21-椭球定位的经典方法

cos 2B
B
旧
da
d
L旧 cos
B旧
N旧
B旧
② 近代弧度测量方程式
在天文大地网中每一个天文大地点上都可 以列出如上式的3个弧度测量方程式 。
新2 新2 最小
N新2=最小
假设满足双平行条件，仅采用第三个方程，在 多个（大于6个）点上列出弧度方程即可解出上 述6个未知参数，回代广义弧度测量方程式即可 得到每个点（包括大地原点）上的定位参数。
X X X
L
B
H
J＝
Y L
Y B
Y H
Z
Z
Z
L B H
dX dL
dY dZ
J dB dH
da
Ad
(N H ) cos B sin L (M H ) sin B cos L cos B cos L
(N
H
)
cos
B
cos
L
(M H ) sin B sin L
在区域内，椭球面与大地水准面最佳密合
参心坐标系或局部坐标系
2、弧度测量方程
Equation of Arc Measurement
① 古代弧度测量方程式
把地球当球，据两点的弧长和纬差测量，推算 地球的大小
估算：埃及学者埃拉托色尼（公元前276－
194年），他估算地球半径为6844KM
2、弧度测量方程
Transformation of Geodetic Coordinate Systems
1、不同空间直角坐标系的转换
Transformation of Space Rectangular Coordinate Systems
2、不同大地坐标系的转换
Transformation of Geodetic Coordinate Systems
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
1）定义
定位：确定椭球中心的位置。
定向：确定椭球中心为原点的空间直
角坐标系坐标轴的方向，即确定椭球短 轴和起始大地子午面的指向。
大地原点：国家水平
大地控制网中推算各点 大地坐标的起算点。
大地起算数据：大地
1
0
0
X
Y
Z
" " "
N M N
0
e2 sin B cos B
1 e2 sin2 B
"
m
0
M
N H
a
e2
sin
B
cos
B
"
N 1 e2 sin2 B a
0Βιβλιοθήκη Baidu
M 2 e2 sin2 B
M H 1
sin
B
cos
B
"
da
d
M 1 e2 sin2 B sin2 B
Ne2 sin B cos B cos L
cos B
0
X
Y
N M
e2
0 sin B cos
B
m
0
旧 Z
N 1 e2 sin2 B
0
M
N H
a
e2
sin
B
cos
B
N 1 e2 sin2 B a
0
M 2 e2
M H
M 1
1
sin2 B
1
e2 sin2
sin B B sin
上节课内容回顾－微分旋转矩阵
1 Z Y
RX ( X )RY (Y )RZ ( Z ) Z
1
X
Y X 1
1
2
Z
Y
2 Z
1
X 'X
Y
X
'X
RX
( X
)RY (Y
)RZ ( Z )RX
(
'X
)RZ ( Z )
1
上节课内容回顾－Bursa Model
X 1 Z Y X X 0 Z Y X
3）定位条件
① 椭球的短轴与 地球的自转轴平 行； x 0, y 0
② 起始大地子午 面与起始天文子 午面平行；z 0
X’ Z X0 Y
Z Z0
X Y
Z’
O
Y
X
Z Y0
Y’
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
3）定位条件
③ 椭球面与某一区域的
2、弧度测量方程
Equation of Arc Measurement
② 近代弧度测量方程式
根据垂线偏差公式有:
新
新
L新
cos
B新
B新
L旧 cos B旧 dL cos B旧
B旧
dB
N新
N新
N旧
dN
代入广义变换椭球微分公式则可得广义弧 度测量方程式
Equation of Arc Measurement
① 古代弧度测量方程式
实测：公元724年，唐代天文学家一行（本
名张遂）和太史监南宫说在河南平原地区实 测了滑县、浚仪（今开封）、扶沟和上蔡间 的距离、北极高度和夏至正午日影长度，得 出子午线一度弧长为132.28km。
2、弧度测量方程
Equation of Arc Measurement
2、不同大地坐标系的转换
Transformation of Geodetic Coordinate Systems
大地坐标与空间直角坐标之间的关系：
X (N H ) cos B cos L
Y
( N
H ) cos B sin L
Z [N (1 e2 ) H ]sin B
X、Y、Z是L、B、H、 a、α （或 e2）的函 数，除了七个转换参数外还应该考虑椭球 的不同（ a、α ），对上式求全微分
1
dX dL
dY dZ
J
dB dH
da
Ad
dL dX
dB dH
J
1
dY dZ
J
1A
da
d
dL L L
dB
B
B
dH H 新 H 旧
dX X X
dY
Y
Y
dZ Z 新 Z 旧
N
sin L
H cos
B
J 1
sin B cos L M H
L0 0，B0 0，A0 0，H0 H正0
实质：将大地原点上所测的天文经纬度和天 文方位角视为大地经纬度和大地方位角，大 地原点上的正高（正常高）视为大地高。
多点定位：在多个天文大地点上列出弧
度测量方程，通过平差计算得到定位参数， 从而完成椭球的定位；
在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线
方向不重合，椭球面和大地水准面不再相切
《大地测量学基础》（FOUNDATION OF GEODESY）
椭球定位的经典方法
测绘学院一系大地测量教研室
上节课内容回顾－矢量的表示
矢量：既有大小又有方向且加法满足平 行四边形法则的量为矢量。
rv
v i
v j
v k
x
y
R
x
y
av
r b
cv
cv'
av
r b
cv
r 'b
av
z
大地水准面最为密合。
N2 min
垂线偏差和高程异常的数值会小一些， 观测结果的归算将变得简单一些。
Figure. An example of a local datum. Its spheroid is a good approximation to the size and shape of the sea-level surface in the one region of the Earth but a poor approximation in other parts of the world.
