上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题
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【详解】
令 ，
可得 ，且 ，
故函数 的定义域为 .
由于 ，根据复合函数的单调性，
本题即求 在函数 的定义域上的减区间．
画出函数 的图象，如图：
故函数 的减区间 、 ，
故答案为 、 ．
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
13．
【解析】
∴
∴
当 时，方程有唯一根2，适合题意
当 时， 或
显然符合题意的零点
∴当 时，
当 时， ，即
综上：实数 的取值范围为 或 或
故答案为： 或 或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
【解析】
【分析】
（1）根据函数 为 上的奇函数，可求得 的值，即可得函数 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（2）根据 的值，可以求得 ，即可得 的解析式，利用换元法，将函数 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；
【详解】
解：（1） 是定义域为 上的奇函数，
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】
根据函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，可得函数在 上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得。
【详解】
由题意，函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
17．（1）详见解析；（2） 或 。
【解析】
【分析】
（1）作图见解析；
（2）先求出 的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于 的方程，需注意对数的真数大于零。
【详解】
（1）如图：
（2） 即
即
解得 或
【点睛】
本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题。
18．（1） ，证明见解析；（2）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．函数 的定义域为______．
6．设函数 为奇函数，则实数a的值为______．
7．已知 （ 且 ）的图像过定点P，点P在指数函数 的图像上，则 ______．
8．方程 的解为______．
9．对任意正实数x，y， ， ，则 ______．
【详解】
令 ，因为 ，
当 时， ，由 ，得 ，解得 ；
当 时， ，由 ，得 ，解得 （舍）；
又函数 的反函数是 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.
12． 和（3，5）
【解析】
【分析】
令 ，可得函数 的定义域为 ．本题即求 在函数 的定义域的减区间，数形结合可得函数 的减区间．
绝密★启用前
上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．下列函数中，是奇函数且在区间 上是增函数的是（ ）．
绘出 的图象，如图：
①当 时， ，
由函数图象可知：
要使 的值域是 ， ，
则 ， ；故（1）错误；
②当 时， ，
在 ， 单调递增， 的最大值为1，最小值为 ，
；故（2）正确；
③当 时， ， ；故（3）错误，
故答案为：（2）
【点睛】
本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．
A． B．
C． D．
2．已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数m满足 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．（0，2）D．
3．如果函数 在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“可拆分函数”，若 为“可拆分函数”，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义在 上的函数 满足 当 时， 若函数 在 内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )
6．
【解析】
【分析】
一般由奇函数的定义应得出 ，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为 是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求 的值．
【详解】
解： 函数 为奇函数，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求 而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．
解得
故答案为：
【点睛】
本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题。
9．1
【解析】
【分析】
由题意，对任意正实数x，y， ，采用特殊值法，求出 。
【详解】
解：由题意，对任意正实数x，y， ， ，
令 则
令 则
故答案为：
【点睛】
本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题。
（1）求 的表达式；
（2）若该线路分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20．对于定义域为D的函数 ，若存在区间 ，使得 同时满足，① 在 上是单调函数，②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，则称区间 为该函数的一个“和谐区间”
（1）求出函数 的所有“和谐区间” ；
， 是斜率为 ，且过定点 的直线，绕 旋转直线，由图知，当 时，直线与曲线有三个交点，函数 在 内恰有 个零点， 的取值范围是 ，故选C.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题.
