空间向量的数乘运算(一)
3.1.2 空间向量的数乘运算(一) 教案(人教A版选修2-1)
第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（一）教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式． 教学过程：一、复习引入1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b 与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa.称平面向量共线定理， 二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa，其中λ是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a∥b （若用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a）上）.⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a反向的所有向量.3. 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP OA t =+a． 其中向量a叫做直线l 的方向向量. 推论证明如下：∵ l //a ，∴ 对于l 上任意一点P ，存在唯一的实数t ，使得AP t =a．(*) 又∵ 对于空间任意一点O ，有AP OP OA =-， ∴ OP OA t -=a ， OP OA t =+a． ①若在l 上取AB =a，则有OP OA t AB =+．(**)又∵ AB OB OA =- ∴ ()OP OA t OB OA =+-(1)t OA tOB =-+．② 当12t =时，1()2OP OA OB =+．③理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式． ⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．4. 出示例1：用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是平行四边形. （ 分析：如何用向量方法来证明？）5. 出示例2：如图O 是空间任意一点，C 、D 是线段AB 的三等分点，分别用OA 、OB 表示OC 、OD . 三、巩固练习： 作业：OABC D。
空间向量的数乘运算
OE = k OA， = k OB， OF OD。 OE = k OC， = k OD。 OH
由于四边形ABCD是平行四边形, 是平行四边形 由于四边形
所以
AC = AB + AD.
D
O
C B
H
G
E
F
空间向量的数乘运算
O
因此
EG = OG OE = k OC k OA
D B H
C
G
= k AC = k( AB + AD )
求证:E,F,G,H四点共面 四点共面 求证
分析: 分析 点共面， 欲证E 点共面， 欲证E，F，G，H四
O
D B H
C
EH EF EG共面。 只需证明 ， ， 共面。 AD AB AC 下面我们利用 ， ， 共面来证明。 共面来证明。
E
G
F
空间向量的数乘运算
证明: 证明 因为
所以
OE OF OG OH = = = = k， OA OB OC OD
②
都称为空间直线的向量表示式。 ①、②都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 量唯一确定
A L
r a
B
P
空间向量的数乘运算
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
空间中任意两个向量总是共面的 空间中任意两个向量总是共面的．但三个 两个向量总是共面 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 共面呢？ 共面呢？
空间向量的数乘运算
向量 b p 空间任意不共线的两个 a, 如果 = xa + yb ， p a b有什么位置关系？ 那么向量与向量 ， 有什么位置关系？ 反过来，向量 a， 反过来， p 与 b有什么位置关系时，有 xa + yb 有什么位置关系时，p = ？
空间向量的数乘运算(收藏)
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
空间向量乘法计算公式
空间向量乘法计算公式空间向量乘法是向量计算中的一种非常重要的计算方法。
它可以用来求解向量的点积、叉积、以及其他的一些运算，对于解决物理、工程和计算机科学中的一些重要问题非常有帮助。
在本文中，我们将向大家介绍空间向量乘法的计算公式及其应用。
空间向量乘法基本公式：对于三维空间中的两个向量a和b（均为三维向量），它们的乘积可以表示为：a×b=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k其中，i、j、k分别表示坐标系中的三个方向向量。
这个公式也叫做叉积公式，可以帮助我们计算任意两个向量之间的角度、面积以及法向量等。
这个公式的原理是，叉积的结果是一个垂直于a和b所在的平面上的向量。
这个向量的大小等于a和b所在平面的面积，方向由右手定则给出。
具体来说，将右手的大拇指伸向a，食指伸向b，那么叉积的方向就由中指指向。
空间向量乘法的应用1. 计算平面或立体图形的面积对于平面或者立体图形，可以使用向量乘积公式来计算其面积或者体积。
例如，对于一个由三个顶点A、B和C组成的三角形ABC，可以使用向量AB和向量AC叉积的大小得到其面积。
2. 计算物体的运动在计算机图形学中，空间向量乘积常用于计算物体的运动。
可以使用向量的叉积来计算旋转的角度和轴线方向，以及物体在三维空间中的位置。
3. 计算电磁场中的力在物理学和工程学中，向量乘积还可以用来计算电磁场中的力。
例如，在一组恒定电流通过的磁场中，可以使用向量乘积来计算电荷所受的力。
总结空间向量乘法是一个非常重要的向量计算方法，它可以帮助我们计算两个向量的点积、叉积以及其他的一些运算。
它在物理、工程和计算机科学中都有着广泛的应用。
通过向量乘积的计算，我们可以更好地理解和应用三维空间中的数学和物理概念。
空间向量的数乘运算
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
_空间向量的数乘运算
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
空间向量的数乘运算
