大学物理振动和波习题课

4.波的干涉 波的干涉: 波的干涉 相干条件： 相干条件： 振动方向相同 频率相同
相位相同或相位差恒定 干涉相长和干涉相消的条件： 干涉相长和干涉相消的条件：
2 kπ ∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 − 2π (r2 − r1 ) λ = (2k + 1)π 若ϕ 2＝ϕ1
kλ δ = r1 − r2 = λ , ( 2k + 1) 2
5.驻波 驻波: 驻波 是由振幅相同， 是由振幅相同，传播方向相反的两列相干波 叠加而成。 叠加而成。
驻波特点:
1质元分段振动，没有波形的传播，故名驻波 质元分段振动，没有波形的传播，故名驻波; 驻波 2 各质点的振幅各不相同 各质点的振幅各不相同; 波节,波腹 在空间的位置不动; 波节 波腹; 在空间的位置不动 波腹 3两相邻波节之间的各质元同时达到各自的极大 同时达到各自的极小值； 相位相同） 值，同时达到各自的极小值； 相位相同） （ 波节两侧各质元的振动相位差为 π 波节两侧各质元的振动相位差为 。 ④驻波中没有能量的定向传播。 驻波中没有能量的定向传播。
得：
2πx y = 2 A sin sin 2πυt λ
9一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方 一平面简谐波在弹性媒质中传播时 向上媒质中某质元在负的最大位移处， 向上媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 （Ａ）动能为零 势能最大； 动能为零， （Ａ）动能为零，势能最大； （Ｂ）动能为零 势能为零； 动能为零， （Ｂ）动能为零，势能为零； （Ｃ）动能最大 势能最大； 动能最大， （Ｃ）动能最大，势能最大； （Ｄ）动能最大 势能为零。 动能最大， （Ｄ）动能最大，势能为零。 （ ）。 10 质量为 m的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子， 的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子， 其固有振动周期为 T 。当它作振幅为A 的自由简谐 振动时， 振动时，其振动能量 E ＝（ ）。
y1O = A cos [ 2π vt ]
y2O = A cos [ 2π vt + π ]
x 入射波方程y1 = A cos 2π υ t + + π λ 形成的驻波为： 形成的驻波为： 2πx 2πx y = y1 + y2 = A cos 2πυt − − A cos 2πυt + λ λ
1.机械波 机械波 产生的条件： 产生的条件： 2.平面简谐波 平面简谐波 波源和弹性介质 描述波动的特征量: 波速、波长、波的周期、 描述波动的特征量 波速、波长、波的周期、频率
x 波函数 y = Acos ω (t − ) +ϕ u
x y = Acos ω(t + ) +ϕ u
x 令波动方程y = A cos ω t − c 2π λ c = = 20 Qω = = 4π T T x ∴ y = 0.1 cos 4π t − 20
令 x=λ
2
代入波动方程得振动方程为： = 5 ，代入波动方程得振动方程为：
5 y = 0.1 cos 4π t − = 0.1 cos(4πt − π ) 20 λ 处质点的振动方程为： y = 0.1 cos 4πt − π 处质点的振动方程为： x= 4 2
( A)0
(B )π
(C )π
⋅ 2π
2
(D ) 3π
P
2
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 −
r2 − r1
λ 4 =− − ⋅ 2π λ 2 = −π
π
λ
S1
S2
故选（Ｂ）。 故选（Ｂ）。
14 一质量 m = 0.25kg 的物体，在弹性恢复力的 的物体， 作用下沿Ｘ轴运动， 作用下沿Ｘ轴运动，弹簧的倔强系数 k = 25 Nm −1 求振动的周期和圆频率。 （１）求振动的周期和圆频率。 （２）如果振幅 A = 15cm, t = 0 时位移 x0 = 7.5cm 且物体沿Ｘ轴反向运动， 处，且物体沿Ｘ轴反向运动，求初速 v0及初相 ϕ 。 写出振动的数学表达式。 （３）写出振动的数学表达式。 ：（１ 解：（１） k 2π −1
则此处质点的振动速度为： 则此处质点的振动速度为：
dy π v= = −0.1 × 4π sin 4πt − dt 2
上式中， 上式中，令 t = T
2
= 0.25 ，则 v = −0.4π m
s
6.一质点沿 轴作简谐振动，振动范围的中心点为 轴的 一质点沿x轴作简谐振动 振动范围的中心点为x轴的 一质点沿 轴作简谐振动， 原点．已知周期为T，振幅为A． 原点．已知周期为 ，振幅为 ． 时质点过x 处且朝x轴正方向运动 若t = 0时质点过 = 0处且朝 轴正方向运动，则振动方程为 时质点过 处且朝 轴正方向运动， x =_____________________________ 若t = 0时质点处于 x = 时质点处于 则振动方程为
x = x1 + x 2 =
0.04 cos( πt − π/2 )
x (m) 0.08 O -0.04 1 x1 2 x 2 t (s)
8
如果在固定端 x = 0处反射的反射波方程式是
x y 2 = A cos 2π υt − λ
设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（ 设反射波无能量损失，则入射波的方程式是（ 形成的驻波的表达式是（ 形成的驻波的表达式是（ ）。 ）
ω=
（２）方法一： 方法一： 依题意， 依题意，由公式
m
= 10s
T=
2
ω
= 0.63s
v0 A= x + ω
2 0
2 2
得：
v0 = −ω A − x0 = −1.3 m s
v0 π ϕ = arctg − = ω x0 3 Q x0 = A cos ϕ > 0
or ∴ϕ =
4π 3
π
3
方法二： 方法二： 令振动方程为 x = A cos (ωt + ϕ )
∆S
2
3.惠更斯原理和波的叠加原理 惠更斯原理和波的叠加原理 惠更斯原理: 惠更斯原理 波阵面上每一点都可以看作是发出球面子波的 新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。 新波源，这些子波的包络面就是下一时刻的波阵面。 波的叠加原理: 波的叠加原理 当几列波在介质中某点相遇时， 当几列波在介质中某点相遇时，该质点的 振动位移等于各列波单独传播时在该点引起位 移的矢量和。 移的矢量和。
