堆与堆排序
八大排序算法
八大排序算法排序有内部排序和外部排序，内部排序是数据记录在内存中进行排序，而外部排序是因排序的数据很大，一次不能容纳全部的排序记录，在排序过程中需要访问外存。
我们这里说说八大排序就是内部排序。
基本思想:将一个记录插入到已排序好的有序表中，从而得到一个新，记录数增1的有序表。
即：先将序列的第1个记录看成是一个有序的子序列，然后从第2个记录逐个进行插入，直至整个序列有序为止。
要点：设立哨兵，作为临时存储和判断数组边界之用。
直接插入排序示例：如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。
所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。
算法的实现：1.void print(int a[], int n ,int i){2. cout<<i <<":";3.for(int j= 0; j<8; j++){4. cout<<a[j] <<" ";5. }6. cout<<endl;7.}8.9.10.void InsertSort(int a[], int n)11.{12.for(int i= 1; i<n; i++){13.if(a[i] < a[i-1]){ //若第i个元素大于i-1元素，直接插入。
小于的话，移动有序表后插入14.int j= i-1;15.int x = a[i]; //复制为哨兵，即存储待排序元素16. a[i] = a[i-1]; //先后移一个元素17.while(x < a[j]){ //查找在有序表的插入位置18. a[j+1] = a[j];19. j--; //元素后移20. }21. a[j+1] = x; //插入到正确位置22. }23. print(a,n,i); //打印每趟排序的结果24. }25.26.}27.28.int main(){29.int a[8] = {3,1,5,7,2,4,9,6};30. InsertSort(a,8);31. print(a,8,8);32.}效率：时间复杂度：O（n^2）.其他的插入排序有二分插入排序，2-路插入排序。
堆排序实例演示
91 47 24 16 85 36 53 30
小顶堆 ：16，36，24，85，47，30，53，91
16 36 85 91 24
47 30 53
如果该序列是一个堆，则对应的这棵完全二叉树的特点是： 所有分支结点的值均不小于 (或不大于)其子女的值，即每棵 子树根结点的值是最大(或最小)的。 堆特点：堆顶元素是整个序列中最大(或最小)的元素。
仅需调整一次，
堆建成 。
2018/8/8
数据结构
7
第二个问题的背景： 输出堆顶元素后，将堆底元素送入堆顶（或将堆顶元素 与堆底元素交换），堆可能被破坏。 破坏的情况仅是根结点和其左右孩子之间可能不满足堆 的特性，而其左右子树仍然是局部的堆。
在这种情况下，将其R1 … Ri整理成堆。 （i=n-1..1)
2018/8/8
c.右子树不满 d.到了叶子结 足堆，继续调 点，调整结束， 整。 堆建成。
数据结构
6
85
30
53
53 47 85 91 30 36 16 85
47
24 91 36
53
16 30 91 24
47 36
16
24
堆调整结束。
R1 与 Rn-1 交换 ， 堆被破坏。 对 R1 与 Rn-2 调整。
91,47,85,24,36,53,30,16是一个大顶堆。
数据结构 1
在完全二叉树上，双亲和左右孩子之间的编号就是i和2i、 2i+1的关系。因此一个序列可以和一棵完全二叉树对应起来， 用双亲其左、右孩子之间的关系可以直观的分析是否符合堆 的特性。
大顶堆：91，47，85，24，36，53，30，16
2018/8/8
数据结构
数字排序技巧
数字排序技巧数字在我们日常生活中无处不在，我们可以通过数字对事物进行分类、排序和比较。
在处理数字时，掌握一些排序技巧可以帮助我们更高效地处理数据和解决问题。
本文将介绍一些数字排序的技巧，帮助读者更好地理解数字排序的原理和应用。
一、冒泡排序冒泡排序是最常见也是最简单的排序算法之一。
其基本思想是通过不断比较相邻元素的大小，将较大的元素向后移动，较小的元素向前移动，从而实现对数组的排序。
具体步骤如下：1. 从数组的第一个元素开始，依次比较相邻元素的大小；2. 如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置；3. 重复以上步骤，直到没有需要交换的元素；4. 重复以上步骤，直到所有元素有序排列。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n为数组的长度。
虽然冒泡排序不适用于大规模数据的排序，但它对理解排序算法的基本原理非常有帮助。
二、选择排序选择排序也是一种简单直观的排序算法，它的基本思想是每一趟从待排序的元素中选出最小（或最大）的元素放在已排序的末尾。
具体步骤如下：1. 在未排序序列中找到最小（或最大）元素，存放到排序序列的起始位置；2. 从剩余未排序元素中继续寻找最小（或最大）元素，存放到已排序序列的末尾；3. 重复以上步骤，直到所有元素有序排列。
选择排序的时间复杂度也为O(n^2)，但相较于冒泡排序，选择排序每一轮只需要进行一次交换，因此在实际应用中更加高效。
三、插入排序插入排序是一种稳定的排序算法，其基本思想是将待排序的元素插入到已排序序列的适当位置，形成有序的新序列。
具体步骤如下：1. 将第一个元素视为已排序序列，将第二个元素到最后一个元素视为待排序序列；2. 从待排序序列中取出一个元素，将其插入已排序序列的适当位置；3. 重复以上步骤，直到所有元素有序排列。
插入排序的时间复杂度同样为O(n^2)，但在待排序序列已经基本有序或者规模较小的情况下，插入排序的性能较好。
四、快速排序快速排序是一种高效的排序算法，其基本思想是通过一趟排序将待排序序列分割成独立的两部分，其中一部分的元素均小于另一部分的元素，然后对这两部分分别进行快速排序，从而实现整个序列的有序排列。
C语言八大排序算法