→ → → 证明】 【证明】 设AB ＝ a，AD＝ b，AA1 ＝ c. ， ， → 2 → 2→ 2 → ∵A1 E＝ 2ED1 ＝ A1 D1 ＝ AD＝ b， ， 3 3 3 → 2→ 2 → 2 → → A1 F＝ FC ＝ A1 C＝ (AC －AA1 ) 3 5 5 2 2 2 2 → → → ＝ (AB ＋AD－AA1 )＝ a＋ b－ c. ＝ ＋ － 5 5 5 5 → → → ∴EF ＝A1 F－A1 E 2 4 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－ c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB ＝EA1 ＋A1 A＋AB ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF ＝ EB .所以 E， F， B 三点共线． 5
→ → 的中点．证明： 向量A 别为 BB1 和 A1 D1 的中点．证明： 向量 1 B、B1 C、 → EF 是共面向量． 是共面向量．
【思路点拨】 思路点拨】 利用向量共面的充要条件 或向量共面的定义来证明． 或向量共面的定义来证明．
【证明】 证明】 → → → → 法一： 法一：EF ＝EB ＋BA1 ＋A1 F 1→ 1 → → ＝ B1 B－A1 B＋ A1 D1 2 2 1 → → → BC)－ ＝ (B1 B＋BC )－A1 B 2 1→ → ＝ B1 C－A1 B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1 B、B1 C、EF 是共面向 量．
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算
在线性代数中，空间向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数（标量）相乘的操作。
数乘是向量运算中最基本的运算之一。
设向量为 v = [x1, x2, ..., xn]，标量为 a。
向量 v 乘以标量 a 的数乘结果记作 av，计算方法如下：
av = [ax1, ax2, ..., a*xn]
即将向量 v 的每个分量与标量 a 相乘得到新的向量 av。
数乘运算改变了向量的长度和方向，当 a > 0 时，数乘会拉长向量的长度，并保持方向不变；当 a < 0 时，数乘会拉长向量的长度，同时改变向量的方向；当 a = 0 时，数乘结果为零向量。
例如，对于向量 v = [2, -3, 4]，标量 a = 3 进行数乘运算：
av = [32, 3(-3), 3*4]
= [6, -9, 12]
因此，数乘运算的结果是 av = [6, -9, 12]。
数乘运算在线性代数中广泛应用，它可以用于调整向量的大小、实现向量的平行移动等操作，同时也是计算矩阵乘法、向量内积、向量投影等许多重要运算的基础。
空间向量的数乘运算
三、共面向量:
1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面
那么什么情况下三个向量共面呢？
e
2
a
e1
由平面向量基本定理知，如果 e1， 么e是对2 平于面这内一的平两面个内不的共任线意的向向量量，，a有那
且只有一对实数
在有序实数对x,y使AP xAB aB
对空间任一点O,有 OP OA xAB y AC ③
bC
p
P
A aB
填空：
O
OP (1_-_x_-_y_)OA (__x__)OB (__y__)OC
由此可判断空间任意四点共面
共面向量定理的剖析
如果两个向量 a，b 不共线,
★ 向量c与向量a，b共面(性质)存y，在使唯一c＝的x一a＋对y实b数x，
例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
OE kOA,OF kOB,OG kOC,OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
b
+
c
)
C ∴MN= MA+AN
= 1（－a + b + c )
3
小结
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合
定理
a // b (b 0)
a
b
叫做共面向量.
3.1.2 空间向量的数乘运算
【做一做 1】 已知空间四边形 ABCD,M,G 分别是 BC,CD 的中
点,连接
AM,AG,MG,则������������
+
1 2
(������������
+
������������ )等于(
)
A.������������
B.������������
C.������������
D.12 ������������
共线(平行)向量
共面向量
如果 l 为经过点 A 平行于已知 非零向量 a 的直线,那么对于 空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,
使������������ = ������������+ta①,其中 a 叫做 推 直线 l 的方向向量,如图所示. 论
如图,空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有 序实数对(x,y),使
������������ =x������������ +y������������ 或对空间任
意一点 O 来说,有������������ =
若在 l 上取������������=a,则①式可化 ������������+x������������+y������������
为������������ = ������������+t������������
-8-
3.1.2 空间向量的数乘运算
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
名师点拨共线向量的特点及三点共线的充要条件 (1)共线向量不具有传递性 因为零向量0=0·a,所以零向量和空间任一向量a是共线(平行)向 量,这一性质使共线向量不具有传递性,即若a∥b,b∥c.则a∥c不一定 成立.因为当b=0时,a∥0,0∥c,但a与c不一定共线. (2)空间三点共线的充要条件 若在直线 l 上取������������=a,则������������ = ������������+t������������ = ������������+t(������������ − ������������)=(1-t)������������+t������������(t∈R).因此空间三点 P,A,B 共线的充要条件为 ������������=α������������+β������������(α+β=1).此结论非常重要,经常用于解题过程中.