简谐波的能量： 简谐波的能量： 能量不守恒 平衡位置： 动能和势能同时达到最大值； 平衡位置： 动能和势能同时达到最大值； 最大位移处： 动能和势能同时为零! 最大位移处： 动能和势能同时为零
平均能量密度
1 2 2 w = ρA ω 2
能流密度（波的强度） I 能流密度（波的强度）： = p = wu = 1 ρA2ω2u
o
( A) 2π
l g
( B ) 2π
l 2l C ) 2π ( 2g 3g
( D)π
l 3g
c
解：复摆 T = 2π 轴的距离。 轴的距离。
I mgh
，h 为物体重心到
则
T = 2π
ml
2
mgl
3 = 2π 2
2l 3g
故选（Ｃ）。 故选（Ｃ）。
３ 已知一平面简谐波的波动方程为 y = A cos(at − bx ) 为正值） （ a 、b 为正值）则 （Ａ）波的频率为 ；（Ｂ）波的传播速度为 （Ａ）波的频率为 a ；（Ｂ）波的传播速度为b a （Ｃ）波长为 ；（Ｄ）波的周期为 （Ｃ）波长为 π ；（Ｄ）波的周期为 2π 。 解：
(C )2.20s (D )2.00s x(m )
4 2
）
0
1
t (s )
π
3 Q t = 1, x = 0且T > 2s
π 2π ∴ x = 4 cos t− 3 T
∴ T = 2.4s
故选（Ｂ）。 故选（Ｂ）。
２ 一长为 l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水 平轴上，如图示，作成一复摆。 平轴上，如图示，作成一复摆。已知细棒绕通过其 一端的轴的转动惯量 1 ml 2 ，此摆作微小振动的 3 周期为（ 周期为（ ）。
•
t − x = A cos ω t − x y = A cos a a c b 2π ∴ω = =a c=a b T 2π a 2π λ = cT = 则T = υ= a 2π b
故选（Ｄ）。 故选（Ｄ）。
b
a
图中所画的是两个简谐振动的振动曲线． 4.图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简 谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为: 谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为:
u ± v0 ν '= ν u m vs
机械振动和机械波习题课
一 选择填空题 一简谐振动曲线如图示，则振动周期是（ １ 一简谐振动曲线如图示，则振动周期是（
( A)2.62s
(B )2.40s
解:
x = A cos (ωt + ϕ ) , A = 4 Q t = 0, x0 = 4 cos ϕ = 2, v0 = − Aω sin ϕ > 0 ∴ϕ = −
x
π
x2 A/2 O -A x1 t
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５
已知一平面简谐波沿Ｘ轴正向传播， 已知一平面简谐波沿Ｘ轴正向传播，振动周期 T = 0.5s ，波长 λ = 10m ，振幅 A = 0.1m ，当 t = 0 时，波源振动的位移恰为正的最大值。若 波源振动的位移恰为正的最大值。 波源处为原点。 波源处为原点。则沿波传播方向距离波源为λ 处的 2 振动方程为（ ），当 t = T 时， = λ 处质点 振动方程为（ ），当 x 2 4 的振动速度为（ 的振动速度为（ ）。 解：
( A) E1 / 4
( B ) E1 / 2
(C )2 E1
( D )4 E1
12、一质点作简谐振动，周期为 。质点由平衡 、一质点作简谐振动， T 位置向Ｘ轴正方向运动时， 位置向Ｘ轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一 最大位移这段路程所需要的时间为（ 最大位移这段路程所需要的时间为（ ）。
( A)T
6.半波损失 6.半波损失 波疏介 质 波密介质 波密介质 分界面反射点形成波节 波疏介质 无半波损失 有半波损失
分界面反射点形成波腹。 分界面反射点形成波腹。 自由端， 若反射点为自由端 无半波损失。 若反射点为自由端，无半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 若反射点为固定端，有半波损失。 固定端 7.多普勒效应 7.多普勒效应
m 4π m ∴k = 解： Q T = 2π 2 k T 2 2 1 2 2π mA ∴ E = kA = 2 T2
2
11.一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1，如果简谐振动 一弹簧振子作简谐振动，总能量为 ， 一弹簧振子作简谐振动 振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍， 振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍， 则它的总能量E2变为 则它的总能量 变为 ［ D ］
1 A 2
处且向x轴负方向运动， 处且向 轴负方向运动， 轴负方向运动
x =_____________________________． ．
2πt − 1 π) A cos( T 2
2πt + 1 π) A cos( 3 T
7.图中所示为两个简谐振动的振动曲线．若以余弦函数表 图中所示为两个简谐振动的振动曲线． 图中所示为两个简谐振动的振动曲线 示这两个振动的合成结果， 示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为
4
( B )T
12
(C )T
6
( D )T
8
解：令简谐振动为 x = A sin ω t 则当 x = A 2 时， sin ωt = 0.5
2π π t = 2kπ + T 6
k = 0,1,2, L
由题意知， t < T 4 由题意知， 故选（Ｂ）。 故选（Ｂ）。
，所以 t = T 12
。
１3、两相干波源 S1 S 2 、 和 相距 λ 4 ， S1的位相比 S 2 的位相超前 π 2，在两波源的连线上， 1 外侧 S 在两波源的连线上， 两波引起的两简谐振动的位相差是： （例如 P点）两波引起的两简谐振动的位相差是： 解：位相差