C语⾔⼋⼤排序算法C语⾔⼋⼤排序算法，附动图和详细代码解释！来源：C语⾔与程序设计、⽵⾬听闲等⼀前⾔如果说各种编程语⾔是程序员的招式，那么数据结构和算法就相当于程序员的内功。
想写出精炼、优秀的代码，不通过不断的锤炼，是很难做到的。
⼆⼋⼤排序算法排序算法作为数据结构的重要部分，系统地学习⼀下是很有必要的。
1、排序的概念排序是计算机内经常进⾏的⼀种操作，其⽬的是将⼀组“⽆序”的记录序列调整为“有序”的记录序列。
排序分为内部排序和外部排序。
若整个排序过程不需要访问外存便能完成，则称此类排序问题为内部排序。
反之，若参加排序的记录数量很⼤，整个序列的排序过程不可能在内存中完成，则称此类排序问题为外部排序。
2、排序分类⼋⼤排序算法均属于内部排序。
如果按照策略来分类，⼤致可分为：交换排序、插⼊排序、选择排序、归并排序和基数排序。
如下图所⽰：3、算法分析1.插⼊排序*直接插⼊排序*希尔排序2.选择排序*简单选择排序*堆排序3.交换排序*冒泡排序*快速排序4.归并排序5.基数排序不稳定排序：简单选择排序，快速排序，希尔排序，堆排序稳定排序：冒泡排序，直接插⼊排序，归并排序，奇数排序1、插⼊排序将第⼀个和第⼆个元素排好序，然后将第3个元素插⼊到已经排好序的元素中，依次类推（插⼊排序最好的情况就是数组已经有序了）因为插⼊排序每次只能操作⼀个元素，效率低。
元素个数N，取奇数k=N/2，将下标差值为k的数分为⼀组（⼀组元素个数看总元素个数决定），在组内构成有序序列，再取k=k/2，将下标差值为k的数分为⼀组，构成有序序列，直到k=1，然后再进⾏直接插⼊排序。
3、简单选择排序选出最⼩的数和第⼀个数交换，再在剩余的数中⼜选择最⼩的和第⼆个数交换，依次类推4、堆排序以升序排序为例，利⽤⼩根堆的性质（堆顶元素最⼩）不断输出最⼩元素，直到堆中没有元素1.构建⼩根堆2.输出堆顶元素3.将堆低元素放⼀个到堆顶，再重新构造成⼩根堆，再输出堆顶元素，以此类推5、冒泡排序改进1：如果某次冒泡不存在数据交换，则说明已经排序好了，可以直接退出排序改进2：头尾进⾏冒泡，每次把最⼤的沉底，最⼩的浮上去，两边往中间靠16、快速排序选择⼀个基准元素，⽐基准元素⼩的放基准元素的前⾯，⽐基准元素⼤的放基准元素的后⾯，这种动作叫分区，每次分区都把⼀个数列分成了两部分，每次分区都使得⼀个数字有序，然后将基准元素前⾯部分和后⾯部分继续分区，⼀直分区直到分区的区间中只有⼀个元素的时候，⼀个元素的序列肯定是有序的嘛，所以最后⼀个升序的序列就完成啦。
堆排序的原理
堆排序的原理
堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是选择排序的一种，由于其在实现时只需要一个很小的辅助栈，因而也被称为“不占用额外空间的排序”。
堆排序的基本思想是，将待排序的序列构造成一个大（小）根堆，此时整个序列的最大值（最小值）就是堆顶的根节点。
将它移走（即与堆数组的末尾元素交换，此时末尾元素就是最大值（最小值）），然后将剩余的n-1个序列重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素的次小值。
如此反复执行，便能得到一个有序序列了。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。
由于堆排序的时间复杂度与数据的初始状态无关，因此在实际应用中，堆排序的适用范围非常广泛。
- 1 -。
8种排序算法
J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49
J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49
J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49
J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49
2. 堆的定义: N个元素的序列K1,K2,K3,...,Kn.称为堆，当且仅当该序列满足特性：
Ki≤K2i Ki ≤K2i+1(1≤ I≤ [N/2])
堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子结点的关键字。例如序列10,15,56,25,30,70就是一个堆，它对应的完全二叉树如上图所示。这种堆中根结点（称为堆顶）的关键字最小，我们把它称为小根堆。反之，若完全二叉树中任一非叶子结点的关键字均大于等于其孩子的关键字，则称之为大根堆。
(6)基数排序
基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级高的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序，分别收集，所以其是稳定的排序算法。
2. 排序过程：
【示例】：
初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]
第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49]
第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49]
第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]
其次，说一下稳定性的好处。排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序再高位也相同时是不会改变的。另外，如果排序算法稳定，对基于比较的排序算法而言，元素交换的次数可能会少一些(个人感觉，没有证实)。
堆排序算法复杂度分析及优化思路
堆排序算法复杂度分析及优化思路堆排序是一种高效的排序算法，它的核心思想是通过构建堆来实现排序过程。
在本文中，我们将对堆排序算法的时间复杂度进行分析，并提出一些优化思路。
一、堆排序算法简介堆排序是一种基于二叉堆的排序算法，它包括两个基本步骤：建堆和排序。
