18.2伯努利家族的贡献课程设计1. 课程背景本课程是人教版高中选修(B版)物理课程中的3-18.2伯努利家族的贡献单元，旨在帮助学生掌握伯努利原理及其应用，了解伯努利家族在物理学及流体力学领域中所做的重要贡献。
2. 课程目标1.了解伯努利原理的基本概念和应用；2.掌握伯努利方程式的推导方法及应用；3.了解伯努利家族在物理学、流体力学等领域中的贡献；4.发展学生分析问题、解决问题和应用物理知识的能力。
3. 课程设计(1) 课堂导入1.引导学生观察并思考如图1的现象。
伯努利原理应用例子图1. 伯努利原理应用例子2.提问：现象出现的原因是什么？有哪些其他的类似现象？(2) 理论讲解1.讲解伯努利定理的基本概念和内容；2.讲解伯努利方程式的推导方法和应用；3.介绍伯努利家族在物理学、流体力学等领域中的贡献；4.引导学生分析并讨论伯努利方程的适用范围和限制条件。
(3) 案例分析1.提供如图2所示的流体力学问题，引导学生应用伯努利原理进行分析和解决。
流体力学问题案例图2. 流体力学问题案例2.学生自主或小组合作进行解决，教师提供指导和帮助。
3.学生展示分析过程和解决结果。
(4) 总结与拓展1.总结并回顾本节课的学习内容，重点强调伯努利原理的应用和伯努利家族在物理学中的贡献；2.提供拓展内容或者活动，如观察一些生活中和工作中的伯努利原理应用实例，进一步巩固学习成果；3.提醒学生今日课堂已结束，并留下联系方式以便学生进行反馈和答疑。
4. 课程评估本课程的评估主要通过以下方式：1.课堂参与和互动表现，包括问题思考、回答、展示和讨论等；2.案例分析报告，包括分析框架、方法、思路和结论等；3.个人或小组作业和考试，包括应用和理论型题目等。
4.学生反馈和教师评估。
5. 总结本课程以伯努利家族在物理学中的贡献为主题，以伯努利原理为核心，帮助学生掌握物理知识，并培养学生解决问题和应用知识的能力。
微积分中伯努利家族的贡献
微积分中伯努利家族的贡献伯努利家族，源自瑞士的这个家族在历史上对微积分的发展做出了重要的贡献。
他们是数学家、物理学家和工程师，通过他们的研究和工作，微积分逐渐成为了数学和物理学的基石。
以下将详细介绍伯努利家族在微积分领域的贡献。
伯努利家族中最为著名的成员是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。
他是伯努利家族的第一代，也是伯努利定理的提出者。
雅各布·伯努利在力学和几何方面做出了许多重要的贡献，但他最为人所熟知的成就是他对概率理论的研究。
他发现了伯努利试验的基本原理，即在一系列相互独立的实验中，每次实验的结果只有两种可能，成功和失败。
受到这个原理的启发，他提出了现在被称为伯努利分布的概率模型。
这个模型是概率论和统计学的基础，在各个领域都有广泛的应用。
雅各布·伯努利的弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli）是伯努利家族的第二代。
他在微积分的发展中发挥了重要的作用。
约翰·伯努利学习了他哥哥的概率理论，并进一步发展了微积分的方法和应用。
他在微积分中引入了和差商的概念，并提出了著名的伯努利数列。
他还研究了一类特殊的微分方程，这类方程被称为伯努利微分方程，并且提出了解它们的方法。
伯努利家族的第三代成员丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）是伯努利家族中最杰出的成员之一。
他是一位多产的数学家和物理学家，在微积分和流体力学方面都取得了巨大的成就。
丹尼尔·伯努利发展了流体力学的基本原理，并提出了著名的伯努利原理。
这个原理描述了流体在不同高度和速度下的压力变化关系，对流体动力学的研究产生了重大影响。
此外，伯努利家族还有其他突出的成员，如尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli）、丹尼尔的曾孙约翰·伯努利（Johann Bernoulli）和丹尼尔的儿子约翰·约瑟夫·伯努利（Johann Joseph Bernoulli）等人。
3 伯努利家族
丹尼尔开始学习哲学和逻辑学，并在1715年获得学
士学位，1716年获得艺术硕士学位．
1723年、丹尼尔到威尼斯旅行，1724年他在威尼斯发 表了他的《数学练习》(Exercitationes mathematicae)， 引起许多人的注意，并被邀请到彼得堡科学院工 作．1725年他回到巴塞尔．之后他又与哥哥尼古拉第二
一起接受了彼得堡科学院的邀请，到彼得堡科学院工
作．在彼得堡的8年间(1725—1733)，他被任命为生理 学院士和数学院士．1727年他与L.欧拉(Euler)一起工作，
起初欧拉作为丹尼尔的助手，后来接替了丹尼尔的数学
院士职位．这期间丹尼尔讲授医学、力学、物理学，做 出了许多显露他富有创造性才能的工作．
术通信．
丹尼尔· 伯努利的研究领域极为广泛，他的工作几
乎对当时的数学和物理学的研究前沿的问题都有所涉 及． 在纯数学方面，他的工作涉及到代数、微积分、级数 理论、微分方程、概率论等方面， 但是他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物 理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，他被推崇 为数学物理方法的奠基人．
伯努利家族 （Bernoulli family）
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伯努利家族（Bernoulli family）
