晶体中的电子状态

nx、ny、nz取零、正负整数 <
三.能态密度
一组量子数 （nx、ny、nz） 确定
kx、ky、kz （电子的某个状态）
1.K 空间
以波矢 K 的三个分量为坐标轴组成的空间 <
2.K 空间的状态密度（用驻波解）
kx
nx
L
相邻状态点的间隔
ky
ny L
kz
nz L
L
每个点占有的体积
3 L3
单位体积的状态数（状态密度）
L3 V 3 3
3.等能面
E
2k2 2 2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
kx2
k
2 y
kz2
2mE
2
（1）在K 空间中，能量为定值的等能面
是个球面，半径为 2mE
<
（2）落在球面上的状态点具有相同的能量。
（3）等能面所包含的体积
4
3
(
2mE
2
)
3
2
4.能态密度
能量0 E之间的状态数G
G V 4 ( 2mE )32
波函数：
1( x) Axeikxx
2 ( y) Ayeiky y
3 (z) Azeikz z
(x、y、z) Aei(kxxky ykzz)
行波
<
能量：
eikxL 1
kx L 2nx
kx
2nx
L
同样：
ky
2ny L
kz
2nz L
2
E 2m
kx2
k
2 y
k
2 z

2 2 2
mL2
nx2 ny2 nz2
（3）EF 的确定 能量E E dE之间的状态数dG
dG
V
2
2
(
2m
2
)
3
2
E
1
2dE
1
CE 2dE
温度T时，能量为E的量子态被电子占据的几率
f
(E)
exp( E
1 EF
) 1
K BT
f (E)dG
能量E E dE 之间的电子数
1
dN f (E)dG Cf (E)E 2dE
所有量子态上的电子
二.电子的波函数与能量
2
2 (x, y, z) E (x, y, z)
2m
用分离变量法，电子的波函数和能量本征值分别为
(x, y, z) 1(x)2 ( y)3(z)
E
2k 2 2m
2
2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
V
x、y、z
0
L
0.............当 . 0x, y, zL.......... V .............当x, y, z 0或x, y, z L
二.能带论的基本思想
由多粒子形成的多体问题
电子受离子电场的作用 多体问题
电子之间存在库仑互作用
近似
单电子问题
近似
1.多体问题
多电子问题
离子与电子的相互作用
电子在离子产生的周期势场中运动
近似
2.多电子问题
单电子问题
电子之间的相互作用
电子在其它电子产生的平均势场中运动
电子处在由离子产生的周期势场和其他电子的平均势场中运动
1
N dN C f (E)E 2dE
0
0
A: T=0K
E EF E EF
f (E) 1 f (E) 0
N C
EF 0
E
1
2 dE
0
2 3
C ( EF0
)
3
2
n N －电子浓度 V
EF 0
2
2m
(3n 2 )23
EF0 ~ 1.5－7ev
B: T≠0K 一般温度下， KBT EF
第三章 晶体中的电子状态
一.讨论的内容
(1）金属的自由电子论 （2）固体的能带论
固体物理的核心理论 1.金属的自由电子理论（索末菲） 模型：内部势场恒定，电子运动遵从费米－狄拉克统计。 解释：金属的许多特性尤其是金属电子比热小。 困难：不能解释材料间电导差别。
2.固体的能带论（布洛赫）
模型：电子在由离子产生的周期势场中运动。 解释：材料间存在电导差别，预言半导体存在。 困难：对超导体、非晶态物质的一些性质无法解释。
和行波边界条件下的结果比较
1
CE 2dE
能态密度
Z(E)
dG
CE
1 2
<
dE
四.电子的统计分布及费米能级 1.电子的统计分布 在热平衡时，能量为E的量子态被电子占据的几率
f
(E)
exp( E
1 EF
) 1
K BT
费米分布函数
EF ：费米能级
决定电子在能级上分布的一个重要物理参数
2.费米能级 EF
3.能带论－用单电子近似处理晶体中电子能量的理论
{3.1 金属的自由电子理论
一.理论模型 1.金属中的电子不受外力作用，是自由的。 2.电子不能逸出金属。 电子在边长为Ｌ的立方体中运动，势阱为
0.............当 . 0x, y, zL.......... V .............当x, y, z 0或x, y, z L
3 3
2
对于驻波状态
nx、ny、nz只能取正值，k
x、k
y、k
也取正值
z
G
V
8 3
4
3
(
2mE
2
)
3
2＝
4
3
V
mE
( 2 2
2
3
)2
每个状态点可容纳自旋相反的两个电子
G
8 V
3
(
mE
2 2
2
3
)2
E－E+dE 能量间隔的状态数
dG
4V
(
m
2 2
31
2 ) 2 E 2dE
V
2
2
(
2m
2
)
3 2
E
1
2dE
EF
EF 0[1
2
12
(
KBT EF 0
)2 ]
（4）费米面
驻波
能量： sin kx L 0
kx L nx
kx
nx
L
同样：
ky
ny L
2
E 2m
k
2 x
k
2 y
kz2
2
2m
2
L2
nx2 ny2 nz2
kz
nz L
nx、ny、nz只取正整数？
2.行波法
边界条件： 1(x L) 1(x) 2 ( y L) 2 ( y) 3(z L) 3(z)
(1) f (E)与E EF的关系
A: T=0K
E EF f (E) 1
E EF f (E) 0
<
EF 可看成量子态是否被电子占据的界线
B: T≠0K
E EF
f (E) 1 2
E EF
f (E) 1 2
E EF
f (E) 1 2
<
比较直观地反映了电子占据量子态的情况
温度 , f (E)如何变化？
C:离较远的量子态被电子占据的情况
f (E)
1
exp( E EF ) 1
K BT
E E F K BT
f (E) 1
E E F K BT
f (E) A exp( E ) K BT
fB (E)
玻尔兹曼分布函数
<
（2）EF 的物理意义
A:决定各个能级上电子统计分布的参量 B:直观反映了电子填充能级的水平
«L
（1）驻波边界条件 －驻波法
（2）周期边界条件 －行波法
1.驻波法
边界条件：
1(x)x0,L 0
2 ( y)y0,L 0
3 (z)z0,L 0
波函数： 1(x) Ax sin kx x 2 ( y) Ay sin ky y
3 (z) Az sin kz z
Asin kx x sin ky y sin kZ z