三次函数的性质

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三次函数的性质和图像

预测经济指标：通过建立三次函数模型，可以预测各种经济指标，如GDP、失业率等。
投资决策分析：在金融领域，三次函数可以用于分析投资组合的风险和回报，以及股票价格的预测。
资源分配问题：在资源分配问题中，三次函数可以用来解决如何将有限的资源分配到各个领域，以最大化整体效益的问题。
在其他领域的应用
物理学：三次函数在描述物理现象和解决物理问题中有着广泛的应用，例如振动、波动、热传导等。
经济学：三次函数在经济学中用于描述经济现象和预测经济趋势，例如预测股票价格、消费需求等。
生物学：三次函数在生物学中用于描述生长曲线、繁殖率等，例如描述细菌生长、动物繁殖等。
计算机科学：三次函数在计算机科学中用于图像处理、信号处理等，例如图像的缩放、旋转和平移等。
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三次函数与其他函数的比较
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单调性
单调递增：当导数大于0时，函数在对应区间内单调递增单调递减：当导数小于0时，函数在对应区间内单调递减单调性的判断：通过求导数并分析导数的符号来判断单调性单调性的应用：利用单调性研究函数的极值、最值等问题
极值点
极值点的定义：三次函数图像上函数值发生变化的点极值点的位置：函数图像上凹凸部分的分界点极值点的求法：通过导数求出极值点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标极值点的性质：极值点处的函数值大于或小于其邻近点的函数值
与指数函数的比较
定义域：三次函数定义域为全体实数，而指数函数定义域为正实数
函数值：三次函数在定义域内连续且可导，而指数函数在定义域内连续但不可导
单调性：三次函数可以具有单调递增、递减或先增后减等变化趋势，而指数函数在定义域内单调递增
奇偶性：三次函数既可能是奇函数也可能是偶函数，而指数函数是偶函数

三次函数的特性总结

三次函数的特性总结三次函数，也被称为三次方程或者三次方程函数，是指具有三次幂的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中，a、b、c、d为函数的系数，且a不等于0。

在本文中，我们将总结三次函数的几个主要特性。

1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。

为了求解零点，我们可以利用因式分解的方法。

对于一个三次函数f(x)，如果x=a是它的零点，那么(x-a)就是它的一个因式。

通过将函数进行因式分解，我们可以更方便地确定它的零点。

2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质：关于y轴的对称和关于原点的对称。

对于一个三次函数f(x)，如果f(-x) = f(x)，则该函数具有关于y轴的对称性。

如果f(-x) = -f(x)，则该函数具有关于原点的对称性。

3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。

函数的导数表示了函数的变化速率，导数的符号则表示了函数的增减性。

如果函数的导数大于0，那么函数在该点上升；如果导数小于0，则函数在该点下降。

其次，导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。

如果导数的二次项大于0，则函数有一个拐点，该拐点位于导数为0的点处。

4. 最值点对于三次函数而言，它可能存在最大值或最小值点。

为了找到函数的最值点，我们可以计算函数的导数，令导数为0，并求解对应的x值。

通过找到导数等于0的点，我们可以确定函数的局部最值点。

5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。

当a>0时，函数的图像开口向上，底部为最小值点；当a<0时，函数的图像开口向下，顶部为最大值点。

同时，函数可能经过x轴的一次或两次。

通过观察函数的图像特征，我们可以初步判断函数的性质和行为。

总结起来，三次函数作为一种多项式函数，具有许多独特的特性。

通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征，我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。

三次函数性质总结

三次函数的图像及性质
形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，,,,a b c d 是常数。

它具有以下性质：
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数，2()32f x ax bx c '=++，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：
x
x 0
a >0a <
2、零点个数
若方程()0f x '=的判别式0∆≤，则()f x 在R 上是单调函数，无极值，值域为(,)-∞+∞，故有唯一的零点。

若方程()0f x '=的判别式0∆>，方程有两个不等的实根1x 、2x ，它们是函数()f x 的极值点，则：
（i ）当12()()0f x f x ⋅>时，()f x 有一个零点；
x
x
x
x
（ii ）当12()()0f x f x ⋅=时，()f x 有两个零点；
x
x
x
x
（iii ）当12()()0f x f x ⋅<时，()f x 有三个零点。

x
3、对称中心
三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

其对称中心的横坐标为3b x a
=-。

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条
1条。

三次函数的性质

三次函数的性质
三次函数是指满足某一条件的函数，它是一类定义在实数域上的函数。

三次函数的标准形式则是 y=ax+bx+cx+d，其中a、b、c和d 为常数，x为变量。

下面就具体介绍下三次函数的性质。

1、首先，三次函数的最大和最小值，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数准心在x轴上有1个极值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a>0时函数有1个极小值点；当a<0时，函数准心在x轴上有1个极大值点，它位于 f(x)=ax+bx+cx+d, x=-b/(3a)这个立方根上，由此可以知道，a<0时函数有1个极大值点。

