【数学】高考数学考前提醒82个问题(五)

有
年全国卷) 【例 2】(2001 年全国卷 】 若定义在区间 ( 1,0 ) 内的函数
f ( x) = log 2 a ( x + 1) 满足 f (x ) > 0 满足,
的取值范围是( ). 则 a 的取值范围是 1 1 1 (C) ,+∞ (D) (0,+∞ ) (A) 0, (B) 0, ) 2 2 2 分析及解】取特殊的底,特殊的真数进行排除. 特殊的真数进行排除 【分析及解】取特殊的底 特殊的真数进行排除 1 由此排除(B),(D); 由于对数的底 2a ≠ 1 ,则 a ≠ ,由此排除 则 由此排除 2 1 1 1 取 a = 1, x = ∈ ( 1, 0 ) , 则 f = log 2 + 1 = 1 < 0 , 不 合 2 2 2 f (x ) > 0 的要求 由此排除 的要求,由此排除 由此排除(C),因而选 因而选(A). 因而选
C O x P
Q
所有对角线都相等,则 ). 【例 3】如果凸 n 边形 F (n ≥ 4 ) 所有对角线都相等 则( 】 四边形} 五边形} (A) F ∈ {四边形 (B) F ∈ {五边形 四边形 五边形 (C) F ∈ {四边形 U {五边形 四边形} 五边形 五边形} 四边形 (D) F ∈ {边相等的多边形 U {角相等的多边形 边相等的多边形} 角相等的多边形 角相等的多边形} 边相等的多边形 【分析及解】本题直接求"所有对角线都相等的凸 n 边形 F (n ≥ 4 ) ",不容易思考,因此可以从选项入手,通过对选项的分析, ,不容易思考,因此可以从选项入手,通过对选项的分析, 找出答案.首先对四个选项进行逻辑分 首先对四个选项进行逻辑分析 找出答案 首先对四个选项进行逻辑分析. 显然,如果 四边形}正确 四边形} 五边形}也正确 显然 如果 F ∈ {四边形 正确 那么 F ∈ {四边形 U {五边形 也正确 四边形 正确,那么 四边形 五边形 也正确, 即选(A)必选 必选(C),同样 如果 F ∈ {五边形 正确 那么 F ∈ {四边形 U {五边 同样,如果 五边形}正确 四边形} 即选 必选 同样 五边形 正确,那么 四边形 五边 也正确,即选 必选(C),所以 所以(A),(B)都不正确 都不正确. 形}也正确 即选 必选 也正确 即选(B)必选 所以 都不正确 所以只需研究(C),(D). 所以只需研究 可以联想到等腰梯形, 等腰梯形的对角线都相等, 但是, 对于 D) ( ) 可以联想到等腰梯形, 等腰梯形的对角线都相等, 但是, 等腰梯形既不是边相等的多边形,也不是角相等的多边形, 等腰梯形既不是边相等的多边形,也不是角相等的多边形,有这一反 例可知, (D)不正确. 例可知, )不正确 ( 于是只能选(C). 于是只能选
辽宁卷) 【例 3】 2005 年,辽宁卷) 】 ( 上的单调函数, 已知 y = f (x ) 是定义在 R 上的单调函数,实数 x1 + λ x2 x2 + λ x1 ,β= , x1 ≠ x2 , λ ≠ 1 , a = 1+ λ 1+ λ 若 | f ( x1 ) f ( x 2 ) |<| f (α ) f ( β ) | , 则 ( ) (B) λ = 0 (C) 0 < λ < 1 (D) λ ≥ 1 (A) λ < 0 ) 分析及解】 【分析及解】因为没有给出具体的函数 y = f (x ) ,所以不能直接计 所以不能直接计 可以选取一个符合题目要求的特殊的单调函数,例如设 算,可以选取一个符合题目要求的特殊的单调函数 例如设 f ( x ) = x ,则 可以选取一个符合题目要求的特殊的单调函数 则 有
天津卷) 【例 1】 2005 年,天津卷) 】 ( 1 设 f 1 ( x) 是 函 数 f ( x) = (a x a x ) (a > 1) 的 反 函 数 , 则 使 2 f 1 ( x) > 1 成立的 x 的取值范围为( 的取值范围为( ).