建堆的过程是将一个无序序列构建成一个堆，排序的过程是将堆顶元素和堆底元素交换，并将剩余元素重新构建成堆。
二、堆排序算法的时间复杂度分析1. 建堆的时间复杂度：建堆的过程包括从最后一个非叶子节点开始进行下沉操作，因此建堆的时间复杂度为O(n)，其中n为待排序序列的长度。
2. 排序的时间复杂度：排序的过程包括将堆顶元素和堆底元素交换，并对剩余元素进行下沉操作。
每次交换后，堆的大小减少1，因此需要进行n-1次交换。
而每次交换和下沉的操作的时间复杂度都是O(logn)，因此排序的时间复杂度为O(nlogn)。
综上所述，堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、堆排序算法的空间复杂度分析堆排序算法的空间复杂度主要取决于堆的建立过程中所使用的辅助空间。
在建堆的过程中，需要使用一个大小为n的辅助数组来存储待排序序列。
因此，堆排序算法的空间复杂度为O(n)。
四、堆排序的优化思路虽然堆排序算法的时间复杂度较好，但在实际应用中，我们可以通过以下几种方式来进一步提高算法的性能。
1. 优化建堆过程：建堆的过程中，我们可以对所有非叶子节点进行下沉操作，但实际上，只有前一半的非叶子节点需要下沉操作。
因此，在建堆过程中，我们可以只对前一半的非叶子节点进行下沉操作，减少了一些不必要的操作，提高了建堆的效率。
2. 优化排序过程：在排序的过程中，每一次交换堆顶元素和堆底元素后，需要重新进行下沉操作。
然而，每次下沉操作都需要遍历堆的高度，时间复杂度为O(logn)。
可以考虑采用堆化的方式，即将堆底元素移至堆顶后，直接对堆顶元素进行下沉操作，减少了遍历的次数，进而提高了排序的效率。
3. 优化空间复杂度：在实际应用中，我们可以使用原地排序的方式来优化空间复杂度。
nlogn时间复杂度的排序
nlogn时间复杂度的排序排序是计算机科学中的一个重要问题，对于大多数计算机程序，排序都是必不可少的。
排序算法的效率直接影响着程序的运行速度和资源占用。
在排序算法中，时间复杂度是一个重要的指标，它反映了算法的运行效率。
在本文中，我们将介绍一些时间复杂度为nlogn的排序算法。
一、归并排序归并排序是一种分治算法，它将一个大问题分解为若干个小问题，然后将小问题合并成一个大问题的解。
归并排序的过程可以分为两个阶段：分治和合并。
分治阶段：将待排序的序列分成两个子序列，分别对两个子序列进行递归排序。
合并阶段：将两个已经有序的子序列合并成一个有序的序列。
归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
由于归并排序需要额外的空间来存储中间结果，因此空间复杂度比较高。
二、快速排序快速排序是一种基于分治思想的排序算法，它的核心思想是选取一个基准元素，将序列分成两个部分，一部分小于基准元素，一部分大于基准元素，然后对两个子序列进行递归排序。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(logn)。
由于快速排序是一种原地排序算法，不需要额外的空间来存储中间结果，因此空间复杂度比较低。
但是，快速排序的最坏时间复杂度为O(n^2)，当序列已经有序或者基准元素选取不当时，快速排序的性能会退化。
三、堆排序堆排序是一种基于堆的排序算法，它的核心思想是将序列构建成一个大根堆或小根堆，然后依次取出堆顶元素，将其放到已排序的序列中。
堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(1)。
由于堆排序是一种原地排序算法，不需要额外的空间来存储中间结果，因此空间复杂度比较低。
四、基数排序基数排序是一种非比较排序算法，它的核心思想是将待排序的序列按照位数进行排序，从低位到高位依次排列。
基数排序可以使用桶排序或计数排序作为内部排序算法。
基数排序的时间复杂度为O(d(n+k))，其中d是最大位数，k是桶的数量。
当d比较小，k比较大时，基数排序的效率比较高。
大量数据排序算法
大量数据排序算法随着信息技术的发展，数据量的快速增长已经成为常态。
在这个大数据时代，如何对大量数据进行高效的排序成为了一个重要的问题。
本文将介绍几种常见的大量数据排序算法，包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序和堆排序。
一、冒泡排序冒泡排序是最简单的排序算法之一。
它的基本思想是通过相邻元素的比较和交换，将最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到序列的最右端（或最左端）。
具体实现时，从序列的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素，如果顺序不对则交换它们的位置。
重复这个过程，直到整个序列有序。
二、选择排序选择排序是一种简单直观的排序算法。
它的基本思想是每次从未排序的序列中选择最小（或最大）的元素，放到已排序序列的末尾（或开头）。
具体实现时，设定一个标记，表示已排序序列的最后一个位置，然后遍历未排序的序列，找到最小（或最大）的元素，与标记位置的元素交换位置。
重复这个过程，直到整个序列有序。
三、插入排序插入排序是一种简单直观的排序算法。
它的基本思想是将未排序的元素逐个插入到已排序序列中的适当位置，从而得到一个新的有序序列。
具体实现时，从第二个元素开始，依次将当前元素与已排序序列中的元素进行比较，找到合适的插入位置并将其插入。
重复这个过程，直到整个序列有序。
四、归并排序归并排序是一种稳定的排序算法。
它的基本思想是将待排序序列分成两个子序列，分别对两个子序列进行排序，然后将排好序的两个子序列合并成一个有序序列。
具体实现时，采用递归的方式，将序列不断地二分，直到序列长度为1，然后逐层合并有序序列，直到整个序列有序。
五、快速排序快速排序是一种常用的排序算法。
它的基本思想是通过一趟排序将待排序序列分割成独立的两部分，其中一部分的元素都比另一部分的元素小，然后对这两部分分别递归地进行排序。
