2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版)
江苏省苏州市高考数学一模试卷解析版
2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共14小败，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则?U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小败，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则?U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则?U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求?即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴?=λ?[+（λ﹣1）]=λ?+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣?（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC?平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n?4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，∴=a n，即=2，+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ?tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=?tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。
苏州一模数学(四)DA
(这是边文，请据需要手工删加)2017届高三年级第一次模拟考试(四)(苏州市)数学参考答案一、 填空题1. (1，3)2. －12 3.3 4. 900 5. 0.46. [－2，－1]7. 58. －139. 12 10. 311. 94 12. 1＋5249 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－e ，－5ln 5，2，5214. ⎣⎡⎦⎤－43，4 二、 解答题 15. 解：(1) f(x)＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝32sin 2x －cos 2x2－1(2分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1.(4分)当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2.(6分)此时自变量x 的取值集合为{x |x ＝k π－π6，k ∈Z }．(7分)(或写成⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π6，k ∈Z )． (2) 因为f (C )＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0，又0<C <π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3.(9分)在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理知b ＝2a ，又c ＝3，(11分) 由余弦定理知(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，(13分)联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝3，b ＝2a ，解得a ＝1，b ＝2.(14分)16. 证明：(1) 连接菱形的对角线AC ，BD 交于点O ，连接MO ，因为M 是线段AC 1的中点，在△ACC 1中，MO ∥CC 1，且MO ＝12CC 1，(2分)又F 是BB 1的中点，BF ∥CC 1，且BF ＝12CC 1，所以BF ∥MO 且BF ＝MO ，故四边形MOBF 是平行四边形，(4分)所以MF ∥BO ，又MF 平面ABCD ，BO 平面ABCD ，所以MF ∥平面ABCD.(7分)(2) 由(1)知，OB ∥MF ，在菱形ABCD 中，OB ⊥AC ，所以MF ∥AC ，(9分) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥平面ABCD ，BO 平面ABCD ， 所以BO ⊥CC 1，即MF ⊥CC 1，(11分)因为MF ⊥AC ，MF ⊥CC 1，CC 1∩AC ＝C ，AC ，CC 1 平面ACC 1A 1， 所以MF ⊥平面ACC 1A 1，(13分)又MF 平面AFC 1，所以平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.(14分)17. 解：(1) 因为椭圆C 的离心率为c a ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2，(2分)所以椭圆C 的方程可化为x 2＋4y 2＝4b 2.又椭圆C 过点P(2，－1)，所以4＋4＝4b 2，解得b 2＝2，a 2＝8，(4分) 所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 22＝1.(5分)(2) 由题意，设直线PA 的方程为y ＋1＝k(x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝8，y ＝k （x －2）－1，消去y 得：(1＋4k 2)x 2－8(2k 2＋k)x ＋16k 2＋16k －4＝0，(7分) 所以2x 1＝16k 2＋16k －41＋4k 2，即x 1＝8k 2＋8k －21＋4k 2，因为直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率为互为相反数． 设直线PB 的方程为y ＋1＝－k(x －2)，同理求得x 2＝3k 2－8k －21＋4k 2.(10分)又⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1＝k （x 1－2），y 2＋1＝－k （x 2－2），所以y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ， 即y 1－y 2＝k(x 1＋x 2)－4k ＝k 16k 2－41＋4k 2－4k ＝－8k 1＋4k 2，x 1－x 2＝16k 1＋4k 2. 所以直线AB 的斜率为k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－8k1＋4k 216k 1＋4k2 ＝－12.(14分)18. 解：(1) 据题意，抛物线段AB 与x 轴相切，且A 为抛物线的顶点，设A(a ，0)(a<－2)，则抛物线段AB 在图纸上对应函数的解析式可设为y ＝λ(x －a)2(a ≤x ≤－2)(λ>0)，(2分)其导函数为y′＝2λ(x －a)．由曲线段BD 在图纸上的图象对应函数的解析式为y ＝84＋x 2(x ∈[－2，2])， 又y′＝－16x （4＋x 2）2，且B(－2，1)，所以曲线在B 点处的切线斜率为12， 因为B 点为衔接点，则⎩⎪⎨⎪⎧λ（－2－a ）2＝1，2λ（－2－a ）＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，λ＝116.(4分)所以曲线段AB 在图纸上对应函数的解析式为y ＝116(x ＋6)2(－6≤x ≤－2)．(5分) (2) 设P(x ，y)是曲线段AC 上任意一点，①若P 在曲线段AB 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )1＝(－x)·18(x ＋6)＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，(6分)令y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)，所以函数y 1＝－18[(x ＋3)2－9](－6≤x ≤－2)在区间[－6，－3]上为增函数，在区间[－3，－2]上是减函数，所以[(M P )1]max ＝98(米)(9分)②若P 在曲线段BC 上，则通过该点所需要的爬坡能力 (M p )2＝(－x)·－16x （4＋x 2）2＝16x 2（4＋x 2）2(－2≤x ≤0)，(10分)令t ＝x 2，t ∈[0，4]，则(M p )2＝16t（4＋t ）2，t ∈[0，4]，记y 2＝16t （4＋t ）2，t ∈[0，4]，当t ＝0时，y 2＝0，而当0<t ≤4时，y 2＝1616t＋t ＋8， 所以当t ＝4时，t ＋16t 有最小值16，从而y 2取最大值1，此时[(M p )2]max ＝1(米)(13分)所以由①，②可知：车辆过桥所需要的最大爬坡能力为98米，(14分)又因为0.8<98<1.5<2，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥．(16分)19. 解：(1) 由S n ＝2a n －2得S n ＋1＝2a n ＋1－2，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋1＝2a n ，由又S 1＝2a 1－2，得a 1＝2a 1－2，a 1＝2，(2分)所以数列{a n }为等比数列，且首项为2，公比q ＝2，所以a n ＝2n .(4分)(2) 由(1)知1a n ＝12n (n ∈N *)．由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1＋…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)． 故12n －12n －1＝(－1)n ＋1b n 2n ＋1，即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)．(7分) 当n ＝1时，a 1＝b 12＋1，b 1＝32.所以b n＝⎩⎨⎧32，（n ＝1）（－1）n⎝⎛⎭⎫12n＋1.（n ≥2，n ∈N *）(9分)(3) 因为c n ＝2n ＋λb n ，所以当n ≥3时，c n ＝2n ＋(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1λ， c n －1＝2n －1＋(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋1λ，依据题意，有c n －c n －1＝2n －1＋(－1)nλ⎝⎛⎭⎫2＋32n >0，即(－1)n λ>－2n －132n ＋2.(10分) ①当n 为大于或等于4的偶数时， 有λ>－2n －132n＋2恒成立，又2n －132n ＋2＝1322n －1＋12n －2随n 增大而增大， 则当且仅当n ＝4时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝12835，故λ的取值范围为λ>－12835；(12分) ②当n 为大于或等于3的奇数时，有λ<2n －132n＋2恒成立，且仅当n ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n －132n ＋2min ＝3219， 故λ的取值范围为λ<3219；(14分)又当n ＝2时，由c n －c n －1＝c 2－c 1＝(22＋54λ)－⎝⎛⎭⎫2＋32λ>0，得λ<8.(15分) 综上可得，所求λ的取值范围是－12835<λ<3219.(16分)20. 解：(1) f′(x)＝1x·x ＋ln x －k －1＝ln x －k ，(1分)①k ≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x －k>0，函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间，无极值；(2分) ②当k>0时，令ln x －k ＝0，解得x ＝e k ， 当1<x<e k 时，f ′(x)<0； 当x>e k 时，f ′(x)>0，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，e k )，单调递增区间是(e k ，＋∞)，(4分) 在区间(1，＋∞)上的极小值为f(e k )＝(k －k －1)e k ＝－e k ，无极大值．(5分)(2) 由题意，f(x)－4ln x<0，即问题转化为(x －4)ln x －(k ＋1)x<0对于x ∈[e ，e 2]恒成立， 即k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，(7分)令g(x)＝（x －4）ln x x ，则g′(x)＝4ln x ＋x －4x 2，令t(x)＝4ln x ＋x －4，x ∈[e ，e 2]，则t′(x)＝4x＋1>0，所以t(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，故t(x)min ＝t(e )＝e －4＋4＝e >0，故g′(x)>0， 所以g(x)在区间[e ，e 2]上单调递增，函数g(x)max ＝g(e 2)＝2－8e 2.(9分)要使k ＋1>（x －4）ln xx 对于x ∈[e ，e 2]恒成立，只要k ＋1>g(x)max ，所以k ＋1>2－8e 2，即实数k 的取值范围为(1－8e2，＋∞)．(10分)(3) 证法1 因为f(x 1)＝f(x 2)，由(1)知，函数f(x)在区间(0，e k )上单调递减，在区间(e k ，＋∞)上单调递增，且f(e k ＋1)＝0.不妨设x 1<x 2，则0<x 1<e k <x 2<e k ＋1，要证x 1x 2<e 2k，只要证x 2<e 2k x 1，即证e k<x 2<e 2k x 1.因为f(x)在区间(e k，＋∞)上单调递增，所以f(x 2)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，又f(x 1)＝f(x 2)，即证f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，构造函数h(x)＝f(x)－f ⎝⎛⎭⎫e 2kx ＝(ln x －k －1)x －⎝⎛⎭⎫ln e 2kx －k －1e 2kx ， 即h(x)＝x ln x －(k ＋1)x ＋e 2k ⎝⎛⎭⎫ln x x－k －1x ，x ∈(0，e k )．(12分) h ′(x)＝ln x ＋1－(k ＋1)＋e 2k (1－ln x x 2＋k －1x 2)＝(ln x －k)（x 2－e 2k ）x 2，因为x ∈(0，e k )，所以ln x －k<0，x 2<e 2k ，即h ′(x)>0，所以函数h(x)在区间(0，e k )上单调递增，故h(x)<h(e k )， 而h(e k)＝f(e k)－f ⎝⎛⎭⎫e 2ke k ＝0，故h(x)<0，(14分)所以f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2k x 1，即f(x 2)＝f(x 1)<f ⎝⎛⎭⎫e 2kx 1，所以x 1x 2<e 2k 成立．(16分) 证法2 要证x 1x 2<e 2k 成立 ，只要证：ln x 1＋ln x 2<2k.因为x 1≠x 2，且f(x 1)＝f(x 2)，所以(ln x 1－k －1)x 1＝(ln x 2－k －1)x 2， 即x 1ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，x 1ln x 1－x 2ln x 1＋x 2ln x 1－x 2ln x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)， 即(x 1－x 2)ln x 1＋x 2ln x 1x 2＝(k ＋1)(x 1－x 2)，k ＋1＝ln x 1＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2，同理k ＋1＝ln x 2＋x 1lnx 1x 2x 1－x 2，从而2k ＝ln x 1＋ln x 2＋x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2，(12分)要证ln x 1＋ln x 2<2k ，只要证x 2lnx 1x 2x 1－x 2＋x 1ln x 1x 2x 1－x 2－2>0，不妨设x 1<x 2，则0<x 1x 2＝t<1，即证ln t t －1＋ln t1－1t －2>0，即证（t ＋1）ln t t －1>2，即证ln t<2t －1t ＋1对t ∈(0，1)恒成立，(14分)设h(t)＝ln t －2t －1t ＋1(0<t<1)，h ′(t)＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2>0，所以h(t)在t ∈(0，1)单调递增，h(t)<h(1)＝0，得证，所以x 1x 2<e 2k .(16分) 附加题21. A . (选修4—1：几何证明选讲) 证明：由切割线定理得FG 2＝FA·FD.(2分) 又EF ＝FG ，EF 2＝FA·FD ，则EF FA ＝FD EF .(5分)因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△DEF ∽△EAF ， 故∠FED ＝∠FAE.(8分)因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB.(10分) B . (选修4—2：矩阵与变换)解：因为|A |＝2×3－1×1＝5，(2分)所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525，(6分) 由AC ＝B ，得(A －1A )＝A －1B ，所以C ＝A－1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35－15－1525⎣⎢⎡⎦⎥⎤110－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3545－15－35.(10分)C. (选修4—4：坐标系与参数方程)解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .(4分)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，(8分)解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.(10分) D. (选修4—5：不等式选讲)证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以，(ax ＋by )(bx ＋ay )＝ab (x 2＋y 2)＋xy (a 2＋b 2)(4分) ≥ab ·2xy ＋xy (a 2＋b 2)＝(a ＋b )2xy ，(7分) 又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy .(9分) 当且仅当x ＝y 时等号成立．(10分)22. 解：(1) 依题意，随机变量ξ的取值是2，3，4，5，6.(2分) 因为P(ξ＝2)＝3282＝964；(3分)P(ξ＝3)＝2×3282＝1864；(4分)P(ξ＝4)＝32＋2×3×282＝2164；(5分)P(ξ＝5)＝2×3×282＝1264；(6分)P(ξ＝6)＝2×282＝464.(7分)所以，当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P(ξ＝4)＝2164；(8分)(2) E(ξ)＝2×964＋3×1864＋4×2164＋5×1264＋6×464＝154，所以，随机变量ξ的期望E(ξ)＝154.(10分)23. 解：(1) 由OC →＝tOM →＋(1－t)ON →(t ∈R )，可知点C 的轨迹是M ，N 两点所在的直线， 所以C 点的轨迹方程为y ＋3＝1－（－3）4(x －1)，即y ＝x －4.(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，化简得x 2－12x ＋16＝0，(3分) 设C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，y 1y 2＝(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝－16，因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝16－16＝0，所以OA ⊥OB .(5分)(2) 假设存在这样的P 点，并设AB 是过抛物线的弦，其方程为x ＝ny ＋m ， 代入y 2＝4x 得y 2－4ny －4m ＝0，(6分) 此时y 1＋y 2＝4n ，y 1y 2＝－4m ，所以k OA k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 214·y 2y 224＝16y 1y 2＝－4m＝－1，所以m ＝4(定值)，故存在这样的点P (4，0)满足题意．(8分) 设AB 的中点为T (x ，y )，则y ＝12(y 1＋y 2)＝2n ，x ＝12(x 1＋x 2)＝12(ny 1＋4＋ny 2＋4)＝n2(y 1＋y 2)＋4＝2n 2＋4，消去n 得y 2＝2x －8.(10分)。
2017年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)
．
答案 解析