雅各布，数学家。
被公认的概率论的先驱之一。他是最早使用“积 分”这个术语的人，也是较早使用极坐标系的数 学家之一。还较早阐明拉随着试验次数的增加， 频率稳定在概率附近。他研究了悬链线，还确定 了等时曲线的方程。
学术成就： • 1691年，解决了雅格布提出的关于悬链线的问题。这篇论 文的发表，使他加入了C．惠更斯，莱布尼兹和牛顿 (Newton)等数学家的行列。 • 1691年，约翰到达巴黎会见了洛比达，并于1691—1692年 间为其讲授微积分。 • 1691—1692年间，约翰写了世界上第一本关于微积分的 教科书。 • 微积分学 除一般的代数函数外，他还引入了超越函数， 即三角函数、对数函数、指数函数、变量的无理数次幂函 数及某些用积分表达的函数。指出对数函数是指数函数的 反函数。 • 约翰还提出了现在微积分中的一个著名定理——洛比达定 理(或法则)，这个定理是他的学生洛比达编写微积分教材 《无穷小分析》中引入的，后称为洛比达法则。这个法则 实际上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的。
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雅各布·贝努利在数学上的贡献涉及微积分、 微分方程、无穷级数求和、解析几何、概率 论以及变分法等领域。 雅各布·伯努利对 数学的最突出的贡献是在概率论和变分法这 两个领域中。 他在概率论方面的工作成果 包含在他的论文《推测的艺术》之中。在这 篇著作里，他对概率论作出了若干重要的贡 献，其中包括现今称为大数定律的发现。
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最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉 心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开 始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍 然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对 数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极 点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线， 以及与所有这些反射线相切的曲线(回光线) 都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟 在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓 碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”， 用以象征死后永生不朽。
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该论文也记载了雅各布·伯努利论述排列组 合的工作。贝努利家族中的人总是喜欢在学 术问题上争执抗衡。在寻找最速降线，即在 重力的单独作用下一质点通过两定点的最短 路径的问题上，雅各布·伯努利和他的弟弟 约翰·伯努利就曾有过激烈的争论。而这一 场严肃辩论的结果就诞生了变分法。除此之 外，雅各布·伯努利在悬链线的研究中也作 出过重要贡献，他还把这方面的成果用到了 桥梁的设计之中。
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伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体。 伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究， 以《流体动力学》(1738)一书著称于世，书 中提出流体力学的一个定理，反映了理想流 体(不可压缩、不计粘性的流体)中能量守恒 定律。这个定理和相应的公式称为伯努利定 理和伯努利公式。1782年3月17日，丹尼尔 伯努利在瑞土巴塞尔去世。
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1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士； 1701年被柏林科学协会(后为柏林科学院)接 纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相 联系。例如悬链线问题(1690年)，曲率半径 公式(1694年)，“伯努利双纽线”(1694年)， “伯努利微分方程”(1695年)，“等周问 题”(1700年)等。
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值得一提的是，伯努利家族是一个数学家辈 出的家族。 除了雅各布·伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努利家族共产生过11位数 学家。其中比较著名的还有他的弟弟约 翰·伯努利(1667 - 1748)和侄子丹尼 尔·伯努利(1700 - 1782，在概率论中引入 正态分布误差理论，发表了第一个正态分布 表)。雅各布·伯努利是科学世家伯努利家 族中第一位以数学研究成名的人。