空间向量的数乘运算 课件
AA1
1 2
(B1A1
B1C1
)
AA1
1 2
(BA
BC)
AA1
1 2
(－AB
AD)
c 1 (－a b) 2
－1 a 1 b c． 22
方法二：BM BA AA1 A1M
－AB
AA1
1 2
(A1B1
A1D1
(AB
AD)
－a c 1 (a b) 2
－1 a 1 b c． 22
而利用p xa y与b a,bp共面则不需要a,b不共线的条件. 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.
A1A AB
2bca 3
a
2 b c, 3
EF 2所EB以, E，F，B三点共线.
5
类型 三 空间向量共面定理的理解应用 【典型例题】 1.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O， 则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A，B，M一定共面的 是__________.(填序号)
(3)空间向量共面的其他判定方法． 三个非零向量a,b,c,其中无两者共线，那么它们共面的充要条 件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.
类型 一 空间向量的数乘运算 【典型例题】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交 点．若 AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM相等的向量 是( )
提示：(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的，是由 共面向量基本定理得到的. (2)不正确.当a,b共线，而p与a，b不共线时，p=x a+y b是不 成立的. (3)正确.是共面向量的充要条件. (4)不正确.当 MA，MB共线，而 MP与MA，MB不共线时， MP xMA yMB不成立. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1精讲优练_3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算
【方法技巧】 证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点 共线. (1)存在实数λ ,使 PA PB 成立.
(2)对空间任一点O,有 OP OA tABt R. (3)对空间任一点O,有 OP xOA yOBx y 1.
【变式训练】 已知A,B,C三点共线,O为直线外空间任意一点,若 OC mOA nOB，求m+n的值.
且
A1E
2ED1，点F在对角线A1C上,且
A1F
2 3
FC. 求
证:E,F,B三点共线.
【证明】设 AB a，AD b，AA1 c.
因为
A1E
2ED1，A1F
2 3
FC，
所以
A1E
2 3
A1D1，A1F
2 5
A1C，
所以
A1E
2 3
AD
2 3
b，
A1F
OP OA n OB OA AP nAB.
因为 AB≠0,所以 AP和AB 共线,即点A,P,B共线.
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知M,N分别是A1B,B1C1 上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设 AB =a, AC =b,AA1=c, 则MN=________(用a,b,c表示).
2
【延伸探究】本题条件不变,若 PA＝xPO＋yPQ＋PD. 求 x,y的值. 【解析】因为O为AC的中点,Q为CD的中点, 所以 PA＋PC＝2PO，PC＋PD＝2PQ, 所以 PA＝2PO－PC，PC＝2PQ－PD.
从而有 PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD. 所以x=2,y=-2.
空间向量的数乘运算
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
两个空间向量相乘公式
两个空间向量相乘公式两个向量的乘积有两种运算方式，一种是点积（内积），另一种是叉积（外积）。
下面分别介绍这两种乘积的公式。
1.点积（内积）：给定两个向量A=(A₁,A₂,A₃)和A=(A₁,A₂,A₃)，它们的点积定义为：A·A=A₁·A₁+A₂·A₂+A₃·A₃点积具有以下性质：-交换律：A·A=A·A-分配律：A·(A+A)=A·A+A·A-数乘结合律：A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)，其中A是一个标量点积的几何意义是计算两个向量之间的夹角以及一个向量在另一个向量方向上的投影。
2.叉积（外积）：给定两个向量A=(A₁,A₂,A₃)和A=(A₁,A₂,A₃)，它们的叉积定义为：A×A=(A₂A₃-A₃A₂,A₃A₁-A₁A₃,A₁A₂-A₂A₁)叉积具有以下性质：-反交换律：A×A=-A×A-分配律：A×(A+A)=A×A+A×A-数乘结合律：A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)，其中A是一个标量叉积的几何意义是计算两个向量之间的平行四边形的面积以及垂直于平行四边形的法向量。
注意事项：-点积只适用于三维向量，而叉积只适用于三维向量。
-叉积的结果是一个向量，而点积的结果是一个标量。
下面是一些例子来说明这两种乘积的运算过程：例1：计算点积给定向量A=(1,2,3)和A=(4,5,6)，它们的点积为：A·A=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32例2：计算叉积给定向量A=(1,2,3)和A=(4,5,6)，它们的叉积为：A×A=(2·6-3·5,3·4-1·6,1·5-2·4)=(12-15,12-6,5-8)=(-3,6,-3)以上就是两个空间向量相乘的公式以及一些例子。
空间向量的数乘运算
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
3.1.2空间向量数乘运算
由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
研一研·问题探究、课堂更高效
因此E→G＝O→G－O→E ＝kO→C－kO→A＝kA→C ＝k(A→B＋A→D)＝k(O→B－O→A＋O→D－O→A) ＝O→F－O→E＋O→H－O→E＝E→F＋E→H. 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1 不的，2共任使线意的 向a 向 量 量a1e，1，那有2么e且2
如果空间向量
p
与两不共线向量
a
，b
共
面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则
有 p x yb
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量 ,
小结 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定 理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一 个向量用另外两个向量进行表示．
跟踪训练 3 如图所示，已知矩形 ABCD 和
矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM＝13BD， AN＝13AE.求证：向量M→N，C→D，D→E共面．
a
a // b(b 0)
b (b 0)
a b (b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
空间向量的数乘运算
33
B
D
C
习题答案
1. （1）AD; （2）AF; （3） EF
2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;
3. Q
C
P
AB R
S
O
H四点共面.