10 z = (1 + i)(1 + 2i) = 1 + i 1 + 2i = 2 × 5 = 10 ，故答案为 10 ．
别为 200，400，300，100 件．为检验产品的
▲
3．某 厂生产 、乙、丙、 四种 同型 的产品，产
，
现用 层抽样的方法从以 所有的产品中抽取 60 件进行检验，则 从丙种型 的产品中抽取 答案 18 解析 从丙种型 的产品中抽取 60 ×
个球 O ，该球
▲
解析Βιβλιοθήκη 6．如，在圆柱 O1O2 内有
圆柱的 ．
、
面及母线均相
．记圆柱 O1O2 的体
为 V1 ，
球 O 的体 为 V2 ，则
V1 的值是 V2
答案
3 2
V1 πr 2 × 2r 3 3 = = 解析 设球半径为 r ，则 V ．故答案为 ． 4 3 2 2 πr 2 3
7．记函数 f ( x) = 6 + x − x 2 的定义域为 D ．在区间 [−4, 5]
20, 则点 P 的横
坐标的取值范围是 答案
▲
．
[ −5 2,1]
14． 设 f ( x) 是定义在 R
且周期为 1 的函数， 在区间 [0,1)
绝密★启用前
2017
普通高等学校招生全 数学 I
统
考试
江
卷
参考
式
V = Sh ，其中 S 是柱体的
柱体的体 球的体
面 ， h 是柱体的高．
V=
4πR 3 ，其中 R 是球的半径． 3
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上 ． ．．．．．．．．
(完整版)2017年高考数学江苏卷试题解析
绝密★启用前2017 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 I参照公式：柱体的体积 V Sh ，此中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．球的体积 V4πR3，此中 R 是球的半径．3一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1．已知会合 A {1,2} ， B { a, a23}，若 AI B {1} ，则实数a的值为▲．【答案】1【分析】由题意 1 B ，明显a2 3 3，所以a 1 ，此时a234，知足题意，故答案为1．2．已知复数 z (1i)(12i) ，此中 i 是虚数单位，则z 的模是▲．【答案】10【分析】z(1i)(1 2i)1i 1 2i2510 ，故答案为10 ．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为查验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行查验，则应从丙种型号的产品中抽取▲件．【答案】 18【分析】应从丙种型号的产品中抽取6030018．18 件，故答案为10004．右图是一个算法流程图，若输入x的值为1 ，则输出y的值是▲．16【答案】2【分析】由题意得 y 2 log 212 ，故答案为 2 ．16π1, 则tan▲．5．若 tan()64【答案】75tan()tan 1 177【分析】 tan tan[()]4461．故答案为．441tan()tan5514466．如图，在圆柱O1O2内有一个球 O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 V1的值是▲．V2【答案】32V1r 22r3【分析】设球半径为r ，则V24r 3 2 ．故答案为3．327．记函数f (x)6 x x2的定义域为 D ．在区间[4,5] 上随机取一个数x ，则x D的概率是▲．【答案】5 98．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x2y21的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q，其焦点是3F1 , F2，则四边形 F1 PF2Q 的面积是▲．【答案】 2 3【分析】右准线方程为33103x ，设 P( 3 10,30)，则Q(3 10,30)，x10，渐近线方程为 y10310101010F 1 ( 10,0) ， F 2 ( 10,0) ，则 S 21030 ．2 3109．等比数列 { a n } 的各项均为实数，其前n7 63 项和为 S n ，已知 S 3, S 6，则 a 8 = ▲ ．44【答案】 3210．某企业一年购置某种货物 600 吨，每次购置 x 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总储存花费为4x 万元．要使一年的总运费与总储存花费之和最小，则x 的值是▲ ．【答案】 30【分析】 总花费为 4x600 6900 4 2 900240 ，当且仅当 x900 ，即 x 30 时等号成立．x4( x) xx11．已知函数 f ( x)32 x x1 ，此中 e 是自然对数的底数．若f ( a 1)2) 0 ，则实数 a 的取值xee xf (2 a范围是 ▲ ．【答案】 [1,1]2【分析】因为f ( x)x 3 2x1e xf ( x) ，所以函数 f ( x) 是奇函数，e x因为f '( x)3x 22 e x e x 3x 2 2 2 e x e x 0 ，所以数 f ( x) 在 R 上单一递加，又 f (a 1) f (2a 2 ) 0 ，即 f (2a 2 )f (1 a) ，所以 2a 2 1 a ，即 2a 2a 10，解得 1a 1 ，故实数 a 的取值范围为 [ 1,1] ．2 uuur uuur uuur 21 1 uuur uuur，且 tan=712．如图， 在同一个平面内， 向量 OA ，OB ，OC 的模分别为 ， ， 2 ，OA 与 OC 的夹角为，uuur uuur 45° uuur uuur uuur (m, n R ) ，则 m nOB 与OC 的夹角为 ．若 OC mOA nOB ▲ ．【答案】 3【分析】由 tan7 可得 sin7 2， cos2 ，依据向量的分解， 101022 2n cos 45 m cos 2nm5n m 10 5 7 ，即210，即易得m sin5n 7m，即得 m, n，n sin 452 n 7 2 m 0442 10所以 m n 3 ．uuur uuur13．在平面直角坐标系xOy 中， A( 12,0), B(0,6), 点 P 在圆 O : x 2y 250 上，若 PA PB ≤ 20, 则点 P 的横坐标的取值范围是▲．【答案】 [ 5 2,1]14 ．设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为x 2 , x D , n1 1 的函数，在区间 [0,1) 上， f ( x)D , 此中会合 D { x x，x, xnn N*} ，则方程 f (x)lg x0 的解的个数是▲．【答案】 8【分析】因为 f ( x) [0,1) ，则需考虑 1 x 10 的状况，在此范围内，x Q 且 xD 时，设 xq, p, q N * , p 2 ，且 p, q 互质，p若 lg xQ ，则由 lg x(0,1) ，可设 lg xn, m, n N * , m 2 ，且 m, n 互质，mnqnq m所以 10m，则 10 )lg xQ ，p( ，此时左侧为整数，右侧为非整数，矛盾，所以p所以 lg x 不行能与每个周期内x D 对应的部分相等，只要考虑 lg x 与每个周期 x D 的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0) 其余交点横坐标均为无理数，属于每个周期 x D 的部分，且 x 1 处(lg x)111 邻近仅有一个交点，xln101 ，则在xln10所以方程 f ( x) lg x0 的解的个数为 8．二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字说明、证明过．．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥A-BCD 中， AB ⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD ⊥平面 BCD ，点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱AD， BD 上，且 EF⊥ AD ．求证：（ 1） EF∥平面 ABC；（2） AD⊥ AC．16．（本小题满分14 分）已知向量 a (cos x, sin x), b (3,3), x[0, π].（ 1）若 a∥ b，求 x 的值；（ 2）记 f ( x) a b ，求 f (x) 的最大值和最小值以及对应的x 的值．（ 2）f (x)a b (cos x,sin x)(3,3)3cos x 3 sin x2π3 cos(x) ．6因为，所以 x ππ 7π，进而1cos(xπ3．6[ ,])2 666于是，当 x π π0 时，3；6，即 x取到最大值6当 x π，即 x5π取到最小值 2 3 ．6时，617．（本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2y21(a b0) 的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为E :2b2a1，两准线之间的距离为8F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F22．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点作直线 PF2的垂线 l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线 l1， l2的交点 Q 在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（ 1）设椭圆的半焦距为c．因为椭圆 E 的离心率为1，两准线之间的距离为8c12a28 ，2，所以2，a c解得 a 2, c 1 ，于是b a2c23，所以椭圆 E 的标准方程是x2y21．43（ 2）由（ 1）知，F1(1,0) ， F2 (1,0)．设 P(x0 , y0 ) ，因为 P 为第一象限的点，故x00, y00 ．当 x01时， l2与 l1订交于 F1，与题设不符．由①②，解得xx0 , y x021，所以 Q(x0,x21)．y0y0因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得x021221221 ．y0y0，即x0y0或 x0y0又P在椭圆 E 上，故x02y02 1 ．43x02y02147, y0 3 7x02y021由x02y02，解得x0；x02y021，无解．4317743所以点 P的坐标为(47,3 7)．7718．（本小题满分16 分）如图，水平搁置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC 的长为10 7 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG ， E1G1的长分别为14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽视不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（ 1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面 A1 ACC1⊥平面ABCD， CC1⊥ AC ．记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．因为 AC 10 7, AM40 ，所以MC402(10 7) 230，进而 sin ∠MAC 3，4记AM 与水面的交点为P ，过P 作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，11则 P1Q1⊥平面 ABCD ，故 P1Q1=12，进而 AP1=P1Q116 ．sin∠ MAC答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm．(假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)过 G 作 GK⊥ E1G1， K 为垂足，则 GK =OO1=32．因为 EG = 14， E1G1= 62，所以 KG 1=62 1424 ，进而GG1KG12GK 224232240 ．2设 ∠EGG 1,∠ENG, 则 sinsin(∠ KGG 1 ) cos ∠ KGG 14 ．25因为，所以 cos 3 ．52在 △ENG 中，由正弦定理可得40 14 ，解得 sin7 ．sin sin25因为 0，所以 cos 24 ．252于是 sin ∠ NEG sin()sin() sincoscos sin4 24 ( 3) 7 3 ．525 5 255记 EN 与水面的交点为 P 22222为垂足，则 2 2，过P 作PQ ⊥EG ，Q P Q ⊥平面 EFGH ，故 P 2Q 2=12，进而 EP 2=P 2Q 2 20 ．sin ∠ NEG答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm ．(假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为 20cm)19．（本小题满分16 分）对于给定的正整数 k ，若数列 { a n } 知足： a n k a n k 1Lan 1an 1Lan k 1an k2ka n 对随意正整数 n(n k) 总成立，则称数列{ a n } 是“ P(k ) 数列”． （ 1 ）证明：等差数列 { a n } 是“ P(3) 数列”；（ 2 ）若数列 { a n } 既是“ P(2) 数列”，又是“ P(3) 数列”，证明： { a n } 是等差数列．【分析】（ 1）因为 { a}是等差数列，设其公差为d ，则 ana( n1)d ，n1进而，当 n4 时， a n ka nk a 1(n k 1)d a 1 (n k 1)d2a 1 2( n 1)d 2a n ， k 1,2,3,所以 a n 3 a n 2 +a n 1 +a n 1 a n 2 +a n 3 6a n ，所以等差数列 { a n } 是“ P(3) 数列”．a n2 a n34a n1 ( a n 1 a n ) ，④将③④代入②，得a n 1 a n 12a n，此中n 4 ，所以 a3, a4 , a5 ,L是等差数列，设其公差为 d' ．在①中，取在①中，取n4，则 a2a3a5a64a4，所以 a2a3d' ，n3，则 a1a2a4a54a3，所以 a1a32d' ，所以数列 { a n}是等差数列．20．（本小题满分16 分）已知函数 f ( x)32f (x) 的极值点是 f (x) 的零点．（极值点x ax bx 1(a 0,b R ) 有极值，且导函数是指函数取极值时对应的自变量的值）（ 1）求 b 对于a的函数关系式，并写出定义域；（ 2）证明： b 23a；（ 3）若 f (x) ， f ( x) 这两个函数的所有极值之和不小于7，求a的取值范围．2当 a3时， f (x)>0(x1)，故 f (x) 在R上是增函数， f (x)没有极值；当 a3时， f (x)=0 有两个相异的实根x1=aa23b，x2= aa23b ．33列表以下：x(, x1)x1( x1 , x2 )x2(x2 , )f (x)+0–0+f (x)Z极大值]极小值Z故 f (x) 的极值点是 x 1 , x 2 ．进而 a 3 ．所以 b2a 23(3,) ．9，定义域为a（ 2）由（ 1）知，b = 2a a 3 ．设 g (t )= 2t3 ，则 g (t )=2 32t 2 27 ．a 9 a a 9t9 t 2 9t 2当t ( 3 6, ) 时， g (t) 0 ，进而 g(t ) 在 ( 3 6 ,) 上单一递加．22因为 a3 ，所以 a a3 3 ，故 g (a a )>g (3 3)= 3 ，即 b > 3 ．所以 b 2 >3a ．a记 f (x) ， f (x) 所有极值之和为 h(a) ，因为 f (x) 的极值为 b a21 a2 3，所以 h(a)=1 a23 ， a 3 ．39a9 a因为 h (a)=2 a3 0 ，于是 h(a) 在 (3, ) 上单一递减．9 a 2因为 h(6)=7h(6) ，故 a 6 ．所以 a 的取值范围为 (3，6] ． ，于是 h(a)2数学Ⅱ（附带题）21．【选做题】此题包含A 、B 、C 、D 四小题，请选定此中两题 ，并在相应的答题地区内作答，若多做，．．．．．．． ．．．．．．．．．．．． 则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ． [ 选修 4-1：几何证明选讲 ]( 本小题满分 10 分)如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC 切半圆 O 于点 C ， AP ⊥ PC ， P 为垂足．求证：（ 1） PACCAB ；（ 2） AC 2AP AB ．【分析】（ 1）因为 PC 切半圆 O 于点 C ，所以 ∠ PCA ∠ CBA ， 因为 AB 为半圆 O 的直径，所以 ∠ACB 90 ．因为 AP ⊥ PC ，所以 ∠APC90 ，所以 PACCAB ．（ 2）由（ 1）知， △APC ∽△ ACB ，故APAC，即 AC 2AP ·AB ．AC ABB ． [ 选修 4-2：矩阵与变换 ](本小题满分 10 分 )0 1 1 0 已知矩阵 A, B.121（）求 AB ；x 2 y 2 C C21 在矩阵 AB 对应的变换作用下获得另一曲线2 ，求 2 的方程．（ ）若曲线 C 1 :82C ． [ 选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）x 8t在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参照方程为t( t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为y2x 2s 2P 到直线 l 的距离的最小值．y( s 为参数 )．设 P 为曲线 C 上的动点，求点2 2s【分析】直线 l 的一般方程为x 2 y 8 0．因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2 s 2 , 22s) ，进而点 P 到直线 l 的的距离d | 2s242s 8 | 2( s2) 242时，d min 4 5 ．2(2)25，当s15所以当点 P 的坐标为 (4, 4)时，曲线 C 上点P到直线 l 的距离取到最小值45 ．5D ．［选修 4-5：不等式选讲］（本小题满分10 分）已知 a,b,c,d 为实数，且a2b24,c2 d 216, 证明： ac bd ≤ 8.【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，合计20 分．请在答题卡指定地区内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD ，且 AB=AD =2， AA1 = 3 ，BAD 120 ．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B-A1D-A 的正弦值．【分析】在平面ABCD 内，过点 A 作 AE AD ，交 BC 于点 E．因为 AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA 1AD ．uuur uuur uuur如图，以 { AE , AD , AA1} 为正交基底，成立空间直角坐标系A-xyz．因为 AB=AD =2，AA 1=3，BAD 120．则A(0,0,0), B( 3, 1,0), D(0,2,0), E( 3,0,0), A1(0,0,3), C1 ( 3,1, 3) ．uuur （1）A1B ( 3, uuur uuuur 则cos A1 B, AC1uuuur1, 3), AC1(3,1,3)，uuur uuuur(3,1, 3) ( 3,1, 3)1 A1B AC1uuur uuuur．| A1B || AC1 |77所以异面直线A1B 与 AC1所成角的余弦值为 1 ．7设二面角 B-A1D-A 的大小为，则 | cos|3．4因为[0,] ，所以sin1cos2717 ．．所以二面角B-A D-A 的正弦值为4423．（本小题满分10 分）已知一个口袋中有 m 个白球， n 个黑球(m,n N*,n ≥ 2 )，这些球除颜色外所有同样．现将口袋中的球随机地逐一拿出，并放入以下图的编号为1,2, 3,L , m n 的抽屉内，此中第 k 次拿出的球放入编号为 k 的抽屉 (k 1, 2, 3,L , m n) ．123L m n（ 1）试求编号为 2 的抽屉内放的是黑球的概率p ；（ 2 ）随机变量X 表示最后一个拿出的黑球所在抽屉编号的倒数， E ( X ) 是X的数学希望，证明：E(X )n．n)( n(m1)【分析】（ 1）编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率C m n 1n 1n p 为： p．C m n nm n（ 2）随机变量 X 的概率散布为1 1 111 Xn 1n 2nkm nC n n 11PCnm n随机变量 X 的希望为C n n1 C n n11C m nnC m nnmn1C k n11E(X)k n kC m nnC k n11C n n 1m 1C m nnC m n n1m n1(k 1)!．C m n n k n k (n 1)!(kn)!1m n(k 2)!1m n(k 2)!所以 E(X)C m nn ( n1)!( k n)! (n1)C mnn k n(n2)!( kn)!n k1n 2n 2 n 2 1n 1 n 2n 2 n 2(n 1)C m n (1 C n 1C nL C m n 2 )(C n 1Cn 1C n L C m n 2 )n( n 1)C m n n1n 1 n 2 Ln 2L1n 1n 2(n 1)C m n (C nC nCm n 2)(Cm n 2Cm n 2)n( n 1)C m nnC m n 1n 1n ，(n 1)C mn( m n)( n 1)n即E(X)n．n)(n 1)(m。
