非齐次线性方程组的解
非齐次线性微分方程组有解的充要条件
假定对于一个含有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组而言，若n<=m, 则有：1）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均等于方程组中未知数个数n的时候，方程组有唯一解2）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等且均小于方程组中未知数个数n的时候，方程组有无穷多解3）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解（注：由于对于矩阵的秩有：max{R(A),R(B)}<=R(A,B)，故不存在其它情形）若n>m时，则按照上述讨论，4）当方程组的系数矩阵的秩与方程组增广矩阵的秩相等的时候，方程组有无穷多解5）当方程组的系数矩阵的秩小于方程组增广矩阵的秩的时候，方程组无解非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）扩展资料：非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于，即可写出含n-r个参数的通解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。
齐次线性方程组解的性质：定理1 若x是齐次线性方程组的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。
定理2 若x1,x2是齐次线性方程组的两个解，则x1+x2也是它的解。
4_6非齐次线性方程组有解的条件及解的结构
解证 对增广矩阵B进行初等变换，
方程组的增广矩阵为
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0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 B 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
例１ 求下述方程组的解 x1 x 2 x 3 x 4 x 5 7 , 3 x x 2 x x 3 x 2, 1 2 3 4 5 2 x 2 x 3 2 x 4 6 x 5 23, 8 x1 3 x 2 4 x 3 3 x 4 x 5 12.
下面讨论非齐次线性方程组与其导出组的解的关 系.
Page 2
(1)如果u1是Ax=b的一个解,v1是Ax=0的一个解,则 u1+v1也是Ax=b的解. 证: ∵ Au1=b, Av1=0 故A(u1+v1) =Au1+Av1 =b+0 =b (2)如果u1,u2是Ax=b的两个解,则u1-u2是Ax=0的解.
显然，R( A) 2, R( B ) 3,
故方程组无解．
Page 16
x1 x2 x x 3 2 例３ 证明方程组 x3 x4 x x 5 4 x5 x1 求出它的一切解．
a1 a2 a3 a4 a5 有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
由R A R B ,知方程组有解又R A 2, n r 3, .
所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
x1 x2 x3 x4 x5 7 2 x2 x3 2 x4 6 x5 23
怎么解非齐次方程得出基础解系
怎么解非齐次方程得出基础解系
非齐次线性方程组的解法和齐次线性方程组的解法不同，需要求
出特解和基础解系，基础解系也称为齐次线性方程组的解。
非齐次线性方程组解法步骤如下：
1. 求出对应的齐次线性方程组的基础解系。
首先，要求出对应的齐次线性方程组的基础解系是必须的。
因为
非齐次线性方程组的解等于其对应的齐次线性方程组的解加上特解，
特解会在后面进行求解。
设对应的齐次方程为：
Ax = 0
其中，A 表示系数矩阵，x 表示未知向量，0 表示零向量。
2. 求出非齐次线性方程组的一组特解。
将非齐次线性方程组表示为：
Ax = b
其中，b 表示非零右端向量，即非齐次线性方程组。
设 x0 为 Ax0 = b 的一组特解。
可以使用高斯消元法或矩阵求
逆法求解。
3. 求出非齐次线性方程组的通解。
使用齐次线性方程组的基础解系，以及特解来求出非齐次线性方
程组的通解，即形如：
x = x0 + c1x1 +c2 x2+...+cnxn
其中，cx 表示常数。
通过上述步骤，我们就能得到非齐次线性方程组的通解。
在确定
了特解之后，基础解系的选择可以使用高斯消元法或矩阵求逆法进行。
本文主要介绍了非齐次线性方程组的解法，包括求对应齐次方程
的基础解系和求出非齐次方程的特解，最终得到非齐次线性方程组的
通解。
掌握这些知识可以更好地解决非齐次线性方程组问题。
非齐次线性方程的解
非齐次线性方程的解
这个结论在微分方程里很好用
之前回答的可能有点啰嗦了，
直接点就是
1 非齐次线性方程组的解由特解，齐次通解构成，
2 齐次通解由基础解系和系数构成，
3 相同的基础解系对应相同的特解，
4 同一方程组的基础解系是可以相互转化的
这样两个解一减就消掉了特解
以下是之前的回答
有一个直观的方法:
可以从非齐次线性方程组通解的结构入手
x ＝特解 + 齐次通解
其中特解和齐次通解是线性无关的
而齐次通解，之所以叫通解，是因为他可以表示所有的解，只是选不同的自由变量，可能会有不同的形式（基础解系不同），但可以转化为同一个解系
所以说本质上，非齐次的特解“只有一个”
所以非齐次解k·x1 －k·x2 会消去特解，（k表示相同倍数），只剩下齐次方程组的解
再详细说明一下过程: 用非齐次通解表示x1，x2，只要用同样的齐次通解的基础解系，必然可以有相同的特解，可以消去。
补充说明:
在解方程时，我们可以发现特解是由你的齐次通解(因为它必须是线性无关的)和系数矩阵决定的，其中系数矩阵是主体条件，不会改变。
那么决定特解的因素就是齐次通解，实际上是基础解系，而同一题目有不同的基础解系，是因为选取的自由变量不同（自由变量个数＝n－r）
从以上两段论述可以看出，特解的不同本质在于选取自由变量的不同，写一下算一算就知道可以通过调整基础解系的系数ki，来将不同解系转化为同一个
（突然看到问题，手机打的，后续有空会补充形式化描述和相关例子）。
3 非齐次线性方程组
( k1 , k2 R ).
