空间向量的数乘运算(一)

3.1.2空间向量的数乘运算（一） ------共线向量和共面向量

雷店高中 佘佳

【教学目标】

知识目标：理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

掌握空间直线、空间平面的向量方程和线段中点的向量公式．

能力目标：培养学生的空间想象能力；

培养学生的类比思想、转化思想；

培养学生探讨、研讨、综合自学应用能力； 培养学生空间向量的应用意识。 【教学重点】：共线、共面定理及其应用． 【教学难点】：共面定理的证明及应用 【教学方法】：问题探究式，启发引导式。 【课时安排】：一课时 【教学过程】： 一、引入新课

提出问题：平面向量的数乘运算的意义、性质、满足什么条件。由同学们互相交流，讨论，教师引导，并得出结果。 二 、新课讲解

思考：能否直接推广到空间向量，？空间向量的数乘运算的定义，方向，大小，运算律是怎样的？

利用道具和动画演示向量的平移，指出空间中任何两个向量都可以平移到同一个平面当中来，并指出任何两个空间向量的问题都可以用平面向量的结论来完成。并引出空间向量的数乘运算以及它的运算律。

思考：1.空间中任意两个向量共面吗？

2.两个向量贡献的充要条件是什么？能否推广到空间向量呢？

3.空间中三点共线上的充要条件是什么? （1）．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a 平行于b ，记作：//a b ． 2．共线向量定理：

对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ=（λ唯一）． 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a 的直线，那么对空间任一点O ， 点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式a t OA OP += ①， 其中向量a 叫做直线l 的方向向量。

在l 上取AB a =，则①式可化为OP OA t AB =+或(1)OP t OA tOB =-+②

a

l

P

B

A

当12t =

时，点P 是线段AB 的中点，此时1

()2

OP OA OB =+③ ①和②都叫空间直线的向量表示式，③是线段AB 的中点公式．

（1）空间任意一直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定； （2）利用（2）式可以判定空间任意三点A 、B 、P 共线。

（有三种方式：OP OA t AB =+，(1)OP t OA tOB =-+，PB AP λ=）

练习1.对于空间任意一点O ，下列命题正确的是： A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点 C.若 ，则P 、A 、B 不共线 D.若 ，则P 、A 、B 共线 思考：1.怎样的向量叫做共面向量？空间中三个向量共面吗？

2.平面向量的基本定理是什么？能否推广到空间向量呢？共面向量定理能帮我们解决空间中的那类问题呢？ 3．向量与平面平行：

已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内， 那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α． 通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．空间任意的三向量不一定是共面的 4．共面向量定理：

如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+． 推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++①， ①式叫做平面MAB 的向量表达式． 练习2：若对任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件 四、课堂练习

1．设,a b 是平面上不共线的向量，b k a AB +=2、

b a CB 3+=、b a CD -=2，

若A 、B 、D 三点共线，则k = 。（-8）

例1：已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外一点O ，给定的下列条件，点P 与A 、B 、M

是否共面？ （1）OA OP OM OP -=+3 （2）OM OB OA OP --=4

=+OP OA t AB 3=+OP OA AB =-OP OA t AB =-+OP

OA AB ),,,( R z y x OC z OB y OA x OP ∈++=

3． 已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP ＝2OA →＋OB →＋λOC →

，则λ＝________ 五、课堂小结

六、课后作业（见学案）

【板书设计】

3.1.2空间向量的数乘运算（一） 1、空间向量的数乘运算

2、共线（平行）向量：,(0),//a b b a b ≠等价于a b λ= 空间任意三点A 、B 、P 共线

PB AP λ=、OP OA t AB =+、(1)OP t OA tOB =-+、 3、共面向量定理：p xa yb =+ 空间中P 与A 、B 、M 共面 MP xMA yMB =+ OP OM xMA yMB =++

(x+y+z=1)

【课后反思】

),,,( R z y x OC z OB y OA x OP ∈++=