具体实现时，选择一个基准元素，将序列分成两部分，左边的元素都比基准元素小，右边的元素都比基准元素大。
然后再分别对左右两部分进行递归排序，直到整个序列有序。
最坏时间复杂度最低的排序算法
最坏时间复杂度最低的排序算法排序算法是计算机科学中的重要概念，它可以对一组数据进行排序，使得数据按照一定的顺序排列。
排序算法的效率通常用时间复杂度来衡量，最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法所需要的时间复杂度。
因此，在选择排序算法时，我们应该优先考虑最坏时间复杂度较低的算法。
在实际应用中，我们经常需要对大量数据进行排序。
因此，在选择排序算法时，除了考虑最坏时间复杂度之外，还需要考虑其它因素，如空间复杂度、稳定性等。
下面介绍几种最坏时间复杂度较低的排序算法：1. 冒泡排序冒泡排序是一种简单的交换排序算法。
它通过比较相邻两个元素的大小来进行排序。
在每一轮比较中，如果相邻两个元素大小不符合要求，则交换它们的位置。
经过多轮比较和交换后，最大（或最小）的元素会被移到数组末端（或开头）。
重复执行上述操作直到整个数组有序。
冒泡排序的最坏时间复杂度为O(n^2)，其中n为待排序数组元素个数。
2. 插入排序插入排序是一种简单的排序算法，它通过将一个元素插入到已排序的数组中，使得数组仍然有序。
在每一轮比较中，将待排序元素与已排序的元素依次比较，找到合适的位置插入。
重复执行上述操作直到整个数组有序。
插入排序的最坏时间复杂度为O(n^2)，其中n为待排序数组元素个数。
3. 希尔排序希尔排序是插入排序的改进版。
它通过分组进行插入排序，从而减少了比较和交换次数。
在希尔排序中，将待排序数组按照一定间隔分成若干个子序列，对每个子序列进行插入排序。
然后逐渐缩小间隔，直到间隔为1时完成最后一次插入排序。
希尔排序的最坏时间复杂度为O(n^2)，但是在实际应用中通常要比冒泡和插入排序快很多。
4. 堆排序堆是一种特殊的数据结构，具有以下性质：每个节点都大于（或小于）它的子节点。
堆可以用来实现堆排序算法。
在堆中，将待排数据构建成一个二叉树，并满足堆性质。
然后将根节点与最后一个节点交换，将最后一个节点从堆中删除。
重复执行上述操作，直到整个数组有序。
利用公式进行数据排序
利用公式进行数据排序数据排序是数据处理和分析中的一项重要任务，它可以帮助我们快速找到数据中的最大值、最小值、中位数等统计指标，以便更好地理解和利用数据。
在实际工作中，我们可以利用一些数学公式来进行数据排序，下面将介绍几种常用的方法。
1. 冒泡排序冒泡排序是一种简单但很慢的排序算法，它通过多次比较和交换相邻的元素来实现排序。
算法的基本思想是，从数据的起始位置开始，比较相邻的两个元素，如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置。
重复这个过程，直到所有的元素都按照从小到大的顺序排列。
2. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治的思想来实现排序。
算法的基本思想是，选择一个基准元素，将数据分成两部分，左边的部分都小于基准元素，右边的部分都大于基准元素。
然后递归地对左右两部分进行快速排序，最终得到有序的数据。
3. 归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，它采用分治的思想来实现排序。
算法的基本思想是，将数据分成两部分，分别对这两部分进行归并排序，然后将排好序的两部分合并成一个有序的数据。
通过不断地分割和合并，最终可以得到完全有序的数据。
4. 堆排序堆排序是一种高效的排序算法，它利用堆这种数据结构来实现排序。
算法的基本思想是，将数据构建成一个大顶堆或小顶堆，然后依次将堆顶的元素与最后一个元素交换位置，并调整堆，使其重新满足堆的性质。
重复这个过程，直到所有的元素都按照从小到大或从大到小的顺序排列。
5. 桶排序桶排序是一种适用于有一定范围的整数数据排序的算法。
算法的基本思想是，将数据按照一定的规则分配到多个有序的桶中，然后对每个桶中的数据进行排序，最后将所有桶中的数据按照顺序合并起来。
桶排序适用于数据分布均匀的情况，可以在一定程度上提高排序的效率。
以上是几种常用的利用公式进行数据排序的方法，它们各有特点，适用于不同的数据场景和需求。
在实际应用中，我们可以根据数据的大小范围、数据分布情况和排序要求等因素选择合适的排序算法，以达到快速、准确地排序数据的目的。
堆排序实例演示3
91
16
47
85
36
24
24 36 53 30
85 47 30 53
16
91
如果该序列是一个堆，则对应的这棵完全二叉树的特点是： 所有分支结点的值均不小于 (或不大于)其子女的值，即每棵子 树根结点的值是最大(或最小)的。
堆特点：堆顶元素是整个序列中最大(或最小)的元素。
2022/9/1
数据结构
2
2．堆排序
足堆，继续调 整。
将 堆 顶 元 素 R1 比根小，交换。
与Rn交换)。
2022/9/1
数据结构
d.到了叶子结 点，调整结束， 堆建成。
6
85
30
53
47
53
47
53
47
30
24 36 16 30
24 36 16 85
24 36 16 85
91
91
91
堆调整结束。
R1 与 Rn-1 交 换 ， 堆被破坏。 对 R1 与 Rn-2 调 整。
16
b.调整结束后，以R4为 根的子树满足堆特性。 再将以R3结点为根的 子树调整为堆；
16
c. 以 R3为根的子树满足 堆特性。 再将以R2结点为根的子树 调整为堆；
30
91
91
47
91
47
30
47
85
24 36 53 85 16
24 36 53 85 16
24 36 53 30 16
以 R2 为 根 的 子 树 满 足 堆特性。 再 将 以 R1 结 点 为 根 的 子树调整为堆
d. 调整结束后，整棵树为堆。
建堆过程示例
❖ 例如，图中的完全二叉树表示一个有8个元素的无序序列： {49，38，65，97，76，13，27，49}（相同的两个关 键字49，其中后面一个用49表示），则构造堆的过程如 图3（b）~（f）所示。