返回
x1 1 1 1 2 x 0 1 2 k1 k2 即 x3 2 0 x 1 0 4
例2. 求解方程组
1 / 2 0 . 1 / 2 0 ( k1 , k2 R).
0 1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 1 r3 r1 0 0 1 2 1 / 2
1 1 r 3 r2 2 0
1 1 0 0
11
0
2 0
0 4 1 . 0 0 1
返回
R( A) 2,
§3 非齐次线性方程组
一、非齐次线性方程组有解的充要条件 二、非齐次线性方程组的通解结构 三、非齐次线性方程组的解法
1
返回
一、非齐次线性方程组有解的充要条件
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
6
返回
二、非齐次线性方程组的通解结构
④有解, 叫相容. ④ 可写成: 相应的齐次方程组: AX = b AX = 0 ⑥ ⑦
性质3. 若1 ,2是⑥的解, 则1 2是⑦的解. 性质4. 若 是⑥的解, 是⑦的解, 则 是⑥的解. 定理: 若 是 ⑥的一个解, 则⑥的任一个解 X总可写成: X . 是⑦的解.
2
返回
则方程组④可写成:
x1 1 x2 2 xn n b
④的系数阵:
⑤
a11 A am 1
a12 am 2
a1n amn
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组解的判定
非齐次线性方程组是一类常用的数学模型，它们有不同的解法，以决定一组参数的唯一值。
本文将讨论非齐次线性方程组的解的判定，其中包括非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值等。
首先，从非齐次线性方程组判定解存在性来看，它有两种情况：第一种情况是非齐次线性方程组存在一个可行解，有无数多个，那么它便是有解的方程组; 第二种情况是方程组中存在一个或多个约束条件，如果约束条件得不到满足，则此方程组就是无解的方程组。
其次，从非齐次线性方程组的唯一性判定来看，如果它的系数矩阵是可逆的，就说方程组有唯一解；如果它的系数矩阵是不可逆的，就说方程组有无数多个解。
最后，从非齐次线性方程组的极值判定来看，如果满足系数矩阵的列向量，使该系数矩阵的行列式的值为0，即该非齐次线性方程组有极值。
综上所述，从非齐次线性方程组解的判定上可以看出，非齐次线性方程组满足存在性、唯一性和极值的情况，都可以更好的反映出模型的实际情况，帮助我们更准确的判断出模型的解法。
通过对非齐次线性方程组的解的判定来总结，可以更准确的判定非齐次线性方程组的存在性、唯一性和极值。
进而可以辅助决策者指定模型参数和其解法，以及决定下一步采取的行动。
非齐次线性方程组解的结构
(I)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(II)
x1 x1
x2 1.01x2
2 1
(I) 的解为 x1 302, x2 300
(II)的解为 x1 0.5075, x2 1.482
2. 把 1.015舍入为 1.02，得
(I) (II)
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
k3(1, 0, 1, 0) k4 (0, 1, 0, 1)
即
k1(1, 1, 0, 0) k2(0, 0, 1, 1) k3(1, 0, 1, 0) k4(0, 1, 0, 1)
因向量组 (1, 1, 0, 0)，(0, 0, 1, 1)，(1, 0, 1, 0)，(0, 1, 0, 1)
例 考虑方程组
(I)
x1 x1
x2 1.015 x2
2 1
(II)
x1 x2 2
x1
1.015 x2
1
在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。
讨论 首先
方程组(I)的理论解为 x1 202, x2 200 方程组(II)的理论解为 x1 0.5111, x2 1.489
1. 把 舍入为 1.01，得
x1 x1
x2 1.02x2
2 1
(I) 的解为 x1 152, x2 150
(II) 的解为 x1 0.5148, x2 1.485
上述讨论可得，方程组(Ⅰ)的系数的一个极小变 化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。 而方程组(Ⅱ)则无此现象，相应称之为良态的。
例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户 有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一 人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们 共同制订了一个修理计划：