2、其次，三次函数的翻转，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减；当a<0时，曲线上的点沿着y轴正方向递减，这就是三次函数的翻转。

3、再次，三次函数的对称，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a=0时，三次函数具有对称性，即函数围绕x 轴对称。

4、最后，三次函数的拐角，由于三次函数的曲线的形状受参数a的变化影响较大，当a>0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数；当a<0时，函数的拐点处的斜率由正数变为负数，拐点处的斜率由负数变为正数，这就是三次函数的拐角。

综上所述，三次函数的形状受参数a的变化影响较大，它具有极值、翻转、对称和拐角等性质，是求解函数最重要的一类函数。

了解
三次函数的性质，对求解函数会有很大帮助。

三次函数性质总结.

三次函数性质的探索我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置．其中运用的较多的一次函数不等式性质是：()0>f在[m，n]上恒成立的充要条件x()0>fm()0>fn接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。

特别是文科。

系列探究1：从最简单的三次函数3x y =开始反思1：三次函数31y x =+的相关性质呢？反思2：三次函数31y x =-+的相关性质呢？反思3：三次函数()311y x =-+的相关性质呢？（2012天津理）（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 B （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3系列探究2：探究一般三次函数)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 的性质：先求导2()32(0)f x ax bx c a '=++>1．单调性：（1）若22120b ac =-≤△()，此时函数()f x 在R 上是增函数；（2）若22120b ac =->△()，令2()320f x ax bx c '=++=两根为12,x x 且12x x <，则()f x 在12(,),()x x -∞+∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减。

三次函数及其简单性质

26.（12 浙江理 17）设 a R ，若 x 0 时，均有[(a 1)x 1](x2 ax 1) 0 ，则 a ___________.（ 3 ） 2
27（. 17
江苏理
11）已知函数
f
(x)

x3

2x
ex

1 ex
，其中 e 是自然对数的底数.若
f
(a 1)
2x, x a
②若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是_______________.（ (,1) ）
23.（15 安徽理 15）设 x3 ax b 0 ，其中 a ， b 均为实数.下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根
的是_________________.（写出所有正确条件的编号）（①③④⑤）
A. [2,10]
B. [1,8]
C. [2,2]
D. [0,9]
16.已知函数 f (x) (x a)3 3x a(a 0) 在[1, b] 上的值域为[2 2a,0] ，则 b 的取值范围是（）
A. [0,3]
B. [0,2]
C. [2，3]
D. (1,3]
17.（11 天津文 20）函数 f (x) ax3 3 x2 1(a 0) ，当 x [ 1 , 1 ] 时 f (x) 0 ，则 a 的范围是（）
不可能的是···········································································（）
A. S 1且 T 0
B. S 1且 T 1
C. S 2且 T 2
D. S 2且 T 3

三次函数的性质

三次函数的性质三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。

三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。

一、三次函数的单调性性质三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”。

二、三次函数的最值性质三次函数满足最值性质，具体来说就是三次函数在定义域内只有一个极值点，这个极值点可以是函数的极大值点也可以是函数的极小值点，用数学符号表示为“若y=f(x) 为某三次函数，则若x为函数的极值点，有f(x)=0，其中f(x) 为函数的导数”。

三、三次函数的奇偶性质三次函数满足奇偶性质，即“当x为-x，函数值也变为它的相反数，即f(-x)=-f(x)，其中f(x) 为某三次函数”。

四、三次函数的对称性质三次函数满足对称性质，具体来说就是“若f(x) 为某三次函数，且a 为某实数，若x=af(x)=0，则f(x) 与x对称，即f(x)=0 且x=-a 也成立，即f(-a)=0”。

五、三次函数的递增递减性质三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0<x1<x2，有f(x0)<f(x1)<f(x2)；若f(x)<0，则若x0<x1<x2，有f(x0)>f(x1)>f(x2)”。

综上所述，三次函数的性质多变多样，它具有单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质和递增递减性质，并且它们之间也有着相互联系。