各种排序方法的比较与讨论
各种排序方法的比较与讨论现在流行的排序有：选择排序、直接插入排序、冒泡排序、希尔排序、快速排序、堆排序、归并排序、基数排序。
一、选择排序1．基本思想：每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。
2. 排序过程：【示例】：初始关键字[49 38 65 97 76 13 27 49]第一趟排序后13 ［38 65 97 76 49 27 49]第二趟排序后13 27 ［65 97 76 49 38 49]第三趟排序后13 27 38 [97 76 49 65 49]第四趟排序后13 27 38 49 [49 97 65 76]第五趟排序后13 27 38 49 49 [97 97 76]第六趟排序后13 27 38 49 49 76 [76 97]第七趟排序后13 27 38 49 49 76 76 [ 97]最后排序结果13 27 38 49 49 76 76 973.void selectionSort(Type* arr,long len){long i=0,j=0;/*iterator value*/long maxPos;assertF(arr!=NULL,"In InsertSort sort,arr is NULL\n");for(i=len-1;i>=1;i--){maxPos=i;for(j=0;jif(arr[maxPos]if(maxPos!=i)swapArrData(arr,maxPos,i);}}选择排序法的第一层循环从起始元素开始选到倒数第二个元素,主要是在每次进入的第二层循环之前,将外层循环的下标赋值给临时变量,接下来的第二层循环中,如果发现有比这个最小位置处的元素更小的元素,则将那个更小的元素的下标赋给临时变量,最后,在二层循环退出后,如果临时变量改变,则说明,有比当前外层循环位置更小的元素,需要将这两个元素交换.二.直接插入排序插入排序（Insertion Sort）的基本思想是：每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。
最大堆了解最大堆的性质和操作
最大堆了解最大堆的性质和操作最大堆：了解最大堆的性质和操作最大堆是一种特殊的二叉堆，它具有一些独特的性质和操作。
最大堆通常用于解决与优先级相关的问题，比如优先队列。
在本文中，我们将探讨最大堆的性质以及如何进行一些基本的操作。
一、最大堆的性质最大堆具有以下性质：1. 结构性质：最大堆是一颗完全二叉树，在最大堆中，除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
并且如果存在n个节点，那么该二叉树的高度为log(n)。
2. 堆序性质：在最大堆中，父节点的值大于或等于其子节点的值。
也就是说，对于任意节点i，其值大于等于其左右子节点的值。
二、最大堆的基本操作最大堆的基本操作包括插入元素、删除最大元素、获取最大元素以及堆化操作。
下面我们将分别介绍这些操作的实现方法。
1. 插入元素：当我们向最大堆中插入一个元素时，首先将元素插入到最大堆的最后一个位置，然后通过上浮操作，将该元素与其父节点比较并交换，直到满足最大堆的性质为止。
2. 删除最大元素：最大堆中的最大元素位于堆顶，当我们删除最大元素时，首先将堆顶元素与最后一个元素交换，然后通过下沉操作，将堆顶元素与其子节点比较并交换，直到满足最大堆的性质为止。
3. 获取最大元素：最大堆的最大元素即为堆顶元素，可以通过直接访问堆顶元素来获取。
4. 堆化操作：堆化操作可以将一个无序的数组转化为一个最大堆。
从最后一个非叶子节点开始，依次进行下沉操作，直到所有节点满足最大堆的性质。
三、最大堆的应用最大堆在实际应用中有着广泛的应用，两个最常见的应用是优先队列和堆排序。
1. 优先队列：最大堆可以用作优先队列的底层数据结构。
优先队列是一个根据优先级进行元素访问的队列，最大堆可以快速地找到优先级最高的元素。
2. 堆排序：堆排序是一种高效的排序算法，它利用最大堆的性质进行排序。
堆排序的基本思想是先将待排序的序列构建成最大堆，然后通过重复进行删除最大元素和堆化的操作，将序列排序。
通过了解最大堆的性质和操作，我们可以更好地理解和应用最大堆。
堆排序的稳定性分析
堆排序的稳定性分析堆排序是一种常用的排序算法，它的时间复杂度为O(nlogn)，具有较好的性能。
但是在实际应用中，我们对算法的稳定性也有一定的要求。
本文将分析堆排序的稳定性，并探讨其在实际应用中的优缺点。
首先，我们需要了解堆排序的基本原理。
堆是一种特殊的二叉树结构，具有以下性质：1. 父节点的值大于（或小于）其子节点的值，称为大顶堆（或小顶堆）。
2. 堆中的任意子树也是一个堆。
堆排序的过程分为两个阶段：建堆和排序阶段。
1. 建堆阶段：将待排序序列构建成一个堆。
从最后一个非叶子节点开始，依次向前进行下滤操作，使序列满足堆的性质。
2. 排序阶段：将堆顶元素与堆中最后一个元素交换，然后将剩余元素重新构建成一个堆。
重复该操作，直到所有元素都排好序。
在理解堆排序的基本原理后，我们来分析其稳定性。
稳定性指的是相等元素在排序前后的相对位置是否保持不变。
对于堆排序而言，由于其交换策略是将堆顶元素与最后一个元素进行交换，所以在排序过程中可能破坏相等元素的相对顺序。
具体来说，当待排序序列中存在相等元素时，堆排序可能导致这些相等元素的相对位置发生变化。
例如，对于序列[5, 3, 5, 2, 1, 1]，堆排序的过程中可能会先交换两个1，再交换两个5，这样导致了相等元素的相对位置发生了变化。
因此，堆排序是一种不稳定的排序算法。
对于需要保持相等元素相对位置的排序任务，堆排序可能并不适用。
但在一些不要求稳定性的场景下，堆排序仍然具有一些优势。
首先，堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，与归并排序、快速排序等算法相当。
其次，堆排序是原地排序，不需要额外的存储空间。
最后，堆排序的交换次数较少，比起冒泡排序和插入排序来说，效率更高。