3.5 非齐次线性方程组解
a1n a2n = , ,, 1 2 n a mn
A = ( A B ) = 1, 2 ,, n ,
则有等价的矩阵形式： 则有等价的向量形式： AX＝B
x1 b1 x b 2 2 X= ,B= = xn bm
求该方程组的通解. 解 因为方程组AX＝B的导出组的基础解系含 4－3=1个解向量，于是导出组的任何一个非零解 都可作为其基础解系。
1 7 1 而 g 1 g 2 g 3 = 0 2 3 2
是导出组的非零解，故方程组AX=B的通解为
得通解为：
1 1 5 16 1 0 0 23 X = c1 2 c2 －2 c3 －6 0 . 0 1 0 0 0 0 1 0
令 x3 = x4 = x5 = 0,
得AX＝B特解：
16 0 g 0 = 23 0 0 所以，通解为
g = g 0 c11 c22 c33
(c1, c2 , c3 R)
也可由消元解法求通解：
原方程组的同解方程组为：
不唯一。 （3）AX＝B无解
r ( A) = r ( A) < n r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , < n 可由1, 2 ,, n 线性表出，表示式 r ( A) r ( A) r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , 1 不可由 1, 2 ,, n 线性表出。
方程组AX＝B的解。 证明 因为A g ＝B , A＝0，
非齐次线性方程组有三个线性无关解
非齐次线性方程组有三个线性无关解
常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。
非齐次线性方程组的表达式为：ax=b非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a, b)（否则为无解）。
含n-r个参数的通解。
求解的存有性
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
非齐次线性方程组存有无穷多求解的充要条件就是rank(a)\ucn。
（rank(a)则表示a
的秩）
解法
非齐次线性方程组ax=b的解步骤：
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余
n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1，c2，..-r，即可写出。
4-4非齐次线性方程组解
1 0 2 , 2 1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4
x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个特解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2
2 1 方程组*有无穷多解，通解为 X k 1 2 . 1 0 可由1 , 2 , 3表示为 2k 11 k 2 2 k 3 , k为任意实数.
法2：利用Cramer法则
k 1 1 2 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 1 1 5 1 0 1 3 ( A, b) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 0
的秩相等.
四、思考与练习
思考题:
1 2 0 3 4 7 1 10 已知1 , 2 ,1 , , 0 1 1 b 2 3 a 4 问: （ 1 ）a , b取何值， 不能1 , 2 , 3由线性表示 （ 2 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3唯一线性表示 ; （ 3 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3线性表示但不唯一， 并写出表示式
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax =b的解的判断定理
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解。
该定理认为，如果矩阵A的行列式不等于零，则非齐次线性方程组ax = b有唯一解；如果矩阵A的行列式等于零，则非齐次线性方程组ax = b无解或有无穷多个解。
非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种科学、工程和社会问题。
例如，在经济学中，可以用它来分析市场竞争；在工程学中，可以用它来设计机器人；在社会学中，可以用它来研究社会结构。
