极限的运算法则
大学高数极限运算法则
1.极限法则：极限是一个数列取极限值的概念，它表示一个数包含在另一个数中时，前者的值趋于后者。
2.链式法则：链式法则是极限的一种计算方法，即从一个已知限的出发，由此推出另外一个极限。
3.运算法则：
（1）可积性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中乘以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘；
（2）可逆性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中除以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除；
（3）可幂次性：假设对函数求极限，则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限运算法则
但在点 x0 的某去心邻域内 ϕ ( x ) ≠ a，又 lim f ( u) = A，
u→ a
时的极限也存在， 则复合函数 f [ϕ ( x )] 当 x → x0 时的极限也存在，且
x → x0
lim f [ϕ ( x )] = lim f ( u) = A.
u→ a
意义： 意义：
x → x0
第六节
极限运算法则
1、极限运算法则 、 2、求极限方法举例 、
一、极限运算法则
定理 设lim f ( x) = A, lim g( x) = B,则
(1) lim[ f ( x) ± g( x)] = A ± B; (2) lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A⋅ B; f ( x) A (3) lim = , 其中B ≠ 0. g( x) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
2 x→2
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
极限运算法则
参与四则运算的各项的极限都存在！
定理 5. 若lim f (x) A，lim g(x) B，且 f (x) g(x)， 则 A B.
7
例1求
lim
x2
x2
x3 1 3x
5
.解：原式 Fra biblioteklim(x3 1)
x2
7
lim(x2 3x 5) 3
x2
结论 2：设有理分式函数 R(x) P(x) ，其中P(x)，Q(x) Q(x)
x x 2 1 x
x
1
1 x2
1
2
解法 2: 令 t 1 ，则 x 时，t 0 x
原式= lim 1
t t 0
1 t2
1
1 t
lim t0
1 t2 1 t2
lim 1 1 t0 1 t 2 1 2
倒代换
16
练习
1 x 1 x lim x0 3 1 x 3 1 x
2
1
2
lim
结论 1：设 n次多项式 Pn (x) a0 a1x an xn，
则 lim x x0
Pn
(x)
Pn
(
x0
).
6
定理 4.
若
lim
n
xn
A，lim n
yn
B ，则
(1)
lim(
n
xn
yn )
A
B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn
0且 B
0时， lim n
xn yn
A. B
注：极限的四则运算法则成立的条件为：
x0
(1
极限的运算法则
lim(
n
1 n2
2 n2
n n2
)
lim
n
1
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
1 2
lim(1
n
n1 )
1. 2
目录
小结
------极限求法;
1.多项式与分母不为零的分式函数代入法求极限;
2.利用无穷小与无穷大的关系求 A型极限;
0
0
3.消去零因子法求 0极限;
4.分子分母同除以x的最高次方法求 (x 型) 极限; 5.通分法求 极限;
0
则来计算的极限
目录
*求未定式极限方法举例、练习 1. 0 型有理式 0
约零因子法（因 式分解）
方法：分子分母分解因式，消去使他们趋于
零的公因子
( 0型) 0
解
目录
x2 9 lim x3 x 3
解 分析：因为 lim（x2 9） 0，lim（x 3） 0.
x3
x3
lim x2 9 lim ( x 3)( x 3) lim( x 3) 6
lim[c f (x)] c lim f (x) （c为常数）
特例2：推广到有限个函数的积
3、除法法则: 商的极限等于极限的商
lim
f (x) g( x)
lim f (x)
lim g(x)
A B
（B 0）
小 结: 函数的和、差、积、商的极限等于函数极限
的和、差、积、商
目录
(1)和函数的极限等于极限的和. (2)积函数的极限等于极限的乘积. (3)商函数的极限等于极限的商(分母不为零).
lim
x
2 3
极限运算法则
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
3
3
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
lim [ f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x )
x → x0 x → x0
x → x0
lim kf ( x ) = k lim f ( x )
x → x0
（k为常 数）
3) 当 lim g ( x ) ≠ 0 时，
x → x0
f ( x) lim = lim f ( x ) / lim g ( x ). x → x0 g ( x ) x → x0 x → x0
( x 2 + 2 x − 3) = 0, x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x2 + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
∴ lim 4x − 1 x + 2x − 3
2 x →1
= ∞.
小结: 1. 设 f ( x ) = a 0 x n + a1 x n −1 +
=
u→ B ln A
lim e u = e B ln A = A B .