（2）函数 是否存在“和谐区间” ？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由
（3）已知定义在 上的函数 有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．
21．定义在R上的函数 和二次函数 满足： ， ，
（1）求 和 的解析式；
（2）若对于 ， ，均有 成立，求a的取值范围；
（3）设 ，在（2）的条件下，讨论方程 的解的个数．
5．
【解析】
【分析】
求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
【详解】
解得
故函数的定义域为
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。
7．
【解析】
【分析】
由题意求出点 的坐标，代入 求函数解析式．
【详解】
解：由题意 ，令 ，则 ，
即点 ，
由 在指数函数 的图象上可得，令
，
即 ，
故
故答案为：
【点睛】
本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．
8．
【解析】
【分析】
将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。
【详解】
15．已知函数 （ 且 ）只有一个零点，则实数 的取值范围为______．
16．已知函数 ， 的值域是 ，有下列结论：（1） 时， ；（2） 时， ；（3） 时， ，其中正确的结论的序号为______．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 的反函数是 ，
（1）画出 的图像；
（2）解方程 ．
18．已知定义在R上的奇函数 （（ 且 ）， ）
14．
【解析】
【分析】
由题意可得 ，即 ，对 的范围进行讨论得出答案．
【详解】
解： ，
，
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
15． 或 或
【解析】
∵函数 （ 且 ）只有一个零点，
【分析】
确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道 且真数恒大于0，求得 的取值范围．
【详解】
解：令 在对称轴左边递减，
当 时，
对任意的 ， 当 时， ，即
故应有
又因为 在真数位置上所以须有
综上得
故答案为：
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．（2）
【解析】
【分析】
根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．
【详解】
解：当 时， ， ，单调递减，
当 时， ，单调递增，
在 单调递增，在 单调递减，
当 时，取最大值为1，
当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．
【点睛】
本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．
20．（1） ， ， ；（2）不存在；理由见解析；（3）
10． 或
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义与性质，即可求出 的值．
【详解】
解：由题意幂函数 是R上的增函数
解得 或
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于 的方程和不等式，是基础题．
11．-1
【解析】
【分析】
由题意，令 ，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.
（1）求k的值，并用定义证明当 时，函数 是R上的增函数；
（2）已知 ，求函数 在区间 上的取值范围．
19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t相关，当 时电车为满载状态，载客为400人，当 时，载客量会少，少的人数与 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为 ．
10．已知幂函数 是R上的增函数，则m的值为______．
11．已知函数 的反函数是 ，则 ______.
12．函数 的单调递增区间为______．
13．若函数 （ 且 ）满足：对任意 ， ，当 时， ，则a的取值范围为______．
14．已知 ，定义 表示不小于x的最小整数，若 ，则正数x的取值范围为______．
，得 ，
，
，
是 上的奇函数，
设任意的 且 ，则
，
，
，
，
在 上为增函数；
（2） ，
，即 ，
或 （舍去），
则 ， ，
令 ，则 ，
则 ，
由对勾函数的性质可得 在 上单调递增，
故
的值域为
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断。
【详解】
解：在 中， 是奇函数，在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是偶函数，但在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是奇函数且在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是奇函数且在区间 上是增函数，故 正确．
故选： ．
函数 在 上单调递减，
解得
即
故选：
【点睛】
本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为方程 在 上有解的问题即可得解．
【详解】
解：
函数 为“可拆分函数”，
存在实数 ，使 成立，
方程 在 上有解，
即 在 上有解，
， ，
，
的取值范围为： ．
故选：
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
4．C
【解析】
若 ，则 ， ，根据函数的平移变换与翻折变换，画出 在 上的图象，则 与 的图象有三个交点时，函数 有三个零点，可得
19．（1） （2） ，
【解析】
【分析】
（1）由题意知， 为常数），结合 求得 ，则 的表达式可求；
（2）写出分段函数 ，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．
【详解】
解：（1）由题意知， 为常数），
， ．
．
（2）由 ，可得
，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立；
当 时， ，当 时等号成立．
令 ，
可得 ，且 ，
故函数 的定义域为 .