a2 1 a2 1 a2 1 ,+∞) (B) (∞, ) (C) ( , a ) (D) [a,+∞) (A) ( ) ) ) ) 2a 2a 2a 2a 2a 2a 【分析及解】 因为 f 1 ( x) > 1 ,所以 f f 1 ( x ) > f (1) ,即 x > f (1) , 分析及解】 所以 即
这时并不需要计算,观察四个选项的特点 可以发现 只有(A)是 这时并不需要计算 观察四个选项的特点,可以发现 只有 是 x 大于某 观察四个选项的特点 可以发现,只有 个数的形式,而 大于某个数的形式,因此选 因此选(A). 个数的形式 而(B),(C),(D)都不是 x 大于某个数的形式 因此选 都
二.特殊化策略 在求解数学问题时,如果要证明一个问题是正确的, 在求解数学问题时,如果要证明一个问题是正确的,就要证明该 问题在所有可能的情况下都正确,但是要否定一个问题, 问题在所有可能的情况下都正确,但是要否定一个问题,则只要举出 一个反例就够了,基于这一原理,在解选择题时, 一个反例就够了,基于这一原理,在解选择题时,可以通过取一些特 殊数值,特殊点,特殊函数,特殊数列,特殊图形, 殊数值,特殊点,特殊函数,特殊数列,特殊图形,特殊位置等对选 项进行验证,从而可以否定和排除不符合题目要求的选项, 项进行验证,从而可以否定和排除不符合题目要求的选项,再根据 4 个选项中只有一个选项符合题目要求这一信息, 个选项中只有一个选项符合题目要求这一信息,就可以间接地得到符 合题目要求的选项,这是一种解选择题的特殊化策略. 合题目要求的选项,这是一种解选择题的特殊化策略 (2006 年,天津卷,理 7) 天津卷, 【例 1】 】 ( ) 的等差数列,其首项分别为 已知数列 {an } , {bn } 都是公差为 1 的等差数列 其首项分别为 a1 , b1 , 且 a1 + b1 = 5 , a1 , b1 ∈ N ,设 cn = abn ( n ∈ N ) ,则数列 {cn } 的前 10 项和等 设 则数列 ). (B) 70 (C) 85 (D) 100 (A) 55 分析及解】用特殊化策略.设 【分析及解】用特殊化策略 设 b1 = 1, 则 a1 = ab1 = 4. 从而 bn = n ,于是 于是 cn = abn = ab1 + ( bn 1) 1 = 4 + n 1 = n + 3. c1 + c2 + L + c10 = (1 + 2 + L + 10 ) + 30 = 85. 于(
2 【例 5】若点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 < 4 x0 , 就叫作点 ( x0 , y0 ) 在抛物线 】
x1 x2 1 λ x1 + λ x2 x2 + λ x1 x1 x2 < = , 1+ λ 1+ λ 1+ λ
解得 因而选(A). 即 1 λ > 1 + λ ,解得 λ < 0 ,因而选 因而选
全国卷) 【例 4】 (1993 年,全国卷 】 全国卷 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {a n } 中 , 若 a5 a6 = 9 , 则 log 3 a1 + log 3 a 2 + L + log 3 a10 = ( ). (B)10 (C) 8 (D) 2 + log 3 5 (A)12 ) 而且有多种解法.但是对于这 【分析及解】本题的直接解法并不难,而且有多种解法 但是对于这 分析及解】本题的直接解法并不难 而且有多种解法 道选择题,构造一个特殊的数列会更简单 构造一个特殊的数列会更简单. 道选择题 构造一个特殊的数列会更简单 考虑到四个选项的值都是唯一的,并且只有一个是正确的 并且只有一个是正确的,所以可 考虑到四个选项的值都是唯一的 并且只有一个是正确的 所以可 以构造一个符合题目要求的特殊数列. 以构造一个符合题目要求的特殊数列 各项均为正数的等比数列,且 由于 {a n } 是各项均为正数的等比数列 且 a5 a 6 = 9 ,可以构造一个常 可以构造一个常 数列: 此时,原式 因此选(B). 数列 3,3,L ,3,L ,此时 原式 = 10 log 3 3 = 10 ,因此选 此时 因此选