2017年江苏卷数学高考试题解析(精编版) (解析版)
绝密★启用前【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。
2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。
如第7题首次考查几何概型概率问题。
2.关注通性通法。
试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。
如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。
第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。
第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。
3.体现数学应用，关注社会生活。
第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。
两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。
【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ . 【答案】10【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b (,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N . 4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.结束 （第4题）开始 22log y x←+Y1x ≥N输入x 2x y ←输出y6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 7. 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .O O 1 O 2 ⋅⋅ ⋅【答案】23【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学#科.网合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为2OA 与OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ . 【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=，2cos α=，根据向量的分解，易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=.α A CB(第12题)【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质因此10nmqp=，则10()n mqp=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为3-.(第15题)ADBC EF【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++ (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<> 17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737(,) 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. F 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P 的坐标为737(77.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.容器Ⅱ容器ⅠGOHFD BAO 1H 11F 1E D 1C 1B 1A (第18题)记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=.于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法：2n S An Bn =+20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-. 列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x '+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以33a a >()>(33)=3g a g >3a因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，POCA(第21-A 题)所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 45. 【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 13 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.DCBD 1B 1C 1A 1A(第22题)【答案】（1）1 7（2）74【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AE⊥AD，交BC于点E.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.(2)平面A1DA的一个法向量为(3,0,0)AE=.设(,,)x y z=m为平面BA1D的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0)A B BD=--=-，则10,0,A BBD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即330,330.x y zx y-=+=⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，因此二面角B -A 1D -A 7. 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+.1 2 3m n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n np m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为: X1n 11n + 12n + …1k…1m n+P11C C n n nm n--+ 1C C n nnm n-+ 11C C n n nm n-++ …11C C n k nm n--+ …11C C n n m nm n-+-+ 随机变量 X 的期望为：()()(1)nE X m n n <+-.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。
2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析).docx
2017 年江苏省高考数学试卷一 .填空题1（．5 分）已知集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出 y 的值是．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则 a8=．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为 45°．若 =m +n（ m，n∈ R），则 m+n=．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=， n∈ N* } ，则方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点 P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A ，另一端置于棱 CC1上，求 l 没入水中部分的度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E ，另一端置于棱 GG1上，求 l 没入水中部分的度．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．20．（ 16 分）已知函数f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极，且函数 f ′（ x）的极点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定域；（Ⅱ）明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）两个函数的所有极之和不小于，求数a的取范．二 .非，附加（ 21-24 做）【修 4-1：几何明】（本小分0分）21．如， AB 半 O 的直径，直 PC切半 O 于点 C，AP⊥PC，P 垂足．求：（1）∠PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．[ 修 4-2：矩与 ]22．已知矩 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲 C1：=1在矩AB的作用下得到另一曲2，求CC2的方程．[ 修 4-4：坐系与参数方程 ]23．在平面直角坐系xOy 中，已知直 l 的参数方程（t参数），曲 C 的参数方程（s参数）．P曲C上的点，求点P 到直 l 的距离的最小．［修 4-5：不等式］24．已知 a，b，c， d 数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，明 ac+bd≤ 8．【必做】25．如，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直 A1B 与 AC1所成角的余弦；（2）求二面角 B A1D A 的正弦．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明E（ X）＜．2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为 1 ．．（分）已知集合1 5A={ 1，2} ，B={ a，a【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．A∩B={ 1} ，∴a=1 或 a2+3=1，当a=1 时， A={ 1，1} ， B={ 1， 4} ，成立；a2+3=1 无解．综上， a=1．故答案为： 1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数 z=（ 1+i）（1+2i） =1﹣2+3i=﹣ 1+3i，∴ | z| ==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18 件，故答案为： 18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值 x=，不满足x≥1，所以 y=2+log2=2﹣=﹣ 2，故答案为：﹣ 2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵ tan（α﹣）===∴6tan α﹣6=tan α+1，解得 tan α=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，23．圆柱的体积为：πR?2R=2πR则 == ．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣ 2≤ x≤ 3，则 D=[ ﹣2，3] ，则在区间 [ ﹣ 4， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D 的概率 P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣ y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1，2，则四边形 1 2．F F PF Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣ y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：±x，y=所以 P（，），Q（，﹣），F1（﹣，）． 2（，）．20 F 2 0则四边形 F1PF2Q 的面积是：=2．故答案为： 2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列 { a n的公比为≠， 3， 6，可得=，}q 1 S =S = =，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q≠ 1，∵ S3， 6，∴，，解得 a1=，q=2．则 a8==32．故答案为： 32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4× 2×=240（万元）．当且仅当 x=30 时取等号．故答案为： 30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（分）已知函数3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a 11 5f（x）=x﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是[ ﹣ 1， ] ．【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤ 1﹣ a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数 f （x） =x3﹣ 2x+e x﹣的导数为：f ′（x）=3x2﹣2+e x+ ≥﹣ 2+2=0，可得 f （x）在 R 上递增；3+2x+e ﹣x x 3x又 f（﹣ x） +f （x）=（﹣ x）﹣e +x﹣2x+e ﹣ =0，可得 f （x）为奇函数，则f（ a﹣ 1） +f （2a2）≤ 0，即有 f （2a2）≤﹣ f（a﹣1）由 f（﹣（ a﹣1））=﹣ f（ a﹣1），f（2a2）≤ f（1﹣a），即有 2a2≤1﹣a，解得﹣ 1≤a≤，故答案为： [ ﹣1，] ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为45°．若=m +n（m，n∈ R），则 m+n= 3．【分析】如图所示，建立直角坐标系． A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得 cosα=， sin α= ． C．可得°°cos（α+45 ） =． sin（α+45 ）=．B．利用=m +n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴ cosα=，sinα=．∴ C．°（ cosα﹣sin α）=．cos（α+45） =sin（α+45°（sin α+cosα）=．）=∴ B．∵=m +n （m， n∈ R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得 n=，m=．则m+n=3．故答案为： 3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ ﹣5，1]．【分析】根据题意，设 P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设 P（x0， y0），则有 x02+y02=50，=（﹣ 12﹣ x0，﹣ y0）?（﹣ x0，6﹣y0）=（ 12+x0）x0﹣ y（0 6﹣ y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为： 12x0﹣6y0+30≤0，即 2x0﹣y0+5≤ 0，表示直线 2x﹣ y+5=0 以及直线上方的区域，联立，解可得 x0﹣或0 ，= 5x =1结合图形分析可得：点P 的横坐标 x0的取值范围是 [ ﹣5，1] ，故答案为： [ ﹣5 ，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0的关系式．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=，n∈ N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f （ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥ AD．求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．【分析】（1）利用 AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD上点 G，连结 FG、EG使得 FG∥ BC，则 EG∥ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为 AB⊥ AD， EF⊥AD，且 A、B、E、F 四点共面，所以 AB∥EF，又因为 EF?平面 ABC，AB? 平面 ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面 ABC；（2）在线段 CD上取点 G，连结 FG、 EG使得 FG∥BC，则 EG∥AC，因为 BC⊥BD， FG∥ BC，所以 FG⊥BD，又因为平面 ABD⊥平面 BCD，所以 FG⊥平面 ABD，所以 FG⊥AD，又因为 AD⊥EF，且 EF∩FG=F，所以 AD⊥平面 EFG，所以 AD⊥EG，故 AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（ 2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵ =（cosx， sinx）， =（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴ tanx=﹣，∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x=，（ 2） f （x ）==3cosx ﹣ sinx=2（cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+），∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x+ ∈[， ] ，∴﹣ 1≤cos （x+ ）≤，当 x=0 时， f （x ）有最大值，最大值 3，当 x=时， f （x ）有最小值，最小值﹣ 2 ．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：=1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1， 2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆FE 上，且位于第一象限，过点F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线1 112 2 l 2．（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l 1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c ，由椭圆的准线方程 x=±，则 2×=8，即可求得 a 和 c 的值，则 b 2=a 2﹣ c 2 =3，即可求得椭圆方程；（ 2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 2 的斜率及直线 P F 1 的斜率，则即可求得 l 2及l1的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y02=x02﹣1，联立即可求得 P 点坐标；方法二：设 P（m， n），当 m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得 Q 点坐标，根据对称性可得=± n2，联立椭圆方程，即可求得 P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e== ，则 a=2c，①椭圆的准线方程 x=±，由 2×=8，②由①②解得： a=2，c=1，则 b2 2﹣c2，=a=3∴椭圆的标准方程：；（ 2）方法一：设 P（x0，0），则直线 2 的斜率=，y PF则直线 l2的斜率 2 ﹣，直线l 2的方程﹣（﹣），k =y=x 1直线 PF1的斜率=，则直线 l2的斜率1﹣，直线l 1 的方程﹣（），k =y=x+1联立，解得：，则Q（﹣x0，），由 P，Q 在椭圆上， P， Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣ 1，则，解得：，则，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．