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雅各布·伯努利1654年12月27日生于瑞士巴塞 尔，1705年8月16日卒于同地.。雅各布 · 伯 努利出身于一个商人世家。他毕业于巴塞尔大 学，1671年获艺术硕士学位，后来遵照父亲的 意愿又取得神学硕士学位，但他却不顾父亲的 反对，自学了数学和天文学。雅各布 ·伯努 利在1678年和1681年两次遍游欧洲学习旅行， 使他接触了许多数学家和科学家，丰习
1682年他重返巴塞尔，开始教授力学。1687 年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授。至 逝世，他一直执掌着巴塞尔大学的数学教席。 除进行数学研究工作外，他还广交学友，所 写书信卷帙浩繁，是当时欧洲科学界一位颇 有影响的人物。
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1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞 尔，毕业于巴塞尔大学，1671年17岁时获艺 术硕士学位。这里的艺术指“自由艺术”， 包括算术、几何学、天文学、数理音乐和文 法、修辞、雄辩术共7大门类。遵照父亲的 愿望，他于1676年22岁时又取得了神学硕士 学位。然而，他也违背父亲的意愿，自学了 数学和天文学。1676年，他到日内瓦做家庭 教师。从1677年起，他开始在那里写内容丰 富的《沉思录》。
伯努利家族 的贡献
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雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli,16541705)，伯努利家族代表人物之一，瑞士数学 家。被公认的概率论的先驱之一。他是最早使 用“积分”这个术语的人，也是较早使用极坐
标系的数学家之一。还较 早阐明随着试验次数的增 加，频率稳定在概率附近。 他还研究了悬链线，还确 定了等时曲线的方程。概 率论中的伯努利试验与大 数定理也是他提出来的。
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雅各布对数学最重大的贡献是在概率论研究 方面。他从1685年起发表关于赌博游戏中输 赢次数问题的论文，后来写成巨著《猜度 术》，这本书在他死后8年，即1713年才得 以出版。1726年，伯努利通过无数次实验， 发现了“边界层表面效应”：流体速度加快 时。物体与流体接触的界面上的压力会减小， 反之压力会增加。为纪念这位科学家的贡献， 这一发现被称为“伯努利效应”。
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1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲 率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开 始。雅各布·伯努利和他弟弟约翰·伯努利 在发展和传播当时刚由牛顿(Newton)和莱布 尼茨(Leibniz)发明的微积分学中起了重要 的作用，对微积分的创建都有重要贡献。雅 各布·伯努利对微积分学的特殊贡献在于， 他指明了应当怎样把这一技术运用到应用数 学的广阔领域中去，“积分”一词也是1690 年他首先使用的。
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1994年第22届国际数学家大会在瑞士的苏黎 世召开，瑞士邮政发行的纪念邮票的邮票图 案是雅各布·伯努利的头像，以他名字命名 的大数定律及大数定律的几何示意图。伯努 利家族是瑞士的一个曾产生过11位科学家的 家族，雅可比·伯努利是其中重要的一员， 在数学方面取得了许多重大成果。 例如:他 曾对微积分的发展作出了重要贡献；为常微 分方程的积分法奠定理论基础；在研究曲线 问题方面，他提出了一系列新概念；他创立 了变分法；他还是概率论的早期研究者和奠 基人。
谢 谢！
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雅各布·伯努利一生最有创造力的著作就是 1713年出版的《猜度术》，是组合数学及概 率论史的一件大事，他在这部著作中给出的 伯努利数有很多应用。提出了概率论中的 “伯努利定理”，这是大数定律的最早形式。 由于伯努利兄弟在科学问题上的过于激烈的 争论，致使双方的家庭也被卷入，以至于雅 各布·伯努利死后，他的《猜度术》手稿被 他的遗孀和儿子在外藏匿多年，直到1713年 才得以出版，几乎使这部经典著作的价值受 到损害。
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1678年和1681年，雅各布·伯努利两次外出 旅行学习，到过法国、荷兰、英国和德国， 接触和交往了许德、玻意耳、胡克、惠更斯 等科学家，写有关于彗星理论(1682年)、重 力理论(1683年)方面的科技文章。1687年， 雅各布在《教师学报》上发表数学论文《用 两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的 方法》，同年成为巴塞尔大学的数学教授， 直至1705年8月16日逝世。