l
x
R
P
P
P
O
P
O
T
O
O T
(Fra Baidu bibliotek)
(B)
(C)
(D)
上运动时, 【分析及解】对于(A) 考虑点 P 在 OT 上运动时,应为 y = x , 分析及解】对于( ) 考虑点 , 其图象是一条线段,而已知图象中没有线段,所以否定( ) 其图象是一条线段,而已知图象中没有线段,所以否定(A) ; 对于( ) 同理,应有一段的图象一条线段 一条线段, 对于(B) 同理,应有一段的图象一条线段,而已知图象中没有 , 线段,所以否定( ) 线段,所以否定(B) ; 对于( ) 点出发,沿椭圆圆周运动时, 对于(D)当点 P 从 O 点出发,沿椭圆圆周运动时,走到半个周长 的最大值,而从椭圆圆周上的点 根据已知图象, 时,根据已知图象,应达到 OP 的最大值,而从椭圆圆周上的点 P 运动 情况看, 最大,所以否定( ) 情况看,此时并不是 OP 最大,所以否定(D) ; 由以上,否定( )(B)(D) 因而选( ) ,因而选 由以上,否定(A)( )( ) 因而选(C). , , ,
高考数学 高考数学 前提醒的 考前提醒的 82 个问题
78. 解选择题要注 意什么 解选择题要注意什么 意什么? 选择题中的题干,选项和四选一的要求都是题目给出的信息 选项和四选一的要求都是题目给出的信息, ① 选择题中的题干 选项和四选一的要求都是题目给出的信息 要充分利用. 要充分利用 在解选择题时,除了用直接计算方法之外 还可以用逆 除了用直接计算方法之外,还可以用 ② 在解选择题时 除了用直接计算方法之外 还可以用 逆向 化策 略,特殊化策略,图形化策略 极限化策略,整体化策略等方法和策略 特殊化策略 图形化策略,极限化策略 整体化策略等方法和策略. 图形化策略 极限化策略 整体化策略等方法和策略 一. 逆向化策略 在解选择题时, 在解选择题时 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要 求的是重要的信息, 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息. 求的是重要的信息 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息 解题时, 盯住选项 着重通过对选项的分析,考查,验证, 盯住选项", 解题时 ,要 "盯住选项 ,着重通过对选项的分析 ,考查,验证 ,推断 进行否定或肯定,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选, 进行否定或肯定 ,或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选 ,找 到所要选择的, 符合题目要求的选项. 到所要选择的, 符合题目要求的选项. 逆向化策略与直接求解策略的解题方向相反 接求解策略的解题方向相反, 逆向化策略与直 接求解策略的解题方向相反,是充分利用题目中 的选项信息进行解题的一种策略,但是在解题时, 的选项信息进行解题的一种策略,但是在解题时,逆向化策略常常与 其他解题策略结合起来使用. 其他解题策略结合起来使用.
点出发,按逆时针方向沿周 【例 2】点 P 从 O 点出发 按逆时针方向沿周 】 的图形运动一周, 长为 l 的图形运动一周 O, P 两点的距离为 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关 系如右图 那么点 P 所 的函数关系如右图 系如右图,那么点 运动的图形是( ). 运动的图形是
R
S
y
O
l 2
为什么选(C),也可以直接推导 也可以直接推导. 为什么选 也可以直接推导 如图,设 如图 设 ∠OQP = θ , OP = x , OP = y , 圆的半 径为 r . x x , y = 2 r sin θ = 2 r sin , 则θ = 2r 2r 因此, 点出发, 因此 点 P 从 O 点出发 , 沿圆 周运动时 , OP = y 与 x 的关系为正弦函数关系 符合题设的 的关系为正弦函数关系,符合题设的 图象,故 图象 故选(C).