方法二：设 P（m， n），由 P 在第一象限，则 m＞ 0， n＞ 0，当 m=1 时，不存在，解得： Q 与 F1重合，不满足题意，当 m≠1 时，=，=，由 l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线 l1的方程 y=﹣（ x+1），①直线 l2的方程 y=﹣（x﹣1），②联立解得： x=﹣m，则 Q（﹣ m，），由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣ n2=1，或 m2+n2=1，由 P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作NP∥MC，交 AC于点 P，推导出 CC1⊥平面 ABCD，CC1⊥ AC，NP⊥ AC，求出MC=30cm，推导出△ ANP∽△ AMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥ EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出 E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 ACM 中，过 N 作 NP∥MC，交 AC于点 P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴ CC1⊥平面 ABCD，又∵ AC? 平面 ABCD，∴ CC1⊥AC，∴ NP⊥AC，∴NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm，∵ NP∥MC，∴△ ANP∽△ AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 E1EGG1中，过点 N 作 NP⊥EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥ E1G1，交 E1G1于点 Q，∵ EFGH﹣ E1F1G1H1为正四棱台，∴ EE1=GG1， EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1的平面图，∵ E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm， NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得： E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴ sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠ EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠ EMG= ，∴ EN===20cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm．【点】本考玻璃棒 l 没入水中部分的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．【分析】（1）由意可知根据等差数列的性， a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（ a n+a n+3）+（a n﹣ 2+a n+2）+（a n﹣ 1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定，可得﹣3数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2）由已知条件合（ 1）中的，可得到 { a n} 从第 3 起等差数列，再通判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系，可知 { a n} 等差数列．【解答】解：（ 1）明：等差数列 { a n} 首 a1，公差 d， a n =a1+（n 1）d，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n +2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2 ）明：当n ≥ 4 ，因数列{ a n} 是 P（ 3 ）数列，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n，①因数列 { a n} 是“P（ 2）数列”，所以 a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③﹣①，得 2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即 2a n=a n﹣1+a n+1，（ n≥ 4），因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列，设公差为d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4，所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣ a6=4（a3+d）﹣ a3﹣（ a3+2d）﹣（ a3+3d） =a3﹣ d，因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1 =4a3﹣a2﹣ a4﹣a5=4（a2+d）﹣ a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前 3 项满足等差数列的通项公式，所以 { a n} 为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（ 16 分）已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ ）通过对 f（x） =x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x） =f （′x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（ x） =0 进而可知 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，从而 f（﹣）=0，整理可知 b=+ （ a＞0），结合 f（x）=x3+ax2+bx+1（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（Ⅱ）通过（ 1）构造函数 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f （′﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知 y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣ +﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ ）解：因为 f （x）=x3+ax2 +bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f（′x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数f（ x）的零点，所以 f （﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为 f （x） =x3+ax2 +bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根，所以 4a2﹣12b≥ 0，即 a2﹣+≥0，解得a≥3，所以 b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（ 1）可知 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（Ⅲ）解：由（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则 1 2， 1 2，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）= +（+）+b（ 1 2）+2 x+a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二 .非选择题，附加题（ 21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠ PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．【分析】（ 1 ）利用弦切角定理可得：∠ ACP=∠ ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（ 2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线 PC切半圆 O 于点 C，∴∠ ACP=∠ABC．∵AB为半圆 O 的直径，∴∠ ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠ APC=90°．∴∠ PAC=90°﹣∠ ACP，∠ CAB=90°﹣∠ ABC，∴∠ PAC=∠CAB．（2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，∴ = ．∴2AC =AP?AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知矩阵 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲线 C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2，求CC2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（ 2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点 P（ x，y）为曲线 C1的任意一点，点P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′（ x0，y0），则=，即x0， 0 ，=2y y =x∴x=y0，y= ，∴，即 x02+y02=8，∴曲线 C2的方程为 x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴ P 到直线 l 的距离 d==，∴当 s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修 4-5：不等式选讲］24．已知 a，b，c， d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd≤ 8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β代入． ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd ）2≤（ a2+b2）（ c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵ a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα， b=2sin α，c=4cosβ，d=4sin β．∴ ac+bd=8（ cosαcos+sinβ αsin）β=8cos（α﹣β）≤ 8．当且仅当cos（α﹣β） =1时取等号．因此 ac+bd≤ 8．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）2≤（ a2+b2）（c2+d2）=4× 16=64，当且仅当时取等号．∴﹣ 8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】第27页（共 31页）AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B﹣A1D﹣ A 的正弦值．【分析】在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥ AD，由 AA1⊥平面 ABCD，可得 AA1⊥ Ax，AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A， B， C， D，A1，1的坐标，进一步求出，C，，的坐标．（ 1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与1所成角的余弦AC值；（2）求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣ A 的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax? 平面ABCD，∴ AA1⊥Ax， AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°，∴ A（ 0， 0， 0），B（）， C（， 1， 0），D（0，2，0），A （ 0， 0，），C （）．11= （），= （），，．（ 1）∵ cos＜＞==．∴异面直 A1B 与 1 所成角的余弦；AC（ 2）平面 BA1D 的一个法向量，由，得，取 x=，得；取平面 A1 AD 的一个法向量．∴ cos＜＞==．∴二面角 B A1A 的余弦，二面角B1A的正弦D A D．【点】本考异面直所成的角与二面角，了利用空向量求空角，是中档．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率 p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明 E（ X）＜．【分析】（1）法一：事件 A i表示号i 的抽里放的是黑球，（ 2）p=p A=P（A 2| A1）P（A1）+P（A2 |）P（），由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．（ 2）X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而（E X）=（）=，由此能明（EX）＜．【解答】解：（1）解法一：事件A i表示号 i 的抽里放的是黑球，p=p（A2）=P（A2| A1）P（ A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，∴ 号 2 的抽内放的是黑球的概率p==．明：（2）∵ X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴ E（ X） =（）==＜==?（）第30页（共 31页）==，∴ E（ X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第31页（共 31页）。
2017年高考江苏卷数学试题解析(参考版).doc
2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .（2）∵BC ⊥BD ，平面ABD I 平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =I ，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=L L，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+L L，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-， 所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题一 含解析 精品
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|0≤x ≤4}，则A ∩B ＝____________．2. 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域是____________．3. 已知sin α＝14，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝____________．4. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝____________．5. 函数y ＝3sinx －cosx －2(x ＞0)的值域是____________．6. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2，则S 10＝__________．7. 设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ＞0，－x －3，x ＜0，若f(a)＞f(1)，则实数a 的取值范围是______________．8. 等比数列{a n }的公比大于1，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝____________． 9. 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于________．10. 已知函数f(x)＝ax ＋bx (a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线与直线x ＋2y－1＝0垂直，且函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，则b 的最大值等于__________．11. 已知f(m)＝(3m －1)a ＋b －2m ，当m ∈[0，1]时，f(m)≤1恒成立，则a ＋b 的最大值是__________．12. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tanA ＝2tanB ，a 2－b 2＝13c ，则c ＝____________．13. 已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则12x ＋xy ＋1的最小值为____________．14. 设f′(x)和g′(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)·g′(x)≤0在区间I 上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I 上单调性相反．若函数f(x)＝13x 3－2ax 与函数g(x)＝x 2＋2bx 在开区间(a ，b)(a ＞0)上单调性相反，则b －a 的最大值等于____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cos ωx2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2(ω＞0)的最小正周期为2π.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f(θ)＝3＋65，求cos θ的值．16.(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1) 求a 1，a 2的值；(2) 求证：数列{a n ＋2n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1.(1) 若函数g(x)＝log a [f(x)＋a](a ＞0，a ≠1)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2) 当x ＞0时，恒有不等式f （x ）x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分16分)如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2a元，游轮每千米耗费12a元．(其中a是正常数)设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1) 写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2) 问：中转点D距离A处多远时，S最小？19. (本小题满分16分)设函数f(x)＝x|x－1|＋m，g(x)＝lnx.(1) 当m＞1时，求函数y＝f(x)在[0，m]上的最大值；(2) 记函数p(x)＝f(x)－g(x)，若函数p(x)有零点，求实数m的取值范围．20. (本小题满分16分)已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2.(1) 若S5＝16，a4＝a5，求a10；(2) 已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n＋1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；(3) 若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得a m＝a n.求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．(一)1. {x|0≤x ≤2} 解析：本题主要考查集合的概念与运算等基础知识．本题属于容易题．2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由x 2－x －2＞0，则x ＞2或x<1.本题主要考查对数式中真数大于0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题．