所以要想理解三次函数这一重要的数学函数，就需要全面掌握它的这些性质。

三次函数在数学和科学上有着重要的应用，例如在数学归纳法中，通过分析三次函数的性质，可以更加有效地解决数学问题；在科学研究中，三次函数也可用来拟合一些曲线，从而进行有效的科学实验。

高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用

三次函数的图像与性质及应用一. 基本命题原理对于三次函数而言，其导函数为一个二次函数，那么根据其导函数的基本性质，可将三次函数的图象和性质梳理如下： 1.根的个数（0>a ）.对于三次函数，其导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则恰有一个实根；（2）若,且，则0)(=x f 恰有一个实根；（3）若,且，则0)(=x f 有两个不相等的实根；（4）若,且，则0)(=x f 有三个不相等的实根.注：由图像可知：①0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴只相交一次，即)(x f 在R 上为单调函数（或两极值同号），所以032≤−ac b （或032>−ac b ，且0)()(21>⋅x f x f ）.②0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以032>−ac b ，且0)()(21=⋅x f x f .③0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与x 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.故032>−ac b 且0)()(21<⋅x f x f .)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f )0(23)(2'≠++=a c bx ax x f ()0f x =d cx bx ax x f +++=23)()0(23)('2≠++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 0)(=x f 032>−ac b 0)()(21>⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21=⋅x f x f 032>−ac b 0)()(21<⋅x f xf2.极值情况：三次函数（0>a ）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：△=，（1）若，则)(x f 在),(+∞−∞上为增函数；（2）若，则)(x f 在和上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(412422ac b ac b −=−，（1）当0≤∆ 即032≤−ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立，即)(x f 在),(+∞−∞为增函数.（2）当0>∆ 即032>−ac b 时，解方程0)('=x f ，得由0)('>x f 得1x x <或2x x >，)(x f 在),(1x −∞和),(2+∞x 上为增函数.由0)('<x f 得21x x x <<，)(x f 在),(21x x 上为减函数.总结以上得到结论:三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0>a ）（1）若032≤−ac b ，则)(x f 在R 上无极值；（2）若032>−ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值.d cx bx ax x f +++=23)()0(23)(2'>++=a c bx ax x f )3(412422ac b ac b −=−032≤−ac b 032>−ac b ),(1x −∞),(2+∞x aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=aacb b x a ac b b x 33,332221−+−=−−−=3.对称中心三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为点))3(,3(abf a b f −−，该点是三次函数的拐点，此点的横坐标也是二阶导数的零点.4.三次方程根与系数得关系（1）已知实系数多项式32()x ax bx cx d ϕ=+++有三个根,设为123,,.x x x123122331123,,.b c dx x x x x x x x x x x x a a a++=−++==−（2）由三次方程根与系数的关系：32()()()()().x a x b x c x a b c x ab bc ca x abc +++=+++++++5.对称中心处的切线拐点是函数凸凹性发生转换的点，即由凸转凹，或者由凹转凸，即0)(0''=x f ，当0x x <时，0)(''<x f 或0)(''>x f ，当0x x >时，0)(''>x f 或0)(''<x f .如图，点A 为函数)(x f 的拐点，做点A 处的切线，可以看到，具有单个拐点的函数)(x f y =可以看作是1个凸函数和1个凹函数通过拐点进行缝合，它们在缝合点处具有相同的切线l ，这条切线l 将平面分别两个半平面，一半包含一个凸函数，另一半包含一个凹函数二．典例应用★应用1.函数的性质考察.例 2.已知曲线3()3f x x x λ=−+在点(,())A m f m 处的切线与曲线的另外一个交点为,B P 为线段AB 的中点,O 为坐标原点.（1）求()f x 的极小值并讨论()f x 的奇偶性.（2）当函数()f x 为奇函数时,直线OP 的斜率记为k ,若34k −,求实数m 的取值范围. 解析：（1）2()333(1)(1)f x x x x '=−=+−，当11x −<<时,()0f x '<；当1x >时，()0f x '>.当0λ=时3()3f x x x =−,显然3()3()f x x x f x −=−+=−，所以()f x 为奇函数.当0λ≠时(1)2,(1)2f f λλ−=+=−+，显然(1)(1)f f −≠. 且(1)(1)20f f λ−+=≠，所以()f x 为非奇非偶函数.