此外，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理还可以用来解决数学问题，例如求解线性规划问题、求解最优化问题等。
总之，非齐次线性方程组ax = b的解的判断定理是一种重要的数学定理，它可以用来判断非齐次线性方程组ax = b是否有解，并且在科学、工程和社会等领域有着广泛的应用。
非齐次线性方程组求解方法
非齐次线性方程组求解方法
非齐次线性方程组求解是一种常见的数学问题，用于解决一组未知系数的方程。
在求解非
齐次线性方程组时，可以使用两种方法，分别是迭代法（迭代法）和追赶法（追赶法）。
首先，迭代法是最常用的求解非齐次线性方程组的方法。
此法是从一个给定的初始点出发，以适当的步长迭代，通过不断重复尝试，最终达到满足条件的点。
然而，迭代法由于它只
针对特定的系数，因此，如果想让它转变为其他系数，需要重新设定初始点和步长，从而
增加了对方程求解的工作量和时间消耗。
其次，追赶法是近期被越来越多的用于求解非齐次线性方程组的方法。
此方法是从一个给
定的初始矩阵出发，不断的追赶计算结果，通过更新矩阵元素的值，来逼近一个与解相匹
配的状态。
它有助于加快计算–存储效率的提高，节省了计算的时间；而且，当时间复杂
度比较高的数值方法（如微分方程）面临时间窗口约束时，追赶法显得更加适用。
总而言之，求解非齐次线性方程组有两种方法，分别是迭代法和追赶法，每种方法具有其
优点和缺点。
在选择求解方法时，应根据具体需求考察各自特点，以便使用最适宜的求解法。
非齐次线性方程组解
非齐次线性方程组解
非齐次线性方程组是解决线性方程组的一种重要方法，互联网业务发展迅速，
出现了各种各样的线性方程组，这使得解决它们变得越来越重要。
与传统线性方程组不同，非齐次线性方程组的关键在于没有相同的常量，也可以表达更多实际情况下的情况。
非齐次线性方程组的解法分为四种：解析解、图像解、数值解和近似解。
解析
解是基于原来的方程组，以简洁的数学表达方式求解，但有时候这种方法也会因为复杂度太高而无法解决复杂的问题。
图形解法就是用图形把方程组表达出来进行求解，它能够更全面，更清楚地表达问题，更有利于搞懂它们之间的关系，但当不好解释数据或结果时，则会增加难度。
数值解法就是利用数学计算等技术，将抽象问题变为实际问题，进而进一步求解，但受精度限制，这种方法也有一定的局限性。
最后则是近似解，它的独特之处在于可以将复杂的问题进行简化求解，从而大大简化程序，进一步加快计算速度，并且尽可能获得最佳调整结果。
非齐次线性方程组在互联网业务中有着重要的地位，它可以应用于许多实际场景，例如预测关联网络的增量发展、分析用户行为的模式分析、推荐系统的性能评估等。
由于非齐次线性方程组的解法新奇、复杂及计算量大，因此得到了软件工程、数据采集、数据分析、算法设计、数据可视化等众多领域的关注，是互联网领域不可缺少的一部分。
非齐次线性方程组的解法
非齐次线性方程组的解法可以采用下面几种方法：
1. 高斯消元法：该方法是利用矩阵的初等变换来求解方程组的，它的基本思想是将方程组化为上三角形式，然后从上往下逐步求解。
2. 列主元消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取列主元来求解方程组。
3. 牛顿迭代法：该方法是利用函数的迭代求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用函数的迭代求解。
4. 雅可比迭代法：该方法是利用雅可比矩阵来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用雅可比矩阵的迭代求解。
5. 全选主元高斯消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取全选主元来求解方程组。
6. 高斯-赛德尔迭代法：该方法是利用高斯-赛德尔迭代公式来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用高斯-赛德尔迭代公式的迭代求解。
非齐次线性方程组解的结构
主要内容
● 非齐次线性方程组解的结构
● 应用
一、非齐次线性方程组解的结构
1. 非齐次线性方程组解的性质
性质1 设 x1及 x2都是方程组Axb的解 则x12为对应 的齐次线性方程组 Ax0的解 性质2 设 x 是方程组 Axb 的解 x 是方程组 Ax0 的解 则 x 仍是方程组Axb的解
2 1 cR . 基础解系为： 1 1
二、应用--确定化学方程式
在光合作用下，植物利用太阳提供的辐射能，将二氧化碳和水转 化为葡萄糖和氧气，该化学反应的方程式为：
x1CO2 x2 H2O x3O2 x4C6 H12O6 .
为平衡该方程式，需适当选择 x1 , x2 , x3 , x4 , 使得方程式两边的 碳、氢和氧原子数量分别相等.