极限存在准则、两个重要极限
极限存在准则 两个重要极限
1、极限存在准则
数列极限的夹挤准则
准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:
极限的 运算法则
x
1
3
2 2
1
1 3
．
x1
x1
x1
结论 一般地，当有理分式函数中分母的极限不为零时，有理分式在 x0 处的极 限也等于其在 x0 处的函数值．
1.1 极限的四则运算法则
例3
求
lim
x1
4x 3 x2 3x
2
．
解 因为分母的极限 lim(x2 3x 2) 12 31 2 0 ，故不能直接用商的极限 x1
lim
xx0
(a0
xn
a1xn1
an1x an ) a0 x0n a1x0n1
an1x0 an ．
1.1 极限的四则运算法则
例2
求
lim
x1
3x2
2x 2x
1
．
解 这里分母的极限不为零，故
lim
x1
3x2
2x 2x
1
lim 2x
x1
lim(3x2 2x
1)
3lim
2lim x x1
a1 x n 1 b1 x m 1
0， n m ，
an bm
a0 b0
，
n m ，（其中 a0 0 ，b0 0
， n m ，
1.1 极限的四则运算法则
例9
求
lim
n
2n 2n1
5n 5n1
．
解 当 n 时，分子、分母都是无穷大，故不能直接用商的极限法则，但可 以将分子、分母同除以 5n ，再利用极限四则运算法则计算．
高等数学
极限的运算法则
本节讨论极限的求法，主要是建立极限的四则运算法则和复合函数 的极限运算法则，利用这些法则，可以求某些函数的极限．以后我们 还将介绍求极限的其他方法．
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限运算法则
x1 1 . lim x 1 x 3 2
(消去零因子法)
2x3 3x2 5 例3 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
解
x 时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .( 型 )
3
先用x 去除分子分母 , 再求极限 .
3 2 3 2 2x 3x 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x 5 x3 2. 1 7 x3
例4
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无限多个无穷小之和 ．
解
先变形再求极限.
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
3 x 1 2 1 7 x2 lim 2 . 2 x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim( x 3 1)
x2
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0 u a
但在点 x0 的某去心邻域内 ( x ) a，又 lim f ( u) A， 则复合函数 f [ ( x )] 当 x x0 时的极限也存在，且
x x0
lim f [ ( x )] lim f ( u) A.
u a
意义：
x x0
极限运算法则
x 1 u2 1 u 1 ∴ 原式 lim(u 1) 2 u 1 x 1 u 1
方法 2
( x 1)( x 1) lim( x 1) lim x 1 x 1 x 1
2
小结
1.无穷小运算法则；极限的四则运算法则;复合函数的极 限运算法则. 2.极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限;
n 1
a n f ( x0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) , 且Q( x0 ) 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 ). x x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x x0 x x0
lim P ( x )
3 (1);
5
备用题 设 求 解: 是多项式 , 且 利用前一极限式可令
f ( x) 2 x 3 2 x 2 a x b
再利用后一极限式 , 得
f ( x) b 3 lim lim (a ) x 0 x x 0 x
可见 故
思考及练习 1. 问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知
矛盾. 2.
存在 , 与已知条件
n (n 1) 1 1 1 解: 原式 lim lim (1 ) 2 n 2n n 2 n 2
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
若Q( x0 ) 0, 则商的法则不能应用 .
4x 1 . 例2 求 lim 2 x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
极限运算法则
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明
设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
又设是当x x0时的无穷小 , 0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时
小结: 1. 设 f ( x ) a0 x n a1 x n 1 a n , 则有
x x0
lim f ( x ) a0 ( lim x ) n a1 ( lim x ) n 1 a n
x x0
n
x x0
a0 x0 a1 x0
n 1
a n f ( x0 ).
u u0
且存在 0 0,当x U 0 ( x0 , 0 )时, 有g( x) u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A
u u0
证明 按 函 数 极 限 的 定 义 , 要 证: 0, 0, 使 得
当0 x x0 时, 恒 有 f [ g( x )] A lim f ( u) A, 0, 0, 使 得 uu
2
因 为 是 当x x0时 的 无 穷 小 , 对 于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒 有
2 取 m in{ 1 , 2 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有 及
2 2 2 2 即证明了 也 是x x0的 无 穷 小 从 而
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2.4极限的运算法则
例9
lim
a 0 x a1 x
n
n 1 m 1
an bm
x
b 0 x b1 x
m
（a0≠0，b0≠0，m,n>0).