（2）2()33f x x '=−,所以曲线在点(,())A m f m 处的切线方程为()()32333()y m m m x m λ−−+=−−，其与原曲线方程33y x x λ=−+，联立化简得:2()(2)0x m x m −+=.从而()32,86(0)B m m m m λ−−++≠.所以3732,22m m m P λ⎛⎫−++− ⎪⎝⎭,3732m m k m λ−−=.由于(0,2),18m k ∀∈；即当(0,2)m ∈时，都有32721m m λ−.令3()721h m m m =−,则2()212121(1)(1)h m m m m '=−=+−，易知当01m <<时,()0h m '<；当12m <<时,()0h m '>.即()h m 在(0,1)上递减，在(1,2)上递增，所以当(0,2)m ∈时,min ()(1)14h m h ==−，所以2147λλ−⇔−，从而实数λ的取值范国为(,7]−∞−. 注：可以看到，切点的横坐标恰好便是方程①的二重根.例3.（切割线定理）如果我们将上述的内容再结合三次函数韦达定理，就可以得到更多有趣的结论.如图，过切点A ))(,(A A x f x 的切线与三次函数)(x f y =的图象交于B 点，同时，过))(,(00x f x 的割线AD 与三次函数)(x f y =的图象交于C A D ,,三点. 我们有以下结论：三次函数切割线定理. （1）abx x B A −=+2；（2）D C B A x x x x +=+；（3）A F E x x x 2=+.证明：显然，方程①整理可得：0)())((000'23=+−−+++x f x x x f d cx bx ax .结合上述重根个数定理以及韦达定理可得：abx x B A −=+2，结论（1）证毕. （2）设直线AD 的方程为m kx y +=，代入)(x f y =的表达式结合韦达定理可得：abx x x D C A −=++,再联立a b x x B A −=+2，可证得：D C B A x x x x +=+.（3）同理，如图a bx x x E E B −=++，再联立a b x x B A −=+2，可得：A F E x x x 2=+.练习1.（2016年天津卷）设函数R b a b ax x x f ∈−−−=,,)1()(3. （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 存在极值点0x x =，且)()(10x f x f =，其中10x x ≠，求证：3201=+x x . 解析：（2）过极值点0x x =做函数)(x f 图象的切线)(0x f y =，其与)(x f y =交点横坐标为1x x =. 将函数b ax x x f −−−=3)1()(展开可得：)1()3(3)(23+−−+−=b x a x x x f 由上述切割线定理可知：3201=+x x ，证毕.练习2. 下列关于三次函数32()(0)()f x ax bx cx d a x R =+++≠∈叙述正确的是（） ①函数()f x 的图象一定是中心对称图形； ②函数()f x 可能只有一个极值点； ③当03bx a≠−时，()f x 在0x x =处的切线与函数()y f x =的图象有且仅有两个交点； ④当03bx a≠−时，则过点()()00,x f x 的切线可能有一条或者三条． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④由上述结论易得：A.★应用2.三次函数的切线个数例4．已知函数()33f x x x =−．（1）求()f x 在区间[]()0,0m m >上的最大值和最小值；（2）在曲线2yx 上是否存在点P ，使得过点P 可作三条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．解析：（2）假设存在符合条件的点()2,P a a，切点设为()300,3x xx −.所以，根据导数几何意义可得：()2300200333a x x x a x −−=−−即322002330x ax a a −++=①故问题转化为关于0x 的方程①存在三个不同实根．令()322233g x x ax a a =−++，则()()2666g x x ax x x a '=−=−；当0a =时，()260g x x ='≥，()g x 单调递增，不合题意；当0a >时，易知()g x 在(),0−∞单调递增，在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增，从而()()000g g a ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即2323030a a a a a ⎧+>⎨−++<⎩解得：a >0a <时，易知()g x 在(),a −∞单调递增，在(),0a 单调递减，在()0,+∞单调递增从而()()000g a g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，即3223030a a a a a ⎧−++>⎨+<⎩解得：3a −<<，综上，存在符合条件的点()2,P a a，其横坐标的取值范围为⎛⎫−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注.三次函数的切线条数是三次函数中典型应用之一，其实质就是在讨论三次方程根的个数，是一类非常典型的函数与方程综合问题，颇受命题人青睐.★应用3.三次方程的根与韦达定理同样是2020年全国三卷23题，不等式选做题，依然以三次方程根与系数的关系命制而成，下面予以分析，希望各位读者在高三备考时重视对三次方程根与系数关系的认识程度，有备无患！例5．设直线y t =与曲线()23C y x x =−：的三个交点分别为()()()A a t B b t C c t ，，，，，，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()04，；②222a b c ++为定值；③6a b c ++=. 其中正确结论的为解析：设()()232369y f x x x x x x ==−=−+，则()23129f x x x '=+-，令()0f x '=，解得：1x =或3x =；当1x <或3x >时，0fx，当13x <<时，()0f x '<；∴()f x 在)1,(−∞上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；当1x =时，()f x 取得极大值()14f =，当3x =时，()f x 取得极小值()30f =；作出函数()f x 的图象如图所示：∵直线y t =与曲线()23C y x x =−：有三个交点，由图象知04t ＜＜. 