1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 2 1 x 则通解为： 2 1 0 c x3 1 2 x 1 0 4
这是因为
A() AA 0bb
2. 非齐次线性方程组解的结构
若*是方程组Axb的特解 1 2 nr是方程组Ax0 的基础解系 则方程组Axb的通解为 xk11k22 knr nr* (k1 knr R)
10 1 1 1 r1
x1 x2 x4 x 2 x 4 3 令(x2 x4)T(1 0)T (0 1)T 得对 应齐次方程组的基础解系
1(1 1 0 0)T 2(1 0 2 1)T
非齐次方程的通解为 x1 x2 x4 1/ 2 x 2x 1/ 2 xc11c22* 4 3 令x2x40 得非齐次方程组的 其中c1 c2为任意实数
求非齐次线性方程组的一般解
求非齐次线性方程组的一般解
非齐次线性方程组是和齐次线性方程组概念相似，但两者出发点却不同，非齐次线性方程组求解需要另外提出一个“非齐次定解”的概念，也就是说，要在系统的解的基础上加上一些技巧来求解。
非齐次线性方程组的求解，最常用的方法大概主要有四种，分别是高斯 - 消元法、消元法、克莱默法和特殊解法。
高斯-消元法是由高斯在18初发明的，是使用数学归纳法，得出一系列消去行列系数变换的步骤，不断消元，直到实现最后的答案。
消元法是在高斯消元法的基础上发展出来的，使用这种方法，可以解针对系统有明显规律的方程，有效提升求解效率。
克莱默法是解对角占优（inversely diagonal dominant）特性比较明显的非齐次线性方程组的最佳方法，算法的基本思路是将系统分解为若干个高斯消元按照一定的顺序依次消去的子系统，从而使求解的效率大大提高。
最后，特殊解法是根据特性系数矩阵，结合数学推理推导出的适合特殊情况的非齐次线性方程组的求解解法，例如对角占优、低秩等。
总而言之，非齐次线性方程组的求解其实也不是很难，只要熟悉这些方法，并有恒心教育，每个人都可以得出一个具体而有效的解。
非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的通解＝齐次线性方程组的通解＋非齐次线性方程组的一个特解（η＝ζ＋η＊）。
非齐次线性方程组是常数项不全为零的线性方程组。
非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：
（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。
若R(A)<R(B)，则方程组无解。
（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。
（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于C1,C2……，Cn-r，即可写出含n-r个参数的通解。
解的存在性
非齐次线性方程组
有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A的秩）。
4.5 非齐次线性方程组解的结构
二、非齐次线性方程组解的结构
的结构定理） 定理12 （非齐次线性方程组解 的结构定理） 对非齐次线性方程组 Ax = b, 若 R( A) = R( A ) = r , 且已知 η1，η 2， ，η n− r 是导出组 Ax = 0的基础解 ⋯ 的某个已知解， 系，r0是Ax = b的某个已知解，则 Ax = b的通解 为：x = r0 + c1η1 + c2η 2 + ⋯ + cn− rη n− r 其中c1 , c2 ,⋯, cn− r 是任意实数 .
依次得
x1 − 1 = x2 − 1
2 , 2
0 , − 1
2 . − 3
故得基础解系
− 1 2 0 2 − 1 2 − 1 − 3 ξ1 = 1 , ξ 2 = 0 , ξ 3 = 0 . 0 1 0 0 0 1 求特解 9 23 令 x3 = x4 = x5 = 0, 得x1 = − , x2 = . 2 2
证明 A(ξ + η ) = Aξ + Aη = 0 + b = b,
所以 x = ξ + η 是方程 Ax = b的解.
证毕． 证毕． （2）若 x = ξ1 为 Ax = 0的解， k 为实数，则 的解， 为实数， x = kξ1 也是 Ax = 0 的解． 的解． 证明 证毕. 证毕
A(kξ1 ) = kA(ξ1 ) = k 0 = 0.
其中 k1 , k 2 , k 3 为任意常数 .
三、直线、平面的相对位置
设直线 L1 , L2的方程分别为 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 L1 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 A3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0 L2 : A4 x + B4 y + C 4 z + D4 = 0 (5 − 4) (5 − 5)
第五章非齐次方程组解结构_
6
x5 x5
依次得
x1 x2
1 1
2 , 2
01,
2 3
.
故得基础解系
代入
x1 x2 2x2
x3 x3 2
x4
x4
x5 7 6 x5 23
1 2 1 2
1
1
,
0
0
0 1
2
0
,
1
0
2 3
3
0
.
0
1
求特解
令
x3
x4
x5
0, 得x1
5 2
3
1 (b 2
c
a)
0 3 3
2, 2
1
1
2
1 2
,
1
1
3
3 2
为Ax 0的基础解系中的解向量 .
故Ax b的通解为
x1 1 1 1 x2 k1 1 k2 3 3 2, x3 2 2 1 2 其中k1 , k 2为任意实数 .
2 1 4
1 2 3
3 6 1
2
23 12
1 1 1 1 1 7
~Leabharlann 0 002 0 01 0 0
2 0 0
6 0 0
23
0 0
1 0 1 2 0 2 9 2
~
0 0 0
1 0 0
12 0 0
1 0 0
3 0 0
23 2
0 0
则原方程组等价于方程组
x1 x2
1 2
x3
求Ax b的通解.
解 A是m 3矩阵, R( A) 1, Ax 0的基础解系中含有 3 1 2个线性
无关的解向量 .