综上所述，堆排序虽然在稳定性上存在一定的问题，但在一些不要求稳定性的场景下，堆排序仍然是一种高效的排序算法。
我们可以根据实际需求来选择排序算法，以达到最佳的性能和稳定性的平衡。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择其他排序算法来替代堆排序，以满足稳定性的要求。
排序算法所用的辅助空间
排序算法所用的辅助空间一、引言在计算机科学中，排序算法是数据处理的基本技术之一。
排序算法可以分为内部排序和外部排序两大类。
内部排序是指待排序数据全部加载到内存中进行排序，而外部排序则是针对大规模数据，需要借助外部存储设备进行排序。
本文将重点讨论排序算法中所使用的辅助空间。
二、排序算法概述1.内部排序内部排序算法是指待排序数据可以完全加载到内存中进行排序的算法，如快速排序、归并排序、堆排序等。
这些算法的特点是时间复杂度较低，但在处理大规模数据时，空间复杂度成为瓶颈。
2.外部排序外部排序算法针对的是大规模数据，其特点是数据规模超过内存容量。
外部排序需要借助外部存储设备，如磁盘等，进行排序。
常见的外部排序算法有归并排序、快速排序等。
三、辅助空间的作用1.空间复杂度辅助空间是指在排序过程中，除待排序数据外，还需要使用的额外空间。
辅助空间的大小直接影响到排序算法的性能。
一般来说，我们希望辅助空间尽量小，以提高排序效率。
2.实例分析以归并排序为例，归并排序需要使用额外的空间存储中间结果。
当待排序数据规模较大时，辅助空间的需求也随之增加。
此时，可以考虑使用外部排序算法，将数据分块，依次加载到内存中进行排序，最后合并排序结果。
四、常见排序算法的辅助空间使用1.快速排序快速排序算法采用递归策略，其辅助空间主要用于存储子序列。
在递归过程中，快速排序会创建一个新的序列，将原序列分为两个子序列。
这个过程会递归进行，直到序列长度为1。
快速排序的辅助空间与递归深度成正比。
2.归并排序归并排序算法的辅助空间主要用于存储临时数据。
在归并过程中，需要将两个已排序的序列合并成一个有序序列。
这个过程需要额外的空间存储临时数据，以便进行合并操作。
归并排序的辅助空间与序列数量成正比。
3.堆排序堆排序算法在排序过程中，需要构建最大堆或最小堆。
堆排序的辅助空间主要用于存储堆结构的数据。
堆排序的辅助空间与堆的大小成正比。
4.计数排序计数排序是一种非比较排序算法，其原理是根据键值统计每个键值出现的次数，然后将计数结果存储在辅助空间中。
集合的排序方法
集合的排序方法集合是计算机科学的一个重要概念，在程序设计中有着广泛的应用。
集合的排序是对集合中元素按一定顺序排列的过程，是解决复杂问题的重要方法。
本文将介绍几种常用的集合排序方法，包括桶排序、基数排序、归并排序、快速排序、堆排序、穷举法排序等。
首先介绍桶排序。
桶排序是一种时间复杂度为O(n)的非稳定性排序方法，属于分治思想，将集合中的元素放入桶中，再对每个桶进行排序，最后将桶中的元素输出，即可得到有序的序列。
桶排序的优点是算法简单，适用于数据量较小的排序，缺点在于桶的分配较为困难，容易出现内存碎片的问题。
其次介绍基数排序。
基数排序是一种时间复杂度为O(n)的稳定性排序方法。
该排序方法是将集合中的元素按照每一位数字上的大小排列，最终得到有序的序列。
其优点在于算法简单，排序效率高。
缺点在于数据规模大时需要耗费大量的空间和内存，而且只能排序非负整数。
接下来介绍归并排序。
归并排序是一种时间复杂度为O(nlogn)的稳定性排序方法。
该排序方法是将集合中的元素分成两部分，分别排序，再将两个有序的子序列合并成一个序列，最终得到有序的序列。
其优点在于时间复杂度较低，算法稳定，排序结果可靠。
缺点在于需要额外的内存空间，数据规模较小时不一定比插入排序出色。
然后介绍快速排序。
快速排序是一种时间复杂度为O(nlogn)的不稳定性排序方法。
该排序方法是通过选定一个基准元素，将集合中的元素分成两部分，使小于基准元素的放在左边，大于等于基准元素的放在右边，再递归的对左右子序列分别排序，最终得到有序的序列。
其优点在于算法速度快，缺点在于容易出现划分不均衡的情况，时间复杂度也较高。
再接下来介绍堆排序。
堆排序是一种时间复杂度为O(nlogn)的不稳定性排序方法。
该排序方法是通过将集合中的元素构造成一个大顶堆，将堆顶元素和最后一个元素交换，然后将剩余n-1个元素重新构造成大顶堆，重复上述过程，最终得到有序的序列。
其优点在于算法速度快，不需要额外的内存空间，缺点在于代码实现较为复杂，不适合处理小规模的集合。
堆排序算法详解
堆排序算法详解1、堆排序概述堆排序(Heapsort)是指利⽤堆积树（堆）这种数据结构所设计的⼀种排序算法，它是选择排序的⼀种。
可以利⽤数组的特点快速定位指定索引的元素。
堆分为⼤根堆和⼩根堆，是完全⼆叉树。
⼤根堆的要求是每个节点的值都不⼤于其⽗节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。
在数组的⾮降序排序中，需要使⽤的就是⼤根堆，因为根据⼤根堆的要求可知，最⼤的值⼀定在堆顶。
2、堆排序思想（⼤根堆）1）先将初始⽂件Array[1...n]建成⼀个⼤根堆，此堆为初始的⽆序区。
2）再将关键字最⼤的记录Array[1]（即堆顶）和⽆序区的最后⼀个记录Array[n]交换，由此得到新的⽆序区Array[1..n-1]和有序区Array[n]，且满⾜Array[1..n-1].keys≤Array[n].key。
3）由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前⽆序区R[1..n-1]调整为堆。
然后再次将R[1..n-1]中关键字最⼤的记录R[1]和该区间的最后⼀个记录R[n-1]交换，由此得到新的⽆序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满⾜关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
这样直到⽆序区中剩余⼀个元素为⽌。