令()()232369g x x x t x x x t =−=+---，则a b c ，，是()0g x =的三个实根．∴()()()3269x x x t x a x b x c +=-----，即()()323269x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，∴6a b c ++=，9ab bc ac ++=，abc t =，①③正确；∴()()2222218a b c a b c ab bc ac ++=++++=-，∴②正确；综上，正确的命题序号是①②③．故答案为：①②③．★应用4.三次方程根的分布下面这道题目是2020年三卷的导数压轴题，其实质考察了三次函数的零点分布.但其却具有非常丰厚的数学背景，即三次方程根的三角形式，也是此题的命题原理.为此，此题先用函数思想求解，再给出其命题背景.例6.（2020全国3卷）设函数c bx x x f ++=3)(，曲线)(x f y =在点))21(,21(f 处的切线与y 轴垂直. （1）求b ；（2）若)(x f 有一个绝对值不大于1的零点，证明:)(x f 所有的零点的绝对值都不大于1.解析：（1）因为'2()3f x x b =+，由题意，'1()02f =，即21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则34b =−.（2）由（1）可得33()4f x x x c =−+，故'2311()33()()422f x x x x =−=+−，令'()0f x >，得12x >或12x <−；令'()0f x <，得1122x −<<，所以()f x 在11(,)22−上单调递减，在1(,)2−∞−，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c −=−−=+=−=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f −>或(1)0f <，即14c >或14c <−.当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−>−=+>=−>=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=−++=−<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c −−上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)−∞−上存在唯一一个零点，在(1,)−+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <−时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c −=−<−=+<=−<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c −=++=−>，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c −上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)−∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1.应用5.三次函数的拐点切线例7.已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内各有一个极值点. （1）求24a b −的最大值；（2）当248a b −=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式. 解析：（1）因为函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个极值点，所以b ax x x f ++='2)(在区间[)(]1,1,1,3−内分别有一个实根，设两实根为1x ，2x （1x <2x ），则b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，于是4402≤−<b a ，16402≤−<b a ，且当11−=x ，32=x ，即2−=a ，3−=b 时等号成立，故24a b −的最大值是16（2）由b a f ++='1)1(知)(x f 在点()()1,1A f 处的切线l 的方程是)1)(1()1(−'=−x f f y ，即a x b a y 2132)1(−−++=，因为切线l 在点A 处穿过()y f x =的图象所以]2132)1[()()(a x b a x f x g −−++−=在1=x 两边附近的函数值异号，则1=x 不是)(x g 的极值点，而a x b a bx ax x x g 2132)1(2131)(23++++−++=，且)1)(1(1)1()(22a x x a ax xb a b ax x x g ++−=−−+=++−++='，若a −−≠11，则1=x 和a x −−=1都是)(x g 的极值点，所以a −−=11，即2−=a ，又由248a b −=得1−=b ，故x x x x f −−=2331)(.五．习题演练习题1．已知函数()()23f x x x =−，若()()()f a f b f c ==，其中a b c <<，则（）A ．12a <<B ．6a b c ++=C ．2a b +>D ．abc 的取值范围是()0,4 解析：因为()()23f x x x =−，所以()231293(3)(1)f x x x x x =−=−−'+，令()0f x '=，解得：1x =或3x =，当0f x 时，3x >或1x <，所以()f x 单调递增区间为(),1−∞和()3,+∞；当()0f x '<时，13x <<，所以()f x 单调递减区间为()1,3；且(3)0f =，(1)(4)4f f ==，如图：设()()()f a f b f c t ===，则04t <<，0134a b c <<<<<<，故选项A 错误；又()()()()f x t x a x b x b −=−−−，所以()23()()()x x t x a x b x c −−=−−−，即323269()()x x x t x a b c x ab ac bc x abc −+−=−+++++−，对照系数得6a b c ++=，故选项B 正确；(0,4)abc t =∈，故选项D 正确；因为34c <<，所以36()4a b <−+<，解得23a b <+<，故选项C 正确，综上，正确的选项为BCD.