3. －1515 解析：由sin α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得cos α＝－154，则tan α＝sin αcos α＝－1515.本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 4. －2 解析：由函数f(x)在R 上是奇函数，则f(0) ＝0，又x ＞0时，f(x)＝2x －x 2，则f(3)＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质．本题属于容易题．5. [－4，0] 解析：由y ＝3sinx －cosx －2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－2，则－4≤y ≤0.本题主要考查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题．6. 120 解析：由S 4＝8a 1，a 4＝4＋a 2得d ＝2，a 1＝3，则S 10＝10a 1＋45d ＝120.本题主要考查等差数列通项公式以及求和公式．本题属于容易题．7. a ＜－1或a ＞1 解析：由f(1)＝－2，则f(a)＞－2.当a>0时，有2a －4>－2，则a>1；当a ＜0时，－x －3＞－2，则a ＜－1.所以实数a 的取值范围是a ＜－1或a ＞1. 本题主要考查分段函数，以及简单不等式的解法．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6(q>1)，得q ＝2，a 1＝1，则a 3＝4. 本题主要考查等比数列通项公式．本题属于容易题．9. π3 解析：由函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后，得到函数f(x)＝sin(2x ＋π6－2φ)的图象，函数f(x)是偶函数，π6－2φ＝π2＋k π，而φ为锐角，则k ＝－1时φ＝π3.本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性．本题属于容易题．10. 23 解析：函数f(x)＝ax ＋bx(a ，b ∈R ，b ＞0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为2, f ′(1)＝2，得a －b ＝2，由函数f(x)在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，f ′(x)≥0在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，得a 4≥b ，又a ＝2＋b ，则b ≤23.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于中等题．11. 73 解析：将已知条件变形f(m)＝m(3a －2)＋b －a ，当3a －2＝0时，即a ＝23，则有b －a ≤1，即b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＝2×23＋1＝73；当3a －2＞0，即a ＞23时，函数f(m)在[0，1]上单调递增，f(m)max ＝f(1)＝3a －2＋b －a ＝2a ＋b －2≤1，则b ≤3－2a ，所以a ＋b ≤a＋3－2a ＝3－a ＜73；当3a －2＜0，即a ＜23时，函数f(m)在[0，1]上单调递减，f(m)max ＝f(0)＝b －a ≤1，则b ≤a ＋1，所以a ＋b ≤2a ＋1＜73.综上所述，a ＋b 的最大值为73.本题主要考查在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题．本题属于中等题．12. 1 解析：由tanA ＝2tanB sinA cosA ＝2sinBcosB，结合正、余弦定理转化为边的关系，有2abc b 2＋c 2－a 2＝2×2abc a 2＋c 2－b2，化简有a 2－b 2＝13c 2，结合已知条件有c ＝1.本题主要考查利用正、余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦．本题属于中等题．13. 54 解析：将x ＋y ＝1代入12x ＋x y ＋1中，得x ＋y 2x ＋x x ＋2y ＝12＋y 2x ＋11＋2y x，设yx＝t ＞0，则原式＝1＋t 2＋11＋2t ＝2t 2＋3t ＋32（1＋2t ）＝14·（1＋2t ）2＋2t ＋1＋41＋2t ＝14[(1＋2t)＋41＋2t＋1]≥14×2（1＋2t ）·41＋2t ＋14＝54，当且仅当t ＝12时，即x ＝23，y ＝13时，取“＝”．本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值．本题属于难题．14. 12 解析：因为g(x)＝x 2＋2bx 在区间(a ，b)上为单调增函数，所以f(x)＝13x 3－2ax在区间(a ，b)上单调减，故x ∈(a ，b)，f ′(x)＝x 2－2a ≤0，即a ≥b22，而b ＞a ，所以b ∈(0，2)，b －a ≤b －b 22＝－12(b －1)2＋12，当b ＝1时，b －a 的最大值为12.本题主要考查二次函数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题．本题属于难题.15. 解：(1) f(x)＝2cos ωx 2⎝⎛⎭⎫3cos ωx 2－sin ωx 2＝23cos 2ωx 2－2cos ωx 2sin ωx2＝3(1＋cos ωx)－sin ωx(2分)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.(4分)∵ 函数f(x)的最小正周期为2π，∴ 2πω＝2π，ω＝1.(6分)∴ f(x)＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.(7分)(2) 由f(θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35.∵ θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45.(9分)∴ cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3(12分)＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.(14分)16. (1) 解：由已知，得2a 1＝a 2－3 ①， 2(a 1＋a 2)＝a 3－7 ②.(2分) 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， 所以a 1＋a 3＝2a 2＋10 ③.(3分) 解①②③，得a 1＝1，a 2＝5.(5分)(2) 证明：由已知，n ∈N *时，2(S n ＋1－S n )＝a n ＋2－a n ＋1－2n ＋2＋2n ＋1，即a n ＋2＝3a n ＋1＋2n＋1，即a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)，(7分)由(1)得，a 2＝3a 1＋2，∴ a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，(9分)从而有a n ＋1＋2n ＋1＝3a n ＋2n ＋2n ＋1＝3a n ＋3×2n ＝3(a n ＋2n )．(11分)又a 1＋2＞0，∴ a n ＋2n＞0，∴ a n ＋1＋2n ＋1a n ＋2n＝3，∴ 数列{a n ＋2n }是等比数列，且公比为3.(12分)∴ a n ＋2n ＝(a 1＋2)×3n －1＝3n ，即a n ＝3n －2n .(14分)[注：① 不说明a 2＝3a 1＋2，就得a n ＋1＝3a n ＋2n (n ∈N *)，扣1分；② 仅由a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )，就得到数列{a n ＋2n }是等比数列，扣1分．]17. 解：(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分)于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18. 解：(1) 由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝10sin α，(2分)即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α，(3分)所以S ＝4aAD ＋8aBD ＋12aCD ＝(12CD －4AD ＋80)a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤603－40sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin αa ＋80a(5分) ＝203（3－cos α）·a sin α＋60a ⎝⎛⎭⎫π3＜α＜2π3.(6分)(2) S′＝203·1－3cos αsin 2α·a ，(8分)令S′＝0得cos α＝13，(10分)当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13时，S ′＞0，(12分)所以当cos α＝13时，S 取得最小值，(13分)此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝5＋564，(15分)所以中转点D 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小．(16分)19. 解：(1) 当x ∈[0，1]时，f(x)＝x(1－x)＋m ＝－x 2＋x ＋m ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋m ＋14， 当x ＝12时，f(x)max ＝m ＋14.(2分)当x ∈(1，m]时，f(x)＝x(x －1)＋m ＝x 2－x ＋m ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋m －14， 因为函数y ＝f(x)在(1，m]上单调递增，所以f(x)max ＝f(m)＝m 2.(4分) 由m 2≥m ＋14得m 2－m －14≥0，又m ＞1，所以m ≥1＋22.(6分)所以当m ≥1＋22时，f(x)max ＝m 2；当1＜m ＜1＋22时，f(x)max ＝m ＋14.(8分)(2) 函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x －1|－lnx ＋m ＝0有解， 即m ＝lnx －x|x －1|有解．令h(x)＝lnx －x|x －1|， 当x ∈(0，1]时，h(x)＝x 2－x ＋lnx.因为h′(x)＝2x ＋1x－1≥22－1＞0，(10分)所以函数h(x)在(0，1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0.(11分) 当x ∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x 2＋x ＋lnx.因为h′(x)＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x＝－（x －1）（2x ＋1）x＜0，(12分)所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数， 所以h(x)＜h(1)＝0.(14分)所以方程m ＝lnx －x|x －1|有解时m ≤0.即函数p(x)有零点时实数m 的取值范围是(－∞，0]．(16分)20. (1) 解：由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1.因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)。
2017年高考数学真题试题(江苏卷)(Word版+答案+解析)
2017年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题1.已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为________．2.已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是________．3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4.如图是一个算法流程图：若输入x的值为116，则输出y的值是________．5.若tan（α﹣π4）= 16．则tanα=________．6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．7.记函数f （x ）= √6+x −x 2 定义域为D ．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．9.等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ， 已知S 3= 74 ，S 6= 634，则a 8=________．10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．11.已知函数f （x ）=x 3﹣2x+e x ﹣ 1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0．则实数a 的取值范围是________．12.如图，在同一个平面内，向量 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1，1， √2 ， OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°．若 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），则m+n=________．13.在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．14.设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈D x ，x ∉D，其中集合D={x|x=n−1n，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是________．二、解答题15.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（Ⅰ）EF ∥平面ABC ； （Ⅱ）AD ⊥AC ．16.已知向量a=（cosx，sinx），b⃗=（3，﹣√3），x∈[0，π]．（Ⅰ）若a∥b⃗，求x的值；（Ⅱ）记f（x）= a⋅b⃗，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18.如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 √7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19.对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k+1+…+a n ﹣1+a n+1+…a n+k ﹣1+a n+k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（Ⅰ）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（Ⅱ）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．20.已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b 2＞3a ；（Ⅲ）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ 72 ，求a 的取值范围． 21.如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足．求证：（Ⅰ）∠PAC=∠CAB ； （Ⅱ）AC 2 =AP•AB ．22.已知矩阵A= [0110] ，B= [1002] ．（Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2 ， 求C 2的方程．23.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为 {x =−8+ty =t 2 （t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =2s 2y =2√2s （s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．24.已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，证明ac+bd≤8．25.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= √3，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26.已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜n．(m+n)(n−1)答案解析部分一、<b >填空题1.【答案】1【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【分析】利用交集定义直接求解．2.【答案】√10【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模【解析】【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|= √(−1)2+32= √10．故答案为：√10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．3.【答案】18【考点】分层抽样方法= 【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6010006，100=18件，则应从丙种型号的产品中抽取300× 6100故答案为：18，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【分析】由题意先求出抽样比例即为61004.【答案】-2【考点】选择结构，程序框图，不满足x≥1，【解析】【解答】解：初始值x= 116=2﹣log224=﹣2，所以y=2+log2116故答案为：﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．5.【答案】75【考点】两角和与差的正切公式【解析】【解答】解：∵tan（α﹣π4）=tanα−tanπ41+tanαtanπ4= tanα−1tanα+1= 16∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα= 75，故答案为：75．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可6.【答案】32【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则V1V2=2πR34πR33= 32．故答案为：32．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．7.【答案】59【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= 3−(−2)5−(−4)= 59，故答案为：59【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．8.【答案】2 √3【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x23﹣y2=1的右准线：x= 32，双曲线渐近线方程为：y= √33x，所以P（32，√32），Q（32，﹣√32），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：12×4×√3=2 √3．故答案为：2 √3．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．9.【答案】32【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和【解析】【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3= 74，S6= 634，∴a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，解得a1= 14，q=2．则a8= 14×27=32．故答案为：32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3= 74，S6= 634，可得a1(1−q3)1−q= 74，a1(1−q6)1−q= 634，联立解出即可得出．10.【答案】30【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x ×6+4x≥4×2× √900x⋅x=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和= 600x×6+4x，利用基本不等式的性质即可得出．11.