解
幂同除分子、分母 1 1 a 0 a1 a n n x x a0 1）m=n, 原式 lim x 1 1 b0 b 0 b1 b n n x x
(
0 0
x 2
型)
解
原式 lim
lim
x 7 3) x 2 2)
x 2
x22 x73
x2 x2
x 2
x2 2 x7 3
lim
x2 2 x7 3
x 2
2 3
例8 求 lim1 ( x 3 1 x 1 ) x
3
1
( 型)
lim f ( x )
x x0
x x0
lim f ( x )
lim P ( x )
P ( x0 ) 0
x x0
x x0
lim Q ( x 0 )
例4
求 lim
x 1
2
x1
x 2x 3
2
.
.
解
x 1时 , 分子 , 分母的极限都是零
(
0 0
型)
先约去趋向于零的因子
.
解
lim ( x
x1
2 x 3) 0,
商的法则不能用
又 lim ( 4 x 1 ) 3 0 ,
高等数学 极限运算法则
x)
Pn ( x0 ) Pm ( x0 )
f ( x0 ).
16
极限运算法则
例 求 lim x2 2x 3 ( 0 型 )
x3 x 3
0
解 方法：消去零因子
x2 2x 3 lim
lim ( x 3)( x 1)
x3 x 3
x3 ( x 3)
lim( x 1) 4 x3
预习：
1.无穷小
无穷小的定义和性质 等价无穷小替换的使用规则
2. 无穷大
无穷大的定义和性质 无穷大和无穷小的关系
1
第三节 极限运算法则
极限四则运算法则 极限的复合运算则 两个极限存在准则
第一章 函数与极限
2
极限运算法则
一、极限四则运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1(四则运算) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
limqn 0(| q | 1)
n
解 方 法 先作恒等变形, 变成基础极限。
2n 3n lim n 2n 3n
2 n 1 lim 2 n lim1
lim 3
n 3
n
n 2 n 1 lim 2 n lim1
3
n 3 n
1
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
1 lim 0 n n
x21,源自x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0 是函数的分段点,
10
lim f ( x) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
f ( x0 0) f ( x0 0) A
极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},mi n {21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ⋅存在，且)(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ⋅==。
证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，⇒,)(,)(βα+=+=B x g A x f（βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=⇒B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ⇒为无穷小， AB x g x f =⇒)()(lim 。
推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。
推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。
定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则)(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。
高等数学极限的运算法则与性质
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
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3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
极限运算法则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
极限的运算法则
( lim x )2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
3
商的极限等 于极限的商
3 2 x 1 1 7 x2 . lim 2 2 3 3 x2 x 3 x 5 lim ( x 3 x 5)
lim [ f ( x ) g( x )] A B
lim f ( x ) lim g ( x )
x x0 x x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x x0
lim [ f ( x )]n [ lim f ( x )]n
x x0
—— 幂的极限等于极限的幂
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定不存在？
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
n 1 2 3 2. lim 2 2 2 2 ? n n n n n
n ( n 1) 1 1 1 解 原式 lim lim ( 1 ) . 2 n 2n n 2 n 2
例5 分析 解
12 1 求 lim 3 . x 2 x 2 x 8
( 型 )
型，先通分，再用极限法则.
