晶体中的电子状态

EF
EF 0[1
2
12
(
KBT EF 0
)2 ]
（4）费米面
驻波
能量： sin kx L 0
kx L nx
kx
nx
L
同样：
ky
ny L
2
E 2m
k
2 x
k
2 y
kz2
2
2m
2
L2
nx2 ny2 nz2
kz
nz L
nx、ny、nz只取正整数？
2.行波法
边界条件： 1(x L) 1(x) 2 ( y L) 2 ( y) 3(z L) 3(z)
二.能带论的基本思想
由多粒子形成的多体问题
电子受离子电场的作用 多体问题
电子之间存在库仑互作用
近似
单电子问题
近似
1.多体问题
多电子问题
离子与电子的相互作用
电子在离子产生的周期势场中运动
近似
2.多电子问题
单电子问题
电子之间的相互作用
电子在其它电子产生的平均势场中运动
电子处在由离子产生的周期势场和其他电子的平均势场中运动
第三章 晶体中的电子状态
一.讨论的内容
(1）金属的自由电子论 （2）固体的能带论
固体物理的核心理论 1.金属的自由电子理论（索末菲） 模型：内部势场恒定，电子运动遵从费米－狄拉克统计。 解释：金属的许多特性尤其是金属电子比热小。 困难：不能解释材料间电导差别。
2.固体的能带论（布洛赫）
模型：电子在由离子产生的周期势场中运动。 解释：材料间存在电导差别，预言半导体存在。 困难：对超导体、非晶态物质的一些性质无法解释。
3 3
2
对于驻波状态
nx、ny、nz只能取正值，k
x、k
y、k
也取正值
z
G
V
8 3
4
3
(
2mE
2
)
3
2＝
4
3
V
mE
( 2 2
2
3
)2
每个状态点可容纳自旋相反的两个电子
G
8 V
3
(
mE
2 2
2
3
)2
E－E+dE 能量间隔的状态数
dG
4V
(
m
2 2
31
2 ) 2 E 2dE
V
2
2
(
2m
2
)
3 2
E
1
2dE
nx、ny、nz取零、正负整数 <
三.能态密度
一组量子数 （nx、ny、nz） 确定
kx、ky、kz （电子的某个状态）
1.K 空间
以波矢 K 的三个分量为坐标轴组成的空间 <
2.K 空间的状态密度（用驻波解）
kx
nx
L
相邻状态点的间隔
ky
ny L
kz
nz L
L
每个点占有的体积
3 L3
单位体积的状态数（状态密度）
二.电子的波函数与能量
2
2 (x, y, z) E (x, y, z)
2m
用分离变量法，电子的波函数和能量本征值分别为
(x, y, z) 1(x)2 ( y)3(z)
E
2k 2 2m
2
2m
(k
2 x
k
2 y
k
2 z
)
V
x、y、z
0
L
0.............当 . 0x, y, zL.......... V .............当x, y, z 0或x, y, z L
(1) f (E)与E EF的关系
A: T=0K
E EF f (E) 1
E EF f (E) 0
<
EF 可看成量子态是否被电子占据的界线
B: T≠0K
E EF
f (E) 1 2
E EF
f (E) 1 2
E EF
f (E) 1 2
<
比较直观地反映了电子占据量子态的情况
温度 , f (E)如何变化？
C:离较远的量子态被电子占据的情况
f (E)
1
exp( E EF ) 1
K BT
E E F K BT
f (E) 1
E E F K BT
f (E) A exp( E ) K BT
fB (E)
玻尔兹曼分布函数
<
（2）EF 的物理意义
A:决定各个能级上电子统计分布的参量 B:直观反映了电子填充能级的水平
«L
（1）驻波边界条件 －驻波法
（2）周期边界条件 －行波法
1.驻波法
边界条件：
1(x)x0,L 0
2 ( y)y0,L 0
3 (z)z0,L 0
波函数： 1(x) Ax sin kx x 2 ( y) Ay sin ky y
3 (z) Az sin kz z
Asin kx x sin ky y sin kZ z
（3）EF 的确定 能量E E dE之间的状态数dG
dG
Leabharlann Baidu
V
2
2
(
2m
2
)
3
2
E
1
2dE
1
CE 2dE
温度T时，能量为E的量子态被电子占据的几率
f
(E)
exp( E
1 EF
) 1
K BT
f (E)dG
能量E E dE 之间的电子数
1
dN f (E)dG Cf (E)E 2dE
所有量子态上的电子
3.能带论－用单电子近似处理晶体中电子能量的理论
{3.1 金属的自由电子理论
一.理论模型 1.金属中的电子不受外力作用，是自由的。 2.电子不能逸出金属。 电子在边长为Ｌ的立方体中运动，势阱为
0.............当 . 0x, y, zL.......... V .............当x, y, z 0或x, y, z L
波函数：
1( x) Axeikxx
2 ( y) Ayeiky y
3 (z) Azeikz z
(x、y、z) Aei(kxxky ykzz)
行波
<
能量：
eikxL 1
kx L 2nx
kx
2nx
L
同样：
ky
2ny L
kz
2nz L
2
E 2m
kx2
k
2 y
k
2 z
2 2 2
mL2
nx2 ny2 nz2
1
N dN C f (E)E 2dE
0
0
A: T=0K
E EF E EF
f (E) 1 f (E) 0
N C
EF 0
E
1
2 dE
0
2 3
C ( EF0
)
3
2
n N －电子浓度 V
EF 0
2
2m
(3n 2 )23
EF0 ~ 1.5－7ev
B: T≠0K 一般温度下， KBT EF
L3 V 3 3
3.等能面
E
2k2 2 2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
kx2
k
2 y
kz2
2mE
2
（1）在K 空间中，能量为定值的等能面
是个球面，半径为 2mE
<
（2）落在球面上的状态点具有相同的能量。
（3）等能面所包含的体积
4
3
(
2mE
2
)
3
2
4.能态密度
能量0 E之间的状态数G
G V 4 ( 2mE )32
和行波边界条件下的结果比较
1
CE 2dE
能态密度
Z(E)
dG
CE
1 2
<
dE
四.电子的统计分布及费米能级 1.电子的统计分布 在热平衡时，能量为E的量子态被电子占据的几率
f
(E)
exp( E
1 EF
) 1
K BT
费米分布函数
EF ：费米能级
决定电子在能级上分布的一个重要物理参数
2.费米能级 EF