课堂小结
1.空间向量的数乘运算. 2.空间向量的数乘运算的运算律.
满足分配律及结合律.
3.共线向量与共面向量
共线向量
共面向量
定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量,
行或重合. 定理
a//b(a 0)
叫做共面向量.
a λb
ab p
共面
p xα yb
5.共线向量基本定理的推论
对于空间任意一点像O，点P在直 线l上的充要条件是存在实数t，使其中 向量a叫做直线l的方向向量
OP = OA + ta.
(1)
在l上取AB=a，则(1)式可化为
P B a
A
OP = (1- t)OA + t OB.
(2)
说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量 O
参数表示式.由此可知，空间任意直线由
BC 3CD ，则（A）AD AB BD
A.
AD 1 AB 4 AC 33
B. AD 1 AB 4 AC
AB 4 BC 3
AB 4 ( AB) 3
33
C. AD 4 AB 1 AC
1 AB 4 AC 33
A
33
D. AD 4 AB 1 AC
空间一点及直线的方向向量唯一确定.
知识要点
6.共面向量定义:平行于同一平面的向量，叫做共面向
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3.1.2空间向量的数乘运算（一） ------共线向量和共面向量
雷店高中 佘佳
【教学目标】
知识目标：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式．
能力目标：培养学生的空间想象能力；
培养学生的类比思想、转化思想；
培养学生探讨、研讨、综合自学应用能力； 培养学生空间向量的应用意识。
【教学重点】：共线、共面定理及其应用． 【教学难点】：共面定理的证明及应用 【教学方法】：问题探究式，启发引导式。
【课时安排】：一课时 【教学过程】： 一、引入新课
提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。
由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。
二 、新课讲解
思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？
利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。
并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。
思考：1.空间中任意两个向量共面吗？
2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？
3.空间中三点共线上的充要条件是什么? （1）．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：
对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）． 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对空间任一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t OA OP += ①， 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②
a
l
P
B
A
当12t =
时，点P 是线段AB 的中点，此时1
()2
OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB 的中点公式．
（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定； （2）利用（2）式可以判定空间任意三点A 、B 、P 共线。
（有三种方式：OP OA t AB =+，(1)OP t OA tOB =-+，PB AP λ=）
练习1.对于空间任意一点O ，下列命题正确的是： A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点 C.若 ，则P 、A 、B 不共线 D.若 ，则P 、A 、B 共线 思考：1.怎样的向量叫做共面向量？空间中三个向量共面吗？
2.平面向量的基本定理是什么？能否推广到空间向量呢？共面向量定理能帮我们解决空间中的那类问题呢？ 3．向量与平面平行：
已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内， 那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的 4．共面向量定理：
如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+． 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++①， ①式叫做平面MAB 的向量表达式． 练习2：若对任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件 四、课堂练习
1．设,a b 是平面上不共线的向量，b k a AB +=2、
b a CB 3+=、b a CD -=2，
若A 、B 、D 三点共线，则k = 。
（-8）
例1：已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外一点O ，给定的下列条件，点P 与A 、B 、M
是否共面？ （1）OA OP OM OP -=+3 （2）OM OB OA OP --=4
=+OP OA t AB 3=+OP OA AB =-OP OA t AB =-+OP
OA AB ),,,( R z y x OC z OB y OA x OP ∈++=
3． 已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP ＝2OA →＋OB →＋λOC →
，则λ＝________ 五、课堂小结
六、课后作业（见学案）
【板书设计】
3.1.2空间向量的数乘运算（一） 1、空间向量的数乘运算
2、共线（平行）向量：,(0),//a b b a b ≠等价于a b λ= 空间任意三点A 、B 、P 共线
PB AP λ=、OP OA t AB =+、(1)OP t OA tOB =-+、 3、共面向量定理：p xa yb =+ 空间中P 与A 、B 、M 共面 MP xMA yMB =+ OP OM xMA yMB =++
(x+y+z=1)
【课后反思】
),,,( R z y x OC z OB y OA x OP ∈++=。