22 x (x 22 xx 8 4 ) 12 0 ( ) 原式 lim lim 3 0 2 2 x3 x x x8 8
2 x3 3 x2 5 例4 求 lim . 3 2 x 7 x 4 x 1
分析
( 型)
x 时,分子,分母都 趋于 无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2 3 3 2 2x 3x 5 x x “ 抓大头” 解 lim lim 4 1 x x 7 x 3 4 x 2 1 7 3 x x 3 5 lim ( 2 3 ) 2 x x x . 4 1 lim (7 3 ) 7 x x x
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极限的运算法则
目的要求
1．掌握数列极限与函数极限的运算法则。
2．能运用极限的运算法则，求出较复杂的函数和数列的极限。
3．让学生体验“化归”、“类比”的数学思想方法。
内容分析
1．简单的函数极限可以从函数值的变化趋势中找出，但较为复杂的函数极限，就必须把它“化归”为简单的函数的极限，通过运算而得出。
因此，极限的运算法则是我们实现化繁为简的基本手段。
2．教科书中给出了0x x →时，函数f （x ）极限的四则运算法则，我们类似地可以给出当x →∞时，函数f(x)极限的运算法则，即
如果极限)(lim x f x ∞→与)(lim x g x ∞
→都存在，那么 )()(x g x f ±，)()(x g x f ⋅，)
()(x g x f （当x →∞时）的极限也存在，并且 )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞→∞
→∞→±=±， )(lim )(lim )]()([lim x g x f x g x f x x x ∞
→∞→∞→⋅=⋅， )0)(lim ()(lim )(lim )()(lim ≠=∞
→∞
→∞→∞→x g x g x f x g x f x x x x 。
这些法则，可用类比的方法，直接改变式中的0x x →为x →∞而得出，以便学生理解记忆。
3．对于函数极限的运算法则，教科书只给出结论，不要求证明。
4．在上一节课中，已经给学生讲述了数列与函数的关系，即把数列看成是特殊的函数，根据演绎推理，很自然地得出数列的极限运算法则。
进一步地令C b n =（C 为常数），则可推得：n n n n a C a C ∞
→∞→⋅=⋅lim )(lim 。
5．极限运算法则可以推广到有限多个数列的情况，让学生感受数学思维的一般规律，养成从特殊到一般，从具体到抽象的归纳思维习惯。
6．教科书中的例1~例5，共包含了0x x →与x →∞两类极限的计算问题。
其中，0x x →的函数f （x ）的极限计算时，分f(x)在0x x =处有定义和无定义的两种（例1、例2是有定
义的；例3是无定义的），另一类x →∞时的函数极限也有两种；一种是每项的极限都存在，可以直接用运算法则而求出的，另一种必须对原来的函数进行恒等变形转化为第一种（例4、例5）。
无论是哪一种，它都体现了一种化繁为简，化难为易的基本思想。
教学过程
1．导入新课 ①提出问题：函数1
13)(22+-+=x x x x f ，当x →∞时，你能否直接看出函数值的变化趋势？
②接着提问：怎么办？怎样才能把问题转化为已知能求的函数极限？转化的数学方法与依据是什么？
③导出课题：极限的运算法则。
2．给出0x x →的极限运算法则
①用多媒体展示法则的表达式与文字叙述。
②强调法则运用的条件：)(lim 0x f x x →、)(lim 0
x g x x →都必须存在。
③当C 为常数、n 是正整数时，从第二个式子推出：
)(lim )]([lim 0
0x f C x f C x x x x →→⋅=⋅ n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0
0→→=
3．把展示出来的法则的表达式中的0x x →用x →∞替换，并指出式子仍然成立（用多媒体手段直接在原式上更换）
4．分析讲解例题
例1与例2是同一种类型，当0x x =时，f(x)有定义，学生比较容易掌握。
例3中的f(x)在0x x =处无定义，必须通过代数变形才能达到目的。
例4、例5都是当x →∞时，分子、分母都没有极限的情况，不能直接运用运算法则，只有帮助学生寻找代数变形的规律与方法，化未知为已知，创造运用法则的条件，才能解决问题。
5．利用数列与函数的关系，直接推出数列极限的运算法则（用多媒体技术，直接把表达式中的f(x)、g(x)分别改成n a 、n b 把x →∞改成n →∞）
6．提出问题：能否把法则推广到有限多个数列的情况？如果有无限多个数列，法则是否仍然成立？
让学生对上述问题进行讨论，并各举实例，如
个
n n n n )11(lim ++∞→的极限情况研究。
7．课堂训练
①学生板演例6、例7、例8。
②学生口答52P 练习。
③学生笔算53P 练习。
8．归纳总结（学生回答下列问题）
①概述极限的运算法则。
②数列的极限计算分几类？具体解决问题的方法如何？
③函数的极限计算分哪几类？如何解决？
布置作业
教科书习题2.2第3题、第6题、第7题。
思考题：求下列式子的极限。
（1）)0,0*,(lim 01110111≠≠∈++++++++----∞→n n n n n n n n x b a N n b x b x
b x b a x a x a x a ππ （2）*),,0,0(lim 0
1110111N t s b a b n b n b n b a n a n a n a t s t t t t s s s s n ∈≠≠+++-++++----∞→
（孙惠华）。