3、堆排序的基本操作1）建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，⼀直到第⼀个节点，此处len是堆中元素的个数。
建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处⼀直调⽤调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表⽰节点的深度，len/2表⽰节点的个数，这是⼀个求和的过程，结果是线性的O(n)。
2）调整堆：调整堆在构建堆的过程中会⽤到，⽽且在堆排序过程中也会⽤到。
利⽤的思想是⽐较节点i和它的孩⼦节点left(i),right(i)，选出三者最⼤者，如果最⼤值不是节点i⽽是它的⼀个孩⼦节点，那边交互节点i和该节点，然后再调⽤调整堆过程，这是⼀个递归的过程。
xx-job 大小堆排序
xx-job 大小堆排序
之前已经说过了好些排序了，今天就说一下最后一个排序，那就是堆排序，但是我们这个堆和内存中的堆还不是一个堆，我们现在所说的大小堆其实是一个树。
接下来详细的说一说: 先要说堆，那我们还是先说说一些最基础关于树的一些概念，就先说说二叉树好了，因为我们今天用到的就是二叉树，首先二叉树也是一种数据结构，它有父节点和子节点，在二叉树中有2个叶子节点，父节点和第一个子节点的关系一般是2倍的关系；然而堆排序就是用到这一点。
接下来说一下大根堆，数组中元素先排成一个二叉树，然后我们要求把越大的数放得越高，那么最大的数就放在根节点，那么调整阶段就完成了，然后我们把根节点和最后的尾节点交换，然后调整除了最后一个数之外的其他数，因为刚才交换一遍肯定大小顺序会发生改变。
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if ( R[i].key > R[j].key ) { R[i] <－> R[j] ; // 将较小的孩子与根交换 － i = j ; j = 2*i ; // 上述交换可能使以该孩子结点为根的
子树不再为堆， 子树不再为堆，则需重新调整
} else break ; } }
将初始无序的R[1]到R[n]建成一个小根堆，可用以 到 建成一个小根堆， 将初始无序的 建成一个小根堆 下语句实现： 下语句实现： for ( i = n/2 ; i >= 1 ; i - - ) sift ( R , i , n ) ;
Heapsort
Fig. 27-9 A trace of heapsort (g – i)
Heapsort
时间复杂度分析
该方法创建堆的时间复杂度为O( n ) 证明过程请看教材341页
7.5.2 堆和堆排序
一、堆和堆排序的概念 二、堆的调整 三、建堆 ☞ 四、堆排序
Heapsort
Fig. 27-9 A trace of heapsort (a – c)
Heapsort
Fig. 27-9 A trace of heapsort (d – f)
{ int j ; j = 2*i ; while ( j <= m)
//若j<=m，R[2*i]是R[i]的左孩子 若 ， 是 的左孩子
{ if ( j<m &&R[j].key> R[j+1].key)
比较左右孩子的大小， 为较小的孩子的下标 j ++ ; // 比较左右孩子的大小，使j为较小的孩子的下标
由于堆实质上是一个完全二叉树，那么我们可以 顺序存储一个堆。 顺序存储一个堆 下面以一个实例介绍建一个小根堆的过程。 例：有关键字为49，38，65，97，76，13，27， 例： 49的一组记录，将其按关键字调整为一个小根堆。
49 38 97 49 76 13 65 27
13 49 38 97 49 97 49 76 13 65 27 13 49 65
你能画出删除堆顶元素时相应数组的变化吗？ 你能画出删除堆顶元素时相应数组的变化吗？ 删除元素代码见课本204 删除元素代码见课本7.Fra bibliotek.2 堆和堆排序
一、堆和堆排序的概念 二、堆的调整 ☞ 三、建堆 四、堆排序
第一种方法：
把一个数组看成两部分，左边是堆，右边是还 没加入堆的元素，步骤如下： 1、数组里的第一个元素自然地是一个堆 2、然后从第二个元素开始，一个个地加入左 边的堆，当然，每加入一个元素就破坏了左边 元素堆的性质，得重新把它调整为堆
4 15 16 25 7 5 12 11 8 9
6 23 27 20
Example (end)
10 4 15 16 25 7 5 12 11 8 9 27 6 23 20
4 5 15 16 25 10 7 12 11 8 9 27 6 23 20
Analysis
We visualize the worst-case time of a downheap with a proxy path that goes first right and then repeatedly goes left until the bottom of the heap (this path may differ from the actual downheap path) Since each node is traversed by at most two proxy paths, the total number of nodes of the proxy paths is O(n) Thus, bottom-up heap construction runs in O(n) time Bottom-up heap construction is faster than n successive insertions and speeds up the first phase of heap-sort
删除元素
Fig. 27-5 The steps to remove the entry in the root of the maxheap of Fig. 27-3d
Removing the Root
Fig. 27-6 The steps that transform a semiheap into a heap without swaps.