【答案】[-1，12]【考点】函数奇偶性的性质，利用导数研究函数的单调性，一元二次不等式的解法，基本不等式【解析】【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣1e x的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+ 1e x ≥﹣2+2 √e x⋅1e x=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣1e x=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）=f （1﹣a ）， 即有2a 2≤1﹣a ， 解得﹣1≤a≤ 12 ， 故答案为：[﹣1， 12 ]．【分析】求出f （x ）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f （x ）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f （x ）为奇函数，原不等式即为2a 2≤1﹣a ，运用二次不等式的解法即可得到所求范围． 12.【答案】 3【考点】平面向量的基本定理及其意义，两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7． ∴cosα= 5√2 ，sinα= 5√2 ． ∴C (15，75) ．cos （α+45°）= √22 （cosα﹣sinα）= −35 ．sin （α+45°）= √22（sinα+cosα）= 45 ．∴B (−35，45) ．∵ OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ）， ∴ 15 =m ﹣ 35 n ， 75 =0+ 45 n ， 解得n= 74 ，m= 54 ． 则m+n=3． 故答案为：3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由 OA⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= 5√2，sinα= 5√2 ．C (15，75) ．可得cos （α+45°）= −35 ．sin （α+45°）= 45 ．B (−35，45) ．利用 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （m ，n ∈R ），即可得出． 13.【答案】 [-5 √2 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P （x 0 ， y 0），则有x 02+y 02=50，PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（﹣12﹣x 0 ， ﹣y 0）•（﹣x 0 ， 6﹣y 0）=（12+x 0）x 0﹣y 0（6﹣y 0）=12x 0+6y+x 02+y 02≤20， 化为：12x 0+6y 0+30≤0，即2x 0+y 0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=502x 0+y 0+5=0 ，解可得x 0=﹣5或x 0=1， 结合图形分析可得：点P 的横坐标x 0的取值范围是[﹣5 √2 ，1]， 故答案为：[﹣5 √2 ，1]．【分析】根据题意，设P （x 0 ， y 0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x 0+y 0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案． 14.【答案】 8【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的周期性，对数函数的图象与性质，根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f （x ）= {(x −1)2，x ∈Dx −1，x ∉D ，此时f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f （x ）的图象与y=lgx 有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y=lgx 无交点； 故f （x ）的图象与y=lgx 有8个交点； 即方程f （x ）﹣lgx=0的解的个数是8， 故答案为：8【分析】由已知中f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）= {x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D={x|x= n−1n，n ∈N *}，分析f （x ）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．二、<b >解答题15.【答案】 证明：（Ⅰ）因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，且A 、B 、E 、F 四点共面， 所以AB ∥EF ，又因为EF ⊊平面ABC ，AB ⊆平面ABC ，所以由线面平行判定定理可知：EF ∥平面ABC ；（Ⅱ）在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ， 因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BC ， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ， 所以FG ⊥平面ABD ，所以FG ⊥AD ， 又因为AD ⊥EF ，且EF∩FG=F ， 所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ， 故AD ⊥AC ．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定 【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB ∥EF 及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD 上点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ，利用线面垂直的性质定理可知FG ⊥AD ，结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG ，从而可得结论．16.【答案】 解：（Ⅰ）∵ a =（cosx ，sinx ）， b ⃗ =（3，﹣ √3 ）， a ∥ b⃗ ，∴﹣ √3 cosx+3sinx=0， ∴tanx= √3 ， ∵x ∈[0，π]， ∴x= π3 ，（Ⅱ）f （x ）= a ⋅b ⃗ =3cosx ﹣ √3 sinx=2 √3 （ √32cosx ﹣ 12sinx ）=2 √3 cos （x+ π6 ）， ∵x ∈[0，π]， ∴x+ π6 ∈[ π6 ，7π6]，∴﹣1≤cos （x+ π6 ）≤ √32，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3， 当x=5π6时，f （x ）有最小值，最大值﹣2 √3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= √3 ，问题得以解决，（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出 17.【答案】 解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= ca = 12 ，则a=2c ，①椭圆的准线方程x=±a 2c，由2×a 2c=8，②由①②解得：a=2，c=1， 则b 2=a 2﹣c 2=3， ∴椭圆的标准方程：x 24+y 23=1 ；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 k PF 2 = y 0x 0−1 ， 则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0−1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0−1y 0（x ﹣1），直线PF 1的斜率 k PF 1 = y 0x 0+1 ， 则直线l 2的斜率k 2=﹣x 0+1y 0，直线l 2的方程y=﹣x 0+1y 0（x+1），联立 {y =−x 0−1y 0(x −1)y =−x 0+1y(x +1) ，解得： {x =−x 0y =x 02−1y 0，则Q （﹣x 0 ， x 02−1y 0 ），由Q 在椭圆上，则y 0=x 02−1y 0，则y 02=x 02﹣1，则 {x 024+y 023=1y 02=x 02−1 ，解得： {x 02=167y 02=97，则 {x 0=±4√77y 0=±3√77， ∵P 在第一象限，所以P 点的坐标为（4√77，3√77）【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系 【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± 2a 2c，则2×2a 2c=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标； 18.【答案】 解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ，在平面ACM 中，过N 作NP ∥MC ，交AC 于点P ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ， ∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2 ， 解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ， ∴ ANAM = NPMC ，AN 40=1230 ，得AN=16cm ．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．（Ⅱ）设玻璃棒在GG 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ， 在平面E 1EGG 1中，过点N 作NP ⊥EG ，交EG 于点P ， 过点E 作EQ ⊥E 1G 1 ， 交E 1G 1于点Q ，∵EFGH ﹣E 1F 1G 1H 1为正四棱台，∴EE 1=GG 1 ， EG ∥E 1G 1 ， EG≠E 1G 1 ，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= 45，sin∠EGM=sin∠EE1G1= 45，cos ∠EGM=−35，根据正弦定理得：EMsin∠EGM= EGsin∠EMG，∴sin ∠EMG=725，cos ∠EMG=2425，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= 35，∴EN= NPsin∠GEM =1235=20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，正弦定理【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC 于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E 作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM= 35，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【考点】等差数列的通项公式，数列的应用，等差关系的确定，等差数列的性质【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n ﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（Ⅱ）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．20.【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣a3．由于当x＞﹣a3时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣a3时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣a3，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣a3）=0，即﹣a327+ a39﹣ab3+1=0，所以b= 2a29+ 3a（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣2a23+ 9a＞0，解得a＞3，所以b= 2a29+ 3a（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= −2a3，x1x2= b3，所以f（x1）+f（x2）= x13+ x23+a（x12+ x22）+b（x1+x2）+2 =（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= 4a327﹣2ab3+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣72，所以b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣a3，从而f（﹣a3）=0，整理可知b= 2a29+ 3a（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= 4a481﹣5a3+ 9a2= 181a2（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣a3）=b﹣a23，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为4a327﹣2ab3+2，进而问题转化为解不等式b﹣a23+ 4a327﹣2ab3+2= 3a﹣a29≥﹣72，因式分解即得结论．21.【答案】证明：（Ⅰ）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC∽△ACB，∴ACAB = APAC．∴AC 2 =AP•AB ．【考点】相似三角形的判定，相似三角形的性质，弦切角，与圆有关的比例线段【解析】【分析】（Ⅰ）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC ．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：△APC ∽△ACB ，即可证明． 22.【答案】 解：（Ⅰ）AB= (0110)(1002) = (0210) ，（Ⅱ）设点P （x ，y ）为曲线C 1的任意一点， 点P 在矩阵AB 的变换下得到点P′（x 0 ， y 0）， 则 (0210)(x y ) = (2yx) ，即x 0=2y ，y 0=x ， ∴x=y 0 ， y= x 02，∴y 028+x 028=1 ，即x 02+y 02=8，∴曲线C 2的方程为x 2+y 2=8．【考点】矩阵变换的性质，矩阵与矩阵的乘法的意义 【解析】【分析】（Ⅰ）按矩阵乘法规律计算；（Ⅱ）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C 1的方程化简即可． 23.【答案】 解：直线l 的直角坐标方程为x ﹣2y+8=0，∴P 到直线l 的距离d=2√2s+8|√5=√2s−2)2√5，∴当s= √2 时，d 取得最小值 √5 = 4√55．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用 【解析】【分析】求出直线l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d 关于参数s 的函数，从而得出最短距离．24.【答案】 证明：∵a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos （α﹣β）≤8．当且仅当cos （α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的最值，圆的参数方程，不等式的证明，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】a 2+b 2=4，c 2+d 2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．25.【答案】 解：在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABCD ，AD 、Ax ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵AB=AD=2，AA 1= √3 ，∠BAD=120°，∴A （0，0，0），B （ √3，−1，0 ），C （ √3 ，1，0）， D （0，2，0），A 1（0，0， √3 ），C 1（ √3，1，√3 ）．A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，−1，−√3 ）， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √3，1，√3 ）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3，−3，0) ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2，√3) ．（Ⅰ）∵cos ＜ A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √7×√7=−17 ．∴异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为 17 ； （Ⅱ）设平面BA 1D 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，由 {n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，得 {√3x −3y =0−2y +√3z =0 ，取x= √3 ，得 n ⃗ =(√3，1，2√33) ； 取平面A 1AD 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(1，0，0) ． ∴cos ＜ m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞= m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= √31×√3+1+43=34． ∴二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 34 ，则二面角B ﹣A 1D ﹣A 的正弦值为 √1−(34)2=√74．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD 内，过A 作Ax ⊥AD ，由AA 1⊥平面ABCD ，可得AA 1⊥Ax ，AA 1⊥AD ，以A 为坐标原点，分别以Ax 、AD 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A ，B ，C ，D ，A 1 ， C 1 的坐标，进一步求出 A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA 1D 与平面A 1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B ﹣A 1D ﹣A 的余弦值，进一步得到正弦值．26.【答案】 解：（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ） = n−1m+n−1×n m+n ×n m+n−1×mm+n = n 2−n+mn (m+n)(m+n−1) = nm+n ．证明：（Ⅱ）∵X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ， P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，∴E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn ）= 1C n+mn⋅∑n+m k=n C k−1n−1k= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k＜ 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−1n−1k−1= 1C n+mn⋅∑n+m k=nC k−2n−2n−1= 1(n−1)C n+mn •（ C n−2n−2+C n−1n−2+⋯+C n+m−2n−2 ） = 1(n−1)C m+nn⋅C m+n−1n−1= n(m+n)(n−1) ，∴E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）设事件A i 表示编号为i 的抽屉里放的是黑球，则p=p （A 2）=P （A 2|A 1）P （A 1）+P （A 2| A 1̅̅̅ ）P （ A 1̅̅̅ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（Ⅱ）X 的所有可能取值为 1n ，1n+1 ，…， 1n+m ，P （x= 1k ）= C k−1n−1C m+nn，k=n ，n+1，n+2，…，n+m ，从而E （X ）= ∑n+m k=1（ 1k ⋅C k−1n−1C n+mn）= 1C n+mn ⋅∑n+m k=nC k−1n−1k，由此能证明E （X ）＜ n(m+n)(n−1) ．。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学I(江苏卷)(附解析)