故选：BCD习题2.已知函数()313f x x tx t =++．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有三个不同的零点1x 、2x 、3x ,求t 的取值范围,并证明：123x x x ++<解析：（1）2()f x x t =+'①当0t 时,()0f x ',则()f x 在R 上单调递增,无递减区间；②当0t <时, ()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增（2）由（1）知函数f (x )有三个零点,则0t <∵()f x 在(上单调递减,在(,)∞∞−+上单调递增∴()f x 的极大值为2(3f t =−且极大值大于0,极小值为23f t =+∵()f x 有三个不同的零点123,,x x x ,∴203f t =+< 解得94t <−,故t 的取值范围为9,4⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭．又∵(0)0f t =<,当x →+∞时,有()f x →+∞,当x →−∞时,有()f x →−∞．∴设123x x x <<,由零点存在性定理知1230x x x <<<． ∴12x x +<又∵31233f t t t =++=−(0f => 3x <<因此123x x x ++习题3已知函数()3134f x x ax =−+,()lng x x =−．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）用{}min ,m n 表示,m n 中较小者,记函数()()(){}min ,h x f x g x =,（0x >）．若函数()h x 在0,上恰有3个零点,求实数a 的取值范围．解析：（1）()3134f x x ax =−+,x ∈R ,()233f x x a '=−当0a ≤时,0f x ,()f x 在R 上为单调递增，当0a >时,()(3f x x x '=,令0f x ,得x <x ()f x 单调递增令0f x ,得x <()f x 单调递减，综上：当0a ≤时,()f x 在(),−∞+∞为增函数当0a >时,()f x 在(,−∞和)+∞为增函数,在(为减函数（2）当(1,)x ∈+∞时,()ln 0g x x =−<,从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<,∴()h x 在（1,+∞）无零点.当x =1时,若512a ≤,则5(1)304f a =−≥,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===,故x =1是()h x 的零点；若512a >,则5(1)304f a =−<,(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时,()ln 0g x x =−>,所以只需考虑()f x 在)1,0(的零点个数.（ⅰ）若0a ≤或1a ≥,则()2()3f x x a '=−在)1,0(无零点,故()f x 在)1,0(单调,而1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当1a ≥时,()f x 在)1,0(有一个零点；当0a ≤时,()f x 在)1,0(无零点.（ⅱ）若01a <<,则()f x 在）单调递减,在单调递增,故当x ,()f x 取的最小值,最小值为124f =−.①若f ＞0,即0＜a ＜14,()f x 在)1,0(无零点.②若f =0,即14a =,则()f x 在)1,0(有唯一零点；③若f ＜0,即114a <<,由于1(0)4f =,5(1)34f a =−,所以当15412a <<时,()f x 在)1,0(有两个零点；当5112a <<时,()f x 在)1,0(有一个零点. 综上,当14a <或512a >时,()h x 由一个零点；当14a =或512a =时,()h x 有两个零点；当15412a <<时,()h x 有三个零点. 所以a 的取值范围是15,412⎛⎫ ⎪⎝⎭习题4．已知函数()()()32111032f x x a x ax a =+−−>．（1）求函数f （x ）的极值；（2）当a ＞1时，记f （x ）在区间[－1,2]的最大值为M ，最小值为m ．已知12,33M m ⎛⎫ ⎪⎝+⎭∈．设f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，求()122331f x x x x x x ++的取值范围．解析：（1）()()()()211f x x a x a x x a '=+−−=−+，令0f x ，解得x a <−或1x >，令()0f x '<，解得1a x −<<，所以()f x 在(),a −∞−，()1,+∞上单调递增，在(),1a −上单调递减，当x a =−时取得极大值，()3322321111132262f f a a a a a a a =−=−+−+=+极大值，当1x =时取得极小值，()11111132262f f a a a ==+−−=−−极小值，所以()f x 的极大值为321162a a +，极小值为1162a −−. （2）因为1a >，所以()f x 在()1,1−上单调递减，()1,2上单调递增，()11162m f a ==−−，因为()3521263f a −=−>，()222233f a =−<，所以()35126M f a =−=−， 111352362263a a <−−+−<，解得4533a <<，设123x x x <<，令()()2111032f x x x a x a ⎡⎤=+−−=⎢⎥⎣⎦，所以20x =，313x x a =−，()()3212233193322f x x x x x x f a a a ++=−=−−， 329322y a a =−−在45,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当32934025,223a a ⎛⎫−−∈−− ⎪⎝⎭，所以()122331f x x x x x x ++的取值范围为4025,3⎛⎫−− ⎪⎝⎭.。