由于 ，根据复合函数的单调性，
本题即求 在函数 的定义域上的减区间．
画出函数 的图象，如图：
故函数 的减区间 、 ，
故答案为 、 ．
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
13．
【解析】
∴
∴
当 时，方程有唯一根2，适合题意
当 时， 或
显然符合题意的零点
∴当 时，
当 时， ，即
综上：实数 的取值范围为 或 或
故答案为： 或 或
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
【解析】
【分析】
（1）根据函数 为 上的奇函数，可求得 的值，即可得函数 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（2）根据 的值，可以求得 ，即可得 的解析式，利用换元法，将函数 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；
【详解】
解：（1） 是定义域为 上的奇函数，
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．C
【解析】
【分析】
根据函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，可得函数在 上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得。
【详解】
由题意，函数 为R上的偶函数，且在区间 上单调递增，
17．（1）详见解析；（2） 或 。
【解析】
【分析】
（1）作图见解析；
（2）先求出 的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于 的方程，需注意对数的真数大于零。
【详解】
（1）如图：
（2） 即
即
解得 或
【点睛】
本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题。
18．（1） ，证明见解析；（2）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．函数 的定义域为______．
6．设函数 为奇函数，则实数a的值为______．
7．已知 （ 且 ）的图像过定点P，点P在指数函数 的图像上，则 ______．
8．方程 的解为______．
9．对任意正实数x，y， ， ，则 ______．
【详解】
令 ，因为 ，
当 时， ，由 ，得 ，解得 ；
当 时， ，由 ，得 ，解得 （舍）；
又函数 的反函数是 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.
12． 和（3，5）
【解析】
【分析】
令 ，可得函数 的定义域为 ．本题即求 在函数 的定义域的减区间，数形结合可得函数 的减区间．
绝密★启用前
上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．下列函数中，是奇函数且在区间 上是增函数的是（ ）．
绘出 的图象，如图：
①当 时， ，
由函数图象可知：
要使 的值域是 ， ，
则 ， ；故（1）错误；
②当 时， ，
在 ， 单调递增， 的最大值为1，最小值为 ，
；故（2）正确；
③当 时， ， ；故（3）错误，
故答案为：（2）
【点睛】
本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．
A． B．
C． D．
2．已知 是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数m满足 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．（0，2）D．
3．如果函数 在其定义域内存在实数 ，使得 成立，则称函数 为“可拆分函数”，若 为“可拆分函数”，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．定义在 上的函数 满足 当 时， 若函数 在 内恰有3个零点，则实数m的取值范围是( )
6．
【解析】
【分析】
一般由奇函数的定义应得出 ，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为 是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求 的值．
【详解】
解： 函数 为奇函数，
，
，
即 ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求 而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．
解得
故答案为：
【点睛】
本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题。
9．1
【解析】
【分析】
由题意，对任意正实数x，y， ，采用特殊值法，求出 。
【详解】
解：由题意，对任意正实数x，y， ， ，
令 则
令 则
故答案为：
【点睛】
本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题。
（1）求 的表达式；
（2）若该线路分钟的净收益为 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
20．对于定义域为D的函数 ，若存在区间 ，使得 同时满足，① 在 上是单调函数，②当 的定义域为 时， 的值域也为 ，则称区间 为该函数的一个“和谐区间”
（1）求出函数 的所有“和谐区间” ；
， 是斜率为 ，且过定点 的直线，绕 旋转直线，由图知，当 时，直线与曲线有三个交点，函数 在 内恰有 个零点， 的取值范围是 ，故选C.
【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题.