Adding an Entry
Begin at next available position for a leaf Follow path from this leaf toward root until find correct position for new entry As this is done
Adding an Entry----代码见课本203
Algorithm for adding new entry to a heap
Algorithm add(newEntry) if (the array heap is full) Double the size of the array newIndex = index of next available array location parentIndex = newIndex/2 // index of parent of available location while (newEntry > heap[parentIndex]) { heap[newIndex] = heap[parentIndex] // move parent to available location // update indices newIndex = parentIndex parentIndex = newIndex/2 } // end while
6 7 8
0
1
2
3
4
5
49 65 13 27 97 13 38 27 49 76 65 49 49 49 13 97
筛选过程的算法描述为： sift (rectype R[ ] , int i , int m )
// 在数组 中将下标从 到m的元素序列调整为堆，即将以 在数组R中将下标从 中将下标从i到 的元素序列调整为堆 的元素序列调整为堆， R[i]为根的子树调整为堆；初次调整的是以序号 为根的子树调整为堆； 为根的子树调整为堆 初次调整的是以序号m/2的结点为根的 的结点为根的 子树； 子树；
自底向上地创建堆
16
15
4
12
6
7
23
20
25 16 15 4
5 12 6
11 7 23
27 20
Example (contd.)
25 16 15 4
5 12 6
11 9 23
27 20
15 16 25 5
4 12 11
6 9 27
23 20
Example (contd.)
7 15 16 25 5 4 12 11 6 9 27 8 23 20
Move entries from parent to child Makes room for new entry
Adding an Entry
Fig. 27-3 A revision of steps shown in Fig. 27-2 to avoid swaps.
Adding an Entry
堆与堆排序
软件学院 王建文
7.5.2 堆和堆排序
☞ 一、堆和堆排序的概念 二、堆的调整 三、建堆 四、堆排序
堆的定义： 个元素的序列{a 若n个元素的序列 1 a2 … an} 满足 个元素的序列 ai ≤ a2i ai ≤ a2i+1 或 ai ≥ a2i ai ≥ a2i+1
则分别称该序列{a 大根堆。 则分别称该序列 1 a2 … an}为小根堆 和大根堆。 为 从堆的定义可以看出， 从堆的定义可以看出，堆实质是满足如下性质的完 全二叉树： 全二叉树： 二叉树中任一非叶子结点均小于(大于) 二叉树中任一非叶子结点均小于(大于)它的孩子结点
Fig. 27-4 An array representation of the steps in Fig. 27-3 … continued →
Adding an Entry
Fig. 27-4 (ctd.) An array representation of the steps in Fig. 27-3.
堆排序 若在输出堆顶的最小值（最大值） 若在输出堆顶的最小值（最大值）后，使得剩余 n-1个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素 个元素的序列重又建成一个堆，则得到 个元素 个元素的序列重又建成一个堆 的次小值（次大值） 如此反复， 的次小值（次大值）……如此反复，便能得到一个 如此反复 有序序列，这个过程称之为堆排序 堆排序。 有序序列，这个过程称之为堆排序。
首先， 调整从第n/2 n/2个元素开始 首先， 调整从第n/2个元素开始 将以该元素为根的二叉树调整为堆 然后，将以序号为n/2 n/2－ 然后，将以序号为n/2－1的结点 为根的二叉树调整为堆； 为根的二叉树调整为堆； 27 49 再将以序号为n/2 n/2－ 再将以序号为n/2－2的结点为根 的二叉树调整为堆； 的二叉树调整为堆； 再将以序号为n/2 n/2－ 再将以序号为n/2－3的结点为根 的二叉树调整为堆； 的二叉树调整为堆；
显然： 单结点的二叉树是堆； 单结点的二叉树是堆；在完全二叉树中所有以叶子 结点（序号i 结点（序号 > n/2）为根的子树是堆。 ）为根的子树是堆。 这样，我们只需依次将以序号为 ， － ， 这样，我们只需依次将以序号为n/2，n/2－1，……, 1的结点为根的子树均调整为堆即可。 的结点为根的子树均调整为堆即可。 的结点为根的子树均调整为堆即可 即：对应由n个元素组成的无序序列，“筛选” 即：对应由n个元素组成的无序序列，“筛选”只需 从第n/2个元素开始。 从第n/2个元素开始。