三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用
三次函数：性质及应用
三次函数是在数学领域中常用的函数之一，表达式常写为y=ax³+bx²+cx+d.
它是含有一个三次项的多项式函数，可以通过三次函数的性质可以得出曲线的性质。

三次函数的性质
首先，是函数的解析法则，例如，y=ax³+bx²+cx+d，其中a不等于0。

可以使
用贝塞尔公式将它补充完整，这样可以求出图形函数的所有有限点。

从图像上看，三次函数是一条弯曲的曲线，有一个极点。

极点可以通过使用微分计算法则求出，即可以使用f'(x)=0来求解出极点。

三次函数的应用
三次函数在日常生活中被很多人所使用，从制造汽车和飞机，到设计微型机器人，无不是这一函数的付出。

比如说道路的建造，一般采用的是“S形”的三次函数，它提高了由起点向终点的安全性和舒适性，同时可以增加隧道的速度、减少改变方向时的磨擦，从而节省能源和改善和加快交通流量。

此外，三次函数还广泛应用于无损检测与机器视觉技术，利用这种技术可以实
现精确检测及定位，应用广泛。

三次函数是一种高级函数形式，它不仅可以用来解决各种数学问题，而且在实
践中也有着广阔的用途，它在帮助社会有所作为的过程中也发挥了重要的作用。

三次函数的性质

三次函数的性质2015年11月13日意琦行数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解（1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1）根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。

三次函数性质大全

三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一三次函数的图象及单调性，专题二三次函数的对称性，专题三三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。

专题一三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象（先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。

三次函数性质总结

三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数，一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。

以下是关于三次函数的性质的总结：1.对称性：三次函数一般具有对称性，即关于y轴对称。

这是因为三次函数中只有偶次次项，所以具有对称性。

这可以通过函数图像来观察，如果一条曲线对称于y轴，则表示这个函数是一个三次函数。

2.零点：三次函数可能有一个或多个零点。

如果函数的零点为x=a，那么乘以(x-a)后，函数会变为二次函数，这是因为函数中的三次项会被消去，变成了二次项。

因此，三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。

3.单调性：三次函数的单调性与系数a有关。

当a>0时，三次函数是上凹的，即函数的曲线开口向上，为增函数；当a<0时，三次函数是下凹的，即函数的曲线开口向下，为减函数。

4.驻点：三次函数的导数是二次函数，因此导数为零的点称为驻点。

三次函数的驻点有最大值或最小值，可以通过求导数来求得驻点的位置。

5. 渐近线：三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。

水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于一些常数；垂直渐近线是指当x等于一些常数时，函数值趋于正无穷或负无穷；斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时，函数值趋于ax^2+bx+c。

6.奇偶性：三次函数的奇偶性与系数b有关。

当b为奇数时，三次函数是奇函数，对称于原点，函数图像关于原点对称；当b为偶数时，三次函数是偶函数，对称于y轴，函数图像关于y轴对称。

7.映射性：三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上，因为三次函数没有任何限制，所以可以取得任意的y值。

8.随着函数系数的变化，函数图象会发生相应的形变。

例如，当a的绝对值变大时，函数的曲线会变得更陡峭；当b的绝对值变大时，函数的曲线会向原点靠拢；当c的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移；当d 的绝对值变大时，函数的曲线会上下平移。

总之，三次函数具有丰富的性质和特点，可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。

三次函数性质

表示04年高考解答题出现导数的省、市
表示04年高考解答题出现三次函数的省、市
三次函数重要，地球人都知道！
三次函数的性质以及在高考中的应用
三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。
b b 2 3ac x1 3a
b b 2 3ac x2 3a
a>0
a<0
Δ >0
Δ ≤0
Δ >0
Δ ≤0
x x1 x2
2
x x0 x1 x2
2
x x0
x
b b 3ac b b 3ac x1 x2 3a 3a
由此图得函数极值与某范围内的最值
函数的对称性函数y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心是
(3)两边取以2为底的对数得
log 2 2x 4x 2 1 x 2 1 ( x 2 1) 2 1 ( x 1) 2
即 log 2 (2 x 4 x 2 1) log 2 ( x 2 1 ( x 2 1) 2 1) x 2 2 x 1 即 log 2 (2 x 4 x 2 1) 2 x log 2 ( x 2 1 ( x 2 1) 2 1) ( x 2 1) 构造函数f ( x) log 2 ( x x 2 1) x
b b , f ( ) 3a 3a
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠

三次函数图像与性质

2016年9月9日星期五1、三次函数的概念()()()32220.32,412.f x ax bx cx d a f x ax bx c b ac=+++≠′=++∆=−形如函数叫做把叫做三次函数三次函导函数定的义：定数义判别式：y y()()()()()()()()()()1212121112121,,0,0,0,0.x x x x f x a x x x x f x x x x a x x x x x x x x a ′<∴=−−−∞∴<−−>−<−<∴>Q 解：、分别为极大值和极小值点，且在，为增函数，当时，bD.( B( B()()()32.33121011163A.13 B.14 C.15 D 4.16f x x ax bx x y a b =−++−=−−=已知函数的图像与直线相切于点，，则小结函数三次函数有以作业2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值, 曲线y=f(x)过原点和点P(-1, 2). 若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45°, 且倾角为钝角. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[2m-1, m+1]递增, 求m 的取值范围.1.设函数f （x ）=x 3-x 2+（a+1)x+1，其中a 为实数（Ⅰ）已知函数f （x ）在x=1处取得极值，求a 的（Ⅱ）已知不等式f (x)>x 2-x-a+1对任意a ∈（0，+∞）都成立，求实数x 的取值范围。

2.a 为何值时，方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个实根、三个实根，有没有可能无实根？2x。

三次函数的性质及应用

三次函数的性质及应用
1. 三次函数的定义
三次函数是指函数的最高次幂为3的代数函数，它的一般形式
为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数。

2. 三次函数的性质
- 零点：三次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。

由于三次函数
是三次方程，理论上有三个实根或复根。

零点可以通过求解方程
f(x) = 0得到。

- 极值点：三次函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。

三次函数的极值点可能在实数轴上存在，也可能不存在。

可以通过
求解f'(x) = 0找到极值点。

- 函数图像：三次函数的图像通常呈现出一条平滑的曲线，称
为三次曲线。

根据三次函数的系数的取值范围不同，可以得到不同
形状的曲线，如上升曲线、下降曲线、拐点等。

3. 三次函数的应用
三次函数的性质在数学和实际问题中都有广泛应用，以下是一
些常见的应用领域：
- 物理学：三次函数可以用来描述物体的运动轨迹，如抛体运动、自由落体、弹性碰撞等。

- 经济学：三次函数可以用来描述经济模型中的供需曲线、成
本曲线等。

- 工程学：三次函数可以用来描述工程中的曲线形状，如桥梁
设计、道路设计等。

- 生物学：三次函数可以用来描述生物学中的生长曲线、代谢
曲线等。

三次函数的性质和应用对于理解和解决实际问题具有重要意义。

深入研究三次函数的数学特性和实际应用可以帮助我们更好地理解
和应用这一数学工具。

有关三次函数的五个考点

力和坚持去放飞梦想，铸就辉煌。
18
— ——河北秦皇岛市燕山大学里仁学院机械系韩新宝
归纳
f ′（x）>0，函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，此时函数 f（x）没有极值点.当 a >0 时，由 f ′（x）=0，得 x=
± 姨 a .当 x∈（-∞，- 姨 a ）时，f ′（x）>0，函数 f（x）单
解（Ⅰ）据题意有 f ′（x）=3x2-3a.
∵ 曲线 y ＝ f（x）在点（2， f（2））处与直线 y ＝ 8 相
∈ ∈ f ′（2）＝0，
3（4-a）＝0，
切，∴
整理有
解得 a ＝ 4，b＝24.
f（2）＝8.
8-6a+b＝8.
（Ⅱ）由已知有 f ′（x）=3（x2-a）（a≠0）.当 a <0 时，
y
y
y
y
x2
O
x
x1O
x
Ox
x2 O x1 x
a > 0，Δ ≤ 0 a > 0，Δ > 0 a < 0，Δ ≤ 0 a < 0，Δ > 0
性质 3：函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），x∈[m，
∈∈ ∈∈
n]，若 x0∈[m，n]，且 f ′（x0）＝0，则有 fmax（x）＝max{f（m）， f（x0 ），f（n）}，fmin（x）＝min{f（m），f（x0 ），f（n）}.
0 时，其单调递减区间是（-∞，x2]和[x1，+∞），单调递
增区间是[x2，x1]. 性质 2：函数 y = ax3+bx2+cx+d（a≠0），当 Δ≤0

三次函数的性质

三次函数的性质和图像

三次函数的特性总结

三次函数性质总结

三次函数的性质

三次函数性质总结.

三次函数及其简单性质

三次函数的性质

高考数学专题复习：三次函数图像与性质及其应用

三次函数的性质及应用

三次函数的性质

三次函数 性质大全

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