（2）函数 是否存在“和谐区间” ？若存在，求出实数a，b的值；若不存在，请说明理由
（3）已知定义在 上的函数 有“和谐区间”，求正整数k取最小值时实数m的取值范围．
21．定义在R上的函数 和二次函数 满足： ， ，
（1）求 和 的解析式；
（2）若对于 ， ，均有 成立，求a的取值范围；
（3）设 ，在（2）的条件下，讨论方程 的解的个数．
5．
【解析】
【分析】
求已知函数解析式的函数定义域即使式子有意义，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零，即可解答。
【详解】
解得
故函数的定义域为
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的定义域，求函数的定义域即使式子有意义，常见的有（1）分式中分母不为零；（2）偶次根式中被开方数大于或等于零；（3）零次幂的底数不为零；（4）对数函数的真数大于零；属于基础题。
7．
【解析】
【分析】
由题意求出点 的坐标，代入 求函数解析式．
【详解】
解：由题意 ，令 ，则 ，
即点 ，
由 在指数函数 的图象上可得，令
，
即 ，
故
故答案为：
【点睛】
本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．
8．
【解析】
【分析】
将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可。
【详解】
15．已知函数 （ 且 ）只有一个零点，则实数 的取值范围为______．
16．已知函数 ， 的值域是 ，有下列结论：（1） 时， ；（2） 时， ；（3） 时， ，其中正确的结论的序号为______．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 的反函数是 ，
（1）画出 的图像；
（2）解方程 ．
18．已知定义在R上的奇函数 （（ 且 ）， ）
14．
【解析】
【分析】
由题意可得 ，即 ，对 的范围进行讨论得出答案．
【详解】
解： ，
，
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， ， ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
15． 或 或
【解析】
∵函数 （ 且 ）只有一个零点，
【分析】
确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道 且真数恒大于0，求得 的取值范围．
【详解】
解：令 在对称轴左边递减，
当 时，
对任意的 ， 当 时， ，即
故应有
又因为 在真数位置上所以须有
综上得
故答案为：
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．（2）
【解析】
【分析】
根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．
【详解】
解：当 时， ， ，单调递减，
当 时， ，单调递增，
在 单调递增，在 单调递减，
当 时，取最大值为1，
当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．
【点睛】
本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．
20．（1） ， ， ；（2）不存在；理由见解析；（3）
10． 或
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义与性质，即可求出 的值．
【详解】
解：由题意幂函数 是R上的增函数
解得 或
故答案为： 或
【点睛】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于 的方程和不等式，是基础题．
11．-1
【解析】
【分析】
由题意，令 ，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.
（1）求k的值，并用定义证明当 时，函数 是R上的增函数；
（2）已知 ，求函数 在区间 上的取值范围．
19．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t相关，当 时电车为满载状态，载客为400人，当 时，载客量会少，少的人数与 的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为 ．
10．已知幂函数 是R上的增函数，则m的值为______．
11．已知函数 的反函数是 ，则 ______.
12．函数 的单调递增区间为______．
13．若函数 （ 且 ）满足：对任意 ， ，当 时， ，则a的取值范围为______．
14．已知 ，定义 表示不小于x的最小整数，若 ，则正数x的取值范围为______．
，得 ，
，
，
是 上的奇函数，
设任意的 且 ，则
，
，
，
，
在 上为增函数；
（2） ，
，即 ，
或 （舍去），
则 ， ，
令 ，则 ，
则 ，
由对勾函数的性质可得 在 上单调递增，
故
的值域为
【点睛】
本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断。
【详解】
解：在 中， 是奇函数，在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是偶函数，但在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是奇函数且在区间 上是减函数，故 错误；
在 中， 是奇函数且在区间 上是增函数，故 正确．
故选： ．
函数 在 上单调递减，
解得
即
故选：
【点睛】
本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题。
3．B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为方程 在 上有解的问题即可得解．
【详解】
解：
函数 为“可拆分函数”，
存在实数 ，使 成立，
方程 在 上有解，
即 在 上有解，
， ，
，
的取值范围为： ．
故选：
【点睛】
本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．
4．C
【解析】
若 ，则 ， ，根据函数的平移变换与翻折变换，画出 在 上的图象，则 与 的图象有三个交点时，函数 有三个零点，可得
19．（1） （2） ，
【解析】
【分析】
（1）由题意知， 为常数），结合 求得 ，则 的表达式可求；
（2）写出分段函数 ，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．
【详解】
解：（1）由题意知， 为常数），
， ．
．
（2）由 ，可得
，
当 时， ，
当且仅当 时等号成立；
当 时， ，当 时等号成立．