2017年江苏卷数学高考试题解析（精编版）【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。
2017年江苏数学试卷在―稳中求进‖中具体知识点有变化。
1.体现新课标理念，实现平稳过渡。
试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。
对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。
如第7题首次考查几何概型概率问题。
2.关注通性通法。
试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。
如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。
第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。
第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。
3.体现数学应用，关注社会生活。
第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。
4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。
两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。
【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B = 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆ 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ .【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N .4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.（第4题）(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. 6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32．【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7.记函数()f x =D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用―比例解法‖求解几何概型的概率． 8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学#科.网合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用―巧用性质、整体考虑、减少运算量‖的方法. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意―拆、拼、凑‖等技巧，使其满足基本不等式中―正‖(即条件要求中字母为正数)、―定‖(不等式的另一边必须为定值)、―等‖(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉―f ‖，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA ,OB ,OC 的模分别为,OA 与OC的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin α=，cos α=，根据向量的分解，(第12题)易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0+==，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=. 【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题. (2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）(第15题)ADBC EF已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为-【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++(2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ①(第17题)直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P的坐标为. 【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)容器Ⅱ容器ⅠAH 11E 1A (第18题)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473s i n s i n ()s i n ()s i n c o 3s c o s s i n ()5252555N E Gαβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数； (4)前n 项和法：2n S An Bn =+ 20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+.因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥.3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=x ，2x 列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以>(g g因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路P(第21-A 题)(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为―相似三角形→比例式→等积式‖．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =错误！未找到引用源。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4页，包含非选择题（第1题 ~ 第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合{}=1,2A ，{}=+2,3B a a，若AB ={1}则实数a 的值为________2.已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4.右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出的y 的值是 .5.若tan 1-=46πα⎛⎫ ⎪⎝⎭,则tan α= .6.如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是7.记函数()f x =的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ，则x ∈ D 的概率是8.在平面直角坐标系xoy 中 ,双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是9.等比数列{}na 的各项均为实数，其前n 项的和为S n，已知36763，44SS ==， 则8a =10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是11.已知函数()3xx12x+e -e-f x =x ，其中e 是自然数对数的底数，若()()2a-1+2a ≤f f 0，则实数a 的取值范围是 。
2017年江苏省高考数学试卷(含详细答案解析)
2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b 2＞3a ；（Ⅲ）若f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a 的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB ；（2）AC 2 =AP•AB ．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，2}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项和为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x ）=3x 2﹣2+e x +≥﹣2+2=0，可得f （x ）在R 上递增；又f （﹣x ）+f （x ）=（﹣x ）3+2x +e ﹣x ﹣e x +x 3﹣2x +e x ﹣=0，可得f （x ）为奇函数， 则f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0， 即有f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1） 由f （﹣（a ﹣1））=﹣f （a ﹣1）， f （2a 2）≤f （1﹣a ）， 即有2a 2≤1﹣a ， 解得﹣1≤a ≤， 故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n （m ，n ∈R ），则m +n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C ．可得cos （α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m ，n ∈R ），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0﹣y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x﹣y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0﹣6y0+30≤0，即2x0﹣y0+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，当cosx=0时，sinx=1，不合题意，当cosx≠0时，tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l 1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y0），当x 0=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当x 0≠1时，则直线PF2的斜率=，直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l 没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E 1E=40cm ，∴sin ∠EE 1G 1=，sin ∠EGM=sin ∠EE 1G 1=，cos ∠EGM=﹣， 根据正弦定理得：=，∴sin ∠EMG=，cos ∠EMG=， ∴sin ∠GEM=sin （∠EGM +∠EMG ）=sin ∠EGMcos ∠EMG +cos ∠EGMsin ∠EMG=，∴EN===20cm ．∴玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：当n≥4时，因为数列{a n}是P（3）数列，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，①因为数列{a n}是“P（2）数列”，所以a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③﹣①，得2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即2a n=a n﹣1+a n+1，（n≥4），因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA 1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A 1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A 1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X ）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第31页（共31页）。
2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)
2017年江苏省高考数学试卷(真题详细解析)2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n ∈R），则m+n= ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 1 ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，当a=1时，A={1，1}，B={1，4}，成立；a2+3=1无解．综上，a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2 ．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，=2﹣=﹣2，所以y=2+log2故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30 ．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）由f（﹣（a﹣1））=﹣f（a﹣1），f（2a2）≤f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n ∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1] ．【分析】根据题意，设P（x0，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y），则有x2+y2=50，=（﹣12﹣x0，﹣y）•（﹣x，6﹣y）=（12+x）x﹣y（6﹣y）=12x+6y+x2+y2≤20，化为：12x0﹣6y+30≤0，即2x0﹣y+5≤0，表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y2=x2﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y=，∴y02=x2﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{an}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{an}为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an }首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an +2an+2an，=2×3an，∴等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）证明：当n≥4时，因为数列{an }是P（3）数列，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，①因为数列{an }是“P（2）数列”，所以an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，②则an﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，③，②+③﹣①，得2an =4an﹣1+4an+1﹣6an，即2an=an﹣1+an+1，（n≥4），因此n≥4从第3项起为等差数列，设公差为d，注意到a2+a3+a5+a6=4a4，所以a2=4a4﹣a3﹣a5﹣a6=4（a3+d）﹣a3﹣（a3+2d）﹣（a3+3d）=a3﹣d，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{an}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y），则=，即x0=2y，y=x，∴x=y，y=，∴，即x02+y2=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的余弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X ）＜．【分析】（1）法一：设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P （），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n 个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X 的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）解法一：设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P （）===．解法二：按照同种模型的方法，对黑球共有m+n个位置，故总排法有种，除去第二个位置放的黑球，还剩下n+m﹣1个位置，∴编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p==．证明：（2）∵X 的所有可能取值为，…，，第31页（共32页）P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X ）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第32页（共32页）。
