因式分解中的“分组分解法”

解读因式分解系列之三编制人：平生曜曜

因式分解中的“分组分解法”

分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。

不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！

（1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑：

第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。

解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y）

= x（a2 －b2）－ y（a2 －b2）

= （a2 －b2）（x －y）

=（a + b）（a－b）（x －y）

第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。

解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y）

= a2（x － y ）－b2（x －y）

=（x －y）（a2 －b2）

= （x －y）（a－b）（a + b）

（2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，

其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试：

第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。

解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y）

= （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x）

此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！

第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。

解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4）

=（x － y）2 －（2）2

=（x － y + 2）（x － y － 2）

（3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：

第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组：

解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y）

= x（x + 3）－ y（y + 3）

此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！

第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组：

解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y）

=（x + y）（x － y）+ 3（x － y）

=（x － y）（x + y + 3）

〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然后用完全平方公式先作局部分解，再相时而动，走走瞧瞧，以图良策。

〈总结技巧之二〉：形如“平方差”的项，宜暂时组成一组，然后用平方差公式先作局部分解，再相时而动，且行且看，以图良策。

（4）、分解因式：x2 －4x + y2 +4y－2xy …………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：其中的“x2”和“+ y2”形如“平方和”的结构，宜与它们的“交叉项：－2xy”暂凑一组，再走着瞧，以图良策。

解：原式=（x2 + y2 －2xy）+（－4x + 4y）

=（x － y）2 －4（x － y）

=（x － y）（x － y －4）

〈总结套路之一〉：先把原多项式分成若干组，其中某些组，要么有公因式可提取，要么可用公式法，总之能实现第一阶段的“局部”分解。接下来再对比观察第一阶段的“成果”。留意各组之间是否产生了“多项式”公因式。若有，则提取这个多项式公因式就成功破题了。

（5）、分解因式：x2 －m2 +y2 －n2 +2xy +2mn …………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：其中的“x2”和“－m2”；以及“+y2”和“－n2”形如“平方差”的结构，所以先考虑分别组成一组，再走着瞧瞧。

解：原式=（x2 －m2）+（y2 －n2）+（2xy +2mn）

=（x + m）（x －m）+（y + n）（y － n）+2（xy + mn）

此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！

〈分析〉：其中的“x2”和“+ y2”形如“平方和”的结构，宜与它们的“交叉项：+2xy”先组成一组，再走着瞧瞧；而剩下的“－m2”、“－n2”和“+2mn”通过提取“－符号”后也可以组成完全平方式，值得一试！

解：原式=（x2 + y2 +2xy）+（－m2－n2 +2mn）

=（x + y）2 －（m－n）2

=（x + y + m－n）（x + y －m +n）

（6）、分解因式：a2 －2ab + b2 －3a + 3b－10…………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

〈分析〉：看到“a2 －2ab + b2”，当然“优先尝试”把它们暂组成一组，再走着瞧呗！解：原式=（a2 －2ab + b2）－3a + 3b－10

=（a－b）2 －3（a－b）－10 提醒：看出十字相乘法没有？

=（a－b－5）（a －b +2）

（7）、分解因式：（x + y）2 －6x2 +6y2 +9（x－y）2…………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。

解：原式= x2 +2xy + y2 －6x2 +6y2____________________

= 4x2 －16xy + 4y2

=_________________________，这种方法不伤脑壳。

另解：

原式=（x + y）2 －6（）（）+ 9（x－y）2

=〔（）－_____（）〕2

=〔－2x + 4y〕2 ，以上过程取决于你能识破“整体结构的”玄机。

=〔－_____（）〕2 =___________________

（8）、分解因式：9a2 +6ab －3b2 +4b－1…………先………写………出………你………的………答………案…………

你的答案：______________________________________。