概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案解析

概率经典例题及解析、近年高考题50道带答

案解析

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

【经典例题】

【例1】（2012湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A ．1- 2π

B ． 12 - 1π

C ． 2π

D ． 1π 【答案】A

【解析】令OA=1，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为S 1，围成OC 为S 2，作对称轴OD ，则过

C 点．S 2即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，S 2= π2 ( 12 )2- 12 × 12 × 12 = π-28 ．在扇形

OAD 中 S 12 为扇形面积减去三角形OAC 面积和 S 22 ， S 12 = 18 π×12- 18 - S 22 = π-216 ，S 1+S 2= π-2

4 ，扇形OAB 面积S= π

4 ，选A ．

【例2】（2013湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E(X)＝( )

A. 126125

B. 65

C. 168125

D. 75

【答案】B

【解析】X 的取值为0，1，2，3且P(X ＝0)＝27125，P(X ＝1)＝54125，P(X ＝2)＝36125，P(X ＝3)＝8

125，故E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6

5，选B.

【例3】（2012四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )

A. 14

B. 12

C. 34

D. 78

【答案】C

【解析】设第一串彩灯在通电后第x 秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y 秒闪亮，由题意⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，

0≤y ≤4，

满足条件的关系

式为－2≤x －y ≤2.

根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为1216＝3

4

.

【例4】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 【答案】0.2

【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m 的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2

【例5】（2013江苏）现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．

【答案】20

63

【解析】基本事件共有7×9＝63种，m 可以取1，3，5，7，n 可以取1，3，5，7，9.所以m ，n 都取到奇数共有20种，故所求概率为20

63

.

【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________．

【答案】1

3

【解析】当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x ≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]

1，3，由几何概型的概率公式得P ＝

3－1

3－（－3）＝1

3

.

【例7】（2013北京）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质

量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

【答案】2

13

；

12

13

；3月5日

【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．

根据题意，P(Ai)＝1

13

，且Ai∩Aj＝(i≠j)．

（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.

所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝2

13

.

（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)

＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝4

13

，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝4

13，

P(X ＝0)＝1－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝5

13.

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

5

13 4

13 4

13 故X 的期望E(X)＝0×5

13＋1×4

13＋2×4

13＝12

13

.

（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．

【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2

3，中奖

可以获得2分；方案乙的中奖率为2

5，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次

抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

【答案】11

15

；方案甲．

【解析】方法一：（1）由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为2

5，且两人中奖与否互不

影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，

则事件A 的对立事件为“X ＝5”，

因为P(X ＝5)＝23×25＝415，所以P(A)＝1－P(X ＝5)＝11

15

，