2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,含参考答案)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题江苏卷参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}AB =，则实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 【考点】集合的运算、元素的互异性【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关,A B A B =∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．【解析】(1i)(12i)1i 12i z =++=++==【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(i)(i)a+b c+d =()()i(,)ac bd +ad +bc a,b,c d -∈R ．其次要熟悉复数相关概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为i a b -．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log 216y =+=-，故答案为2-． 【考点】条件结构的流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构、条件结构和伪代码的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的初始条件、循环次数、循环的终止条件，要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 5．若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 6．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 ▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r π⨯==π．故答案为32． 【考点】圆柱的体积、球的体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．7．记函数()f x D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．【答案】59【考点】几何概型【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ ．【答案】【考点】双曲线渐近线、准线【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221x y a b-=求渐近线：22220x y by x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【考点】等比数列的前n 项和公式、通项公式【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ． 【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100n m m +=⎪⎪=，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【考点】向量表示【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法． （3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ．【答案】[-【考点】直线与圆、线性规划【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥． 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，取得最大值3；5π6x =时，取得最小值-．【解析】试题分析：（1）先由向量平行的坐标表示得3sin x x =，再根据同角三角函数的基本关系可得5π6x =；（2）先由向量数量积的坐标表示并结合配角公式得π(6))f x x =+，再根据x 的取值范围及余弦函数的性质可求得最值．试题解析：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan3x =-，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ．因为，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤ 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值-．【考点】向量共线、数量积、三角函数的最值【名师点睛】（1）向量平行：1221x y x y ⇒=∥a b ，,,λλ≠⇒∃∈=0R ∥a b b a b ，BA AC OA λ=⇔=111OB OC λλλ+++；（2）向量垂直：121200x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ；（3）向量加减乘：±=a b 221212(,),||,||||cos ,x x y y ±±=⋅=⋅<>a a a b a b a b ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b ==E 的标准方程是22143x y+=．因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以20001(,)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=．由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解． 因此点P的坐标为． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等． 18．（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】试题分析：（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．于是4s i 3s555N Eα=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 【考点】正、余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向； 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化； 第三步：求结果． 19．（本小题满分16分）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析．试题解析：（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法：①用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）；②用等差中项证明：122n n n a a a ++=+；③通项法：n a 为关于n 的一次函数；④前n 项和法：2n S An Bn =+．20．（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．【答案】（1）3a >；（2）见解析；（3）36a <≤．试题解析：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-．当3a x =-时，()f x '有极小值23ab -．因为()f x '的极值点是()f x 的零点．所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+．因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27)039a b a a-=-≤，即3a ≥．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1x ，2x ．列表如下：故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞．（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=．从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420.279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，．【考点】利用导数研究函数得单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析．（2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． 【考点】圆的性质、相似三角形【名师点睛】（1）解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路：①直接应用相交弦、切割线定理及其推论；②当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握． （2）应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程． 【答案】（1）；（2）228x y +=．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=． 【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''． C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x sy ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】试题分析：先将直线l 的参考方程化为普通方程，再根据点到直线距离公式得点P 到直线l 的的距离d ==【考点】参数方程与普通方程的互化【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【答案】（1）17；（2）4． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值． 试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．因为AB =AD =2，AA 1120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,1AB AC =--=， 则111111(1cos ,7||||A B AC A B AC A B AC ⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，所以sin 4θ==． 因此二面角B -A 1D -A ． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”． 23．（本小题满分10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【答案】（1）nm n+；（2）见解析．试题解析：（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m n n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k n m nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k nm nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n n m nn n m n n -+-+==-+-，即()()(1)nE X m n n <+-．【考点】古典概型概率、排列组合、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：（1）“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；（2）“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；（3）“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；（4）“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)XB n p )，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．。
2017年高考江苏卷数学试题解析参考版
2017年高考江苏卷数学试题解析（参考版）1. 1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++=3.18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4.2- 【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2．5.75 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6.32 【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，学￥科网根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8.【答案】【解析】右准线方程为x =，渐近线为y x =，则P，Q，1(F，2F，则S ==. 9.【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10.【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11. 1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex xf x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-.14.115.【解析】（1）在平面ABD 内，AB ⊥AD ，EF AD ⊥，则AB EF ∥.∵AB ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，∴EF ∥平面ABC . （2）∵BC ⊥BD ，平面ABD平面BCD =BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥平面ABD .∵AD ⊂平面ABD ，∴BC ⊥AD .∵AB ⊥AD ，,BC AB ⊂平面ABC ，BC AB B =，∴AD ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AC.16. 【解析】（1）∵a ∥b ，∴3sin 3cos x x =-，又cos 0x ≠，∴3tan 3x =-，∵，∴5π6x =. （2）()π3cos 3sin 23sin()3f x x x x =-=--.∵，∴ππ2π[,]333x -∈-，∴3πsin()123x -≤-≤，∴()233f x -≤≤，当ππ33x -=-，即0x =时，取得最大值，为3；当ππ32x -=，即5π6x =时，取得最小值，为3-.17.【解析】（1）∵椭圆E的离心率为12，∴12ca=①.∵两准线之间的距离为8，∴228ac=②.联立①②得2,1a c==，∴3b=，故椭圆E的标准方程为22143x y+=.（2）设00(,)P x y，则000,0x y>>，由题意得1(1)1(1)xy xyxy xy+⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，整理得21x xxyy=-⎧⎪-⎨=⎪⎩，∵点00(,)P x y在椭圆E上，∴2200143x y+=，∴222002(1)33y xy-=，∴2200169,77x y==，故点P的坐标是4737(,).18.【解析】（1）记玻璃棒与1CC交点为H，则2230CH AH AC=-=，3sin4HAC∠=，没入水中的部分为1216sin HAC=∠(cm).19.【解析】当{a n}为等差数列时，∵1112n k n k n n n k na a a a a ka--+-++++++++=，∴111(21)n k n k n n n n k na a a a a a k a--+-+++++++++=+，∴(21)(21)2n k n kna ak k a-+++=+，∴2n k n k na a a-++=.（2）21124n n n n na a a a a--+++++=（2n>，n∈Z），3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=（2n >，n ∈Z ）， ∴11448n n n a a a -++=，∴112n n n a a a -++=， ∴数列{a n }是等差数列.20. 【解析】（1）因为2()32f x x ax b '=++，所以()620f x x a ''=+=，所以3ax =-， 所以()03af -=，所以3239a b a =+， 因为24120a b ∆=->，所以3a >. （2）26345-39813b a a a =-+， 23459(27)813y t t t a =-+=> 因为135278t =<，所以min (27)0y y >=，所以b ²>3a .21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．作答．．。
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2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版)2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= ．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{an }的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= ．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．20．己知n为正整数，数列{an }满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn }是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an }的通项公式an=sin tan nθ，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an =0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁M= {6，U7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，M={6，7}．则∁U故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|= ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 ．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{an }的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{an }的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）= 2﹣4 ．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为 4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时， =，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 1 ．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y ＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得： ==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得： ==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a ＞b ＞0），焦点在x 轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b 2=a 2﹣c 2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），A （，0），由题意PQ 的方程：y=k （x ﹣）﹣，则，整理得：（2k 2+1）x 2﹣（4k 2+4k ）x+4k 2+8k+2=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=，x 1x 2=，则y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k ﹣2=，则k AP +k AQ =+=，由y 1x 2+y 2x 1=[k （x 1﹣）﹣]x 2+[k （x 2﹣）﹣]x 1=2kx 1x 2﹣（k+）（x 1+x 2）=﹣，k AP +k AQ ===1，∴直线AP ，AQ 的斜率之和为定值1．19．己知函数f （x ）=（x+l ）lnx ﹣ax+a （a 为正实数，且为常数）（1）若f （x ）在（0，+∞）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若不等式（x ﹣1）f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f （x ）的导数，问题转化为a ≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）=g（1）=2，min故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．20．己知n为正整数，数列{an }满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{bn }是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{an }满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为： =2×，即可证明．（2）由（1）可得： =，可得=n•4n﹣1．数列{bn }满足bn=，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{an }满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，∴=an+1，即=2，∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得： =，∴=n•4n﹣1．∵bn =，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{bn}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，bn ==，Sn=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，bn ==，Sn=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an }的通项公式an=sin tan nθ，其前n项和为Sn（1）求证：当n为偶函数时，an =0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】证明：（1）an=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，an=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．∴S==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2n2017年4月18日。