② 近代弧度测量方程式
确定地球椭球的两个元素，即长半径a 和扁率α
推算：通过在不同的地方观测子午线
弧长解算地球椭球的大小
2、弧度测量方程
Equation of Arc Measurement
② 近代弧度测量方程式
实测：在原有旧的椭球的基础上，利
用天文、大地、重力和卫星测量等资 料完成的。因此，推算新椭球元素实 际上是一个逐次趋近的过程。
sin L
N
H
N 新
sin B cos L
M H
cos B cos L
cos N
L H
sin B sin L
M H cos B sin L
0
cos M
B H
sin B
X 0
Y0
Z0
旧
sin B cos L
sin L
Ne2 sin B cos B sin L
sin B sin L cos L
根据前两个条件（双平行条件）
B
L cos A Lsin
L0 0 0 sec0 B0 0 0 A0 0 0 tan 0
H0 H正0 N0
X Y Z 0
0、0、0、H正（0 H常0） 天文测量和水准测量
x、 y、 z 定向参数，由天文测量确定。
0、0、N0 定位参数
高斯平面
Li，Bi，H i
椭球面
，， N
x， y， z
L0，B0，H0，A0
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
1）定义
椭球定位：即建立大地坐标系，就是按
一定条件将具有确定元素的地球椭球同大 地体的相关位置确定下来，从而获得大地 测量计算的基准面和大地起算数据。
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
2）定位要求：
参考椭球是大地体的数学化形状，要使之尽 量接近大地体; 使观测元素归算到椭球上具有实际意义; 便于垂线偏差和起始大地方位角等的解算。
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
1
2、不同大地坐标系的转换
Transformation of Geodetic Coordinate Systems
da、dα 、ΔZ0 、m 对大地经度没有影响， 即该部分dL=0；
εZ对大地纬度和大地高没有影响； 不同大地坐标系的换算公式通常又称为大地 坐标微分公式或变换椭球微分公式；
包含旋转参数和尺度参数时，称为广义大地 坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。
cos
B
sin
L
0
(M H ) cos B
sin B
X
a
A
Y a
Z
a
X
N a
cos
B cos L
Y
N a
cos B sin L
Z
N
(1
e2
) sin
B
a
M cos B cos L sin2 B
1
M cos B sin L sin2 B
1
M
sin B(1 cos2 B e2 sin2 B)
cos L
H cos
B
"
sin B sin L "
M H cos B sin L
0
cos B M H
sin B
"
X 0
Y0
Z0
tgB cos L
sin L
Ne2
sin
B cos
"
B
sin
L
tgB sin L cos L
Ne2 sin B cos B cos L
"
原点的大地坐标值L0、 B0、H0，以及它对某一 方向的大地方位角A0， 经典大地测量的基准。
P(L0 , B0 )
M
N
H0
p0 A0 m
S
大地起算数据
椭球定位
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
陕西泾 阳县永 乐镇大 地原点
1、大地起算数据与椭球定位
2、弧度测量方程
z
av
r b
R
0 a3
a3 a2 b1
a2b3 a3b2
0
a1
b2
R
a3b1
a1b3
a2 a1
0 b3
a1b2 a2b1
上节课内容回顾－欧勒角
Z Z0
X Y
Z'
Z Z'
O
X' Z X0 Y
X
Y
X
Z Y0 X
Y'
X'
xyz'XYZ RX RY RZ RZ 270o RX RZ 90o
Y
Z
1
X
Y
Y
Z
0
X
Y
Z Y X 1 Z Z Y X 0 Z
rv rv'v'rv'
X
X 0 Z Y X X 0
Y
(1 m) Y
Z
0
X
Y
Y0
Z 新
Z 旧 Y X 0 Z 旧 Z0
——布尔莎七参数模型
不同大地坐标系的转换
cos B cos L
cos L
N H cos B
sin B sin L M H
cos B sin L
0
代入布尔莎
cos B
M
H
sin B
七参数模型 并整理有：
dL
N
sin L
H cos
B
"
dB
dH
sin B cos L "
M H cos B cos L
N
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
4 ）定位方法
0、0、N0
X 0、Y0、Z0
根据获得途径不同，分为一点定位 和多点定位
一点定位 0 0，0 0，N0 0
在大地原点处，椭球的法线方向和铅垂线 方向重合，椭球面和大地水准面相切。
椭球定位的经典方法
Classical Method of Ellipsoid Location
1、大地起算数据与椭球定位
Geodetic Datum and Ellipsoid Location
2、弧度测量方程
Equation of Arc Measurement
d，z，S
H 常，g
，，
xi，yi